连杆机构 由低副（转动副、移动副、球面副、圆柱副、及螺旋副等）联结而成的机构。或称低副机构。
曲柄摇杆机构椭圆规机构 3
曲柄滑块机构（对心）
机械手 冲床牛头刨床 插齿机构牛头刨床平面连杆机构的主要优点：
（ 2）低副不易磨损而又易于加工以及能由本身几何形状保持接触等。
根据 其构件间的 相对运动分 为平面或空间连杆机构。
根据构件数目分 为四杆机构、五杆机构 … 。
广泛应用的是平面四杆机构，而且它是构成和研究平面多杆机构的基础。
平面连杆机构的主要缺点：
（ 1）连杆机构作变速运动的构件惯性力及惯性力矩难以完成平衡；
（ 2）连杆机构较难准确地实现预期的运动规律，设计方法也较复杂。
本章主要讨论平面四杆机构 。
（ 1）能够实现多种运动轨迹曲线和运动规律，
§ 8-1连杆机构及其传动特点一,平面四杆机构的基本形式 ——铰链四杆机构连架杆机架连架杆连杆能绕其轴线转 360o的 连架杆 。
仅能绕其轴线作往复摆动的 连架杆。
曲柄摇杆连架杆曲柄摇杆机构
§ 8-2平面四杆机构类型和应用按照两连架杆的运动形式的不同，
可将 铰链四杆机构分为：
曲柄摇杆机构双曲柄机构双摇杆机构曲柄摇杆机构双摇杆机构双曲柄机构二、平面四杆机构的演化
C
A
B
D1
2
3
4
C
3
A
B
1
2
4
A
B
1 2 3
4
C
对心曲柄滑块机构偏置曲柄滑块机构
A
B
1
2 3
4
C
还可以转化为 双滑块机构
1
2
3
4A
B
曲柄移动导杆机构
A
B
D1
2 3
4
C
1.转动副转化成移动副的演化对心曲柄滑块机构 偏置曲柄滑块机构曲柄滑块机构
（对心）
曲柄当滑块机构
（偏心）
2.取不同构件为机架
(0~360° )
(0~360° )
(<360° )
(<360° )1
2
3
4A
B
C
D
曲柄摇杆机构双曲柄机构
(0~360° )
(0~360° )
(<360° )
(<360° )1
2
3
4A
B
D
C
双 摇杆机构
(0~360° )
(0~360° )
(<360° )
1
2
3
4A
B
C
D
(<360° )
取不同构件为机架各构件间的相对运动关系不变整周转动副曲柄摇杆机构
B
A
1 2
34 C
(a)曲柄滑块机构 (b)曲柄转动 导杆 机构
B
A
1
2 3
4 C
(c)曲柄摇块机构
A
1
2
34 C
B
(c’)曲柄摆动 导杆 机构
3
A 1
2
4 C
B
(d)定块机构
A
2 3
4 C
B
1
导杆,
组成移动副的两活动构件，
画成杆状的构件称为 导杆，
画成块状的构件称为 导块 。
回转导杆机构摆动导杆机构
1.铰链四杆机构有曲柄的条件一,平面四杆机构的曲柄存在条件
C2
A 1 a
4
b 3c
d
B
D
要使 AB成为曲柄,
当 d>a时，式 （ 2） 变为cbad
(b>c)
bcad
(c >b) (2b)
dcba
dbca
（ 2a ）
应使 AB能转到与机架共线的两位置 。 其条件,
cbad
cbda (1)
(2)
由 (1)及 （ 2a ）,(2b)可得
ba? ca? da?
§ 8-3平面四杆机构的基本知识
cc
b
da
b
a
bacd
（ 2a' ）
cabd
(2b')
同理当 a > d时，同样有由 (1)及（ 2a' ） (2b')可得
cbda (1)
(b>c)a-d?b-c (2b)
(c >b)a-d?c-b （ 2a ）
ad? cd?bd?
,,
在铰链四杆机构中：
铰链 四杆机构的类型与尺寸之间的关系：
2 以最短杆为机架，则此机构为 双曲柄机构 ；
以最短杆的相邻构件为机架，则此机构为以最短杆为曲柄的 曲柄摇杆机构 ；
且,1
3 以最短杆的对边构件为机架，则此机构为 双摇杆机构 。
（ 1）如果最短杆与最长杆的长度之和小于或等于其它两杆长度之和 ——满足杆长和条件
（ 2）如果最短杆与最长杆的长度之和大于其它两杆长度之和
（不满足杆长和条件），则不论选哪个构件为机架，
都为 双摇杆机构 。
2.滑块机构有曲柄的条件
A
B
1 2 3
4
Ca b
D
成为曲柄滑块机构的条件为：
bea （其中 e偏心距离）
3.导杆机构有曲柄的条件
曲柄滑块机构当时 aed,（ 0° ~360° ）转动。均可
B
1 2
34C
ad
A 图 1
A a
B2
2
E F
当
aed
时，此机构为曲柄转动导杆机构。
d>a，且当
ead
时，为 曲柄摆动导杆机构。
4
A
d
1
2 a
C
B3
e
图 2
d?a
e
3d
1
C 4
B3
d?a
a B2
2
B3
A
1
d
1,曲柄摇杆机构中，原动件 AB以 等速转动
1?
B2
C2
B1
C1
(1)输出件 CD的两极限位置当 AB与 BC两次共线时，输出件 CD处于两极限位置。
曲柄转角 180
1
对应的时间
111 /t
摇杆点 C的平均速度极位夹角,
当摇杆处于两极限位置时，对应的曲柄位置线所夹的锐角。
1?
A
2
1?1
C
3
4
B
D
a
b c
d
2?
1 8 02
122 /t
摆角极位夹角
v1
v2
1211 / tCCv? 2122 / tCCv?
曲柄摇杆机构二,平面机构输出件的急回特性
（ 2）输出件的行程速度变化系数 K：
空回行程平均速度 v2与工作行程平均速度 v1之比。
1
11 8 0
K
K
180
180
2
1
2
1
1
2
t
t
v
vK
平面四杆机构具有急回特性的条件：
（ 1）原动件作等速整周转动；
（ 2）输出件作往复运动；
（ 3）
0
等速转动2.曲柄滑块机构中，原动件 AB以
1?
C1
B1
B2
H
C2
偏置曲柄滑块机构
2
A
B
1 3
4
Ca b
1?
2222 )()( eabebaH
0
,有急回特性。
2?
1?
B2B1
有急回特性。
B1B
2
H
H=2a,
0,无急回特性。
3
1
4A
对心曲柄滑块机构
B
2 Ca b1? C
1C2
1?A
B
（一）压力角与传动角在不计摩擦力、重力、惯性力的条件下，机构中驱使 输出件 运动的 力的方向线 与 输出件 上 受力点的速度方向线 所夹的锐角。
压力角：
传动角,压力角的余角。
A
C
B
D
vB
F
vc
F
F1
F2
1
A
B
C
D
1?
2
3
4
F
vc
a
A
B
1
3 4
Cb
1?
2
c o s1 FF?
s i n2 FF?
越小，受力越好 。
越大，受力越好 。
m i n
三,平面四杆机构的传动角与死点
vc
A
B
C
1
2
1?
F?
F
0
vB3B1
2
3
1?
A
C
0
F
3?
B1
3
2
C
2
a
A
B
1
3 4
Cb v
c
画出压力角
v
（二）平面四杆机构的最小传动角位置
1,铰链四杆机构中，原动件为 AB。
当? 为锐角时，传动角
4
vc
A
B
C
D
1?
F
1
2
3
当? 为钝角时，传动角
180
以 AB为原动件的曲柄摇杆机构,
m i nm axm i nm i n )180(,
f
ma xmi n,
当曲柄和机架处于两共线位置时，连杆和输出件的夹角最小和最大（ ）。
F
1vc
D
F
1?
C
A
B
F2
1
2
3
4
a
b
c
d B2 D
A
max?
C2
B1
min?
C1
2.AB为主动的曲柄滑块机构
F
vc
D?
B1
C1?
b
ea a r c s i n
m a x?
max?
3
4
2
a
A
B
1 Cb
1?
图 1
1.输出件有急回特性；
只有使偏置方位、曲柄转向、输出件工作行程方向正确匹配，方能保证
2.机构的最大压力角处于,输出件的回程位置。
C1
B1
B2
C22
A
B
1 3
4
Ca b
1?
图 2
工作行程回程
3.AB为主动的导杆机构
vB3
F
0
图 1
B1
2
3
1?
A
C 图 2
B
4
A
d
1
2 a
C
3
e
vB3
F?
m a x
（三）机构的死点位置画出压力角
1
C
2
3
4A
B
D
a
b c
d
vB
FB
死点,当机构处于传动角 0
（或压力角?90 ） 的机构位置
B2
C2
vB
踏板缝纫机主运动机构脚
A
B1
C1
D
FB?
2
a
A
B
1
3 4
Cb v
c
请思考：
下列机构的死点位置在哪里；怎样使机构通过死点位置。
B1
2
3
A
C
死点的利用：
A
B1
C1
D
B2
C2
地面飞机起落架机构遇到的运动不连续问题有：
1.错序不连续
1
C
2 3
4A
B
D
1?
1C?
2C?
C1 C2
C?
2?
1
C2
2 3
4A
B3
D
C1 C
3
B1
B2
2.错位不连续四,运动的不连续性一,连杆机构的基本功能
1,刚体导引功能刚体导引 是机构能引导刚体（如连杆）通过一 系列给 定位置。
翻转机
§ 8-4平面四杆机构的设计
....
A
B
C
C1
DA B1
E1
H
B2
C2
E2
2.函数生成功能函数生成功能 是指能精确地或近似地实现所要求的输出构件 相对 输入构件 的函数关系。
3.轨迹生成功能连杆轨迹 生成功能 是指连杆上某点通过某一 预先给定轨迹的功能。
4.综合功能
O2
O3
O4
O1
D1
下连杆上连杆上剪刀
D2 下剪刀
1,平面四杆机构设计的主要任务：
在型综合的基础上，根据机构所要完成的功能运动而提出的设计条件（运动条件、几何条件和传力条件等），
确定机构的运动尺寸（一般又 称为尺度综合 ），画出机构运动简图 。
2,设计中应满足的附加条件：
（ 1）要求某连架杆为曲柄；
（ 2）要求机构的运动具有连续性；
（ 3）要求最小传动角在许用传动角范围内，即
m in
（ 4）特殊的运动要求，如要求机构输出件有急回特性；
（ 5）足够的运动空间等。
二,连杆机构设计的的基本问题
3,平面四杆机构运动设计的问题概括成下述两个基问题
（ 2）实现已知轨迹问题
（ 1）实现已知运动规律问题；
4,设计方法
（ 1）实验法；
（ 2）几何法（作图法）；
（ 3）解析法
§ 2-5 平面四杆机构的解析法设计一,刚体位移矩阵用构件上某点的坐标及通过该点的某一直线与固定坐标系的 x轴之夹角来确定。例如位置 1的位置参数：X
p1,yp1、
1?位置 i的位置参数：
Xpi,ypi、
i?2,刚体位移矩阵
1,构件在平面上的位置表示
P1'y1'
x1'
Q1p
1
1?
pi i?
Si
y
x
S1
O x1
y1
O1
Q1'
构件 S上任一点的运动看成是,随动坐标系绕固定坐标系原点 O的转动；及随动坐标系平动的合成运动。
iQiQQ yxx 111 s i nc o s 11
iQiQQ yxy 111 c o ss i n 11
OiiQiQQi xyxx 11 s i nc o s 11
OiiQiQQi yyxy 11 c o ss i n 11
其中：
11 ii
式中 xOi,yOi为动参考系坐标原点在固定坐标系中的位移，
可用已知点 p1,pi的坐标表示。
ipippiOi yxxx 1111 s i nc o s
ipippiOi yxyy 1111 c o ss i n
1100
c o ss i nc o ss i n
s i nc o ss i nc o s
1
1
1
111111
111111
Q
Q
ipippiii
ipippiii
Qi
Qi
y
x
yxy
yxx
y
x
(i=2,3…n)
)s i nc o s(s i nc o s 11111111 ipippiiQiQQi yxxyxx
)c o ss i n(c o ss i n 11111111 ipippiiQiQQi yxyyxy
1 = 0 + 0 + 1
Oi
Qi xiy
i
§ 2-5 平面四杆机构的解析法设计一,刚体位移矩阵
1100
c o ss i nc o ss i n
s i nc o ss i nc o s
1
1
1
111111
111111
Q
Q
ipippiii
ipippiii
Qi
Qi
y
x
yxy
yxx
y
x
则
11
1
1
1 Q
Q
iQi
Qi
y
x
Dy
x 式中用已知位置坐标表示的矩阵称为 刚体位移矩阵 iD1
运动后的坐标构件上某点运动前的坐标令：
100
c o ss i nc o ss i n
s i nc o ss i nc o s
111111
111111
1 ipippiii
ipippiii
i yxy
yxx
D
(i=2…n)
§ 2-5 平面四杆机构的解析法设计一,刚体位移矩阵
100
c o ss i nc o ss i n
s i nc o ss i nc o s
111111
111111
1 ipippiii
ipippiii
i yxy
yxx
D
（ 1）构件 S绕坐标原点 O转动的位移矩阵
100
0c o ss i n
0s i nc o s
11
11
1 ii
ii
iD
10
01 iR
R1i称为平面旋转矩阵。
（ 2）绕 x轴上某点转动的构件 S的 位移矩阵x
pi=xp1=lAD,ypi=yp1=0
100
s i nc o ss i n
)c o s1(s i nc o s
111
111
1 iADii
iADii
i l
l
D
(i=2,3…n)
y
O xl
AD
A D1
i?1i
O
y
x
1
i?1i
§ 2-5 平面四杆机构的解析法设计一,刚体位移矩阵
100
c o ss i nc o ss i n
s i nc o ss i nc o s
111111
111111
1 ipippiii
ipippiii
i yxy
yxx
D
（ 1）构件 S绕坐标原点 O转动的位移矩阵
（ 2）绕 x轴上某点转动的构件 S的 位移矩阵
(3)作平动构件的位移矩阵
1
i
x
y
p1
pi0 1? i?
100
10
01
1
1
1 ppi
ppi
i
yy
xx
D
(i=2,3…n)
§ 2-5 平面四杆机构的解析法设计一,刚体位移矩阵
x
此类机构的设计问题归纳为：给定连杆若干位置参数
xPi,yPi,?i（ i = 1,2,...,n）要求设计此平面连杆机构。 y
P1?1
O
11
1
1
1 Q
Q
iQi
Qi
y
x
Dy
x
及
100
c o ss i nc o ss i n
s i nc o ss i nc o s
111111
111111
1 ipippiii
ipippiii
i yxy
yxx
D
(i=2,3…n)
求解的关键在于设计相应的连架杆，讨论其设计方程，即位移约束方程。
A
B1
DC1
§ 2-5 平面四杆机构的解析法设计一,刚体位移矩阵
B1
二,刚体导引机构的运动设计
x
y
P1?1
O
C1
设计步骤：
2,写出连杆上活动铰链点
（ B,C）运动前、后的坐标关系；
100
c o ss i nc o ss i n
s i nc o ss i nc o s
111111
111111
1 ipippiii
ipippiii
i yxy
yxx
D
1,写出刚体（连杆） 位移矩阵；
(i=2,3…n)
11
1
1
1 C
C
iCi
Ci
y
x
Dy
x
设未知量 xB1,yB1,xC1,yC1
11
1
1
1 B
B
iBi
Bi
y
x
Dy
x
及
(i=2,3,…n)
D
A
3.列出连架杆（导引杆）的位移约束方程
(xBi-xA)2+(yBi-yA)2=(xB1-xA)2+(yB1-yA)2
(i=2,3,…n) （ 1）(x
Ci-xA)2+(yCi-yA)2
=(xC1-xA)2+(yC1-yA)2
(i=2,3,…n) (2)
(2） 作移动的 连架杆（导引杆）的位移约束方程即 C点 的定斜率约束方程
tgxx yyxx yy
CC
CC
CCj
CCj?
12
12
1
1
(j=3,4…n) (3)
(1） 作定轴转动的 连架杆（导引杆）的位移约束方程设计步骤：
3.列出连架杆（导引杆）的位移约束方程；
2,写出连杆上活动铰链点（ B,C）运动前、后的坐标关系；
1,写出刚体（连杆） 位移矩阵；
§ 2-5 平面四杆机构的解析法设计一,刚体位移矩阵 二,刚体导引机构的运动设计
(xBi-xA)2+(yBi-yA)2=(xB1-xA)2+(yB1-yA)2 (i=2,3,…n) （ 1）
(xCi-xA)2+(yCi-yA)2=(xC1-xA)2+(yC1-yA)2 (i=2,3,…n) (2)
tgxx yyxx yy
CC
CC
CCj
CCj?
12
12
1
1 (j=3,4…n) (3)
4.解方程；
式（ 1）（ 2）均为 n-1个方程的方程组，各有四个未知数
xB1,yB1,xA,yA及 xC1,yC1,xD,yD 。可实现 n=5个位置的设计；式（ 3）为 n-2个方程的方程组，可实现 n=4
个位置的设计。
5,求杆长。
2121 )()( ABABAB yyxxl
2121 )()( DCDCCD yyxxl
211211 )()( BCBCBC yyxxl
解 1、根据已知条件,求刚体位移矩阵 D12,D13:
100
c o ss i nc o ss i n
s i nc o ss i nc o s
12112121212
12112121212
12
ppp
ppp
yxy
yxx
D
100
5.010
101
12D
100
0 8 6.07 0 7.07 0 7.0
37 0 7.07 0 7.0
13D
同理例 1 设计一饺链四杆机构，要求能导引杆平面通过以下三个位置：
P1(1.0,1.0),?1=0o； P2(2.0,0.5)、
2= 0o; P3(3.0,1.5),?3=45° 。
1
2
1 2 3
S1 P3
S2P1 P
2
3
y
x
S3
O
(2)求 (xB2,yB2)和 (xB3,yB3)与 (xB1,yB1),(xC2,yC2)和
(xC3,yC3)与 (xC1,yC1)的关系
1
5.0
1
1100
5.010
101
11
1
1
1
1
1
1
122
2
B
B
B
B
B
B
B
B
y
x
y
x
y
x
Dy
x
1
0 8 6.07 0 7.07 0 7.0
37 0 7.07 0 7.0
11
11
11
1
1
133
3
BB
BB
B
B
B
B
yx
yx
y
x
Dy
x
1
086.0707.0707.0
3707.0707.0
1
11
11
3
3
CC
CC
C
C
yx
yx
y
x
1
5.0
1
1
1
1
2
2
C
C
C
C
y
x
y
x
，
（ 3）将 (xB2,yB2)及 (xB3,yB3)与 (xB1,yB1),(xC2,yC2)
及 (xC3,yC3)与 (xC1,yC1)的关系代入约束方程；
(xBi-xA)2+(yBi-yA)2=(xB1-xA)2+(yB1-yA)2 (i=2,3) （ 1）
(xCi-xA)2+(yCi-yA)2=(xC1-xA)2+(yC1-yA)2 (i=2,3) (2)
式（ 1）（ 2）各为 2个方程的方程组，各有四个未知数
xB1,yB1,xA,yA及 xC1,yC1,xD,yD 。可有无穷多个解，
每个方程组可选定两个参量。
选定 A（ 0.0,0.0),D(5.0,0.0)，代入两组方程组并整理得：
625.05.0 11 BB yx
50.406.218.2 11 BB yx
（ a） (b)375.45.0 11 CC yx
496.10475.165.3 11 BC yx（ 4）解方程组； 解 (a),(b)两组方程组得 B
1,C1的坐标为：B
1(0.994,3.238),C1(3.548,–1.655)
（ 5）求出杆长。
387.3)()( 2121 ABABAB yyxxl
2 0 2.2)()( 2121 DCDCCD yyxxl
519.5)()( 211211 BCBCBC yyxxl
x
S1 P3
S2P1 P
2
3S3
B1
-1
C1
y
O 1 2 3 4 5
1
2
3
DA
B2
B3
C3
C2
请思考如果把导引构件 AB换成滑块将如何设计？
三,轨迹生成机构的运动设计 P
i
P1
x
y
O
根据给定轨迹上若干个点 Pi
（ i=1,2,…,n) 的位置坐标 xPi,yPi,
要求设计四杆机构。
D
Ci
A
C1B1
Bi
此问题的本质仍是按连杆位置设计，但表示连杆位置的参数的
（ xPi,ypi,?i )中?i为未知量 。
1、根据定长条件，建立一组约束方程：
2
D1C
2
D1C
2
DACi
2
DCi
2
A1B
2
A1B
2
ABi
2
ABi
)yy()xx()yy()xx(
)yy()xx()yy()xx( （ i=2,3,...,n)
而
1
y
x
D
1
y
x
1
y
x
D
1
y
x
1C
1C
i1Ci
Ci
1B
1B
i1Bi
Bi
,
2、讨论解的个数共有 2（ n-1）条方程式，有 8+（ n-1）个未知数,平面铰链四杆机构最多可实现轨迹上 9个给定点。
三,轨迹生成机构的运动设计
（二）曲柄滑块轨迹生成机构
1、建立约束方程
)n,...,3,2i(xx yytg
1CCi
1CCi?
2A1B2A1B2ABi2ABi )yy()xx()yy()xx( （ i=2,3,...,n)
T
1C1Ci1
T
CiCi
T
1B1Bi1
T
BiBi
1yxD1yx
1yxD1yx （ i=2,3,...,n)
当 n=8时，可求得唯一一组解，即最多可实现轨迹上 8个给定点。
x
A
Bi
Ci
Pi
y P1
[解 ]（ 1）取坐标轴 xoy如图，并求出连架杆 AB 的位移矩阵；
100
0c o ss i n
0s i nc o s
1212
1212
12
D
100
0866.05.0
05.0866.0
301212
100
05.08 6 6.0
08 6 6.05.0
100
0c o ss i n
0s i nc o s
1313
1313
13
D
601313
[例 2] 试设计一摇杆滑块机构，若已知摇杆和滑块的对应位置关系为,?1=60°,S1=40mm；?2=90°,S2= 30mm； S3=
20mm,?3=120° 。试求各构件长度及滑块的偏心距 e。
B1B2B3 C1C2C3
y
A
e2?
3?
xO 1? S3
S2
S1
(2)求 (xB2,yB2)和 (xB3,yB3)
与 (xB1,yB1)的关系
1
866.05.0
5.0866.0
11
11
11
1
1
122
2
BB
BB
B
B
B
B
yx
yx
y
x
Dy
x
1
5.08 6 6.0
8 6 6.05.0
11
11
11
1
1
133
3
BB
BB
B
B
B
B
Yx
yx
y
x
Dy
x 并有
1111 3 BBB xtgxy
C3（ 20,e）
C点坐标：
C1（ 40,e）
C2（ 30,e）
（ 3）写出 连杆 杆长不变 约束方程；
（ i=2,3） 211211
22
)()(
)()(
BCBC
BiCiBiCi
yyxx
yyxx
将 （ 2） 步得到的关系代入约束方程，整理得：
10
07 0 05 3 6.080
1
11
B
BB
x
exx
（ 4）解方程组，求出 B1（ 10,17.3),C1(40,18.65)；
（ 5）求得运动学尺寸：
mmemmlmml BCAB 65.18,03.30,20
1.按连杆预定的位置设计四杆机构
A
D
此问题的本质是：已知活动铰链，求固定铰链
（求活动铰链轨迹圆的圆心）。
B1
B2
B3
C1
C2
C3
三,用作图法设计四杆机构
2.按两连架杆预定的对应位置的设计四杆机构即已知固定饺链中心 A,D及 活动饺链中心 一个,求另一活动饺链中心。
1 1
2 2
A DO
i1?
i1?3
3
随便取定两个活动饺链中心行吗？ B
1
A D
C1
Di
Bi
Ai
Ci
Ai
i1?
2
1 1
2
A DO
i1?
i1?3
3
B1
B2B3
a.求解两连架杆对应位置设计问题的“刚化反转法”
如果把机构的第 i个位置 AiBiCiDi
看成一刚体 (即刚化 )，并绕点 D
转过 (-?1i)角度 (即反转 )，
使输出连架杆 CiD与 C1D
重合，称之为“刚化反转法”。 相对机架
1i
b.给定两连架杆上三对对应位置的设计
C1
B3'
13?
_
B2'
B1
A D
C1C2C3
12?
13?
12?
13?
请求出 B1
讨论：
1,哪个构件应成为相对运动机架？
2,反转角为哪个？
12?
_ E3 E2
12?
13?
12?
13? B
1
A D
B2B3 E
1
3.按给定行程速度变化系数设计四杆机构已知：输出件的极限位置，行程速比系数 K,求运动学尺寸。
a,铰链四杆机构
A
D
C1C2
1
)1(180
k
k
AB=(AC1-AC2)/2
BC=AC1-AB
AC2=BC-AB
B
BCl
ABl
lBC
lAB
O
90
AC1=AB+BC
b、曲柄滑块机构
2
a
A
B
1
3 4
Cb v
c H
O
90已知,H,K,e求运动学尺寸。
A
c1c2
AB=(AC1-AC2)/2
BC=AC1-AB
BCl
ABl
lBC
lAB
§ 2-7 平面四杆机构运动设计的近似法一,函数逼近问题和函数逼近法
函数逼近问题 ——
把给定函数 y=F(x)近似地代之以一个相当接近的函数
y=P(x),y=P(x)被称为 函数逼近。 它含有 n个定长参数
r1,r2,…r n。
y=P(x)是 含有九个 定长 参数的连杆曲线方程，可写为 y=P(x; r1,r2,…r 9。
x
y
O x0 x
m
F(x)P(x)
y=F(x)是给定的轨迹方程，
偏差近似表达式为加权偏差
ΔΔ qq
常采用的函数逼近法有,
均方逼近法最佳一致逼近法函数插值法
§ 2-7 平面四杆机构运动设计的近似法一,函数逼近问题和函数逼近法二、均方逼近法
（一）基本原理设给定函数为 F(x)，机构所能实现的函数为 P(x)（即逼近函数），则均方逼近法的 求解准则 是：
)xx(}dx)]x(F)x(P[{ 0mxx 2qB m
0
Δ
使给定函数 F(x)与 P(x)的均方根偏差达到极小。
显然，若
dx)x(F)x(PI 2xx m
0?
在 [x0,xm]内达到极小值，
均方根偏差达到极小值。
上式的积分形式也可用和式代替：
m
0i
2
ii )x(F)x(PS设逼近函数 P(x)具有下列形式：
式中,P0,P1,…,Pn 为 (n+1)个含有待求参数（如机构运动学参数）的常系数； f0(x),f1(x),…,fn (x)为不含待求参数而含自变量 x的线性无关的连续函数。
)x(fP.,,)x(fP)x(fP)x(P nn1100
m
0i
2
ii )x(F)x(PS
若对 求
kp
s
并令
)n,,1,0k(0p s
k
，经整理后可得
C00P0+C01P1+? +C0nPn=?0
C10P0+C11P1+? +C1nPn=?1
……
Cn0P0+Cn1P1+? +CnnPn=?n
系数 Ckl和?k应按下式计算：
m
i
iliklkkl dxxfxfCC
0
)()(
m
0i
ikik dx)x(f)x(F
(k=0,1,…,n; l=0,1,…,n)
(k=0,1,…,n)
式中,P0,P1,…,Pn 为 (n+1)个含有待求参数（如机构运动学参数）的常系数； f0(x),f1(x),…,fn (x)为不含待求参数而含自变量 x的线性无关的连续函数。
（二）应用实例 (用均方根求解已知连架杆对应位置问题）
1、设计方程在两坐标轴上投影关系式 被 整理后可得
)s i n ()s i n (ns i nm
)c o s ()c o s (npc o sm
00
00
x
a
A
D
y
B
C
b
c
d
0
0
O
cdba矢量方程式,
设以构件 AB的长度为基准，即令
mab,1aa
pad,nac
acos(?0+?)+bcos?=d+ccos(?0+?)
asin(?0+?)+bsin?=+csin(?0+?)
2001000 p)]()c o s [ (p)c o s (p)c o s (
式中,
p2
m1npp,
p
np,np 222
210
p2
m1np)]()c o s [ (
p
n)c o s (n)c o s ( 222
0000
上式包含 p0,p1,p2,?0,?0
五个待求 参数，因而可精确求解五个对应位置问题。
2、偏差表达式设?i,?gi（ i=1,2,…,m) 分别表示两连架杆给定的 m对角位移；
i,?i（ i=1,2,…,m) 分别为两连架杆所能实现的 m对角位移。
则可写出含有 3个设计参数的机构第 i个位置的位移方程式为：
i2ii1i0 co sp)co s (pco sp
(i=1,2,…,m)
则当 m>3时，所得到的 m个式子通常不能成立，故移项后得偏差 ei为,0c o sp)c o s (pc o spe
i2igi1gi0i (i=1,2,…,m)
若?0=?0=0，则只有 p0,p1,p2
210 p)co s (pco spco s
3个待定参数，于是所得的设计方程为：
（二）应用实例 (用均方根求解已知连架杆对应位置问题）
1、设计方程
2、偏差表达式
210 p)co s (pco spco s
0c o sp)c o s (pc o spe i2igi1gi0i (i=1,2,…,m)
3、均方根法三参数综合求解将上式表示的 m个偏差 ei(i=1,2,…,m) 平方后加起来得到
2
i2igi1
m
1i
gi0
m
1i
2
i ]c o sp)c o s (pc o sp[eS
令
ii c o s)x(F
(i=1,2,…,m)
gii0 ψc o s)x(f?
,)c o s ()x(f
igii1 1)x(f i2?
,
求
kp
s
,并令
)2,1,0k(0p s
k
，经整理后可得
C00P0+C01P1+C02P2=?0
C10P0+C11P1+C12P2=?1
C20P0+C21P1+C22P2=?2
m
0i
iliklkkl )x(f)x(fCC
(k=0,1,2) (l=0,1,2)
其中
m
0i
ikik )x(f)x(F
(k=0,1,2)
解出 p0,p1,p2。而
,np 0?,
p
np
1
p2
m1npp 222
2
又
pad,nac,mab
§ 2-9 平面连杆机构的运动分析一,机构运动分析的目的和方法运动分析 ——根据原动件的已知运动规律来确定其它构件上某些点的规迹、位移、速度和加速度（或某些 构件的位置、角位移、角速度、角加速度）等基本参数。
运动分析的目的 ——
（ 2）机构的运动性能分析（如，工作行程是否达到匀速等）；
（ 1）确定机构的运动空间和构件上某点的轨迹；
（ 3）求机构的惯性力时必须先进行运动分析。
运动分析的方法几何法解析法实验法矢量多边形法求位移、速度和加速度；
速度瞬心法求机构的速度。
封闭矢量多边形法复数法位移矩阵法
§ 2-9 平面连杆机构的运动分析一,机构运动分析的目的和方法二,平面连杆机构的运动分析的解析法介绍复数矢量法
（一）铰链四杆机构
1,位移分析已知：各杆长 l1,l2,l3,l4及?1
3421 llll
l1
l2
l3
l4写成复数形式：
321 3421 iii ellelel
3
2
B
x
y
11
1
A
C
D3
4
2
0c o sc o sc o s 4332211 llll
0s i ns i ns i n 332211 lll
将上式分别按实部相等和虚部相等写出：
其中,114 c o s?llA
11 s i n?lB
，,
)2/()( 3222322 lllBAC
消去?2后得：
0s i nco s 33 CBA
……(1)
将
)2/(1
)2/(2s in
3
2
3
3?
tg
tg
)2/(1
)2/(1c o s
3
2
3
3?
tg
tg
代入式（ 1），解之可得
)(2
222
3 CA
CBABa r c t g
……(2)
式（ 2）中根号前的符号根据机构的装配模式来定：
图中 实线 所示的装配模式应取,+”，
图中 虚线 所示的装配模式应取,,。 33 332 c o s
s in
lA
lBa r c tg
同理可得
……(3)
2.速度分析二,平面连杆机构的运动分析的解析法
（一）铰链四杆机构
1.位移分析 )(2 222
3 CA
CBABa r c t g
……(2)
33
33
2 c o s
s in
lA
lBa r c tg
……(3)
321 3421 iii ellelel
将式（ ）对时间求导，得到
321 332211 iii ielieliel
……(4)
将式 (4)中的每项乘
2?ie?
，并取实部解得：
)s i n (
)s i n (
233
211
133
l
l? ……(5)
)s in (
)s in (
232
311
122
l
l?
同样方法求得,……(6)
二,平面连杆机构的运动分析的解析法
（一）铰链四杆机构
321 332211 iii ielieliel
……(4)2.速度分析
1.位移分析
321 3421 iii ellelel
……(0)
3.加速度分析将式 (4)对时间求导，且 （常量），可得：C?
1?
33221 2333322222211 iiiii eleileleilel ……(7)
将式 (7)中的每项乘
2?ie?
，并取实部解得：
……(8)
)s i n (
)c o s ()c o s (
233
23
2
3321
2
11
2
22
33
l
lll
同样方法求得：
……(9)
)s i n (
)c o s ()c o s (
322
32
2
2231
2
11
2
33
22
l
lll
1.位移分析二,平面连杆机构的运动分析的解析法
（一）铰链四杆机构
§ 2-9 平面连杆机构的运动分析一,机构运动分析的目的和方法
（二）导杆机构
3
2B
x
y 1
1
1
A
C3
4
4l
Sll 41写成复数形式：
……(0)
3114 ii Seelil
根据等式两边实部和虚部分别相等可得：
311 co sco s Sl?
3114 s i ns i n Sll
解得：
11
411
3 c o s
s in
l
lltg,
3
1
1 c o s
c o s
lS? ……(1)
2.速度分析二,平面连杆机构的运动分析的解析法
（一）铰链四杆机构 （二）导杆机构
1.位移分析
……(0)
3114 ii Seelil
将式（ 0）对时间求导，得到,
……(2)
331 33211 iiBBi ieSeviel
将式 (2)中的每项乘
3?ie?
，并取实部和虚部分别相等，解得：
)s i n ( 311132 lv BB
)co s ( 31113 lS
于是有
S
l )c o s ( 3111
3
……(3)
2.速度分析二,平面连杆机构的运动分析的解析法
（一）铰链四杆机构 （二）导杆机构
1.位移分析
11
411
3 c o s
s in
l
lltg,
3
1
1 c o s
c o s
lS? ……(1)
S
l )c o s ( 3111
3
……(3)
3.加速度分析同样方法可求得：
)c o s ( 312112332 lSa BB
S
lv BB )s in (2 31211332
3
……(4)
§ 2-9 速度瞬心及其在平面机构速度分析中的应用一,速度瞬心的概念速度瞬心 ——两构件作相对运动时，
其相对速度为零时的重合点称为速度瞬心，简称瞬心。
j
i
Pij
A
B
vBiBj
vAiAj
ij
因此,两构件在 任一瞬时 的相对运动都可看成绕瞬心的相对运动。
绝对瞬心：两构件之一是静止构件相对瞬心：两构件都运动的。
二,机构的瞬心数目每两个相对运动的构件都有一个瞬心，故若有 N个构件的机构，
其 瞬心总数 为：
2
)1(2 NNCK
N
也就是两构件在 该瞬时 具有相同绝对速度的重合点,
Pij
§ 2-9 速度瞬心及其在平面机构速度分析中的应用一,速度瞬心的概念二,机构的瞬心数目三,瞬心位置的确定
1.根据瞬心的定义
j
i
A
B
vBiBj
vAiAj
若已知两构件 i,j上两重合点 A,B的相对速度
vAiAj,vBiBj。
作两重合点相对速度的垂线，其交点就是构件 i,j的瞬心 Pij。
2.两构件直接用运动副连接
A
B1
2
A
1
2
（ P12）
P12
三,瞬心位置的确定
1.根据瞬心的定义 n
n
M1
2t
t
1
2
p12
M
（ 1）若两构件 1,2以转动副相联结，则瞬心 P12位于转动副的中心；
（ 2）若两构件 1,2以移动副相联结，则瞬心 P12位于垂直于导路线方向的无穷远处；
（ 3）若两构件 1,2以高副相联结，
在接触点 M处作纯滚动，则接触点 M就是它们的瞬心，
在接触点 M处有相对滑动，则瞬心位于过接触点 M的公法线上，
P12
2.两构件直接用运动副连接三,瞬心位置的确定
1.根据瞬心的定义
3.两构件间没有用运动副直接连接，则可用三心定理来确定其瞬心位置
C
Vc 2 Vc
3
P12 P13
三心定理,作平面运动的三个构件共有三个瞬心，这三个瞬心必在一条直线上
A B
1
2 3?
2?3
P12
[例 ] 平底移动从动件盘形凸轮机构，构件 2的角速度?2，
求从动件 3在图示位置时的移动速度 v3。
3
2
1
2
K
n
n P13?
P23
[例 ] 如图所示铰链四杆机构，若已知各杆长以及图示瞬时位置点 B的速度 VB，求点 C的速度 VC和构件 2的角速度?2及构件
1,3的角速比?1/?3。
lppv 231223?
P12
P13
P24
P23
P34
1
A
1
2
3
4
B
C
DP14
v13 1334313 Ppp
lv
1314113 ppp lv
1314
1334
3
1
pp
pp?
2412
2423
PP
PP
v
v
B
C?
结 束
