第十一章 机械系统动力学目录
§ 1 概述
§ 2 多自由度机械系统的动力学分析
§ 3 单自由度机械系统的动力学分析
§ 4 机械的速度波动及其调节
§ 5 飞轮设计
§ 1 概述一、作用在机械上的力
驱动力原动机输出并驱使原动件运动的力，其变化规律取决于原动机的机械特性。
生产阻力机械完成有用功需克服的工作负荷,其变化规律取决于机械的工艺特点 。
概述二,机械的运转过程特 征
启动阶段
稳定运转阶段
停车阶段
12cdfrd )( EEWWWWW
012cd EEWW
012cd EEWW
012cd EEWW
概述输入功阻抗功 损耗功 总耗功终止动能 起始动能
§ 2 多自由度机械系统的动力学分析
i
iii
F
q
U
q
E
q
E
t ed
d?
),,2,1( Ni
一、拉格朗日方程机械系统的 动力学方程 －
外力与运动参数（位移、速度等）之间的函数关系式动能 势能 自由度广义坐标广义力广义速度多自由度机械系统的动力学分析
以 能量观点 来研究机械系统的真实运动规律；
解决具有 理想约束 的机械系统动力学问题的普遍方程；
求解步骤规范,统一 （ 确定 广义坐标,列出 动能,势能和 广义力 的表达式,代入上式即可 ） ；
方程中不含未知的约束反力,克服了牛顿第二运动定律的缺点 。
i
iii
F
q
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),,2,1( Ni
二、二自由度机械系统的动力学分析多自由度机械系统的动力学分析
11q 42q
2e
22
1e
11
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多自由度机械系统的动力学分析若不计运动构件的重量与弹性，则势能 U 不必计算。
1,系统动能的确定
n
j
jSSj jj JvmE
1
22 )(
2
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21
21
21
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2
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1
1
jjj SSS
jj
j
yxv
q
q
q
q
多自由度机械系统的动力学分析系统动能的求解步骤：
位移分析
速度分析
系统动能
2
2222112
2
111 2
1
2
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1
11
多自由度机械系统的动力学分析等效转动惯量
2,广义力的确定
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j
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多自由度机械系统的动力学分析
3,动力学方程
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q
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求解二阶非线性方程组,获得广义坐标 q1 与 q2,进而获得二自由度机械系统的真实运动规律 。
多自由度机械系统的动力学分析
§ 3 单自由度机械系统的动力学分析
1e
2
1
1
11
111 d
d
2
1 Fq
q
JqJ
一,基于拉格朗日方程的动力学方程
若 q1 为 位移,则 J11 称为 等效质量 ( me ),Fe1称为 等效力 ( Fe ) ；
若 q1 为 角位移,则 J11 称为 等效转动惯量 ( Je ),Fe1
称为 等效力矩 ( Me ) 。
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单自由度机械系统的动力学分析
“±,取决于 M k 与 的方向是否相同,相同为,＋,,
相反则为,－,
k?
1,等效动力学模型二、基于等效动力学模型的动力学方程单自由度机械系统的动力学分析
单自由度机械系统仅有一个广义坐标，无论其组成如何复杂，均可将其简化为一个 等效构件 。等效构件的角位移
(位移 )即为系统的广义坐标。
等效构件的等效质量 (等效转动惯量 )所具有的动能，应等于机械系统的总动能；等效构件上的等效力 (等效力矩 )
所产生的功率，应等于机械系统的所有外力与外力矩所产生的总功率。
单自由度机械系统的动力学分析定轴转动构件 直线移动构件求出位移 S 或角位移 的变化规律，即可获得系统中各构件的真实运动。
等效转动惯量等效质量等效力等效力矩
等效量不仅与 各运动构件的 质量,转动惯量 及作用于系统的 外力,外力矩 有关，而且 与各运动构件与等效构件的 速比 有关，但 与机械系统的真实运动无关 ；
等效力（等效力矩）只是一个假想的力（力矩），并非作用于系统的所有外力的合力（外力矩的合力矩）；等效质量（等效转动惯量）也只是一个假想的质量（或转动惯量），它并不是系统中各构件的质量（或转动惯量）
的总和。
单自由度机械系统的动力学分析
力矩形式 （ 微分形式 ）
t
vm
s
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d
d
d
d
2 e
e
2
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tJ
JMMM
d
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d
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2,动力学方程的形式单自由度机械系统的动力学分析等效驱动力 等效阻力等效驱动力矩 等效阻力矩与利用拉格朗日方程建立的动力学方程一致
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若 me 与 Je 为常数，则单自由度机械系统的动力学分析
能量形式 （ 积分形式 ）
若等效构件为定轴转动构件,且均已知 。)(
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3,动力学方程的求解单自由度机械系统的动力学分析采用能量形式的动力学方程
0 0 d)(d)(21)()(21 ered2002e MMJJ
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单自由度机械系统的动力学分析
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§ 4 机械的速度波动及其调节一,周期性速度波动及其调节
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1,周期性速度波动产生的原因
匀速稳定运转 － Je 为常数且 Me 为零。
变速稳定运转 － Je,Me 均为等效构件角位移的周期性函数。
机械的速度波动及其调节
02121d)]()([ 22ered aaaa JJMMa
a
机械的速度波动及其调节
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盈亏功
22
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2
1
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动能增量若 Je,Me均为等效构件角位移的周期性函数，则在其 变化的 公共周期 内,Med与 Mer作功相等，机械的动能增量为零 。
经过 Je与 Me变化的一个公共周期，等效构件的角速度将恢复到原来的数值。因此，在稳定运转阶段，等效构件的加速度将呈现 周期性的波动。
2,速度波动程度的衡量指标
)(21 m i nm a xm
机械的速度波动及其调节
T
T
0m d)(
1
m
mi nma x
速度波动系数
][设计时必须保证
3,周期性速度波动的调节方法机械的速度波动及其调节所谓 飞轮,就是一个具有较大转动惯量的盘状零件。
当系统出现盈功时，它以动能的形式将多余能量储存起来，从而使等效构件角速度上升的幅度减小；反之出现亏功时，飞轮又可释放出其储存的能量，使等效构件角速度下降的幅度减小。
飞轮在系统中的作用相当于一个容量较大的 储能器 。
1,非周期性速度波动产生的原因二,非周期性速度波动及其调节机械的速度波动及其调节若等效力矩呈非周期性变化，则机械的稳定运转状态将遭到破坏，此时出现的速度波动称为 非周期性速度波动 。
多是由于生产阻力或驱动力在运转过程中发生突变，使系统的输入、输出能量在较长时间内失衡造成的。
对于非周期性速度波动，安装飞轮不能达到调节目的，
因为 飞轮的作用只是“吸收”和“释放”能量,它既不能创造能量，也不能消耗能量。
2,非周期性速度波动的调节方法机械的速度波动及其调节
Med是 的函数且随增大而减小具有自动调节非周期性速度波动的能力－ 自调性 。
无自调性或自调性较差的机械系统机械的速度波动及其调节安装 调速器
§ 5 飞轮设计一,Med与 Mer均为等效构件角位移的函数
cb d)]()([ eredm i nm a xn MMWWW
最大盈亏功飞轮设计
e2
m
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][ J
WJ
设 Je 为常数，则,。
m inb m axc
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设 飞轮的等效转动惯量 为 JF,则
)( Fe2m
n
JJ
W
安装飞轮后，系统的速度波动系数为为使,必须
][
][2m
nF
WJ?
当 Wn 与 一定时，若增大 JF,将减小，可降低机械的速度波动程度。
若 取值很小，则 JF 将很大。有限的 JF,不可能使 。
故不应过分追求机械运转速度的均匀性，否则会导致飞轮过于笨重。
当 Wn 与 一定时,JF 与 的平方成反比。因此，为减小飞轮的转动惯量，最好将飞轮安装在机械的高速轴上。
m
][? 0
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)( Fe2m
n
JJ
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WJ?
飞轮设计飞轮设计
Wn 的求解
a)确定 与 出现的位置 ( 与 两曲线的交点处 )。
若,以 的函数表达式的形式给出，则可由直接积分求得各交点处的 。
若,均以线图或数值表格的形式给出，则可通过计算 与 之间所包含的各块面积来计算各交点处的盈亏功 。
minE?maxE?
W?
edM
erM
W?
edM
erM
a
MMW d)()( ered
erMedM
erMedM
b)找到,及其所在位置后，即可求得 。
nWmaxE? minE?
飞轮设计
Wn 的求解任取一点为起点，按一定的比例用矢量依次表示相应位置处 Med 与 Mer 之间所包含的各块面积。盈功为正，箭头向上；
亏功为负，箭头向下。一个周期始末位置的动能相等，能量指示图的首尾应在同一水平线上。显然，系统在 b 点动能最小，而在 c 点动能最大；图中折线最高、最低点的距离 Amax
所代表的盈亏功即为 Wn 。
能量指示图
Mer
飞轮设计二,Med 为 的函数,Mer 为 的函数
)(eded?MM?
此类机械的 往往较大，安装飞轮主要是为了解决机械的 高峰负荷问题。
][?
可按 或 T 内所消耗的平均功率 来选择电动机。
T? rmP
T
tPtPP 2r21r1
rm
飞轮设计
1ede r 1n )(?MMW
近似认为,则
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若忽略 Med 随等效构件角速度的变化，则
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2e r 21e r 1
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飞轮设计
)(21 2m i n2m a xFn JW
则系统的最大盈亏功为
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工作行程开始时，飞轮达到最大的角速度；结束时，飞轮达到最小的角速度。工作行程飞轮所释放的能量应等于系统的最大盈亏功，即
][2m
nF
WJ?
故飞轮的转动惯量为为使,必须
][
][2m
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§ 1 概述
§ 2 多自由度机械系统的动力学分析
§ 3 单自由度机械系统的动力学分析
§ 4 机械的速度波动及其调节
§ 5 飞轮设计
§ 1 概述一、作用在机械上的力
驱动力原动机输出并驱使原动件运动的力，其变化规律取决于原动机的机械特性。
生产阻力机械完成有用功需克服的工作负荷,其变化规律取决于机械的工艺特点 。
概述二,机械的运转过程特 征
启动阶段
稳定运转阶段
停车阶段
12cdfrd )( EEWWWWW
012cd EEWW
012cd EEWW
012cd EEWW
概述输入功阻抗功 损耗功 总耗功终止动能 起始动能
§ 2 多自由度机械系统的动力学分析
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iii
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),,2,1( Ni
一、拉格朗日方程机械系统的 动力学方程 －
外力与运动参数（位移、速度等）之间的函数关系式动能 势能 自由度广义坐标广义力广义速度多自由度机械系统的动力学分析
以 能量观点 来研究机械系统的真实运动规律；
解决具有 理想约束 的机械系统动力学问题的普遍方程；
求解步骤规范,统一 （ 确定 广义坐标,列出 动能,势能和 广义力 的表达式,代入上式即可 ） ；
方程中不含未知的约束反力,克服了牛顿第二运动定律的缺点 。
i
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F
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),,2,1( Ni
二、二自由度机械系统的动力学分析多自由度机械系统的动力学分析
11q 42q
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多自由度机械系统的动力学分析若不计运动构件的重量与弹性，则势能 U 不必计算。
1,系统动能的确定
n
j
jSSj jj JvmE
1
22 )(
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多自由度机械系统的动力学分析系统动能的求解步骤：
位移分析
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系统动能
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多自由度机械系统的动力学分析等效转动惯量
2,广义力的确定
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jxi qMq
yF
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)2,1(?i
22e11e δδδ qFqFW
22e11e qFqFP
多自由度机械系统的动力学分析
3,动力学方程
2e
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求解二阶非线性方程组,获得广义坐标 q1 与 q2,进而获得二自由度机械系统的真实运动规律 。
多自由度机械系统的动力学分析
§ 3 单自由度机械系统的动力学分析
1e
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一,基于拉格朗日方程的动力学方程
若 q1 为 位移,则 J11 称为 等效质量 ( me ),Fe1称为 等效力 ( Fe ) ；
若 q1 为 角位移,则 J11 称为 等效转动惯量 ( Je ),Fe1
称为 等效力矩 ( Me ) 。
n
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单自由度机械系统的动力学分析
“±,取决于 M k 与 的方向是否相同,相同为,＋,,
相反则为,－,
k?
1,等效动力学模型二、基于等效动力学模型的动力学方程单自由度机械系统的动力学分析
单自由度机械系统仅有一个广义坐标，无论其组成如何复杂，均可将其简化为一个 等效构件 。等效构件的角位移
(位移 )即为系统的广义坐标。
等效构件的等效质量 (等效转动惯量 )所具有的动能，应等于机械系统的总动能；等效构件上的等效力 (等效力矩 )
所产生的功率，应等于机械系统的所有外力与外力矩所产生的总功率。
单自由度机械系统的动力学分析定轴转动构件 直线移动构件求出位移 S 或角位移 的变化规律，即可获得系统中各构件的真实运动。
等效转动惯量等效质量等效力等效力矩
等效量不仅与 各运动构件的 质量,转动惯量 及作用于系统的 外力,外力矩 有关，而且 与各运动构件与等效构件的 速比 有关，但 与机械系统的真实运动无关 ；
等效力（等效力矩）只是一个假想的力（力矩），并非作用于系统的所有外力的合力（外力矩的合力矩）；等效质量（等效转动惯量）也只是一个假想的质量（或转动惯量），它并不是系统中各构件的质量（或转动惯量）
的总和。
单自由度机械系统的动力学分析
力矩形式 （ 微分形式 ）
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2
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tJ
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2,动力学方程的形式单自由度机械系统的动力学分析等效驱动力 等效阻力等效驱动力矩 等效阻力矩与利用拉格朗日方程建立的动力学方程一致
t
JMM
t
v
mFF
d
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2
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若 me 与 Je 为常数，则单自由度机械系统的动力学分析
能量形式 （ 积分形式 ）
若等效构件为定轴转动构件,且均已知 。)(
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3,动力学方程的求解单自由度机械系统的动力学分析采用能量形式的动力学方程
0 0 d)(d)(21)()(21 ered2002e MMJJ
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2
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单自由度机械系统的动力学分析
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§ 4 机械的速度波动及其调节一,周期性速度波动及其调节
tJ
JMMM
d
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2 e
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erede
1,周期性速度波动产生的原因
匀速稳定运转 － Je 为常数且 Me 为零。
变速稳定运转 － Je,Me 均为等效构件角位移的周期性函数。
机械的速度波动及其调节
02121d)]()([ 22ered aaaa JJMMa
a
机械的速度波动及其调节
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盈亏功
22
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1
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动能增量若 Je,Me均为等效构件角位移的周期性函数，则在其 变化的 公共周期 内,Med与 Mer作功相等，机械的动能增量为零 。
经过 Je与 Me变化的一个公共周期，等效构件的角速度将恢复到原来的数值。因此，在稳定运转阶段，等效构件的加速度将呈现 周期性的波动。
2,速度波动程度的衡量指标
)(21 m i nm a xm
机械的速度波动及其调节
T
T
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1
m
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速度波动系数
][设计时必须保证
3,周期性速度波动的调节方法机械的速度波动及其调节所谓 飞轮,就是一个具有较大转动惯量的盘状零件。
当系统出现盈功时，它以动能的形式将多余能量储存起来，从而使等效构件角速度上升的幅度减小；反之出现亏功时，飞轮又可释放出其储存的能量，使等效构件角速度下降的幅度减小。
飞轮在系统中的作用相当于一个容量较大的 储能器 。
1,非周期性速度波动产生的原因二,非周期性速度波动及其调节机械的速度波动及其调节若等效力矩呈非周期性变化，则机械的稳定运转状态将遭到破坏，此时出现的速度波动称为 非周期性速度波动 。
多是由于生产阻力或驱动力在运转过程中发生突变，使系统的输入、输出能量在较长时间内失衡造成的。
对于非周期性速度波动，安装飞轮不能达到调节目的，
因为 飞轮的作用只是“吸收”和“释放”能量,它既不能创造能量，也不能消耗能量。
2,非周期性速度波动的调节方法机械的速度波动及其调节
Med是 的函数且随增大而减小具有自动调节非周期性速度波动的能力－ 自调性 。
无自调性或自调性较差的机械系统机械的速度波动及其调节安装 调速器
§ 5 飞轮设计一,Med与 Mer均为等效构件角位移的函数
cb d)]()([ eredm i nm a xn MMWWW
最大盈亏功飞轮设计
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设 Je 为常数，则,。
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设 飞轮的等效转动惯量 为 JF,则
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安装飞轮后，系统的速度波动系数为为使,必须
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当 Wn 与 一定时，若增大 JF,将减小，可降低机械的速度波动程度。
若 取值很小，则 JF 将很大。有限的 JF,不可能使 。
故不应过分追求机械运转速度的均匀性，否则会导致飞轮过于笨重。
当 Wn 与 一定时,JF 与 的平方成反比。因此，为减小飞轮的转动惯量，最好将飞轮安装在机械的高速轴上。
m
][? 0
][? m?
)( Fe2m
n
JJ
W
][2m nF
WJ?
飞轮设计飞轮设计
Wn 的求解
a)确定 与 出现的位置 ( 与 两曲线的交点处 )。
若,以 的函数表达式的形式给出，则可由直接积分求得各交点处的 。
若,均以线图或数值表格的形式给出，则可通过计算 与 之间所包含的各块面积来计算各交点处的盈亏功 。
minE?maxE?
W?
edM
erM
W?
edM
erM
a
MMW d)()( ered
erMedM
erMedM
b)找到,及其所在位置后，即可求得 。
nWmaxE? minE?
飞轮设计
Wn 的求解任取一点为起点，按一定的比例用矢量依次表示相应位置处 Med 与 Mer 之间所包含的各块面积。盈功为正，箭头向上；
亏功为负，箭头向下。一个周期始末位置的动能相等，能量指示图的首尾应在同一水平线上。显然，系统在 b 点动能最小，而在 c 点动能最大；图中折线最高、最低点的距离 Amax
所代表的盈亏功即为 Wn 。
能量指示图
Mer
飞轮设计二,Med 为 的函数,Mer 为 的函数
)(eded?MM?
此类机械的 往往较大，安装飞轮主要是为了解决机械的 高峰负荷问题。
][?
可按 或 T 内所消耗的平均功率 来选择电动机。
T? rmP
T
tPtPP 2r21r1
rm
飞轮设计
1ede r 1n )(?MMW
近似认为,则
rmd PP?
若忽略 Med 随等效构件角速度的变化，则
T
MMM
2e r 21e r 1
ed
飞轮设计
)(21 2m i n2m a xFn JW
则系统的最大盈亏功为
1ede r 1n )(?MMW
工作行程开始时，飞轮达到最大的角速度；结束时，飞轮达到最小的角速度。工作行程飞轮所释放的能量应等于系统的最大盈亏功，即
][2m
nF
WJ?
故飞轮的转动惯量为为使,必须
][
][2m
nF
WJ?
