第四章 平面一般力系内容 1.力系的简化
2.物体系统的平衡
—— 作用线在同一平面内的任意力系平面一般力系
§ 4-1 力的平移定理证明作用于 刚体 上的已知力可以向该刚体上任意一点平行移动,平移时将产生一附加力偶，其矩等于 原力对 平移点 的矩。
O·
－ FO′=FO=FA
· A
FA
· A
FA
FO′
FO
m
( )Ao Fm=m
M
Fn′F2′
F1′
FR
· O
M2
§ 4-2 平面任意力系的简化一、简化力系（ F1,F2,……,Fn）
(M1,M2,……,Mn)
力偶系
Mi=mo(Fi)
汇交力系
(F1′,F2′,……,Fn′)
合力偶 M
( )∑ Fm=∑ M=M
n
=i
io
n
=i
i
11主矢 主矩简化中心 O
任选合力 FR
∑ ∑ F=′F=F
n
=i
n
=i
iiR
1 1
F1
F2
Fn
⌒M1
Mn
二、结果讨论
1.力系的等效两力系等效
2.讨论
⑶ 计算
⑵ M与 O的位置有关。
力系 1,FR1,M1 力系 2,FR2,M2
当 FR1=FR2; M1=M2
⑴ FR作用于 O点，但 FR与 O无关。
∑ F=F
n
=i ixRx 1
∑
n
=i
iyRy F=F
1
22 RyRxR F+F=F
R
Rx
F
F=αc o s
R
Ry
F
F
=βc o s
( )∑∑ n
=i io
n
=i i
Fm=M=M
11
· O · O′
⑷ 结果讨论与 O无关力系简化为合力偶合力 FR作用于 O′点
M′= FRd = M
① FR≠0,M=0 FR—— 合力
② FR≠0,M≠0
FR
M FR′
M′
③ FR = 0,M≠0
d
5.固定端
A A
A F
x
Fy
MA
3.平面任意力系合力矩定理方程
§ 4-3 平面一般力系的平衡方程及其应用可解三个未知数平衡
④ FR = 0,M = 0
∑ =F=F xRx 0
∑ 0=F=F yRy
( ) 0=∑ Fm=M o
( ) ( )∑ Fm=Fm
n
=i
ioRo
1
方程
∑ 0=F x
∑ 0=F y
( ) 0=Fm o∑
例 1,已知,F,α,L
解：
求,A端约束反力解法 Ⅰ
αA
L B
F
A
B
αF
A
B
αFM
A
FAy
FAx
解法 Ⅱ
∑,0=m A
∑,0=F y
∑,0=F x
0=LFM A αs i n－ LF=M ∴ A αs i n
0=FF Ax αc o s－ αc o sF=F ∴ Ax
0=FF Ay αs i n－ αs i nF=F ∴ Ay
FA MA FA = F
∑,0=m 0=LFM A αs i n－ LF=M ∴ A αs i n
已知,F = 2 KN,m = 1.5 KN·m,L = 2 m例 2.
求,A,B处的约束力 解：
m
45°
F
L
C45°
FB
A
m
2L
FNB
CBA
FAy
FAx
∑,0=m A
∑,0=F y
∑,0=F x 045 =F+F Ax?c o s
KNAx =F=F ∴ 4 1 4122,－－
0=mL?FL?F NB －－ 3222
KNNB =FL+Lm=F 522432,∴
022 =FF+F NBAy － KNNBAy,=FF=F 08122 －－∴
例 3.
解：
已知：相同圆柱 O1,O2,G = 100 KN,α=30°
求,A,B,C的约束反力
α B
G
GC A
O2
O1
FNB
FNA
FNC GG
B
C AO2
O1
∑,=m O 02
∑,0=F y
∑,0=F x
y x
0=s i nGco sF NC αα 2－
KNNC =t a nG=F,182302?∴
0=Rco sGRF NA 22 α?－
KNNA,=c o sG=F 68630?∴
02 =αs i nFαc o sGF+F NCNBNA －－
KNNB =G=F 1 2 1365∴
关 于 分 布 载 荷 的 问 题向上,+
2.求力矩：
1.求合力：
3,q(x) = q = c.
集度,q(x)
( ) dx?xq=dF Q
∫
B
A
QQ dF =F
A
q(x)
x
y
dxx
La
B
O
( ) ( ) x d xxq=x?dx?xq=dM
( )dx∫ xxq =∫ dM =M a+L
a
B
A
O
( )dx∫ xxq =M LA
0 ( )dxxxq =M
L
B ∫
0
－
q
A B
La
O
FQ = qL
)( 2L+aqL=M o
2
2
1 qL=M
A
2
2
1 qL=M
B －
单位,KN/m
例 4.
求,A处约束反力已知,F = 5 KN,q = 4 KN/m,a = 4 m,b = 3 m。
解：
a
A
B C
b
q F
A
B C
q F
MA
FAy
FAx
021 2 =qbbFM A －－
m·KN A =qb+bF=M 3321 2
∑,0=m A
∑,0=F y
∑,0=F x
0=FqbF Ay －－
m·KNAy =F+qb=F 17
0=F Ax
作业,4-3,4-7
2.物体系统的平衡
—— 作用线在同一平面内的任意力系平面一般力系
§ 4-1 力的平移定理证明作用于 刚体 上的已知力可以向该刚体上任意一点平行移动,平移时将产生一附加力偶，其矩等于 原力对 平移点 的矩。
O·
－ FO′=FO=FA
· A
FA
· A
FA
FO′
FO
m
( )Ao Fm=m
M
Fn′F2′
F1′
FR
· O
M2
§ 4-2 平面任意力系的简化一、简化力系（ F1,F2,……,Fn）
(M1,M2,……,Mn)
力偶系
Mi=mo(Fi)
汇交力系
(F1′,F2′,……,Fn′)
合力偶 M
( )∑ Fm=∑ M=M
n
=i
io
n
=i
i
11主矢 主矩简化中心 O
任选合力 FR
∑ ∑ F=′F=F
n
=i
n
=i
iiR
1 1
F1
F2
Fn
⌒M1
Mn
二、结果讨论
1.力系的等效两力系等效
2.讨论
⑶ 计算
⑵ M与 O的位置有关。
力系 1,FR1,M1 力系 2,FR2,M2
当 FR1=FR2; M1=M2
⑴ FR作用于 O点，但 FR与 O无关。
∑ F=F
n
=i ixRx 1
∑
n
=i
iyRy F=F
1
22 RyRxR F+F=F
R
Rx
F
F=αc o s
R
Ry
F
F
=βc o s
( )∑∑ n
=i io
n
=i i
Fm=M=M
11
· O · O′
⑷ 结果讨论与 O无关力系简化为合力偶合力 FR作用于 O′点
M′= FRd = M
① FR≠0,M=0 FR—— 合力
② FR≠0,M≠0
FR
M FR′
M′
③ FR = 0,M≠0
d
5.固定端
A A
A F
x
Fy
MA
3.平面任意力系合力矩定理方程
§ 4-3 平面一般力系的平衡方程及其应用可解三个未知数平衡
④ FR = 0,M = 0
∑ =F=F xRx 0
∑ 0=F=F yRy
( ) 0=∑ Fm=M o
( ) ( )∑ Fm=Fm
n
=i
ioRo
1
方程
∑ 0=F x
∑ 0=F y
( ) 0=Fm o∑
例 1,已知,F,α,L
解：
求,A端约束反力解法 Ⅰ
αA
L B
F
A
B
αF
A
B
αFM
A
FAy
FAx
解法 Ⅱ
∑,0=m A
∑,0=F y
∑,0=F x
0=LFM A αs i n－ LF=M ∴ A αs i n
0=FF Ax αc o s－ αc o sF=F ∴ Ax
0=FF Ay αs i n－ αs i nF=F ∴ Ay
FA MA FA = F
∑,0=m 0=LFM A αs i n－ LF=M ∴ A αs i n
已知,F = 2 KN,m = 1.5 KN·m,L = 2 m例 2.
求,A,B处的约束力 解：
m
45°
F
L
C45°
FB
A
m
2L
FNB
CBA
FAy
FAx
∑,0=m A
∑,0=F y
∑,0=F x 045 =F+F Ax?c o s
KNAx =F=F ∴ 4 1 4122,－－
0=mL?FL?F NB －－ 3222
KNNB =FL+Lm=F 522432,∴
022 =FF+F NBAy － KNNBAy,=FF=F 08122 －－∴
例 3.
解：
已知：相同圆柱 O1,O2,G = 100 KN,α=30°
求,A,B,C的约束反力
α B
G
GC A
O2
O1
FNB
FNA
FNC GG
B
C AO2
O1
∑,=m O 02
∑,0=F y
∑,0=F x
y x
0=s i nGco sF NC αα 2－
KNNC =t a nG=F,182302?∴
0=Rco sGRF NA 22 α?－
KNNA,=c o sG=F 68630?∴
02 =αs i nFαc o sGF+F NCNBNA －－
KNNB =G=F 1 2 1365∴
关 于 分 布 载 荷 的 问 题向上,+
2.求力矩：
1.求合力：
3,q(x) = q = c.
集度,q(x)
( ) dx?xq=dF Q
∫
B
A
QQ dF =F
A
q(x)
x
y
dxx
La
B
O
( ) ( ) x d xxq=x?dx?xq=dM
( )dx∫ xxq =∫ dM =M a+L
a
B
A
O
( )dx∫ xxq =M LA
0 ( )dxxxq =M
L
B ∫
0
－
q
A B
La
O
FQ = qL
)( 2L+aqL=M o
2
2
1 qL=M
A
2
2
1 qL=M
B －
单位,KN/m
例 4.
求,A处约束反力已知,F = 5 KN,q = 4 KN/m,a = 4 m,b = 3 m。
解：
a
A
B C
b
q F
A
B C
q F
MA
FAy
FAx
021 2 =qbbFM A －－
m·KN A =qb+bF=M 3321 2
∑,0=m A
∑,0=F y
∑,0=F x
0=FqbF Ay －－
m·KNAy =F+qb=F 17
0=F Ax
作业,4-3,4-7
