2.力偶系及其平衡问题
1.力对点之矩内容第三章 力矩 平面力偶系
§ 3-1 力对点之矩一、力矩的概念
·A
.O
矢量
=r·Fsinα=Fd大小F
= ×mo（ ）F Frr
mo（ ）Fdα
平面问题标量
mo（ ）F =± Fd大小 旋向 －+
逆 + 顺 -
单位,N.m； KN.m
二、力矩的性质
1.力滑移后对同一点的矩不变。
2.力过矩心时，矩为零。
3.平衡力系的矩为零。
定义三、合力矩定理汇交力系的合力对某点的矩等于力系中各分力对同一点 力矩的代数和。
O,
即
r
力系（ F1,F2,……,Fn)汇交于 A点，且有合力 FR
.A Fi
F2
F1
FR
Fn
mo（ ）FR
( )∑ Fm=
n
=i
io
1
∑
n
=i
iR F=F
1
( ) ( )∑∑ n
=i
io
n
1=i
iRRo Fm=F×r=F×r=)(Fm
1
Fn=1000N,D =160mm,α=20 °
t
r
解：
求,Mo(Fn)=?
解法 Ⅰ,力臂
α c o s2D=r=d o
Mo( Fn)=
N,mnon 7 5,2=α c o s2DF=rF －－－
解法 Ⅱ,
Mo( Fn)= Mo( Fr)Mo( Ft)+
N,m n 7 5,2=0+2Dα c o sF= －－
例 1.
例 2.
解：
－ F1bcosα － F1asinα
已知,a,b,α,F1,F2
F1
F2
F1
F2
A
α
MA( F2)=
MA( F1)=
α s i n b Fα c o s a F 22 2121 －
F2sinα F2cosα
F1sinα
F1cosα
A
求,MA( F1)=？ MA( F2)=？
例 3.
Fx=Fcosα
求：力 F对 A点的力矩。
解：
已知,F,R,r,α
F
α
R r
A·
O F
x
Fy
αFy=Fsinα
( ) ( ) ( )yAxAA Fm+Fm=Fm
αααα s i nr?F s i n+)co sr RF= －－ (co s
ααα 2s i n Fr+c o sF r +F R c o s= 2－
)R co sr F= α－(
§ 3-2 力偶系一、力偶的概念等值、反向、不共线的两个平行力的组合定义平面力偶 标量效果 转动作用面力偶臂 d
两力所确定的平面 F
F′
d
大小 m=Fd
方向 －+ m m
矢量 力偶矩矢 m
2.不平衡、且无合力。
1.矩 m不变，力偶可平移、滑移、转动。
合成后仍为一力偶
2.当力偶矩相等时，两力偶等效。
四、力偶系的合成
m
二、性质
1.力偶对任何点的矩都等于其力偶矩。
∑
n
=i
im=M
1
（不能与力平衡）
三、等效定理一、合成
∴ 平衡方程二、平衡可解一个未知数
§ 3-3 平面力偶系的平衡
∑m=0
∑ m=M
n
=i
i
1
0
1
=m=M
n
=i
i∑
例 4.
解：
圆棒上作用有力偶 m1,m2,m3而处于平衡，
其中 m1=m2=m，求,m3=？
m1 m2m3
∑ m = 0:
∴ m3 = m2 + m1 = 2 m
m1－ m3 + m2 = 0
求,A,C 处约束反力。已知,m，不计自重。
解：
例 5.
FC = FB = FA
m
A
a
3a
a
a
B
C
C
B
B
A
m
FB
FA
FC
FB′
∑ =m 0
032222 =aFaFm AA －－
a
m=m
a=F A 3 5 3 604
2,
作业,3-1,3-7,3-8
1.力对点之矩内容第三章 力矩 平面力偶系
§ 3-1 力对点之矩一、力矩的概念
·A
.O
矢量
=r·Fsinα=Fd大小F
= ×mo（ ）F Frr
mo（ ）Fdα
平面问题标量
mo（ ）F =± Fd大小 旋向 －+
逆 + 顺 -
单位,N.m； KN.m
二、力矩的性质
1.力滑移后对同一点的矩不变。
2.力过矩心时，矩为零。
3.平衡力系的矩为零。
定义三、合力矩定理汇交力系的合力对某点的矩等于力系中各分力对同一点 力矩的代数和。
O,
即
r
力系（ F1,F2,……,Fn)汇交于 A点，且有合力 FR
.A Fi
F2
F1
FR
Fn
mo（ ）FR
( )∑ Fm=
n
=i
io
1
∑
n
=i
iR F=F
1
( ) ( )∑∑ n
=i
io
n
1=i
iRRo Fm=F×r=F×r=)(Fm
1
Fn=1000N,D =160mm,α=20 °
t
r
解：
求,Mo(Fn)=?
解法 Ⅰ,力臂
α c o s2D=r=d o
Mo( Fn)=
N,mnon 7 5,2=α c o s2DF=rF －－－
解法 Ⅱ,
Mo( Fn)= Mo( Fr)Mo( Ft)+
N,m n 7 5,2=0+2Dα c o sF= －－
例 1.
例 2.
解：
－ F1bcosα － F1asinα
已知,a,b,α,F1,F2
F1
F2
F1
F2
A
α
MA( F2)=
MA( F1)=
α s i n b Fα c o s a F 22 2121 －
F2sinα F2cosα
F1sinα
F1cosα
A
求,MA( F1)=？ MA( F2)=？
例 3.
Fx=Fcosα
求：力 F对 A点的力矩。
解：
已知,F,R,r,α
F
α
R r
A·
O F
x
Fy
αFy=Fsinα
( ) ( ) ( )yAxAA Fm+Fm=Fm
αααα s i nr?F s i n+)co sr RF= －－ (co s
ααα 2s i n Fr+c o sF r +F R c o s= 2－
)R co sr F= α－(
§ 3-2 力偶系一、力偶的概念等值、反向、不共线的两个平行力的组合定义平面力偶 标量效果 转动作用面力偶臂 d
两力所确定的平面 F
F′
d
大小 m=Fd
方向 －+ m m
矢量 力偶矩矢 m
2.不平衡、且无合力。
1.矩 m不变，力偶可平移、滑移、转动。
合成后仍为一力偶
2.当力偶矩相等时，两力偶等效。
四、力偶系的合成
m
二、性质
1.力偶对任何点的矩都等于其力偶矩。
∑
n
=i
im=M
1
（不能与力平衡）
三、等效定理一、合成
∴ 平衡方程二、平衡可解一个未知数
§ 3-3 平面力偶系的平衡
∑m=0
∑ m=M
n
=i
i
1
0
1
=m=M
n
=i
i∑
例 4.
解：
圆棒上作用有力偶 m1,m2,m3而处于平衡，
其中 m1=m2=m，求,m3=？
m1 m2m3
∑ m = 0:
∴ m3 = m2 + m1 = 2 m
m1－ m3 + m2 = 0
求,A,C 处约束反力。已知,m，不计自重。
解：
例 5.
FC = FB = FA
m
A
a
3a
a
a
B
C
C
B
B
A
m
FB
FA
FC
FB′
∑ =m 0
032222 =aFaFm AA －－
a
m=m
a=F A 3 5 3 604
2,
作业,3-1,3-7,3-8
