机械的平衡第六章
§ 6-1机械平衡目的及内容
1.机械平衡的目的机械平衡的目的就是设法将构件的不平衡惯性力加以平衡以消除或减小惯性力的不良影响
2.机械平衡的内容
2.1 绕固定轴回转的构件的惯性力平衡
a.刚性转子的平衡
b.绕性转子的平衡静平衡动平衡
2.2 机构的平衡一、刚性转子的静平衡计算
m1
r1 m2r2
m
rb
§ 6-2刚性转子的平衡计算当转子以角速度?旋转时,偏心质量
m1和 m2产生的离心惯性力分别为
m1?2r1和 m2?2r2
为了平衡这些离心惯心力,可在转子上加一平衡质量 mb,使它们产生的离心惯心力的合力等于零。即
m1?2r1+m2?2r2+mb?2rb=0
若有?个偏心质量，上述式子便成为
m1?2r1+m2?2r2+… + m2r?+… +mb?2rb=0
化简 m1r1+m2r2+ …+ m?r?… + …m brb=0 m?r?称为质径积静平衡条件为：分布于该回转构件的各质量的离心力的合力为零或各个质量的质径的矢量和为零
2.刚性转子的动平衡离心力的合力为零，
离心力合力矩不为零。
F1
F2
F3m
1
m2 m3
m2
A
B
A
m1A
m3A
1
2
3
m1B
m2Bm
3B
任选两平面 A,B为基准平面，将 m1,m2,m3
分解到 A,B两个平面内。
按力的等效原理
m1+m1=m1A B
m1?1+m1?1 =0 其中?1,?1 分别表示 1平面至 A,B
的平面距离
A B' '' ' ''
对 m2和 m3按同样方法进行处理，在 A平面和 B平面分别得到三个质量，它们分别是 m1,m2,m3 以及 m1,m2,m3,在 A
平面与 B平面内，按照静平衡的原理附加一质量 mb,mb,使分布于 A平面与 B平面内的质量的质径积分别为零，这样使整个回转构件的离心力的合力、合力矩均为零。
A A A B B B
A B
满足静平衡条件的回转构件不一定满足动平衡满足动平衡条件的回转构件一定满足静平衡例,已知一圆盘上分布有两个不平衡质量
m1=2kg,m2=4kg。 M1离圆心距离
r1=50mm,m2离圆心距离 r2=40mm,
求,欲使圆盘平衡需在距离圆心 r3=60mm
处加一平衡质量 m3，求 m3的大小和方向。
45° 60°
m2 m1
m3
X方向：
m1r1cos60° +m2r2cos135° +m3r3cos?
=0 (1)
Y方向：
m1r1sin60° +m2r2sin135° +m3r3sin?
=0 (2)
将数据代入，并计算得
tg?= —2.478,?= —68.02°
m3=2.81kg
Y
X
45° 60°
m2 m1
二、功率平衡
1、机械运转中的功能 关系
12 EEAA cd
frc AAA
其中 为总耗功
A B
T
o?起动 稳定运动 停车
T
2、机械运转的三个阶段
(1)起动阶段：
，主动件的速度从零值上升到正常工作速度
cd AA?(2)停车阶段：
0 rd AA(3)稳定运转阶段：
b,变速稳定运转 — 围绕平均速度作周期性波动
a,匀速稳定运转 — 速度保持不变,在任何时间间隔都有
0 cd AA
一个周期的时间间隔,Ad=Ar,E2=E1;
不满一个周期的时间间隔,Ad=Ar,E2=E1
功率平衡,若为实现一个尽可能匀速稳定运转，在结构上或机构设计方面采取相关措施。
§ 9-2 基于质量平衡的动力学设计一、质量平衡的设计方法之一（线性独立向量法）
当且仅当平面机构总质心静止不动时，平面机构的惯性力才能达到完全平衡。
（一） 平面机构惯性力平衡的必要和充分条件：
机构的总惯性力为 F=-Mas，欲使任何位置都有 F=0，则
0?sa
机构总质心作匀速直线运动；
机构总质心沿着封闭曲线退化为停留在一个点。
（二） 平面机构惯性力完全平衡的线性独立向量法基本思路 列出总质心的向量表达式；
使与时间有关的向量（时变向量）的 系数为零。
n
i
siis rmMr
1
1
对于任何一个机构的总质心向量 rs可表达为若 rs为常向量，则可满足上述充要条件。
1、平面铰链四杆机构
(1)列出机构总质心位置向量方程式
)(
11 11
i
s err
)(
212 221
ii
s erear
)(343 33 is erar
433322
1211
3322
11
)()(
)(
1
ameermeerm
eamerm
M
r
iiii
ii
s
321 iii eee,、
注意时变向量：
2
1
rs2
rs3
a4
B
a1
c
a3
A D
s1m1
1
r1
O
Y
x
s2
r2 m2
2
n
i
siis rmMr
1
1
3
s3
r3
m3
(2)使 rs表达式中所含有的时变向量变为线性独立向量封闭条件：
04321 321 aeaeaea iii
132
2
1
2
4
2
3 iii e
a
a
a
ae
a
ae
C
A D
2
1
a4
B
a1 a3
O
Y
x
3
故有
121 )(1
2
1
221211
iii
s eea
armamerm
M
r
323 )(
2
3
2233
iii ee
a
armerm
)( 2
2
4
2243
ie
a
armam
(3)机构 惯性力完全平稳的条件则 rs就成为一常向量,
即质心位置保持静止。
由图可得
22 222 ii eraer
令 021
2
1
221211
ii e
a
armamerm
023
2
3
2233
ii e
a
armerm
rs3?3
O a
4
Y
rs2
s2
r2 m2
2B
a1
c
a3
A D
2
1
s1m1
1
r1
x
s3
r3
m3
021
2
1
2211
ii e
a
armerm
023
2
3
2233
ii e
a
armerm
机构 惯性力完全平稳的条件,
铰链四杆机构惯性力完全平衡的条件是：
一般选两个连架杆 1,3作为加平衡重的构件。
000
ji
jj erm
若,调 整前：
***
ji
jj erm
添加平衡重的大小与方位向量：
ji
jj erm
调整后：
2
1
2211 a
armrm
2
3
2233 a
armrm?
21
23
，
，
s2m2
2
2
a1
a2
a3
a4
r2 2r?
m1
s1
1
m3
s3?3
y
x
ji
jj erm
**
0 00
j?j
j
0
*
按照向量加法规则可求得应添加的质径积的大小和方位为则应有：
jjj i
jj
i
jj
i
jj ermermerm
*0 **00
,( j=1或 3 )
)c o s (2)()( 0002002** jjjjjjjjjjjj rmrmrmrmrm
)c o sc o s(
s ins in(
000
000
*
jjjjjj
jjjjjj
j rmrm
rmrm
tg
其中
*0
jjj mmm
( j=1或 3 )
2、有移动副的平面四杆机构
(1)列出各活动构件的质心向量表达式为
)(11 11 is err
)(212 221 iis erear
321 3213 iiis ereaear
1?ie 2?ie
可得到机构总质心向量表达式为
322
11
332322
32111
)(
)(
1
iii
ii
s
ermeamerm
emmaerm
m
r
上式中两个时变向量 及 已是线性独立向量 (S向量未出现 )。
将以上诸式代入
n
i
Siis rmMr
1
1
rS2 rS3
B
y
r3r1
S2
S3
r2 m2
m1
a1
1
m3
O(A) S x
C
S1?2
(2) 令时变向量,前的系数为零，得
1?ie 2?ie
0
0)(
2322
13211
2
1
amerm
ammerm
i
i
一般，滑块的质心在 C点，即 r3=0。
而构件 2的质心应在 CB的延长线上
B
r2
m2 m
3
C
a2
m1
于是，曲柄滑块机构惯性力的完全平衡条件为：
2322
13211 )(
amrm
ammrm
2
1
，
，
二、质量平衡的设计方法之二 (质量代换法 )
质量代换的实质是：用假想的集中质量的惯性力及惯性力矩来代替原构件的惯性力及惯性力矩
1、代换条件
(2)代换质量的总质心位置与原构件质心位置重合
0 AABB lmlm
静代换
(3)代换质量对构件质心的转动惯量之和与原件对质心的转动惯量相等
SBBAA Jlmlm 22
动代换
A B
l
lA lB
(1)代换质量之和与原构件的质量相等
mmm BA即两点质量静代换公式：
m
l
l
ll
mlm A
BA
A
B
m
l
l
ll
mlm B
BA
B
A
Sm
(二 )曲柄滑块机构惯性力的部分平衡
2
)(
2 mL
cm B?
2
)(
2 mL
bm C?，
1
)(
1 mR
em B?
1
)(
1 mR
eRm A
，
323
)(
2 mmL
bmmm C
C
21
)(
2
)(
1 mL
cm
R
emmm BB
B
故
)2c o s( c o s 112 LRRmF CC
故
)2c o s( c o s 112 LRRa C
而
B
O
S1 S2
S3
m2m1
m3
y
x
C
A? 1
)2c o s( c o s 112 LRRmF CC
式中，第一项 mC?2Rcos?1— 第一级惯性力；
第二项 mC?2R? R/L? cos2?1— 第二级惯性力。
忽略第二级惯性力,FC可近似表达为
12 c o s RmF cC? RmF BB
2而
12 c o s)( RmmF cBX
1
2 s i n RmF
By?
全部惯性力在 X轴和 Y轴上的分量分别为
B
O
S1 S2
S3
m2m1
m3
y
x
C
A? 1
Rmmrm cBDD )(
Ⅰ 若在 D处加平衡质量
1
2
1
2 s i ns i n RmrmFF
cDDyy
于是水平方向的惯性力可以平衡，但一般因 mc>>mB，故垂直方向的惯 性力反而增大多了。
Ⅱ 在曲柄的反向延长线上加一较小的平衡质径积，
RKmRmRkmmrm cBcBDD )(
式中,K为平衡系数，通常取 ~,这就是 部分平衡。
3
1?k
2
1
12 c o s)( RmmF cBX
12 s i n RmF By?
B
O
S1 S2
S3
m2m1
m3
y
x
C
A? 1
D mD
§ 9-3 机构及其系统动力学方程
i
iii
F
q
U
q
E
q
E
dt
d?
)(
一、拉格朗日方程
iq iq?、
分别为广义坐标与广义速度；
Fi为广义力。
E,U分别为系统的动能和势能；
广义坐标 —若机械系统用某一组独立的坐标（参数）就能完全确定系统的运动，则这组坐标称为 广义坐标。
广义坐标的数目等于机构的自由度。
等效构件 —广义坐标 q1,q2,····q N(N为主动件的数目）的构件。
如果不计构件的弹性，且忽略构件的重量，则势能 U不必计算。
例：平面五杆机构系统动力学方程选 广义坐标，
11q 42q
，
在不计构件重量和弹性的情况下，此五杆机构的拉格朗日方程为
1
11
)( F
q
E
q
E
dt
d?
2
22
)( F
q
E
q
E
dt
d?
二、两自由度机构系统运动方程式
(1)第 j个构件的动能
22
2
1
2
1
jsjsjjj JvmE
1、机构系统动能的确定
O
E
1
B
C
D
A
2
3
4
1
2
3
4
其中 mj— 构件 j的质量；
Vsj— 构件 j的质心点的速度；
Jsj— 构件 j绕质心 Sj的转动惯量；
— 构件的角速度；
j
(2)机构系统的动能
n
j
jsjsjj JvmE
1
22 )(
2
1 22
sjsjsj yxv
其中
(1)第 j个构件的动能
22
2
1
2
1
jsjsjjj JvmE
Ⅰ,作直线移动的构件，
Ⅱ,绕质心转动的构件，
0?j
0?sjv
(3)求机构系统动能的步骤：
a,位移分析
),(
),(
),(
21
21
21
qqyy
qqxx
qq
sjsj
sjsj
jj
(j=1,2,3,4)
b,速度分析
22
sjsjsj yxv
2
2
1
1
q
q
q
q
jj
j
2
2
1
1
q
q
x
q
q
x
x sjsjsj
2
2
1
1
q
q
y
q
q
y
y sjsjsj
( j=1,2,3,4)
C,系统动能表达式
2
2222112
2
111 2
1
2
1 qJqqJqJE
jsjsj yx,,
将 代入系统总动能公式，并经整理后可得：
n
j
j
sj
sjsj
j qJq
y
q
x
mJ
1
2
1
2
1
2
1
11 )()()(
其中
n
j
sjsjsjsj
j
q
y
q
y
q
x
q
x
mJ
1 2121
12 )(
21 qq
J jjsj
n
j
j
sj
sjsj
j qJq
y
q
x
mJ
1
2
2
2
2
2
2
22 )()()(
J11,J12,J22称之为等效转动惯量，具有转动惯量的量纲。
2
2222112
2
111 2
1
2
1 qJqqJqJE
k
j i
j
j
i
j
jy
i
j
jxi qMq
y
F
q
x
FF
1
)(
2、广义力 F1,F2 (等效力或等效力矩 )的确定式中,k为外力 (外力偶 )的数目；
FjxFjy为外力 Fj在 x,y方向的分量；
Mj为外力矩； xj,yj为外力 Fj作用点的坐标；
j为外力矩 M作用的构件的角位移；
)(
1
jjjjyj
k
j
jx MyFxFp
因为总功率
2
2
1
1
q
q
q
q
jj
j
2
2
1
1
q
q
x
q
q
x
x jjj
2
2
1
1
qqyqqyy jjj
而,,
则
2211 qFqFp
3、二自由度机构系统运动微分方程
1
11
)( F
q
E
q
E
dt
d?
2
22
)( F
q
E
q
E
dt
d?
2
2222112
2
111 2
1
2
1 qJqqJqJE
k
j i
j
j
i
j
jy
i
j
jxi qMq
y
F
q
x
FF
1
)(
将 及其有关量，
和 代入下式
1
2
2
1
22
2
12
21
2
112
1
1
11
212111 )2
1()(
2
1 Fq
q
J
q
Jqq
q
Jq
q
JqJqJ?
2
2
2
2
22
21
1
222
1
2
11
1
12
222112 2
1)
2
1( Fq
q
Jqq
q
Jq
q
J
q
JqJqJ?
则得
§ 9-4 单自由度机构或机构系统动力学模型及运动方程式一、单自由度机构系统动力学模型令 q2=0,J12=0,J22=0,F2=0
单自由度运动微分方程：
1
2
111
1
111 2
1 FqJ
dq
dqJ
式中的 J11,F1可分别按前述方法求得：
n
j
j
sj
sjsj
j qJq
y
q
x
mJ
1
2
1
2
1
2
1
11 )()()(
n
j
n
j
j
jj
j
j qMq
v
F
1 1 11
)()c o s(
n
j
j
j
j
jy
j
jx qMq
y
F
q
x
F
q
pF
1 1111
1 )()()(?
式中，当 Mj与?j 同向时取,+”，否则取,–”
n
j
j
sj
sjsj
j qJq
y
q
x
mJ
1
2
1
2
1
2
1
11 )()()(
n
j
n
j
j
jj
j
j qMq
v
F
1 1 11
)()c o s(
n
j
j
j
j
jy
j
jx qMq
y
F
q
x
F
q
pF
1 1111
1 )()()(?
单自由度运动微分方程：
1
2
111
1
111 2
1 FqJ
dq
dqJ
当 q1为角位移,为角速度时,J11具有转动惯量量纲，称为等效转动惯量，常用 je 表示；而 F1具有力矩的量纲，称为等效力矩，常用 Me表示；
1q?
当 q1为线位移,为线速度时,J11具有质量的量纲,称为等效质量，常用 me表示；而 F1具有力的量纲，称为等效力,
常用 Fe表示。
1q?
二、等效动力学模型的意义
①
JeMe
(a)
②
(b)
meFe ve
注意：
,?是某构件的真实运动；
Me是系统的等效力矩；
Je是系统的等效转动惯量。
注意：
s,v是某构件的真实运动；
Fe是系统的等效力；
me是系统的等效质量。
1、等效构件 +等效质量 (等效转动惯量 )+等效力 (等效力矩 )
等效力学模型
2、等效构件的运动方程式 (机构系统的运动方程式 )
把一复杂的机构系统简化为一个等效构件，建立系统的等效动力学模型，然后即可把功能原理应用到等效构件上。
t
t
EEp d tA
0
0
微分上式可得
dt
dEp?
即
)
2
1( 2
ee Jdt
dM?
或
)
2
1( 2vm
dt
dvF
ee?
三、等效动力学模型的建立
1、等效质量 (等效转动惯量 )、等效力 (等效力矩 )的计算
n
j
jsjsjje JvmJ
1
222
2
1
2
1
2
1或由此可知，等效转动惯量可以根据等效前后动能相等的原则求取。
e
n
j e
j
sj
e
sj
j JJ
v
mJ
1
22
11 )()(?
JeMe
① 当等效构件为转动构件（ ）时1q?
eMqFp 11
n
j
jj
n
j
jjj MvF
1 1
)()c o s(
等效力矩可以根据等效前后功率相等的原则求取。
e
n
j
j
sj
sj
j mvJv
v
mJ
1
22
11 )()(
n
j
jsjsjje Jvmvm
1
222
2
1
2
1
2
1?或等效质量同样可以根据等效前后动能相等的原则求取。
② 当 当等效构件为移动构件（ ）时,vq?
1?
meFe v
vFqFp e 11
n
j
jj
n
j
jjj MvF
1 1
)()c o s(
等效力可以根据等效前后功率相等的原则求取。
2、等效力矩 (等效力 )与等效驱动力矩 (等效驱动力 )、
等效阻力矩 (等效阻力 )的关系
erede MMM erede FFF
简写为,M=Md-Mr,,F=Fd-Fr
四、机构系统的动能形式和力矩 (力 )形式的运动方程式
1、动能形式的运动方程式根据功能原理 EA
积分得
00
2
2
1
2
1)(
00
JJdMMMd rd
ss rdss vmmvdsFFF d s 00 002 2121)(
可得
)
2
1( 2 JdMd? )
2
1( 2mvdF d s?或
2、力矩 (力 )形式的运动方程式即
MddJddJ 2)2/(
22
当 J=const 时，上式变为
MdtdJ
其中
dt
d
d
dt
dt
d
d
d?
22 22
(力矩形式的方程式 )代入上式得
M
d
dJ
dt
dJ
2
2
)21( 2 JdMd?①
MdJd /)21( 2
(力形式的方程式 )②
F
ds
dmv
dt
dvm
2
2
F
dt
dVm?当 m=const 时，上式变为五、建立机械系统动力学方程步骤
1、将具有独立坐标的构件取作等效构件；
2、求出等效参数，形成机械系统等效动力学模型；
2
1
222
2
1
2
1
2
1
2
1 vmJvmJ
e
n
j
jsjsjje
vFMvFM e
n
j
jj
n
j
jjje
1 1
)()c o s(
3、根据功能原理，列出等效动力学模型的运动方程；
M
d
dJ
dt
dJ
2
2,
F
ds
dmv
dt
dvm
2
2
00
2
2
1
2
1)(
00
JJdMMMd rd
ss rdss vmmvdsFFF d s 00 002 2121)(
5、用运动分析方法，由具有独立坐标的构件运动规律，
求出机械系统中所有其他构件的运动规律。
4、求解运动方程，得到等效构件运动规律，即机械系统中具有独立坐标的构件运动规律；
§ 9-5 基于功率平衡的机构系统动力学设计一、变速稳定运动状态的描述
1、平均角速度
2、速度不均匀系数
)(
2
1
m i nm a xm
(1)
m?
m i nm a x (2)
于是可得 22
m i n2m a x 2 m
C
A
B
D
TO t
周期性变速稳定运动三参数：
周期 T、
平均角速度?m、
速度不均匀系数?
由 (1)和 (2)解得
)
2
1(m a x m )
2
1(m i n m
，
二、周期性速度波动调节原理
A是在区间 (?0,?)内等效驱动力矩与等效阻力矩曲线间所夹面积代数和。
故当 J=const，或其变化可以忽略时，最大盈亏功为讨论：,盈功(1) 当 0, AAA
rd
,亏功(2) 当 0, AAA
rd
盈亏功
2
00
2
2
1
2
1
0
JJEEEA
dMdMMAAA rdrd
00
)(
dMA dd
0
dMA rr
0
，
2
m i n
2
m a xm a xm i nm a xm a x 2
1
2
1 JJEEEA
将 代入得 22
m i n2m a x 2 m
2m a x mJA?
一般做法是，在系统中装置一个转动惯量较大的构件，这个构件通常称之为飞轮，其转动惯量 JF。
装置飞轮的实质就是增加机械系统的转动惯量。
飞轮在系统中的 作用相当于一个容量很大的储能器 。当系统出现盈功，它将多余的能量以动能形式,储存,起来，并使系统运转速度的升高幅度减小；反之，当系统出现亏功时，它可将,储存,的动能释放出来以弥补能量的不足，并使系统运转速度下降的幅度减小。从而减小了系统运转速度波动的程度，获得了调速的效果。
2m a x mJA?
因此，在系统中,Amax及?m一定时，欲减小系统的运转不均匀程度，则应当增加系统的等效转动惯量 J。
飞轮的作用：
三、飞轮转动惯量的计算
Emax—角速度为最大的位置所具有的动能；
Emin—角速度为最小的位置所具有的动能；
由
2
m a x
m
Fc
AJJJ 可得
cmF J
AJ
2
m a x
或
22
m a x900
m
F n
AJ?
m i nm a xm a x EEA
VCF JJJJ
系统的等效转动惯量常量部分飞轮转动惯量 变量部分当
0?vJ,并按许用值 [?]设计若 0?
CJ
时，
cmF
A
J
2
m a x?
例：图为发动机的输出力矩 (Md)图，且等效阻力矩 Mr为常数，若不计机械中其它构件的转动惯量,只考虑飞轮转动惯量,设等效构件的平均转速为 1000r/min，运转不均匀系数?=0.02,试计算飞轮的转动惯量 JF。
1.等效驳动力矩和等效阻力矩为等效构件角位置函数
90 180 360 450 540 630 720
)(
M/(N.m) Md
75
100
-50
-75
50
-100
75
o
周期性变速稳定运转的特点,
一个周期的时间间隔,Ad=Ar,E2=E1;
不满一个周期的时间间隔,Ad=Ar,E2=E1解
90 180 360 450 540 630 720
)(
M/(N.m) Md
75
100
-50
-75
50
-100
75
o
（ 1）根据一个周期的时间间隔,Ad=Ar,求出等效阻力矩 Mr；
210027525010025022754
rM
mNM r 8 7 5.21
面积
)(JA?
F1 F2 F3 F4 F5 F6
26.56? 78.13?
-35.94?
F7
-48.44?
14.06?
-60.94?
26.56?
(2)计算各块盈亏功面积,
90 180 360 450 540 630 720
)(
M/(N.m) Md
75
100
-50
-75
50
-100
75
o
Mr
A B C D E F G A
(3)确定 Emax(?max),Emin(?min)的 位置，
位置
JE/
A B C D E F
0
A
026.56? -9.38? 68.75? 20.31? 34.37? -26.56?
G
)(44.299313.95
938.6006.1444.48654m a x
mN
FFFA
一般飞轮计算不需要很精确，应用上述简化计算已能满足要求，这种简化计算是工程中的实用方法。
max,?min的 位置分别在 D,G 处
（ 4）求 Amax
（ 5） 计算飞轮的转动惯量 JF
2
22
m a x 36.19 0 0 mkg
n
AJ
m
F
§ 6-1机械平衡目的及内容
1.机械平衡的目的机械平衡的目的就是设法将构件的不平衡惯性力加以平衡以消除或减小惯性力的不良影响
2.机械平衡的内容
2.1 绕固定轴回转的构件的惯性力平衡
a.刚性转子的平衡
b.绕性转子的平衡静平衡动平衡
2.2 机构的平衡一、刚性转子的静平衡计算
m1
r1 m2r2
m
rb
§ 6-2刚性转子的平衡计算当转子以角速度?旋转时,偏心质量
m1和 m2产生的离心惯性力分别为
m1?2r1和 m2?2r2
为了平衡这些离心惯心力,可在转子上加一平衡质量 mb,使它们产生的离心惯心力的合力等于零。即
m1?2r1+m2?2r2+mb?2rb=0
若有?个偏心质量，上述式子便成为
m1?2r1+m2?2r2+… + m2r?+… +mb?2rb=0
化简 m1r1+m2r2+ …+ m?r?… + …m brb=0 m?r?称为质径积静平衡条件为：分布于该回转构件的各质量的离心力的合力为零或各个质量的质径的矢量和为零
2.刚性转子的动平衡离心力的合力为零，
离心力合力矩不为零。
F1
F2
F3m
1
m2 m3
m2
A
B
A
m1A
m3A
1
2
3
m1B
m2Bm
3B
任选两平面 A,B为基准平面，将 m1,m2,m3
分解到 A,B两个平面内。
按力的等效原理
m1+m1=m1A B
m1?1+m1?1 =0 其中?1,?1 分别表示 1平面至 A,B
的平面距离
A B' '' ' ''
对 m2和 m3按同样方法进行处理，在 A平面和 B平面分别得到三个质量，它们分别是 m1,m2,m3 以及 m1,m2,m3,在 A
平面与 B平面内，按照静平衡的原理附加一质量 mb,mb,使分布于 A平面与 B平面内的质量的质径积分别为零，这样使整个回转构件的离心力的合力、合力矩均为零。
A A A B B B
A B
满足静平衡条件的回转构件不一定满足动平衡满足动平衡条件的回转构件一定满足静平衡例,已知一圆盘上分布有两个不平衡质量
m1=2kg,m2=4kg。 M1离圆心距离
r1=50mm,m2离圆心距离 r2=40mm,
求,欲使圆盘平衡需在距离圆心 r3=60mm
处加一平衡质量 m3，求 m3的大小和方向。
45° 60°
m2 m1
m3
X方向：
m1r1cos60° +m2r2cos135° +m3r3cos?
=0 (1)
Y方向：
m1r1sin60° +m2r2sin135° +m3r3sin?
=0 (2)
将数据代入，并计算得
tg?= —2.478,?= —68.02°
m3=2.81kg
Y
X
45° 60°
m2 m1
二、功率平衡
1、机械运转中的功能 关系
12 EEAA cd
frc AAA
其中 为总耗功
A B
T
o?起动 稳定运动 停车
T
2、机械运转的三个阶段
(1)起动阶段：
，主动件的速度从零值上升到正常工作速度
cd AA?(2)停车阶段：
0 rd AA(3)稳定运转阶段：
b,变速稳定运转 — 围绕平均速度作周期性波动
a,匀速稳定运转 — 速度保持不变,在任何时间间隔都有
0 cd AA
一个周期的时间间隔,Ad=Ar,E2=E1;
不满一个周期的时间间隔,Ad=Ar,E2=E1
功率平衡,若为实现一个尽可能匀速稳定运转，在结构上或机构设计方面采取相关措施。
§ 9-2 基于质量平衡的动力学设计一、质量平衡的设计方法之一（线性独立向量法）
当且仅当平面机构总质心静止不动时，平面机构的惯性力才能达到完全平衡。
（一） 平面机构惯性力平衡的必要和充分条件：
机构的总惯性力为 F=-Mas，欲使任何位置都有 F=0，则
0?sa
机构总质心作匀速直线运动；
机构总质心沿着封闭曲线退化为停留在一个点。
（二） 平面机构惯性力完全平衡的线性独立向量法基本思路 列出总质心的向量表达式；
使与时间有关的向量（时变向量）的 系数为零。
n
i
siis rmMr
1
1
对于任何一个机构的总质心向量 rs可表达为若 rs为常向量，则可满足上述充要条件。
1、平面铰链四杆机构
(1)列出机构总质心位置向量方程式
)(
11 11
i
s err
)(
212 221
ii
s erear
)(343 33 is erar
433322
1211
3322
11
)()(
)(
1
ameermeerm
eamerm
M
r
iiii
ii
s
321 iii eee,、
注意时变向量：
2
1
rs2
rs3
a4
B
a1
c
a3
A D
s1m1
1
r1
O
Y
x
s2
r2 m2
2
n
i
siis rmMr
1
1
3
s3
r3
m3
(2)使 rs表达式中所含有的时变向量变为线性独立向量封闭条件：
04321 321 aeaeaea iii
132
2
1
2
4
2
3 iii e
a
a
a
ae
a
ae
C
A D
2
1
a4
B
a1 a3
O
Y
x
3
故有
121 )(1
2
1
221211
iii
s eea
armamerm
M
r
323 )(
2
3
2233
iii ee
a
armerm
)( 2
2
4
2243
ie
a
armam
(3)机构 惯性力完全平稳的条件则 rs就成为一常向量,
即质心位置保持静止。
由图可得
22 222 ii eraer
令 021
2
1
221211
ii e
a
armamerm
023
2
3
2233
ii e
a
armerm
rs3?3
O a
4
Y
rs2
s2
r2 m2
2B
a1
c
a3
A D
2
1
s1m1
1
r1
x
s3
r3
m3
021
2
1
2211
ii e
a
armerm
023
2
3
2233
ii e
a
armerm
机构 惯性力完全平稳的条件,
铰链四杆机构惯性力完全平衡的条件是：
一般选两个连架杆 1,3作为加平衡重的构件。
000
ji
jj erm
若,调 整前：
***
ji
jj erm
添加平衡重的大小与方位向量：
ji
jj erm
调整后：
2
1
2211 a
armrm
2
3
2233 a
armrm?
21
23
，
，
s2m2
2
2
a1
a2
a3
a4
r2 2r?
m1
s1
1
m3
s3?3
y
x
ji
jj erm
**
0 00
j?j
j
0
*
按照向量加法规则可求得应添加的质径积的大小和方位为则应有：
jjj i
jj
i
jj
i
jj ermermerm
*0 **00
,( j=1或 3 )
)c o s (2)()( 0002002** jjjjjjjjjjjj rmrmrmrmrm
)c o sc o s(
s ins in(
000
000
*
jjjjjj
jjjjjj
j rmrm
rmrm
tg
其中
*0
jjj mmm
( j=1或 3 )
2、有移动副的平面四杆机构
(1)列出各活动构件的质心向量表达式为
)(11 11 is err
)(212 221 iis erear
321 3213 iiis ereaear
1?ie 2?ie
可得到机构总质心向量表达式为
322
11
332322
32111
)(
)(
1
iii
ii
s
ermeamerm
emmaerm
m
r
上式中两个时变向量 及 已是线性独立向量 (S向量未出现 )。
将以上诸式代入
n
i
Siis rmMr
1
1
rS2 rS3
B
y
r3r1
S2
S3
r2 m2
m1
a1
1
m3
O(A) S x
C
S1?2
(2) 令时变向量,前的系数为零，得
1?ie 2?ie
0
0)(
2322
13211
2
1
amerm
ammerm
i
i
一般，滑块的质心在 C点，即 r3=0。
而构件 2的质心应在 CB的延长线上
B
r2
m2 m
3
C
a2
m1
于是，曲柄滑块机构惯性力的完全平衡条件为：
2322
13211 )(
amrm
ammrm
2
1
，
，
二、质量平衡的设计方法之二 (质量代换法 )
质量代换的实质是：用假想的集中质量的惯性力及惯性力矩来代替原构件的惯性力及惯性力矩
1、代换条件
(2)代换质量的总质心位置与原构件质心位置重合
0 AABB lmlm
静代换
(3)代换质量对构件质心的转动惯量之和与原件对质心的转动惯量相等
SBBAA Jlmlm 22
动代换
A B
l
lA lB
(1)代换质量之和与原构件的质量相等
mmm BA即两点质量静代换公式：
m
l
l
ll
mlm A
BA
A
B
m
l
l
ll
mlm B
BA
B
A
Sm
(二 )曲柄滑块机构惯性力的部分平衡
2
)(
2 mL
cm B?
2
)(
2 mL
bm C?，
1
)(
1 mR
em B?
1
)(
1 mR
eRm A
，
323
)(
2 mmL
bmmm C
C
21
)(
2
)(
1 mL
cm
R
emmm BB
B
故
)2c o s( c o s 112 LRRmF CC
故
)2c o s( c o s 112 LRRa C
而
B
O
S1 S2
S3
m2m1
m3
y
x
C
A? 1
)2c o s( c o s 112 LRRmF CC
式中，第一项 mC?2Rcos?1— 第一级惯性力；
第二项 mC?2R? R/L? cos2?1— 第二级惯性力。
忽略第二级惯性力,FC可近似表达为
12 c o s RmF cC? RmF BB
2而
12 c o s)( RmmF cBX
1
2 s i n RmF
By?
全部惯性力在 X轴和 Y轴上的分量分别为
B
O
S1 S2
S3
m2m1
m3
y
x
C
A? 1
Rmmrm cBDD )(
Ⅰ 若在 D处加平衡质量
1
2
1
2 s i ns i n RmrmFF
cDDyy
于是水平方向的惯性力可以平衡，但一般因 mc>>mB，故垂直方向的惯 性力反而增大多了。
Ⅱ 在曲柄的反向延长线上加一较小的平衡质径积，
RKmRmRkmmrm cBcBDD )(
式中,K为平衡系数，通常取 ~,这就是 部分平衡。
3
1?k
2
1
12 c o s)( RmmF cBX
12 s i n RmF By?
B
O
S1 S2
S3
m2m1
m3
y
x
C
A? 1
D mD
§ 9-3 机构及其系统动力学方程
i
iii
F
q
U
q
E
q
E
dt
d?
)(
一、拉格朗日方程
iq iq?、
分别为广义坐标与广义速度；
Fi为广义力。
E,U分别为系统的动能和势能；
广义坐标 —若机械系统用某一组独立的坐标（参数）就能完全确定系统的运动，则这组坐标称为 广义坐标。
广义坐标的数目等于机构的自由度。
等效构件 —广义坐标 q1,q2,····q N(N为主动件的数目）的构件。
如果不计构件的弹性，且忽略构件的重量，则势能 U不必计算。
例：平面五杆机构系统动力学方程选 广义坐标，
11q 42q
，
在不计构件重量和弹性的情况下，此五杆机构的拉格朗日方程为
1
11
)( F
q
E
q
E
dt
d?
2
22
)( F
q
E
q
E
dt
d?
二、两自由度机构系统运动方程式
(1)第 j个构件的动能
22
2
1
2
1
jsjsjjj JvmE
1、机构系统动能的确定
O
E
1
B
C
D
A
2
3
4
1
2
3
4
其中 mj— 构件 j的质量；
Vsj— 构件 j的质心点的速度；
Jsj— 构件 j绕质心 Sj的转动惯量；
— 构件的角速度；
j
(2)机构系统的动能
n
j
jsjsjj JvmE
1
22 )(
2
1 22
sjsjsj yxv
其中
(1)第 j个构件的动能
22
2
1
2
1
jsjsjjj JvmE
Ⅰ,作直线移动的构件，
Ⅱ,绕质心转动的构件，
0?j
0?sjv
(3)求机构系统动能的步骤：
a,位移分析
),(
),(
),(
21
21
21
qqyy
qqxx
sjsj
sjsj
jj
(j=1,2,3,4)
b,速度分析
22
sjsjsj yxv
2
2
1
1
q
q
q
q
jj
j
2
2
1
1
q
q
x
q
q
x
x sjsjsj
2
2
1
1
q
q
y
q
q
y
y sjsjsj
( j=1,2,3,4)
C,系统动能表达式
2
2222112
2
111 2
1
2
1 qJqqJqJE
jsjsj yx,,
将 代入系统总动能公式，并经整理后可得：
n
j
j
sj
sjsj
j qJq
y
q
x
mJ
1
2
1
2
1
2
1
11 )()()(
其中
n
j
sjsjsjsj
j
q
y
q
y
q
x
q
x
mJ
1 2121
12 )(
21 qq
J jjsj
n
j
j
sj
sjsj
j qJq
y
q
x
mJ
1
2
2
2
2
2
2
22 )()()(
J11,J12,J22称之为等效转动惯量，具有转动惯量的量纲。
2
2222112
2
111 2
1
2
1 qJqqJqJE
k
j i
j
j
i
j
jy
i
j
jxi qMq
y
F
q
x
FF
1
)(
2、广义力 F1,F2 (等效力或等效力矩 )的确定式中,k为外力 (外力偶 )的数目；
FjxFjy为外力 Fj在 x,y方向的分量；
Mj为外力矩； xj,yj为外力 Fj作用点的坐标；
j为外力矩 M作用的构件的角位移；
)(
1
jjjjyj
k
j
jx MyFxFp
因为总功率
2
2
1
1
q
q
q
q
jj
j
2
2
1
1
q
q
x
q
q
x
x jjj
2
2
1
1
qqyqqyy jjj
而,,
则
2211 qFqFp
3、二自由度机构系统运动微分方程
1
11
)( F
q
E
q
E
dt
d?
2
22
)( F
q
E
q
E
dt
d?
2
2222112
2
111 2
1
2
1 qJqqJqJE
k
j i
j
j
i
j
jy
i
j
jxi qMq
y
F
q
x
FF
1
)(
将 及其有关量，
和 代入下式
1
2
2
1
22
2
12
21
2
112
1
1
11
212111 )2
1()(
2
1 Fq
q
J
q
Jqq
q
Jq
q
JqJqJ?
2
2
2
2
22
21
1
222
1
2
11
1
12
222112 2
1)
2
1( Fq
q
Jqq
q
Jq
q
J
q
JqJqJ?
则得
§ 9-4 单自由度机构或机构系统动力学模型及运动方程式一、单自由度机构系统动力学模型令 q2=0,J12=0,J22=0,F2=0
单自由度运动微分方程：
1
2
111
1
111 2
1 FqJ
dq
dqJ
式中的 J11,F1可分别按前述方法求得：
n
j
j
sj
sjsj
j qJq
y
q
x
mJ
1
2
1
2
1
2
1
11 )()()(
n
j
n
j
j
jj
j
j qMq
v
F
1 1 11
)()c o s(
n
j
j
j
j
jy
j
jx qMq
y
F
q
x
F
q
pF
1 1111
1 )()()(?
式中，当 Mj与?j 同向时取,+”，否则取,–”
n
j
j
sj
sjsj
j qJq
y
q
x
mJ
1
2
1
2
1
2
1
11 )()()(
n
j
n
j
j
jj
j
j qMq
v
F
1 1 11
)()c o s(
n
j
j
j
j
jy
j
jx qMq
y
F
q
x
F
q
pF
1 1111
1 )()()(?
单自由度运动微分方程：
1
2
111
1
111 2
1 FqJ
dq
dqJ
当 q1为角位移,为角速度时,J11具有转动惯量量纲，称为等效转动惯量，常用 je 表示；而 F1具有力矩的量纲，称为等效力矩，常用 Me表示；
1q?
当 q1为线位移,为线速度时,J11具有质量的量纲,称为等效质量，常用 me表示；而 F1具有力的量纲，称为等效力,
常用 Fe表示。
1q?
二、等效动力学模型的意义
①
JeMe
(a)
②
(b)
meFe ve
注意：
,?是某构件的真实运动；
Me是系统的等效力矩；
Je是系统的等效转动惯量。
注意：
s,v是某构件的真实运动；
Fe是系统的等效力；
me是系统的等效质量。
1、等效构件 +等效质量 (等效转动惯量 )+等效力 (等效力矩 )
等效力学模型
2、等效构件的运动方程式 (机构系统的运动方程式 )
把一复杂的机构系统简化为一个等效构件，建立系统的等效动力学模型，然后即可把功能原理应用到等效构件上。
t
t
EEp d tA
0
0
微分上式可得
dt
dEp?
即
)
2
1( 2
ee Jdt
dM?
或
)
2
1( 2vm
dt
dvF
ee?
三、等效动力学模型的建立
1、等效质量 (等效转动惯量 )、等效力 (等效力矩 )的计算
n
j
jsjsjje JvmJ
1
222
2
1
2
1
2
1或由此可知，等效转动惯量可以根据等效前后动能相等的原则求取。
e
n
j e
j
sj
e
sj
j JJ
v
mJ
1
22
11 )()(?
JeMe
① 当等效构件为转动构件（ ）时1q?
eMqFp 11
n
j
jj
n
j
jjj MvF
1 1
)()c o s(
等效力矩可以根据等效前后功率相等的原则求取。
e
n
j
j
sj
sj
j mvJv
v
mJ
1
22
11 )()(
n
j
jsjsjje Jvmvm
1
222
2
1
2
1
2
1?或等效质量同样可以根据等效前后动能相等的原则求取。
② 当 当等效构件为移动构件（ ）时,vq?
1?
meFe v
vFqFp e 11
n
j
jj
n
j
jjj MvF
1 1
)()c o s(
等效力可以根据等效前后功率相等的原则求取。
2、等效力矩 (等效力 )与等效驱动力矩 (等效驱动力 )、
等效阻力矩 (等效阻力 )的关系
erede MMM erede FFF
简写为,M=Md-Mr,,F=Fd-Fr
四、机构系统的动能形式和力矩 (力 )形式的运动方程式
1、动能形式的运动方程式根据功能原理 EA
积分得
00
2
2
1
2
1)(
00
JJdMMMd rd
ss rdss vmmvdsFFF d s 00 002 2121)(
可得
)
2
1( 2 JdMd? )
2
1( 2mvdF d s?或
2、力矩 (力 )形式的运动方程式即
MddJddJ 2)2/(
22
当 J=const 时，上式变为
MdtdJ
其中
dt
d
d
dt
dt
d
d
d?
22 22
(力矩形式的方程式 )代入上式得
M
d
dJ
dt
dJ
2
2
)21( 2 JdMd?①
MdJd /)21( 2
(力形式的方程式 )②
F
ds
dmv
dt
dvm
2
2
F
dt
dVm?当 m=const 时，上式变为五、建立机械系统动力学方程步骤
1、将具有独立坐标的构件取作等效构件；
2、求出等效参数，形成机械系统等效动力学模型；
2
1
222
2
1
2
1
2
1
2
1 vmJvmJ
e
n
j
jsjsjje
vFMvFM e
n
j
jj
n
j
jjje
1 1
)()c o s(
3、根据功能原理，列出等效动力学模型的运动方程；
M
d
dJ
dt
dJ
2
2,
F
ds
dmv
dt
dvm
2
2
00
2
2
1
2
1)(
00
JJdMMMd rd
ss rdss vmmvdsFFF d s 00 002 2121)(
5、用运动分析方法，由具有独立坐标的构件运动规律，
求出机械系统中所有其他构件的运动规律。
4、求解运动方程，得到等效构件运动规律，即机械系统中具有独立坐标的构件运动规律；
§ 9-5 基于功率平衡的机构系统动力学设计一、变速稳定运动状态的描述
1、平均角速度
2、速度不均匀系数
)(
2
1
m i nm a xm
(1)
m?
m i nm a x (2)
于是可得 22
m i n2m a x 2 m
C
A
B
D
TO t
周期性变速稳定运动三参数：
周期 T、
平均角速度?m、
速度不均匀系数?
由 (1)和 (2)解得
)
2
1(m a x m )
2
1(m i n m
，
二、周期性速度波动调节原理
A是在区间 (?0,?)内等效驱动力矩与等效阻力矩曲线间所夹面积代数和。
故当 J=const，或其变化可以忽略时，最大盈亏功为讨论：,盈功(1) 当 0, AAA
rd
,亏功(2) 当 0, AAA
rd
盈亏功
2
00
2
2
1
2
1
0
JJEEEA
dMdMMAAA rdrd
00
)(
dMA dd
0
dMA rr
0
，
2
m i n
2
m a xm a xm i nm a xm a x 2
1
2
1 JJEEEA
将 代入得 22
m i n2m a x 2 m
2m a x mJA?
一般做法是，在系统中装置一个转动惯量较大的构件，这个构件通常称之为飞轮，其转动惯量 JF。
装置飞轮的实质就是增加机械系统的转动惯量。
飞轮在系统中的 作用相当于一个容量很大的储能器 。当系统出现盈功，它将多余的能量以动能形式,储存,起来，并使系统运转速度的升高幅度减小；反之，当系统出现亏功时，它可将,储存,的动能释放出来以弥补能量的不足，并使系统运转速度下降的幅度减小。从而减小了系统运转速度波动的程度，获得了调速的效果。
2m a x mJA?
因此，在系统中,Amax及?m一定时，欲减小系统的运转不均匀程度，则应当增加系统的等效转动惯量 J。
飞轮的作用：
三、飞轮转动惯量的计算
Emax—角速度为最大的位置所具有的动能；
Emin—角速度为最小的位置所具有的动能；
由
2
m a x
m
Fc
AJJJ 可得
cmF J
AJ
2
m a x
或
22
m a x900
m
F n
AJ?
m i nm a xm a x EEA
VCF JJJJ
系统的等效转动惯量常量部分飞轮转动惯量 变量部分当
0?vJ,并按许用值 [?]设计若 0?
CJ
时，
cmF
A
J
2
m a x?
例：图为发动机的输出力矩 (Md)图，且等效阻力矩 Mr为常数，若不计机械中其它构件的转动惯量,只考虑飞轮转动惯量,设等效构件的平均转速为 1000r/min，运转不均匀系数?=0.02,试计算飞轮的转动惯量 JF。
1.等效驳动力矩和等效阻力矩为等效构件角位置函数
90 180 360 450 540 630 720
)(
M/(N.m) Md
75
100
-50
-75
50
-100
75
o
周期性变速稳定运转的特点,
一个周期的时间间隔,Ad=Ar,E2=E1;
不满一个周期的时间间隔,Ad=Ar,E2=E1解
90 180 360 450 540 630 720
)(
M/(N.m) Md
75
100
-50
-75
50
-100
75
o
（ 1）根据一个周期的时间间隔,Ad=Ar,求出等效阻力矩 Mr；
210027525010025022754
rM
mNM r 8 7 5.21
面积
)(JA?
F1 F2 F3 F4 F5 F6
26.56? 78.13?
-35.94?
F7
-48.44?
14.06?
-60.94?
26.56?
(2)计算各块盈亏功面积,
90 180 360 450 540 630 720
)(
M/(N.m) Md
75
100
-50
-75
50
-100
75
o
Mr
A B C D E F G A
(3)确定 Emax(?max),Emin(?min)的 位置，
位置
JE/
A B C D E F
0
A
026.56? -9.38? 68.75? 20.31? 34.37? -26.56?
G
)(44.299313.95
938.6006.1444.48654m a x
mN
FFFA
一般飞轮计算不需要很精确，应用上述简化计算已能满足要求，这种简化计算是工程中的实用方法。
max,?min的 位置分别在 D,G 处
（ 4）求 Amax
（ 5） 计算飞轮的转动惯量 JF
2
22
m a x 36.19 0 0 mkg
n
AJ
m
F
