第18单元
第七章 应力、应变状态分析
§7-1 引言
简单受力情况：单向拉伸，纯剪(扭)，根据实验建立强度条件。
复杂应力状态:
工字钢横力弯曲
点：如何建立强度条件，根据还是?
需要对一点的应力进行深入研究。
构件内，过一点所作各微截面的应力状况，称为该点处的应力状态。应用应力微体研究
§7-2 平面应力状态的应力分析一、平面应力状态(一对平行侧面上无应力，其余面上的应力平行于这对平面)
二、研究：任一斜截面的应力(与无应力平面垂直的平面)可画平面图(单位厚度应力)
三、符号规定：
方位角，(从轴)逆时针正
正应力：拉为正
剪应力：使顺时针转正四、方法：微体（微块）（单位厚度）的平衡
微三角块平衡五、结果
六、已知，求， ——解析法
，
，
轴向左，则，代入公式
§7-3 应力圆——求，的图解法一、原理
从上节：
两边平方后相加(第一个方程移项)
从数学观点
，的轨迹为圆，圆心，半径,名称：应力圆二、应力圆的绘制及应用
（知道了圆心和半径就可以绘制应力图，但这样有两个缺点：1)麻烦：要算半径；2)还没有清楚说明应力圆上的点与微体的面的关系)
1.取，坐标(一般省去下标，为，)
2.面上的应力以点表示，面上的应力以点表示。
(与数值相等，故DF=EG,CD为直径，与坐标轴的交点即为圆心)
3.连D、E，交坐标轴于C，以C为圆心，或为半径作圆，即得应力圆。
三、应力圆的应用——求面上的应力
CD转2至CH，点H坐标即为，(见P209证明)
四、圆与面的关系(应力圆与微体截面的关系)
1.圆上一点坐标=微体一个截面应力值
2.圆上两点所夹圆心角=两截面法线夹角的两倍
3.对应夹角转向相同
问：正向一侧对应,负向一侧对应何点?
答：仍是D点。从应力圆，转仍回到D点。
从微体平衡，两侧应力数值相等，按所给的符号规定，符号也相等。
五、思考题
已知，，，，如何作应力圆。
解：联AB，并作它的中垂线，交轴于C，C为圆心。
问：角在圆上如何表示
答：已自动确定，，，，，不独立。
§7-4 平面应力状态的极值应力与主应力
A点所对应截面的实际应力方向，借助应力圆画出。
一、平面应力状态的极值应力
1.
2.方位：
(有两个角，由应力圆或微体x面剪应力方向判断)
3,
方位与正应力极值截面成的夹角二、主应力
主平面：的面
主平面微体：三对互主平面组成的微体
(过一点总存在主平面微体。平面应力状态下，可由解析公式或应力圆证明，一般情形可由弹性力学证明)
主应力：主平面上的正应力以，，表示
例：
那么：
应力状态
单向应力状态 二向应力状态 三向应力状态
主应力仅一个不为零 复杂应力状态
两个主应力不为零 三个都不为零例：
量得
P217 题7.6：凸角应力为零
(1)截取三角块微体，两边应力为0，第三边应力由平衡条件可知为零
(2)应力圆退化到原点
(3)在凹角应力可能为无穷大。暂无法分析，因不能截出有两个已知应力边的三角块。
主应力迹线根据梁内各点的主应力方向，可在梁的平面内绘制两组曲线。一组曲线各点的切向沿主拉应力方向，另一组沿主压应力方向，两组曲线相互正交。此曲线族称为梁的主应力迹线。钢筋混凝土的主承力钢筋大致沿主应力方向。
第19单元
§7-5 三向应力状态的最大应力
本节研究应力状态的一般形式，并研究所有斜截面应力。
一、三向应力圆
1.三组特殊平面的应力
对应于三个应力圆
(1)平面，由作应力圆
(2)平面，由作应力圆
(3)平面，由作应力圆
2.任意斜截面上的应力
(1)方法：截取微四面体平衡
(2)结果
、、——截面外法线的方向余弦。
(3)图示：对应的点落在三向应力圆的阴影区内
(4)三向应力圆画法(已知一个面为主平面)
a.由作两向应力圆，确定两个主应力位置
b.上述两个主应力与可确定三向应力圆
薄板：在厚度方向应力为0；厚体：很厚，在厚度方向应变为0。
§7-6 平面应变状态应变分析
（本章平面应力状态是重点）
点的应力状态：过某点各微截面的应力情况
应变状态：某点在不同方位的应变情况
平面应变状态：所有应变均发生在同一平面内
平面应力与平面应变状态对比：
方向应变(正应变和剪应变) 方向应力(正应力和剪应力)
为零，应力不为零 为零，应变不为零
物理上的区别，数学上的相似：
如果在平面应力问题的物理方程中，将换为，换为，就得到平面应变问题的物理方程。
一、任意方位应变分析
1.问题：已知，求，
(回顾，的定义：：微线段伸长量/原长。：直角改变量，：AOC直角；：BOD直角
2.方法：分别求引起的和，然后迭加
(1)只有正应变的情况
高阶微量 (角顺时针转为负)
(2)只有的情况
(3)只有的情况
(见P219三个图)
3.结果(叠加)
对比平面应变公式与平面应力转轴公式，形式相同。
二、应变圆(与应力圆的作法相同)
1.方程：
2.圆心：
3.半径：
4.应变圆绘制
定D，F，为直径画图。
5.求任意方位，
(1)解析法(代公式)
(2)图解
D转2到E。
三、最大应变与主应变
1.应变极值及方位
2.主应变：方位的正应变，由应变圆，它总是存在。表示。
3.适用范围：
应变圆：纯几何角度推导，小变形，与材料性质无关。
应力圆：线性、非线性(因为推导没用到材料常数和胡克定律)。
4.P221例7-6，代公式，自学(不好测)
求,的公式中，包含三个量，如反过来要求，可先测三个方向，联立方程求解。
第20单元
§7-7 各向材料的应力、应变关系
单向拉伸胡克定律
纯剪胡克定律
广义胡克定律：复杂应力状态下，应力和应变关系。
一、广义胡克定律
1.对主应力微体(利用叠加原理)
只有：
：
：
叠加
2.非主应力微体
(线弹性，小变形，与为两组独立应力，叠加原理成立，符号)
3.平面应力状态：
[，一般不写]
也可以由表示：
4.适用范围
线弹性（胡克定律），小变形，各向同性材料。
二、各向同性材料主应变与主应力的关系
主应力方位=主应变方位
与对应三、各向同性材料、、之间的关系
(只有两个常数独立)，纯剪微体
又
例：刚性块有D=5.001cm凹座，内放d=5cm钢圆柱，P=300kN，=200GPa，=0.3(无摩擦)，求圆柱体内主应力。
解：圆柱体内第三主应力
假定圆柱体膨胀塞满凹座
由对称性，圆柱体第一、二主应力均为。
(为正值为负值，表明假设正确，否则，。
，
§7-8 复合材料的应力、应变关系(选讲)
复合材料种类繁多，长纤维、短纤维、颗粒增强，金属基、树脂基。
本书仅介绍长纤维、树脂基复合材料
正交各向异性(有三个互相垂直的对称面)、横观各向同性一、正轴物理方程
轴1，纤维纵向
轴2，纤维横向
轴3，与轴1，2构成直角坐标系
轴1，2，3称为材料主轴
1.单独作用
2.单独作用
，第一个下标1表示由引起，第2个下标2表示轴2方向的变形。与不相等。
3.单独作用
：纵向切变模量
4.正轴物理方程(主轴坐标系下的应力应变关系)
矩阵对称，可能大于0.5
二、偏轴物理方程(复合材料在非主轴坐标系中的应力应变关系)
由坐标旋转获得。
三、各向异性与拉剪耦合
复合材料物理方程的上述特性，产生了许多新的力学现象。
1.拉伸与剪切之间存在耦合效应
拉应力产生剪应变剪应力产生拉应变
2.应力主轴与应变主轴不重合
3.弹性常数具有方向性
§7-9 复杂应力状态下的应变比能与形状改变比能一、对主应力微体
1.应变比能
单拉：
复杂应力状态：（比例加载，应变能与加载顺序无关）
代入广义胡克定律
2.体积应变(本书称体积变化率)
略去高阶微量
代入广义胡克定律
3.体积与形状改变比能
应变比能能够分解为体积改变比能与形状改变比能之和
体积改变比能等于与之体积应变相等的三向等应力单元体(其应力为的应变比能，故
代入（1）
形状改变比能
二、非主应力微体
1.复杂应力状态下应变比能
2.纯剪应力状态引起的体积应变为零
非主应力微体的剪应力可看作三个纯剪应力状态的叠加
3.体积与形状应变比能由2，可知
第七章 应力、应变状态分析
§7-1 引言
简单受力情况：单向拉伸，纯剪(扭)，根据实验建立强度条件。
复杂应力状态:
工字钢横力弯曲
点：如何建立强度条件，根据还是?
需要对一点的应力进行深入研究。
构件内，过一点所作各微截面的应力状况，称为该点处的应力状态。应用应力微体研究
§7-2 平面应力状态的应力分析一、平面应力状态(一对平行侧面上无应力，其余面上的应力平行于这对平面)
二、研究：任一斜截面的应力(与无应力平面垂直的平面)可画平面图(单位厚度应力)
三、符号规定：
方位角，(从轴)逆时针正
正应力：拉为正
剪应力：使顺时针转正四、方法：微体（微块）（单位厚度）的平衡
微三角块平衡五、结果
六、已知，求， ——解析法
，
，
轴向左，则，代入公式
§7-3 应力圆——求，的图解法一、原理
从上节：
两边平方后相加(第一个方程移项)
从数学观点
，的轨迹为圆，圆心，半径,名称：应力圆二、应力圆的绘制及应用
（知道了圆心和半径就可以绘制应力图，但这样有两个缺点：1)麻烦：要算半径；2)还没有清楚说明应力圆上的点与微体的面的关系)
1.取，坐标(一般省去下标，为，)
2.面上的应力以点表示，面上的应力以点表示。
(与数值相等，故DF=EG,CD为直径，与坐标轴的交点即为圆心)
3.连D、E，交坐标轴于C，以C为圆心，或为半径作圆，即得应力圆。
三、应力圆的应用——求面上的应力
CD转2至CH，点H坐标即为，(见P209证明)
四、圆与面的关系(应力圆与微体截面的关系)
1.圆上一点坐标=微体一个截面应力值
2.圆上两点所夹圆心角=两截面法线夹角的两倍
3.对应夹角转向相同
问：正向一侧对应,负向一侧对应何点?
答：仍是D点。从应力圆，转仍回到D点。
从微体平衡，两侧应力数值相等，按所给的符号规定，符号也相等。
五、思考题
已知，，，，如何作应力圆。
解：联AB，并作它的中垂线，交轴于C，C为圆心。
问：角在圆上如何表示
答：已自动确定，，，，，不独立。
§7-4 平面应力状态的极值应力与主应力
A点所对应截面的实际应力方向，借助应力圆画出。
一、平面应力状态的极值应力
1.
2.方位：
(有两个角，由应力圆或微体x面剪应力方向判断)
3,
方位与正应力极值截面成的夹角二、主应力
主平面：的面
主平面微体：三对互主平面组成的微体
(过一点总存在主平面微体。平面应力状态下，可由解析公式或应力圆证明，一般情形可由弹性力学证明)
主应力：主平面上的正应力以，，表示
例：
那么：
应力状态
单向应力状态 二向应力状态 三向应力状态
主应力仅一个不为零 复杂应力状态
两个主应力不为零 三个都不为零例：
量得
P217 题7.6：凸角应力为零
(1)截取三角块微体，两边应力为0，第三边应力由平衡条件可知为零
(2)应力圆退化到原点
(3)在凹角应力可能为无穷大。暂无法分析，因不能截出有两个已知应力边的三角块。
主应力迹线根据梁内各点的主应力方向，可在梁的平面内绘制两组曲线。一组曲线各点的切向沿主拉应力方向，另一组沿主压应力方向，两组曲线相互正交。此曲线族称为梁的主应力迹线。钢筋混凝土的主承力钢筋大致沿主应力方向。
第19单元
§7-5 三向应力状态的最大应力
本节研究应力状态的一般形式，并研究所有斜截面应力。
一、三向应力圆
1.三组特殊平面的应力
对应于三个应力圆
(1)平面，由作应力圆
(2)平面，由作应力圆
(3)平面，由作应力圆
2.任意斜截面上的应力
(1)方法：截取微四面体平衡
(2)结果
、、——截面外法线的方向余弦。
(3)图示：对应的点落在三向应力圆的阴影区内
(4)三向应力圆画法(已知一个面为主平面)
a.由作两向应力圆，确定两个主应力位置
b.上述两个主应力与可确定三向应力圆
薄板：在厚度方向应力为0；厚体：很厚，在厚度方向应变为0。
§7-6 平面应变状态应变分析
（本章平面应力状态是重点）
点的应力状态：过某点各微截面的应力情况
应变状态：某点在不同方位的应变情况
平面应变状态：所有应变均发生在同一平面内
平面应力与平面应变状态对比：
方向应变(正应变和剪应变) 方向应力(正应力和剪应力)
为零，应力不为零 为零，应变不为零
物理上的区别，数学上的相似：
如果在平面应力问题的物理方程中，将换为，换为，就得到平面应变问题的物理方程。
一、任意方位应变分析
1.问题：已知，求，
(回顾，的定义：：微线段伸长量/原长。：直角改变量，：AOC直角；：BOD直角
2.方法：分别求引起的和，然后迭加
(1)只有正应变的情况
高阶微量 (角顺时针转为负)
(2)只有的情况
(3)只有的情况
(见P219三个图)
3.结果(叠加)
对比平面应变公式与平面应力转轴公式，形式相同。
二、应变圆(与应力圆的作法相同)
1.方程：
2.圆心：
3.半径：
4.应变圆绘制
定D，F，为直径画图。
5.求任意方位，
(1)解析法(代公式)
(2)图解
D转2到E。
三、最大应变与主应变
1.应变极值及方位
2.主应变：方位的正应变，由应变圆，它总是存在。表示。
3.适用范围：
应变圆：纯几何角度推导，小变形，与材料性质无关。
应力圆：线性、非线性(因为推导没用到材料常数和胡克定律)。
4.P221例7-6，代公式，自学(不好测)
求,的公式中，包含三个量，如反过来要求，可先测三个方向，联立方程求解。
第20单元
§7-7 各向材料的应力、应变关系
单向拉伸胡克定律
纯剪胡克定律
广义胡克定律：复杂应力状态下，应力和应变关系。
一、广义胡克定律
1.对主应力微体(利用叠加原理)
只有：
：
：
叠加
2.非主应力微体
(线弹性，小变形，与为两组独立应力，叠加原理成立，符号)
3.平面应力状态：
[，一般不写]
也可以由表示：
4.适用范围
线弹性（胡克定律），小变形，各向同性材料。
二、各向同性材料主应变与主应力的关系
主应力方位=主应变方位
与对应三、各向同性材料、、之间的关系
(只有两个常数独立)，纯剪微体
又
例：刚性块有D=5.001cm凹座，内放d=5cm钢圆柱，P=300kN，=200GPa，=0.3(无摩擦)，求圆柱体内主应力。
解：圆柱体内第三主应力
假定圆柱体膨胀塞满凹座
由对称性，圆柱体第一、二主应力均为。
(为正值为负值，表明假设正确，否则，。
，
§7-8 复合材料的应力、应变关系(选讲)
复合材料种类繁多，长纤维、短纤维、颗粒增强，金属基、树脂基。
本书仅介绍长纤维、树脂基复合材料
正交各向异性(有三个互相垂直的对称面)、横观各向同性一、正轴物理方程
轴1，纤维纵向
轴2，纤维横向
轴3，与轴1，2构成直角坐标系
轴1，2，3称为材料主轴
1.单独作用
2.单独作用
，第一个下标1表示由引起，第2个下标2表示轴2方向的变形。与不相等。
3.单独作用
：纵向切变模量
4.正轴物理方程(主轴坐标系下的应力应变关系)
矩阵对称，可能大于0.5
二、偏轴物理方程(复合材料在非主轴坐标系中的应力应变关系)
由坐标旋转获得。
三、各向异性与拉剪耦合
复合材料物理方程的上述特性，产生了许多新的力学现象。
1.拉伸与剪切之间存在耦合效应
拉应力产生剪应变剪应力产生拉应变
2.应力主轴与应变主轴不重合
3.弹性常数具有方向性
§7-9 复杂应力状态下的应变比能与形状改变比能一、对主应力微体
1.应变比能
单拉：
复杂应力状态：（比例加载，应变能与加载顺序无关）
代入广义胡克定律
2.体积应变(本书称体积变化率)
略去高阶微量
代入广义胡克定律
3.体积与形状改变比能
应变比能能够分解为体积改变比能与形状改变比能之和
体积改变比能等于与之体积应变相等的三向等应力单元体(其应力为的应变比能，故
代入（1）
形状改变比能
二、非主应力微体
1.复杂应力状态下应变比能
2.纯剪应力状态引起的体积应变为零
非主应力微体的剪应力可看作三个纯剪应力状态的叠加
3.体积与形状应变比能由2，可知
