第四单元(2)
第三章 轴向拉压变形
研究轴向拉压变形的目的，一方而为了分析轴向拉压刚度问题，另一方面是为了求解轴向拉压静不定问题。
§3-1 拉压杆的变形与叠加原理试验观测
(负值)
一、拉压杆的轴向变形和Hooke(1635～1703)定律
Hooke定理,
仍称为胡克定律式中：截面拉压刚度，简称为拉压刚度：拉为正，压负。
二、拉压杆的横向变形与泊松比
(横向应变，负值)
泊松比：，
(第七章将证明)对于各向同性材料，弹性模量E，泊松比与切变模量G之间存在如下关系，即只有两个独立弹性常数：
弹性常数见p44表。
三、多力杆的变形与叠加原理
例：
解2：
与前解相同，力的叠加原理(线代数方程)适用范围：(物理线性、几何线性、小变形)。叠加原理：将复杂问题可化为许多简单问题叠加。
受拉空心圆杆内周长是变大还是变小，改变量多少？
设弧长改变量，则，
P51,例3-2：许用，设计杆的直径。
P52,例3-3：
运动惯性力即将动力学原理化为静力学，此原理叫达郎贝尔原理。离心力使重量增加。
如是常数，则。
第五单元
§3-2 桁架的节点位移桁架的变形通常用节点的位移表示，它也是解静不定问题的基础(按原结构尺寸求内力,切线代圆弧计算位移,保证工程精度的简化处理)
分析步骤：
1,求内力(按原结构尺寸,因为小变形)
(拉) (压)
2.计算各杆伸长量(胡克定律)
(伸长) (缩短)
3.变形图：杆先伸长或缩短,后转动,切线代圆弧
4.按变形图计算位移
（向左）
(代入物理方程与内力公式)
应用条件：小变形，几何线性，物理线性(胡克定律)。
瞬变机构
几何非线性例：瞬态机构
，(解析法，略去高阶微量)
例：是刚性杆，求，。
(首先求CD杆的伸长，然后求C点位移，再由几何关系求B点位移。)
例：求A点的位移(刚体运动分解为随基点的一个平动加绕基点的转动，杆1先平移再转动)
例：求A、B相对位移(可以设任一点固定和一条线方位不变。最简单是根据对称性，设O点不动，CD方位不变。如图设定坐标，可知A、B、C、D都在轴上移动。
§3-3 拉压与剪切应变能
引言
准静态加载(逐缓慢，可忽略动能与热能的变化)
应变能=外力功，即。
一、轴向拉压应变能
对于线弹性材料
（图中阴影部分面积）
拉压杆(等截面，应力为常数)
二、拉压与形状改变比能
应变比能：单位体积的应变能。
单元体。
1.轴向拉压
2.纯剪
能量原理应用简例：
例3-5：已知各杆拉压刚度均为，试求节点的垂直位移。
解：1.轴力分析(由节点B、C平衡)
(拉)，(压),(压)
2.应变能计算
3.位移计算
外力功：
由能量守恒：，得
4.对比：用几何法求节点位移
例3-6：精密仪器底板隔振器。钢杆、钢套视为刚体，橡皮切变模量G。求钢杆位移。
解：轴对称问题
1.应力分析
橡皮管中假想截取半径为r的圆柱体，可假设剪应力均布(剪应变相等)
2.应变能计算
(应变比能)
3.变形分析
4.讨论
(1)如不采用能量法，用材料力学方法难以求解
(2)解的近似性
圆管上、下端不受力，如果假定以外壁受均布剪应力，将不符合剪应力互等定理。对于短而壁厚的橡皮垫管，误差可能较大。
(3)只能求解一个未知数,普遍的方法于第11章介绍。
§3-4 简单拉压静不定问题
(由平衡条件即可确定全部未知力的问题称为静定问题；由平衡条件尚不能确定全部未知力的问题称为静不定或超静定问题。如图示二杆桁架，为静定系统，增加一杆，为一度静不定系统，再增加一杆，为二度静不定系统。)
静不定度=未知力数-有效平衡方程数
解题思路：
(求解的关键是寻找确定多余未知力的补充方程。刚体静力学(理力)不能解决此问题。材力考虑了变形，由分析知道，多余未知力与多余变形约束条件具有一一对应的关系，由多余变形约束条件导出求解多余未知力的补充方程，是求解问题的关键。为此，需从几何关系、物理关系与静力学关系三方面来分析问题。)
下面为一三杆桁架。为简单计，假设杆1和杆2一相同，系统对称。
平衡方程, （1）
（2）
协调方程, （a）
物理方程, （b）
(b)代入(a)得补充方程, （3）
联立(1)、(2)、(3)求解
(拉)
(拉)
(可以看出，轴力与刚度相关，这是静不定问题与静定问题不同的地方。一般说，增加某杆的刚度，该杆受力亦增大)
第六单元
P64，例3-9：各杆刚度EA，杆1，2长。
解：(讨论受力图的画法。假定三杆均受拉，可画出变形图。书上假设1杆受压，2、3杆受拉。假如假设1、3杆受拉，2杆变压，则画不出变形图。
具体可先取定静定结构，任意假定变形方向，其余杆件变形随之确定。如假定变形方向与实际相反，则结果为负值。)
受力图（拉力或压力）与变形图假定一致
2.平衡方程
3.补充方程
4.轴力计算
(对比书中，假定1杆受压，因而变形、受力图不同，的结果为负值，实际指向与本解答相同)
5.强度校核(设，，)等截面杆，相同，只须校2杆
符合强度要求
(利用静不定问题的计算结果，可以用来确定许用载荷、校核强度、设计截面等)
(注意杆截面尺寸的改变将改变内力分配，因此例8(见p57)如取,杆2轴力将增大，留给学生考虑)
3-7(P62)：等截面均质杆AB，两端固定，求支反力解一：
平衡方程, （1）
协调方程,
物理方程,
补充方程, （2）
联立(1)和(2)
解二(叠加原理)
§3-5 热应力与预应力
杆系某些杆由于加工误差(或有意这样加工)或温度变化引起尺寸微小变化，对于静定问题仍可自由装配，不产生附加应力；对于静不定问题则引起附加应力，称为预应力(初应力)与热应力。
本节实际是前节分析方法的一点扩展或应用，学习时注意知识各部分间的内在联系。
3杆比实际尺寸长，求反力。
平衡方程, （1）
（2）
协调方程, （3）
物理方程, （4）
（5）
联解(1)-(5)
（拉） （6）
（压） （7）
（刚金混凝土，给钢筋一预拉力，则混凝土受呀，钢筋耐拉，混土耐压）
如果3杆伸长量是由于温度变化引起的
（8）
求解此问题，仅需将上述解答的换成，即(3)式换为
（9）
解(6)和(7)换为
继续对拉压静不定问题作些引伸。
例：设桁架3杆制造误差，受力P
1.利用叠加原理
（1）
（2）
(2)式中负号是由于3杆的预应力为压应力。
在P力作用下，一般是3杆先达到许用应力，而1、2杆潜力尚未发挥。从上面的解答，可以看到，可以求得一个，使，即3根杆同时达到许用应力。
,等强”——结构优化设计的一种方案，如预应力钢筋混凝土。
如不利用叠加原理，解法为平衡方法, （1）
（2）
协调方程, （3）
对比无初应力(装配应力)的情形，只有协调方程中，可以看出，静不定杆系与刚体静力学(理力)静定桁架，分析法，仅在于增加一个变形协调条件，它是各杆变形量的方程：
：静不定度，杆数。
对于包含预应力和热应力的问题
下面对变办调条件再进行一些讨论：
本节研究的是在约束条件下变形体的平衡问题(结构不破坏)，位移是在约束条件下变形体的可能位移或运动许可位移。协调条件可以看作变形体的运动许可方程。这样建立变形协调条件。
解法1：以杆1和2为静定系统，杆3与杆4的变形分别与之协调。
解法2：分别研究结构A和B
例：如图，ABC为刚性体，BD、AC抗拉压刚度EA，求二杆轴力。
(1)变形协调条件：(两杆可任意先去杆)ABC任意点角位移相同
（1）
(2)平衡方程：
（2）
由(1)得
（3）
(3)代入(2)：
§3-6 结构可靠性设计概念
(确定性设计。前述强度分析中，载荷、构件尺寸与性能等均视为确定的，所有不确定因素，则用一个安全因数加以处理。这种设计方法虽简单方便，但带有很大的经验性。，如何取？，破坏概率是多少？，破坏概率是多少？乘飞机与坐汽车哪个安全？坐飞机比坐火车安全。可靠性分析，材力重点在应力、应变分析。)
可靠性——产品在规定条件与时间内，完成规定功能的能力。
可靠度——产品在规定条件与时间内，完成规定功能的概率。
构件(或结构)可靠性设计——可靠性技术用于构件或结构设计。
一、设计变量的随机性
科学研究：物理现象的数学描述，。
(图3-22,风速；图3-23，屈服极限的随机分布曲线)
概率密度函数：
在出现的概率等于阴影区的面积。(大多数的设计变量均接近于正态分布或高斯分布)。
正态分布(高斯分布)的概率密度函数
母体：测试数据的全体。：(母体的)均值，确定曲线的位置。s:(母体的)标准差衡量分散性的指标。
在静强度的可靠性设计中，一般假设载荷、构件尺寸与材料性能等为服从正态分布的随机变量(正态分布的理论拟合线)。
二、随机变量的代数运算
见表3-2(p63)
设随机变量，的均值为，，标准差为，，并将，之和、差、积或商均用随机变量z表示，则其均值与标准差可按表3-2所述公式进行计算。
三、应力-强度联结方程
工作应力，均值，标准差；材料强度或极限应力，均值，标准差(黑箱)。
研究表明，构件不发生破坏的概率，即构件的可靠度为
上式建立了工作应力与材料强度间的关系，称为应力-强度联结方程。参量z称为联结系数或可靠度系数。表3-3，可查R与z的关系四、可靠性设计与分析
可靠度R与破坏概率或失效概率P的关系为
R=1-P
关于R或许用P的选取，可参考有关设计规范或手册。
例12：一圆截面杆承受正态分布的轴向载荷，其均值，标准差；材料为低合金钢，强度极限的均值为，标准差，规定可靠度R=0.999，试确定杆的半径，假设其公差为0.015。
解：依据应力-强度联结方程
（1）
R(0.999) z(3.091)，则
(强度极限均值)
(强度极限的标准差)
式(1)中(工作应力均值)，(工作应力标准差)为未知数，它们可表为杆的半径的函数
已知公差(尺寸的许可误差)，一般取“公差=3标准差”
查表3-2，序号4,
代入应力-强度联结方程即可求解。
解答：1.杆件横截面积均值，标准差，（）。
2.工作应力的均值与标准差
查表3-2之3,
3.确定杆的半径
代入应力-强度方程
（1）
结果有误：注：从方程(1)
=3.31mm (1)式右边=3.057
=3.32mm (1)式右边=3.1356
例2：计算杆轴向变形
（1）
(1)轴向变形的均值函数形式与(1)相同
(2)标准差逐个计算
(3)转换成公差形式
第三章 轴向拉压变形
研究轴向拉压变形的目的，一方而为了分析轴向拉压刚度问题，另一方面是为了求解轴向拉压静不定问题。
§3-1 拉压杆的变形与叠加原理试验观测
(负值)
一、拉压杆的轴向变形和Hooke(1635～1703)定律
Hooke定理,
仍称为胡克定律式中：截面拉压刚度，简称为拉压刚度：拉为正，压负。
二、拉压杆的横向变形与泊松比
(横向应变，负值)
泊松比：，
(第七章将证明)对于各向同性材料，弹性模量E，泊松比与切变模量G之间存在如下关系，即只有两个独立弹性常数：
弹性常数见p44表。
三、多力杆的变形与叠加原理
例：
解2：
与前解相同，力的叠加原理(线代数方程)适用范围：(物理线性、几何线性、小变形)。叠加原理：将复杂问题可化为许多简单问题叠加。
受拉空心圆杆内周长是变大还是变小，改变量多少？
设弧长改变量，则，
P51,例3-2：许用，设计杆的直径。
P52,例3-3：
运动惯性力即将动力学原理化为静力学，此原理叫达郎贝尔原理。离心力使重量增加。
如是常数，则。
第五单元
§3-2 桁架的节点位移桁架的变形通常用节点的位移表示，它也是解静不定问题的基础(按原结构尺寸求内力,切线代圆弧计算位移,保证工程精度的简化处理)
分析步骤：
1,求内力(按原结构尺寸,因为小变形)
(拉) (压)
2.计算各杆伸长量(胡克定律)
(伸长) (缩短)
3.变形图：杆先伸长或缩短,后转动,切线代圆弧
4.按变形图计算位移
（向左）
(代入物理方程与内力公式)
应用条件：小变形，几何线性，物理线性(胡克定律)。
瞬变机构
几何非线性例：瞬态机构
，(解析法，略去高阶微量)
例：是刚性杆，求，。
(首先求CD杆的伸长，然后求C点位移，再由几何关系求B点位移。)
例：求A点的位移(刚体运动分解为随基点的一个平动加绕基点的转动，杆1先平移再转动)
例：求A、B相对位移(可以设任一点固定和一条线方位不变。最简单是根据对称性，设O点不动，CD方位不变。如图设定坐标，可知A、B、C、D都在轴上移动。
§3-3 拉压与剪切应变能
引言
准静态加载(逐缓慢，可忽略动能与热能的变化)
应变能=外力功，即。
一、轴向拉压应变能
对于线弹性材料
（图中阴影部分面积）
拉压杆(等截面，应力为常数)
二、拉压与形状改变比能
应变比能：单位体积的应变能。
单元体。
1.轴向拉压
2.纯剪
能量原理应用简例：
例3-5：已知各杆拉压刚度均为，试求节点的垂直位移。
解：1.轴力分析(由节点B、C平衡)
(拉)，(压),(压)
2.应变能计算
3.位移计算
外力功：
由能量守恒：，得
4.对比：用几何法求节点位移
例3-6：精密仪器底板隔振器。钢杆、钢套视为刚体，橡皮切变模量G。求钢杆位移。
解：轴对称问题
1.应力分析
橡皮管中假想截取半径为r的圆柱体，可假设剪应力均布(剪应变相等)
2.应变能计算
(应变比能)
3.变形分析
4.讨论
(1)如不采用能量法，用材料力学方法难以求解
(2)解的近似性
圆管上、下端不受力，如果假定以外壁受均布剪应力，将不符合剪应力互等定理。对于短而壁厚的橡皮垫管，误差可能较大。
(3)只能求解一个未知数,普遍的方法于第11章介绍。
§3-4 简单拉压静不定问题
(由平衡条件即可确定全部未知力的问题称为静定问题；由平衡条件尚不能确定全部未知力的问题称为静不定或超静定问题。如图示二杆桁架，为静定系统，增加一杆，为一度静不定系统，再增加一杆，为二度静不定系统。)
静不定度=未知力数-有效平衡方程数
解题思路：
(求解的关键是寻找确定多余未知力的补充方程。刚体静力学(理力)不能解决此问题。材力考虑了变形，由分析知道，多余未知力与多余变形约束条件具有一一对应的关系，由多余变形约束条件导出求解多余未知力的补充方程，是求解问题的关键。为此，需从几何关系、物理关系与静力学关系三方面来分析问题。)
下面为一三杆桁架。为简单计，假设杆1和杆2一相同，系统对称。
平衡方程, （1）
（2）
协调方程, （a）
物理方程, （b）
(b)代入(a)得补充方程, （3）
联立(1)、(2)、(3)求解
(拉)
(拉)
(可以看出，轴力与刚度相关，这是静不定问题与静定问题不同的地方。一般说，增加某杆的刚度，该杆受力亦增大)
第六单元
P64，例3-9：各杆刚度EA，杆1，2长。
解：(讨论受力图的画法。假定三杆均受拉，可画出变形图。书上假设1杆受压，2、3杆受拉。假如假设1、3杆受拉，2杆变压，则画不出变形图。
具体可先取定静定结构，任意假定变形方向，其余杆件变形随之确定。如假定变形方向与实际相反，则结果为负值。)
受力图（拉力或压力）与变形图假定一致
2.平衡方程
3.补充方程
4.轴力计算
(对比书中，假定1杆受压，因而变形、受力图不同，的结果为负值，实际指向与本解答相同)
5.强度校核(设，，)等截面杆，相同，只须校2杆
符合强度要求
(利用静不定问题的计算结果，可以用来确定许用载荷、校核强度、设计截面等)
(注意杆截面尺寸的改变将改变内力分配，因此例8(见p57)如取,杆2轴力将增大，留给学生考虑)
3-7(P62)：等截面均质杆AB，两端固定，求支反力解一：
平衡方程, （1）
协调方程,
物理方程,
补充方程, （2）
联立(1)和(2)
解二(叠加原理)
§3-5 热应力与预应力
杆系某些杆由于加工误差(或有意这样加工)或温度变化引起尺寸微小变化，对于静定问题仍可自由装配，不产生附加应力；对于静不定问题则引起附加应力，称为预应力(初应力)与热应力。
本节实际是前节分析方法的一点扩展或应用，学习时注意知识各部分间的内在联系。
3杆比实际尺寸长，求反力。
平衡方程, （1）
（2）
协调方程, （3）
物理方程, （4）
（5）
联解(1)-(5)
（拉） （6）
（压） （7）
（刚金混凝土，给钢筋一预拉力，则混凝土受呀，钢筋耐拉，混土耐压）
如果3杆伸长量是由于温度变化引起的
（8）
求解此问题，仅需将上述解答的换成，即(3)式换为
（9）
解(6)和(7)换为
继续对拉压静不定问题作些引伸。
例：设桁架3杆制造误差，受力P
1.利用叠加原理
（1）
（2）
(2)式中负号是由于3杆的预应力为压应力。
在P力作用下，一般是3杆先达到许用应力，而1、2杆潜力尚未发挥。从上面的解答，可以看到，可以求得一个，使，即3根杆同时达到许用应力。
,等强”——结构优化设计的一种方案，如预应力钢筋混凝土。
如不利用叠加原理，解法为平衡方法, （1）
（2）
协调方程, （3）
对比无初应力(装配应力)的情形，只有协调方程中，可以看出，静不定杆系与刚体静力学(理力)静定桁架，分析法，仅在于增加一个变形协调条件，它是各杆变形量的方程：
：静不定度，杆数。
对于包含预应力和热应力的问题
下面对变办调条件再进行一些讨论：
本节研究的是在约束条件下变形体的平衡问题(结构不破坏)，位移是在约束条件下变形体的可能位移或运动许可位移。协调条件可以看作变形体的运动许可方程。这样建立变形协调条件。
解法1：以杆1和2为静定系统，杆3与杆4的变形分别与之协调。
解法2：分别研究结构A和B
例：如图，ABC为刚性体，BD、AC抗拉压刚度EA，求二杆轴力。
(1)变形协调条件：(两杆可任意先去杆)ABC任意点角位移相同
（1）
(2)平衡方程：
（2）
由(1)得
（3）
(3)代入(2)：
§3-6 结构可靠性设计概念
(确定性设计。前述强度分析中，载荷、构件尺寸与性能等均视为确定的，所有不确定因素，则用一个安全因数加以处理。这种设计方法虽简单方便，但带有很大的经验性。，如何取？，破坏概率是多少？，破坏概率是多少？乘飞机与坐汽车哪个安全？坐飞机比坐火车安全。可靠性分析，材力重点在应力、应变分析。)
可靠性——产品在规定条件与时间内，完成规定功能的能力。
可靠度——产品在规定条件与时间内，完成规定功能的概率。
构件(或结构)可靠性设计——可靠性技术用于构件或结构设计。
一、设计变量的随机性
科学研究：物理现象的数学描述，。
(图3-22,风速；图3-23，屈服极限的随机分布曲线)
概率密度函数：
在出现的概率等于阴影区的面积。(大多数的设计变量均接近于正态分布或高斯分布)。
正态分布(高斯分布)的概率密度函数
母体：测试数据的全体。：(母体的)均值，确定曲线的位置。s:(母体的)标准差衡量分散性的指标。
在静强度的可靠性设计中，一般假设载荷、构件尺寸与材料性能等为服从正态分布的随机变量(正态分布的理论拟合线)。
二、随机变量的代数运算
见表3-2(p63)
设随机变量，的均值为，，标准差为，，并将，之和、差、积或商均用随机变量z表示，则其均值与标准差可按表3-2所述公式进行计算。
三、应力-强度联结方程
工作应力，均值，标准差；材料强度或极限应力，均值，标准差(黑箱)。
研究表明，构件不发生破坏的概率，即构件的可靠度为
上式建立了工作应力与材料强度间的关系，称为应力-强度联结方程。参量z称为联结系数或可靠度系数。表3-3，可查R与z的关系四、可靠性设计与分析
可靠度R与破坏概率或失效概率P的关系为
R=1-P
关于R或许用P的选取，可参考有关设计规范或手册。
例12：一圆截面杆承受正态分布的轴向载荷，其均值，标准差；材料为低合金钢，强度极限的均值为，标准差，规定可靠度R=0.999，试确定杆的半径，假设其公差为0.015。
解：依据应力-强度联结方程
（1）
R(0.999) z(3.091)，则
(强度极限均值)
(强度极限的标准差)
式(1)中(工作应力均值)，(工作应力标准差)为未知数，它们可表为杆的半径的函数
已知公差(尺寸的许可误差)，一般取“公差=3标准差”
查表3-2，序号4,
代入应力-强度联结方程即可求解。
解答：1.杆件横截面积均值，标准差，（）。
2.工作应力的均值与标准差
查表3-2之3,
3.确定杆的半径
代入应力-强度方程
（1）
结果有误：注：从方程(1)
=3.31mm (1)式右边=3.057
=3.32mm (1)式右边=3.1356
例2：计算杆轴向变形
（1）
(1)轴向变形的均值函数形式与(1)相同
(2)标准差逐个计算
(3)转换成公差形式
