第七单元
第四章 扭转
§4-1 引言受扭杆通常称为轴。
工程实例：方向盘轴、传动轴。
(力学特征)
外力特征：力偶矩矢//杆轴。
变形特征：各轴线仍直，各横截面绕轴作相对转动。
力偶矩矢表示的右手螺旋法则。
1.内力：扭矩T
(矢量表示法与拉压杆轴力形式相同)
工程换算(p91)：
为功率，单位：，千瓦。：角速度(弧度/秒)，=转速(r/min,转/分)。
2.内力计算：截面法
符号：力偶矩矢离开截面为正
设正法(未知扭矩假定为正向)
(对比轴力的计算与符号规定)
3.扭矩图(内力的形象表示)
§4-2 圆轴扭转应力矩
我们已经研究了扭转轴的受力特性和变形特性，扭矩可根据静力平衡方程求出，但由于其截面各点扭转剪应力不相同，不能利用静力学方程（横截面各点应力的合力等于内力）确定圆轴横截面扭转应力，要综合几何、物理和静力学三方面求解。）
扭转应力的一般公式，
几何方面：
1．外部现象
（1）各圆周线形状不变，仅饶轴线作相对转动；
（2）小变形时，各圆周线的大小与间距均不改变；
（3）小变形时，纵线转动一角度。
可以设想圆轴由许多薄壁圆管组成，相邻管变形协调。
2．内部变形假定
根据所观测外部现象，对内部变形作如下假设：
（1）平面假设：横截面绕轴线作刚性转动。(横截面仍保持为平面，其形状和大小均不改变，半径仍为直线)
（2）各截面之间间距保持不变。
变形后，横截面保持平面，其形状、大小和间距不变，且半径为直线。显然，根据本假定可知：圆轴纵向没有变形，因此，横截面没有正应力。横截面变形为横截面间相对转动一角度，其变形为垂直半径剪切转动，即横截面内存在垂直半径的剪切应变。
3．数学描述：先取一圆片，再过轴线截二刀，得一楔形体。如图,此楔形体变形可用二角度和表示。纵向线偏转角，两截面相对转角，根据弧长=半径×圆心角
（a）
二、物理方面：
由剪切胡克定律
(b)
将变形协调方程代入上式，
(c)
为横截面上任一点到轴线的距离，为该点的剪应力。上式表明：扭转剪应力随线性变化（如图示）的点，即原点处剪应力为0，轴边缘剪应力最大，半径为圆圈上剪应力相同；剪应力垂直半径。 (，常数，沿半径线性变化，半径)
三、静力学方面
由于横截面各点剪应力的合力构成其内力。即剪应力的合力偶等于扭矩。
将物理方程代入上式，即将式(c)代入
极惯性矩 (4-1)
这是圆轴扭转变形的基本公式，代入式(c)
(4-2)
式中是一个纯几何量，称为截面的极惯性矩，由此式可以看出：是与材料力学性能无关的几何性质参数，只与截面几何尺寸有关。教材294给出了实心圆轴的即惯性矩，空心圆轴。应该指出的是：采用空心圆轴能更充分地利用材料。
四、最大扭转剪应力
由式(4-2)可知，在=R即圆截面边缘，剪应力最大。
(4-3)
令 (抗扭截面模量) (4-4)
五、极惯性矩的计算
§A-2，P294：熟记：
六、薄壁圆管的扭转剪应力按空心圆轴可以得到薄壁的应力。由于管壁薄，可以认为扭转剪应力圆壁厚均匀分布，因此可直接利用剪应力与扭矩间的静力学关系求解。
假定：剪应力均布(因薄且对称)
(4-9)
精确分析表明：当时，上式具有足够的精度，误差不超过4.53%，此时，可以采用该式计算应力。
由于剪应力均布的假定对所有匀质材料制成的薄壁圆管均成立，故公式(4-9)对于弹性、非弹性；大变形、小变形、各向同性、各向异性均成立。
练习题：
1.画圆轴、圆管横截面剪应力分布图(示意)
空心轴 薄壁管
组合轴
平面假设成立
§4-3 圆轴扭转强度一、纯剪状态斜截面上的剪应力
拉压杆斜截面上存在剪应力；纯剪(圆轴扭转)，则在斜面上存在正应力。低碳钢扭转沿横截面断裂，铸铁、粉笔沿螺旋面断裂。
二、扭转失效与扭转极限应力
扭转极限应力 （实验测定）
三、圆轴扭转强度条件
(材料扭转许用剪应力等于扭转极限应力除以安全因数)
(4-10)
圆轴强度条件
(4-11)
等截面杆 (4-12)
理论与实验研究表明，与之间在一定关系：
第八单元
§4-4 圆轴扭转变形与刚度计算一、圆轴的扭转变形公式
轴的变形，用横截面间相对角位移即扭转角表示
(4-17)
常扭等截面圆轴
(4-18)
薄壁圆管, (4-19)
二、圆轴扭转刚度条件
(实际工程中，通常是限制角沿轴线的变化率或单位长度内的扭转角)
令，那么
刚度条件
强度条件
(1)许用扭转角查设计标准或规范
单位换算：
例：已知，，尺寸，计算总扭转角，校核强度和刚度。
1.扭矩图
2.总扭转角(从轴与扭矩图，必须分4段计算，它也说明扭矩图为什么位置上要与原轴平齐)
3.强度校核(校A、B两危险截面，A：扭矩最大，B：抗扭截面模量最小。这里是A、B两可能危险截面)
取A、B中较大者
4.刚度校核(通常刚度要求更严格)
设计轴，分别按，设计，取较大者。
例4-2(P91)：已知T=1.5kN·m,=50Mpa。设计横截面。
1.确定实心轴直径
根据扭转强度条件
取d=54mm。
2.确定空心圆轴的内外径(设=d/D=0.9)
可取D=76mm,。
3.空心轴与实心轴之重量比
讨 论
1.合理截面与减缓应力集中
越大，剪应力分布愈均匀，构成扭矩的力臂愈大，材料利用率越高。但是过大将失稳皱折。
变截面轴或阶梯轴，“等强”或接近等强。
减缓应力集中，“圆角” 变截面轴
，，，，，，，，，
2.扭矩合理分配
主动轮、从动轮两种分配方案，在轴中引起的扭矩不同。
单位换算
3.一类扭转与拉压(静不定)问题对比
(思考：两个问题和结果的对应量)
p98 例4-8 对应?
(1)螺孔不正，加扭矩配合 (2)杆短加拉力连接
(2)设想右端无约束,(2)设想右端无约束，
右轴转无应力配合 右杆左移无应配合
(3)设想右端加M，转回 (3)设想右端加拉力P，
右端回原位置协调条件 协调条件
(4)注意两轴直径可不等 (4)两杆直径材料可不同
p113 题4.27：钢轴套在铜管内，两端刚性焊牢，校核强度。
拆开分析，变形协调条件：
对应的拉压问题?
未知力偶T(已经利用了平衡条件，问：为什么不用平衡方程)
§4-5 非圆截面轴的扭转
分析拉压应力时，对杆的横截面形状未加限制；但§4-2节研究扭转应力时，即限制为圆截面杆。圆轴扭转应力公式能否直接用于非圆截面杆，回答是否定的，见下页角点微体分析。
历史插曲：材料力学史上，由于一位著名力学家的疏忽，曾错误用圆截面杆扭转的公式解非圆截面杆问题达半个世纪(圆杆扭转应力公式，Coulomb,1984;Navier错误用于非圆截面杆)，1855年，St.Venant获本问题正确解答。大胆设想，小心求证。
1.要独立思考，不要盲从书本和名人
2.科学研究不要怕犯错误，要有创新和开拓精神，要勇于纠正错误。
一、矩形截面轴的扭转
1.角点微体分析
2.理论研究
平面假设?“翘曲”
限制扭转(横截面受到限制的扭转)
自由扭转
剪应力分布(弹性力学)
(1)边缘//周边
(2) (长边h中点)
(短边中点)
(3)扭转角
，，查表(不必记)
(4)狭长矩形截面轴
二、椭圆等非圆截面杆扭转
，量纲与，相同，见P306附录。
第九单元（1）
§4-6 薄壁杆扭转
几个名词
(1)截面中心线(薄壁杆横截面厚度平分线，和壁厚共同描述薄壁杆截面几何尺寸)
(2)闭口薄壁杆(中心线为闭曲线)
(3)开口薄壁杆(中心线为开曲线)
一、闭口薄壁杆的扭转应力(自由扭转)
1.分布
a.沿均布(薄) b,//中心线(互等)
2.剪流（不同点剪应力不同）
(从横截面中截取一单元体，从横截面上不能得出τ分布规律，利用互等，转向考察纵向剪面)
剪流是一种比拟，象河流，宽处水缓，窄处水急。(利用自然现象数学本质的相似性，可以使某些复杂的自然现象得到更形象理解或更方便计算)
思考：非等厚闭口薄壁杆扭转，何处剪应力最大?
3.大小(静力学关系)
二、闭口薄壁杆的扭转变形
对于轴向长度为，厚度为，沿截面中心线长的微体，
整个薄壁杆的扭转应变能
常扭矩等截面闭口薄壁杆
设扭转角为，由W=U得
与圆轴扭转变形公式比较，
扭转刚度：(圆轴) (薄壁杆)
适用于非圆闭口薄壁截面三、开口薄壁杆扭转的概念
闭口薄壁杆剪应力沿厚度均布，充分利用材料，力臂大，扭矩大 开口薄壁杆与之相反。
1.剪应力分布
,环流”，开口抗扭能力很差
2.狭长矩形条构成的截面(如槽钢)
设前图(薄壁圆管)
1.
2．
3．抗扭性能比较
(注意Ro=20t)
(P106)例4-10：开口管铆接成闭口管，铆钉承受剪应力。
第四章 扭转
§4-1 引言受扭杆通常称为轴。
工程实例：方向盘轴、传动轴。
(力学特征)
外力特征：力偶矩矢//杆轴。
变形特征：各轴线仍直，各横截面绕轴作相对转动。
力偶矩矢表示的右手螺旋法则。
1.内力：扭矩T
(矢量表示法与拉压杆轴力形式相同)
工程换算(p91)：
为功率，单位：，千瓦。：角速度(弧度/秒)，=转速(r/min,转/分)。
2.内力计算：截面法
符号：力偶矩矢离开截面为正
设正法(未知扭矩假定为正向)
(对比轴力的计算与符号规定)
3.扭矩图(内力的形象表示)
§4-2 圆轴扭转应力矩
我们已经研究了扭转轴的受力特性和变形特性，扭矩可根据静力平衡方程求出，但由于其截面各点扭转剪应力不相同，不能利用静力学方程（横截面各点应力的合力等于内力）确定圆轴横截面扭转应力，要综合几何、物理和静力学三方面求解。）
扭转应力的一般公式，
几何方面：
1．外部现象
（1）各圆周线形状不变，仅饶轴线作相对转动；
（2）小变形时，各圆周线的大小与间距均不改变；
（3）小变形时，纵线转动一角度。
可以设想圆轴由许多薄壁圆管组成，相邻管变形协调。
2．内部变形假定
根据所观测外部现象，对内部变形作如下假设：
（1）平面假设：横截面绕轴线作刚性转动。(横截面仍保持为平面，其形状和大小均不改变，半径仍为直线)
（2）各截面之间间距保持不变。
变形后，横截面保持平面，其形状、大小和间距不变，且半径为直线。显然，根据本假定可知：圆轴纵向没有变形，因此，横截面没有正应力。横截面变形为横截面间相对转动一角度，其变形为垂直半径剪切转动，即横截面内存在垂直半径的剪切应变。
3．数学描述：先取一圆片，再过轴线截二刀，得一楔形体。如图,此楔形体变形可用二角度和表示。纵向线偏转角，两截面相对转角，根据弧长=半径×圆心角
（a）
二、物理方面：
由剪切胡克定律
(b)
将变形协调方程代入上式，
(c)
为横截面上任一点到轴线的距离，为该点的剪应力。上式表明：扭转剪应力随线性变化（如图示）的点，即原点处剪应力为0，轴边缘剪应力最大，半径为圆圈上剪应力相同；剪应力垂直半径。 (，常数，沿半径线性变化，半径)
三、静力学方面
由于横截面各点剪应力的合力构成其内力。即剪应力的合力偶等于扭矩。
将物理方程代入上式，即将式(c)代入
极惯性矩 (4-1)
这是圆轴扭转变形的基本公式，代入式(c)
(4-2)
式中是一个纯几何量，称为截面的极惯性矩，由此式可以看出：是与材料力学性能无关的几何性质参数，只与截面几何尺寸有关。教材294给出了实心圆轴的即惯性矩，空心圆轴。应该指出的是：采用空心圆轴能更充分地利用材料。
四、最大扭转剪应力
由式(4-2)可知，在=R即圆截面边缘，剪应力最大。
(4-3)
令 (抗扭截面模量) (4-4)
五、极惯性矩的计算
§A-2，P294：熟记：
六、薄壁圆管的扭转剪应力按空心圆轴可以得到薄壁的应力。由于管壁薄，可以认为扭转剪应力圆壁厚均匀分布，因此可直接利用剪应力与扭矩间的静力学关系求解。
假定：剪应力均布(因薄且对称)
(4-9)
精确分析表明：当时，上式具有足够的精度，误差不超过4.53%，此时，可以采用该式计算应力。
由于剪应力均布的假定对所有匀质材料制成的薄壁圆管均成立，故公式(4-9)对于弹性、非弹性；大变形、小变形、各向同性、各向异性均成立。
练习题：
1.画圆轴、圆管横截面剪应力分布图(示意)
空心轴 薄壁管
组合轴
平面假设成立
§4-3 圆轴扭转强度一、纯剪状态斜截面上的剪应力
拉压杆斜截面上存在剪应力；纯剪(圆轴扭转)，则在斜面上存在正应力。低碳钢扭转沿横截面断裂，铸铁、粉笔沿螺旋面断裂。
二、扭转失效与扭转极限应力
扭转极限应力 （实验测定）
三、圆轴扭转强度条件
(材料扭转许用剪应力等于扭转极限应力除以安全因数)
(4-10)
圆轴强度条件
(4-11)
等截面杆 (4-12)
理论与实验研究表明，与之间在一定关系：
第八单元
§4-4 圆轴扭转变形与刚度计算一、圆轴的扭转变形公式
轴的变形，用横截面间相对角位移即扭转角表示
(4-17)
常扭等截面圆轴
(4-18)
薄壁圆管, (4-19)
二、圆轴扭转刚度条件
(实际工程中，通常是限制角沿轴线的变化率或单位长度内的扭转角)
令，那么
刚度条件
强度条件
(1)许用扭转角查设计标准或规范
单位换算：
例：已知，，尺寸，计算总扭转角，校核强度和刚度。
1.扭矩图
2.总扭转角(从轴与扭矩图，必须分4段计算，它也说明扭矩图为什么位置上要与原轴平齐)
3.强度校核(校A、B两危险截面，A：扭矩最大，B：抗扭截面模量最小。这里是A、B两可能危险截面)
取A、B中较大者
4.刚度校核(通常刚度要求更严格)
设计轴，分别按，设计，取较大者。
例4-2(P91)：已知T=1.5kN·m,=50Mpa。设计横截面。
1.确定实心轴直径
根据扭转强度条件
取d=54mm。
2.确定空心圆轴的内外径(设=d/D=0.9)
可取D=76mm,。
3.空心轴与实心轴之重量比
讨 论
1.合理截面与减缓应力集中
越大，剪应力分布愈均匀，构成扭矩的力臂愈大，材料利用率越高。但是过大将失稳皱折。
变截面轴或阶梯轴，“等强”或接近等强。
减缓应力集中，“圆角” 变截面轴
，，，，，，，，，
2.扭矩合理分配
主动轮、从动轮两种分配方案，在轴中引起的扭矩不同。
单位换算
3.一类扭转与拉压(静不定)问题对比
(思考：两个问题和结果的对应量)
p98 例4-8 对应?
(1)螺孔不正，加扭矩配合 (2)杆短加拉力连接
(2)设想右端无约束,(2)设想右端无约束，
右轴转无应力配合 右杆左移无应配合
(3)设想右端加M，转回 (3)设想右端加拉力P，
右端回原位置协调条件 协调条件
(4)注意两轴直径可不等 (4)两杆直径材料可不同
p113 题4.27：钢轴套在铜管内，两端刚性焊牢，校核强度。
拆开分析，变形协调条件：
对应的拉压问题?
未知力偶T(已经利用了平衡条件，问：为什么不用平衡方程)
§4-5 非圆截面轴的扭转
分析拉压应力时，对杆的横截面形状未加限制；但§4-2节研究扭转应力时，即限制为圆截面杆。圆轴扭转应力公式能否直接用于非圆截面杆，回答是否定的，见下页角点微体分析。
历史插曲：材料力学史上，由于一位著名力学家的疏忽，曾错误用圆截面杆扭转的公式解非圆截面杆问题达半个世纪(圆杆扭转应力公式，Coulomb,1984;Navier错误用于非圆截面杆)，1855年，St.Venant获本问题正确解答。大胆设想，小心求证。
1.要独立思考，不要盲从书本和名人
2.科学研究不要怕犯错误，要有创新和开拓精神，要勇于纠正错误。
一、矩形截面轴的扭转
1.角点微体分析
2.理论研究
平面假设?“翘曲”
限制扭转(横截面受到限制的扭转)
自由扭转
剪应力分布(弹性力学)
(1)边缘//周边
(2) (长边h中点)
(短边中点)
(3)扭转角
，，查表(不必记)
(4)狭长矩形截面轴
二、椭圆等非圆截面杆扭转
，量纲与，相同，见P306附录。
第九单元（1）
§4-6 薄壁杆扭转
几个名词
(1)截面中心线(薄壁杆横截面厚度平分线，和壁厚共同描述薄壁杆截面几何尺寸)
(2)闭口薄壁杆(中心线为闭曲线)
(3)开口薄壁杆(中心线为开曲线)
一、闭口薄壁杆的扭转应力(自由扭转)
1.分布
a.沿均布(薄) b,//中心线(互等)
2.剪流（不同点剪应力不同）
(从横截面中截取一单元体，从横截面上不能得出τ分布规律，利用互等，转向考察纵向剪面)
剪流是一种比拟，象河流，宽处水缓，窄处水急。(利用自然现象数学本质的相似性，可以使某些复杂的自然现象得到更形象理解或更方便计算)
思考：非等厚闭口薄壁杆扭转，何处剪应力最大?
3.大小(静力学关系)
二、闭口薄壁杆的扭转变形
对于轴向长度为，厚度为，沿截面中心线长的微体，
整个薄壁杆的扭转应变能
常扭矩等截面闭口薄壁杆
设扭转角为，由W=U得
与圆轴扭转变形公式比较，
扭转刚度：(圆轴) (薄壁杆)
适用于非圆闭口薄壁截面三、开口薄壁杆扭转的概念
闭口薄壁杆剪应力沿厚度均布，充分利用材料，力臂大，扭矩大 开口薄壁杆与之相反。
1.剪应力分布
,环流”，开口抗扭能力很差
2.狭长矩形条构成的截面(如槽钢)
设前图(薄壁圆管)
1.
2．
3．抗扭性能比较
(注意Ro=20t)
(P106)例4-10：开口管铆接成闭口管，铆钉承受剪应力。
