第九单元(2)
第五章 弯曲应力
§5-2 引言
以弯曲为主要变形的构件称为梁，如房屋的梁与火车的轮轴。本章主要研究外力作用在同一平面，变形也在同一平面的梁。实际上，这也是最常见的情况。
三种静定梁
固定铰 简支梁 可动铰（链杆）
固定端 悬臂梁
集中载荷 分布载荷 集中力偶
外伸梁
§5-2 剪应弯矩方程与剪应力弯矩图一、剪力与弯矩
研究梁的内力，仍使用截面法，由取出段的平衡，可知除了存在剪力，还存在弯矩。
，“+”符号：
使保留段顺时针转 使保留段内凹
，“-”符号：
二、剪力弯矩方程与剪力弯矩图
剪力、弯矩与坐标X间的解析关系式，即
称为剪力方程与弯矩方程。表示剪力与弯矩沿梁轴变化的另一重要方法为图示法，图示曲线称为剪力、弯矩图。
例1：
1.求支反力
校核(为保证正确,要求校核)
2.建立，方程(截面法)
AB段：
BC段：
也可以只建一个坐标系，
BC段：
3．画图
图 图例2：(分布截荷，注意力系简化条件)
1.支反力
2,，方程
AB：
BC：
3.画，图
第10单元
刚架：由刚性接头连接杆件所组成的结构。
铰链：传力，不传力矩
刚性接头，传力又传力矩
刚架中、，可能同时存在
内力符号
(拉正压负) (使研究对象顺时针转为正)
(不规定正负，画在受压一侧)
有教材将竖杆看作横杆延伸部分的作图，但对于上图的三竖杆刚架将出现十、一号规定的自相矛盾。因此不规定正负号，画在受压一侧。具体画时，自行规定正向，但不标出正负号，如下图，左、右两观察者得出的弯矩正负号不同，图会画在同一侧。土木类教材将弯矩图画在受拉侧，如孙训芳“材料力学”。
例：
M方程
AB：
BC：
DC：
在没有集中力偶处，刚性接头两端弯矩相等，图在同一侧。
例：平面曲杆：轴线为平面曲线，N、Q、M
M：画在受压一侧(列Q、M方程时，采用曲线坐标，一般用极坐标)
直线段：
圆弧段：
(1.可去掉右边一段，代之以反力和反力偶，2.弧坐标)
例：(双杠的力学模型)支座设于何处，最大?
分析：在载荷运动中，梁有两危险截面，即支座处和中点，最大弯矩随长度X变化，规律相反。
,等强”，使两种危险情形的最大弯矩相等，实现最大弯矩为最小
1.P位于梁中点(弯矩用红线)
2.P位于梁端点
3.等强：
即外伸部分为中间部分的1/4，本问题为等强原则的推广。
§5-3 剪力、弯矩与载荷集度间的微(积)分关系
(本节研究载荷集度、剪力、弯矩三者的关系，及其在绘制剪力、弯矩图中的应用)
微段的平衡：
坐标系向左为正，载荷q(x)，向上为正。
函数在一点的展开的泰勒公式：
一、微(积)分关系
略去二阶微量，得
(5.1)
(5.2)
：
(5.3)
上述三个关系式的力学意义：微段的平衡
几何意义(为用于作Q、M图，将仔细研究)。
(上面的推导是对均布载荷而言。集中载荷在力学上是高度集中的分布力的抽象，在数学上代表一个奇异点。在这点，函数值发生跳跃)
如图：当，，保持常值，变为集中力图的跳跃，下面就一般情形研究此问题：
对于集中力情形，
略去高阶微量
(几何意义：P向上，Q图向上跳跃)
(连续)
集中力偶情形： 连续
(顺时针，图向上跳跃)
从数学上看，剪力、弯矩图就是函数的图象，因此可以利用函数的各种性质，包括微分和积分性质，总结出画剪力弯矩图的快捷方法。
几何意义(用来绘制剪力弯矩图)
正向规定：轴→，P，q(由剪力、弯矩方程绘图时，不必加此限制。由微积分关系画图,如正向规定不同，某些量会改变符号)
Q图：斜率=q，q=常数：直线
P点跳，(P上指，Q图上跳)
(任意截面)图左边面积+集中力(含支反力)
斜率=q 斜率=Q
图：斜率=Q
点跳（顺时针，上跳)
，极值(或拐点)
凹凸性：(比喻:雨落伞凸面)
(任意截面)图左边面积+集中力偶(含支反力偶)
第十单元
例：利用、、的微分关系绘制、图
1.分段、段值
2.利用微分关系连线
水平
斜上
斜下
在绘图中，计算端值是较费时的，这可以利用积分关系解决。
极值点，补算
例：利用微分积分关系绘制剪力弯矩图。
1.求支反力
2.Q图(从零开始)
A点：向上跳(支反力向上)
AB：水平
B点：下跳，水平
C点：连续
D点：上跳，(校核：回到零点)
3.M图
A点：0
AB：直线斜上
B点：Q图左边面积
BC：直线斜下
C点：Q图左边面积，外力偶顺时针，上跳
CD：直线斜下
D点：Q图左边面积+外力偶=0
校核：回到零点例：
Q图：
A：上跳
AB:水平
B：连续
BC：直线斜下
C：左载荷图(负)面积下跳
CD:水平
D：上跳回零
(回零校核很重要)
M图：(从零开始)
A：上跳
AB：斜上直线
B：左图面积
E：Q图零点，M图极值
BC：曲线，(,“顶肚皮”)
C：左边面积
CD：斜下直线
D：图左边面积，回零点作校核例：梁间铰，Q：连续，M：=0
1.求反支力
，
(注意必须折开，先分析BD段)
2.Q图
A：上跳
AB：水平
B：连续(无须考虑铰)
BC：斜下
C：(载荷图段面积)=0，连续 BC：
C：下跳
CD:斜上 CD：
D：载荷图左边面积 D：回到0
下跳到零
3．M图：
A：下跳
B：-+Q图左边面积等于零(不须考虑铰，但该出等于零可作校核)
思考：为什么画剪力、弯矩图时不须考虑中间铰答：求约束反力时已利用了中间铰条件，中间铰处M=0可作校核。
例：三角形分布载荷的剪力、弯矩图
1.载荷图(题中为工程载荷图，此处数学坐标形式)
(将载荷图用数学坐标形式表示,有助于利用微积分关系画剪力弯矩图)
两点式：
2.剪力图
A点：上跳
C点：+负面积
AC：（由载荷图）
下跳
CB：（）
B点：上跳到0，校核
3.弯矩图：
抛物线面积（1）；
（2）。
例(P159，5.5a)：剪力、弯矩图的反问题，已知Q、M图，求q图
(1)利用剪力图画集中力和分布力
A点：上跳，代表向上集中力
图斜率，代表向下均布载荷
(2)利用弯矩图画集中力偶A点和B点均下跳
代表此两点都作用有逆时针力偶
(3)受约束的静定梁形式不是唯一的，见图示两例。
微积分关系也用于作刚架的剪力、弯矩图。——刚架可看作分段的梁。
第11单元
内力及内力图小结
融汇贯通所学知识，熟练掌握内力图画法.
内力(广义)、、、(轴力、扭矩、剪力、弯矩)
1.力学：平衡关系
理力：刚体的平衡，求约束反力(外力)
材力：构件一部分的平衡，求内力(截面法)
(将构件另一部分看作约束，与理力求约束反力的相同)
刚体平衡:代数方程
微段的平衡：微分关系式
取研究对象后：由刚化原理、可应用刚体的平衡方程
(从这个角度认识问题，就不必再一一归纳：在变形体力学中，力的可传性原理适用吗?力系是否可简化等等问题)
2.(从)数学(角度)：内力函数及其图象
(1)内力符号
（a）N、T、Q与坐标无关，需标正负号。
（b）与坐标相关(凹凸性暗含了坐标上指还是下指)，标正负号，画在受压侧，物理属性与坐标无关。
(2)作图
a.利用内力函数(Q、M方程，T、N方程)
b.
c.刚架——看作分段的梁
3.工程(意义)内力分布规律的形象化对比剪流、电力线、磁力线
课堂练习
第12单元
§5-4 弯曲正应力
引言
,一点失效”概念，求，
Q——，M——(主要应力，见图)
对称弯曲：梁至少有一个纵向对称面，外力作用在此面内，变形对称于纵向对称面。
对称纯弯曲：（矩形截面梁的纯弯，从简单到复杂分析方法，应力分布未知，内力静不定问题)
几(变形关系→应变分布规律)·物(应力分布规律)·静力学(应力大小)
一、几何方面
1.外部变形(观测)
(1)纵向线(成同心圆弧，靠顶面缩短，底部伸长)
(2)横向线(仍为直线，相对转动，与纵线正交)
(3)纵横线变形比(实验量测符合泊松比)
(利用上面观测的现象，对内部变形作假设)
2.内部变形(假设)
(1)平面假设(从(1)和(2)，横截面变形后保持平面，与梁轴正交，截面间相对转动。)
(2)单向受力假设(从(3)，纵向纤维仅受正应力，无横向挤压应力。此条假设是从几何假设到物理假设)
重要推论：既然弯曲时，一侧纵向纤维伸长，一侧缩短，总有一个面既不伸长，也不缩短。
中性层，中性轴(横截面与中性层交线)
中性层 中性轴
3.正应变公式(平面假设的数学描述)
任取梁-微段，变形前，变形后。
(a)
((a)式代表了梁中纵坐标为的任一“纤维”的正应变，它是平面假设的数学描述)
二、物理方面
由胡克定律与(a)式(利用了单向受力假设)
(条件，即线弹性) (b)
1.式(b)表明：横截面正应力沿高度线性变化，沿宽度不变
2,(1)未知，(2)中性轴位置未知，无法计算。它们由静力学方程解决
三、静力学方面
（1）
(中性轴过形心)
均质薄板的重心，即板中面形心，，为板厚。
（2）
令对z轴的惯性矩
，EI：截面弯曲刚度 (5-4)
上式即用曲率表示的弯曲变形公式，代(5-4)到(b)
(5-5)
此即弯曲正应力一般公式。
四、最大弯曲正应力(令5-5中)
抗弯截面模量。
矩形
圆形(空心)
(，d、D分别为管的内外径)
型刚的,查教材表P310-313,附录F。
附录A 极惯性矩与惯性矩(P291)(截面的几何性质)
杆件中的应力和变形，不仅与外力相关，而且与截面的几何性质相关，我们已学过
(圆) (圆),,等等
我们还将遇到一些新的表征截面几何性质的量，为方便以后的研究，下面从纯几何的角度集中研究这个问题。
§A-1 静矩与形心
回顾数学与理力中的重心计算公式(以坐标为例)
对于均质薄板，重心与形心(几何中心)重合
(1)
(2)
定义静矩(一次矩)
(3)
代入(1)和(2)
通过截面形心的坐标称为形心轴，截面对面的静矩为零。(自学P293,例1)
§A-2 极惯性矩
(P2294,自学)
§A-3 轴惯性矩
，分别称为对轴与轴的惯性矩
1.对形心轴的惯性矩
积分，三角形，矩形见P296-297
对圆：
2.平行移轴定理
对任意轴的惯性矩的计算，除了直接积分外，还可以利用平行移轴定理。
i)对比理力相应公式(刚体转动惯量的平行移轴定理)
ii)对两任意轴，平行移轴定理是否成立?
不成立，不是形心轴，推导的中间项不为零。
组合公式：
根据面积积分等于它各部分面积积分之和的原理，我们得出组合公式
静矩，
形心 (，形心坐标)
负面积法：上述公式中，取整体减孔洞
第13单元
§5-5 矩形与薄壁截面梁的弯曲剪应力
已经研究了纯弯梁的正应力，现在研究横力弯曲，由剪力Q引起的剪应力。
问题：剪应力是否沿横截面分布?如果均布，由剪应力互等，上表面剪应力为零将导致截面剪应力为零，矛盾。
历史(提出此方法)，D.J.Jourawski(1821-1891)，俄国铁路工程师，枕木开裂，材力分析法。Saint Venant精确解，特殊情形。
一、矩形截面梁的弯曲剪应力
(考虑仅增加平衡方程中高阶微量)
1.假定
//侧边(剪应力互等)
沿均布
2.平衡(截取微段)(沿高度变化，难以直接研究，利用剪应力互等，沿水平面不变，且与有平衡关系)
3.分布
的形心
代入上式
(为平均剪应力1.5倍)
由于剪应力存在，平面假设不精确成立，矛盾解法。时，相当精确。
二、对称薄壁梁的弯曲剪应力
1.尺寸参数
(截面中心线，壁厚)
2．分布
（1）中心线（互等）
（2）沿厚度均布（因薄）
2.的大小
(思路：与求矩形截面剪应力一样，从开口处截取一微段，直接求横截面剪应力困难，利用剪应力互等，转化为求纵向截面剪应力。微段，任意长)
4.剪流(利用剪流概念，可形象定的方向)
工字形截面
(1)腹板剪应力方向取单元块，在图示剪力下，为正。
单元块纵向剪应力向前横截面剪应力向右。
(2)上述判别麻烦，可由剪流比拟得到形象直观的简单判别。在腹板上剪流方向与同，其余依它定。比较闭口薄壁杆扭转——一条永远循环的恒定河，q(s)形成的“河”——沙漠河，开始有水渗出，河水渐多，过中性轴后渗漏，直至水消失。
翼缘
腹板
点剪应力为点的2倍，点剪应力最大。
闭口薄壁梁，根据对称性，A端的剪应力为0，可以取一半分析，见A点取出微体，长，，。
对工字梁，由于腹板存在，和得出腹板剪流为翼缘2倍的结论。
三、弯曲正应力与弯曲剪应力比较
P1142例5-11，自学
实心细长梁，弯曲剪应力较正应力小得多，可忽略，薄壁截面梁，弯曲剪应力通常不能忽略。
§5-6 梁的强度条件一、弯曲正应力强度条件
等截面直梁，
：许用拉应力 ：许用压应力。
二、弯曲剪应力强度条件
等截面直梁：
非薄壁截面细长梁，通常只需按弯曲正应力条件分析，对薄壁截面或非薄壁但弯矩小，剪力大的梁(短粗梁，集中载荷作用在端点附近的梁)，还应考虑弯曲剪应力条件。
例（P144）：，，，试校核强度。一、画弯矩图,截面D,B为危险截面,见上图,a,b为危险点。
截面D：
截面B,
可先比较截面D上中与截面B上中的大小。
（校核三点。）
例（P145）：P=20kN，，，，选工字钢解：(1)
(2)
(查表，见p293，注意单位)
#22a
(3)校核
P146 例5-14
矩形截面应力叠加 圆截面先将弯矩合成
第14单元
§5-7 梁的合理强度设计
(a)
设计梁的主要依据是弯曲正应力强度，也就是尽可能降低式(a)的数值。梁的合理设计可从以下几个方面考虑。(正应力为主导因素)
一、梁的合理受力(降低最大弯矩)
(1)合理置支座(从设计方案考虑)
双杠，等强，
汽车主梁，后轮位置设计，
(2)分散载荷(从使用方案考虑)
图：
(3)加配重(特殊措施)
二人过桥，1人可作配重
2.合理设计截面形状(增大抗弯截面模量)
，通常，保持面积不变，增大时，同时也使增大，这时要看哪个是主导因素
(1)总是为正。保持面积不变，使材料远离中性层，并利用等强概念，
a.塑性材料
上、下对称 抗弯更好，抗扭差
b.脆性材料
调整下翼缘尺寸，使，但是截面太高太薄也不行，可能剪应力破坏或失稳。
(2)削去远离中性轴的小部分面积
(1)部分
(2)部分
当增加时，单调下降，但先增加后下降。
或
当，有极大值
提高5.35%，可见削去远离中性轴的小部分材料，梁的刚度总是减小，强度却可能增加。
3.变截面梁和等强度梁(式在各处为常量)
各截面等强
，(从剪应力考虑)
由于变截面梁并不节省材料，且加工麻烦，因此采用阶梯梁(加工方便)。
1和2处等强例1：某机器减震弹簧片，交变载荷下易断，加厚效果更差，弹簧片截面为矩形，半径，求压平后。
合理截面设计，减薄加宽(保持不变)。
例2：铸铁工字形截面梁，跨中腹板钻孔，求圆孔位置的合理方案。
位置(2)最好，中性轴下移，拉应力减小。
四川大足县佛雕，邱少云烈士雕塑手持冲锋枪，手臂易断。大佛手托宝塔披袈裟。烈士手持枪加斗篷，利用配重，解决了强度问题。
伽利略是材料力学创始人，但在梁弯曲应力上的错误。
§5-9 弯拉(压)组合与截面核心一、弯拉(压)组合的应力由叠加原理
适用范围：横向位移与横向高度相比可忽略。
二、偏心压缩与截面核心
中性轴正应力为零：
例5-17：压缩载荷沿轴线，中性轴在无穷远，弯矩(无穷远趋于压缩载荷)，中性轴过形心。
当偏心压力位于第一象限时，(杆内横截面)角点C的正应力为
令上式等于0得(坐标换为)
图象见上右图，当载荷位置从1移动到2时，中性轴绕C点旋转。
例18和19，应用强度条件，截面设计可能要经多次修改完成
第五章 弯曲应力
§5-2 引言
以弯曲为主要变形的构件称为梁，如房屋的梁与火车的轮轴。本章主要研究外力作用在同一平面，变形也在同一平面的梁。实际上，这也是最常见的情况。
三种静定梁
固定铰 简支梁 可动铰（链杆）
固定端 悬臂梁
集中载荷 分布载荷 集中力偶
外伸梁
§5-2 剪应弯矩方程与剪应力弯矩图一、剪力与弯矩
研究梁的内力，仍使用截面法，由取出段的平衡，可知除了存在剪力，还存在弯矩。
，“+”符号：
使保留段顺时针转 使保留段内凹
，“-”符号：
二、剪力弯矩方程与剪力弯矩图
剪力、弯矩与坐标X间的解析关系式，即
称为剪力方程与弯矩方程。表示剪力与弯矩沿梁轴变化的另一重要方法为图示法，图示曲线称为剪力、弯矩图。
例1：
1.求支反力
校核(为保证正确,要求校核)
2.建立，方程(截面法)
AB段：
BC段：
也可以只建一个坐标系，
BC段：
3．画图
图 图例2：(分布截荷，注意力系简化条件)
1.支反力
2,，方程
AB：
BC：
3.画，图
第10单元
刚架：由刚性接头连接杆件所组成的结构。
铰链：传力，不传力矩
刚性接头，传力又传力矩
刚架中、，可能同时存在
内力符号
(拉正压负) (使研究对象顺时针转为正)
(不规定正负，画在受压一侧)
有教材将竖杆看作横杆延伸部分的作图，但对于上图的三竖杆刚架将出现十、一号规定的自相矛盾。因此不规定正负号，画在受压一侧。具体画时，自行规定正向，但不标出正负号，如下图，左、右两观察者得出的弯矩正负号不同，图会画在同一侧。土木类教材将弯矩图画在受拉侧，如孙训芳“材料力学”。
例：
M方程
AB：
BC：
DC：
在没有集中力偶处，刚性接头两端弯矩相等，图在同一侧。
例：平面曲杆：轴线为平面曲线，N、Q、M
M：画在受压一侧(列Q、M方程时，采用曲线坐标，一般用极坐标)
直线段：
圆弧段：
(1.可去掉右边一段，代之以反力和反力偶，2.弧坐标)
例：(双杠的力学模型)支座设于何处，最大?
分析：在载荷运动中，梁有两危险截面，即支座处和中点，最大弯矩随长度X变化，规律相反。
,等强”，使两种危险情形的最大弯矩相等，实现最大弯矩为最小
1.P位于梁中点(弯矩用红线)
2.P位于梁端点
3.等强：
即外伸部分为中间部分的1/4，本问题为等强原则的推广。
§5-3 剪力、弯矩与载荷集度间的微(积)分关系
(本节研究载荷集度、剪力、弯矩三者的关系，及其在绘制剪力、弯矩图中的应用)
微段的平衡：
坐标系向左为正，载荷q(x)，向上为正。
函数在一点的展开的泰勒公式：
一、微(积)分关系
略去二阶微量，得
(5.1)
(5.2)
：
(5.3)
上述三个关系式的力学意义：微段的平衡
几何意义(为用于作Q、M图，将仔细研究)。
(上面的推导是对均布载荷而言。集中载荷在力学上是高度集中的分布力的抽象，在数学上代表一个奇异点。在这点，函数值发生跳跃)
如图：当，，保持常值，变为集中力图的跳跃，下面就一般情形研究此问题：
对于集中力情形，
略去高阶微量
(几何意义：P向上，Q图向上跳跃)
(连续)
集中力偶情形： 连续
(顺时针，图向上跳跃)
从数学上看，剪力、弯矩图就是函数的图象，因此可以利用函数的各种性质，包括微分和积分性质，总结出画剪力弯矩图的快捷方法。
几何意义(用来绘制剪力弯矩图)
正向规定：轴→，P，q(由剪力、弯矩方程绘图时，不必加此限制。由微积分关系画图,如正向规定不同，某些量会改变符号)
Q图：斜率=q，q=常数：直线
P点跳，(P上指，Q图上跳)
(任意截面)图左边面积+集中力(含支反力)
斜率=q 斜率=Q
图：斜率=Q
点跳（顺时针，上跳)
，极值(或拐点)
凹凸性：(比喻:雨落伞凸面)
(任意截面)图左边面积+集中力偶(含支反力偶)
第十单元
例：利用、、的微分关系绘制、图
1.分段、段值
2.利用微分关系连线
水平
斜上
斜下
在绘图中，计算端值是较费时的，这可以利用积分关系解决。
极值点，补算
例：利用微分积分关系绘制剪力弯矩图。
1.求支反力
2.Q图(从零开始)
A点：向上跳(支反力向上)
AB：水平
B点：下跳，水平
C点：连续
D点：上跳，(校核：回到零点)
3.M图
A点：0
AB：直线斜上
B点：Q图左边面积
BC：直线斜下
C点：Q图左边面积，外力偶顺时针，上跳
CD：直线斜下
D点：Q图左边面积+外力偶=0
校核：回到零点例：
Q图：
A：上跳
AB:水平
B：连续
BC：直线斜下
C：左载荷图(负)面积下跳
CD:水平
D：上跳回零
(回零校核很重要)
M图：(从零开始)
A：上跳
AB：斜上直线
B：左图面积
E：Q图零点，M图极值
BC：曲线，(,“顶肚皮”)
C：左边面积
CD：斜下直线
D：图左边面积，回零点作校核例：梁间铰，Q：连续，M：=0
1.求反支力
，
(注意必须折开，先分析BD段)
2.Q图
A：上跳
AB：水平
B：连续(无须考虑铰)
BC：斜下
C：(载荷图段面积)=0，连续 BC：
C：下跳
CD:斜上 CD：
D：载荷图左边面积 D：回到0
下跳到零
3．M图：
A：下跳
B：-+Q图左边面积等于零(不须考虑铰，但该出等于零可作校核)
思考：为什么画剪力、弯矩图时不须考虑中间铰答：求约束反力时已利用了中间铰条件，中间铰处M=0可作校核。
例：三角形分布载荷的剪力、弯矩图
1.载荷图(题中为工程载荷图，此处数学坐标形式)
(将载荷图用数学坐标形式表示,有助于利用微积分关系画剪力弯矩图)
两点式：
2.剪力图
A点：上跳
C点：+负面积
AC：（由载荷图）
下跳
CB：（）
B点：上跳到0，校核
3.弯矩图：
抛物线面积（1）；
（2）。
例(P159，5.5a)：剪力、弯矩图的反问题，已知Q、M图，求q图
(1)利用剪力图画集中力和分布力
A点：上跳，代表向上集中力
图斜率，代表向下均布载荷
(2)利用弯矩图画集中力偶A点和B点均下跳
代表此两点都作用有逆时针力偶
(3)受约束的静定梁形式不是唯一的，见图示两例。
微积分关系也用于作刚架的剪力、弯矩图。——刚架可看作分段的梁。
第11单元
内力及内力图小结
融汇贯通所学知识，熟练掌握内力图画法.
内力(广义)、、、(轴力、扭矩、剪力、弯矩)
1.力学：平衡关系
理力：刚体的平衡，求约束反力(外力)
材力：构件一部分的平衡，求内力(截面法)
(将构件另一部分看作约束，与理力求约束反力的相同)
刚体平衡:代数方程
微段的平衡：微分关系式
取研究对象后：由刚化原理、可应用刚体的平衡方程
(从这个角度认识问题，就不必再一一归纳：在变形体力学中，力的可传性原理适用吗?力系是否可简化等等问题)
2.(从)数学(角度)：内力函数及其图象
(1)内力符号
（a）N、T、Q与坐标无关，需标正负号。
（b）与坐标相关(凹凸性暗含了坐标上指还是下指)，标正负号，画在受压侧，物理属性与坐标无关。
(2)作图
a.利用内力函数(Q、M方程，T、N方程)
b.
c.刚架——看作分段的梁
3.工程(意义)内力分布规律的形象化对比剪流、电力线、磁力线
课堂练习
第12单元
§5-4 弯曲正应力
引言
,一点失效”概念，求，
Q——，M——(主要应力，见图)
对称弯曲：梁至少有一个纵向对称面，外力作用在此面内，变形对称于纵向对称面。
对称纯弯曲：（矩形截面梁的纯弯，从简单到复杂分析方法，应力分布未知，内力静不定问题)
几(变形关系→应变分布规律)·物(应力分布规律)·静力学(应力大小)
一、几何方面
1.外部变形(观测)
(1)纵向线(成同心圆弧，靠顶面缩短，底部伸长)
(2)横向线(仍为直线，相对转动，与纵线正交)
(3)纵横线变形比(实验量测符合泊松比)
(利用上面观测的现象，对内部变形作假设)
2.内部变形(假设)
(1)平面假设(从(1)和(2)，横截面变形后保持平面，与梁轴正交，截面间相对转动。)
(2)单向受力假设(从(3)，纵向纤维仅受正应力，无横向挤压应力。此条假设是从几何假设到物理假设)
重要推论：既然弯曲时，一侧纵向纤维伸长，一侧缩短，总有一个面既不伸长，也不缩短。
中性层，中性轴(横截面与中性层交线)
中性层 中性轴
3.正应变公式(平面假设的数学描述)
任取梁-微段，变形前，变形后。
(a)
((a)式代表了梁中纵坐标为的任一“纤维”的正应变，它是平面假设的数学描述)
二、物理方面
由胡克定律与(a)式(利用了单向受力假设)
(条件，即线弹性) (b)
1.式(b)表明：横截面正应力沿高度线性变化，沿宽度不变
2,(1)未知，(2)中性轴位置未知，无法计算。它们由静力学方程解决
三、静力学方面
（1）
(中性轴过形心)
均质薄板的重心，即板中面形心，，为板厚。
（2）
令对z轴的惯性矩
，EI：截面弯曲刚度 (5-4)
上式即用曲率表示的弯曲变形公式，代(5-4)到(b)
(5-5)
此即弯曲正应力一般公式。
四、最大弯曲正应力(令5-5中)
抗弯截面模量。
矩形
圆形(空心)
(，d、D分别为管的内外径)
型刚的,查教材表P310-313,附录F。
附录A 极惯性矩与惯性矩(P291)(截面的几何性质)
杆件中的应力和变形，不仅与外力相关，而且与截面的几何性质相关，我们已学过
(圆) (圆),,等等
我们还将遇到一些新的表征截面几何性质的量，为方便以后的研究，下面从纯几何的角度集中研究这个问题。
§A-1 静矩与形心
回顾数学与理力中的重心计算公式(以坐标为例)
对于均质薄板，重心与形心(几何中心)重合
(1)
(2)
定义静矩(一次矩)
(3)
代入(1)和(2)
通过截面形心的坐标称为形心轴，截面对面的静矩为零。(自学P293,例1)
§A-2 极惯性矩
(P2294,自学)
§A-3 轴惯性矩
，分别称为对轴与轴的惯性矩
1.对形心轴的惯性矩
积分，三角形，矩形见P296-297
对圆：
2.平行移轴定理
对任意轴的惯性矩的计算，除了直接积分外，还可以利用平行移轴定理。
i)对比理力相应公式(刚体转动惯量的平行移轴定理)
ii)对两任意轴，平行移轴定理是否成立?
不成立，不是形心轴，推导的中间项不为零。
组合公式：
根据面积积分等于它各部分面积积分之和的原理，我们得出组合公式
静矩，
形心 (，形心坐标)
负面积法：上述公式中，取整体减孔洞
第13单元
§5-5 矩形与薄壁截面梁的弯曲剪应力
已经研究了纯弯梁的正应力，现在研究横力弯曲，由剪力Q引起的剪应力。
问题：剪应力是否沿横截面分布?如果均布，由剪应力互等，上表面剪应力为零将导致截面剪应力为零，矛盾。
历史(提出此方法)，D.J.Jourawski(1821-1891)，俄国铁路工程师，枕木开裂，材力分析法。Saint Venant精确解，特殊情形。
一、矩形截面梁的弯曲剪应力
(考虑仅增加平衡方程中高阶微量)
1.假定
//侧边(剪应力互等)
沿均布
2.平衡(截取微段)(沿高度变化，难以直接研究，利用剪应力互等，沿水平面不变，且与有平衡关系)
3.分布
的形心
代入上式
(为平均剪应力1.5倍)
由于剪应力存在，平面假设不精确成立，矛盾解法。时，相当精确。
二、对称薄壁梁的弯曲剪应力
1.尺寸参数
(截面中心线，壁厚)
2．分布
（1）中心线（互等）
（2）沿厚度均布（因薄）
2.的大小
(思路：与求矩形截面剪应力一样，从开口处截取一微段，直接求横截面剪应力困难，利用剪应力互等，转化为求纵向截面剪应力。微段，任意长)
4.剪流(利用剪流概念，可形象定的方向)
工字形截面
(1)腹板剪应力方向取单元块，在图示剪力下，为正。
单元块纵向剪应力向前横截面剪应力向右。
(2)上述判别麻烦，可由剪流比拟得到形象直观的简单判别。在腹板上剪流方向与同，其余依它定。比较闭口薄壁杆扭转——一条永远循环的恒定河，q(s)形成的“河”——沙漠河，开始有水渗出，河水渐多，过中性轴后渗漏，直至水消失。
翼缘
腹板
点剪应力为点的2倍，点剪应力最大。
闭口薄壁梁，根据对称性，A端的剪应力为0，可以取一半分析，见A点取出微体，长，，。
对工字梁，由于腹板存在，和得出腹板剪流为翼缘2倍的结论。
三、弯曲正应力与弯曲剪应力比较
P1142例5-11，自学
实心细长梁，弯曲剪应力较正应力小得多，可忽略，薄壁截面梁，弯曲剪应力通常不能忽略。
§5-6 梁的强度条件一、弯曲正应力强度条件
等截面直梁，
：许用拉应力 ：许用压应力。
二、弯曲剪应力强度条件
等截面直梁：
非薄壁截面细长梁，通常只需按弯曲正应力条件分析，对薄壁截面或非薄壁但弯矩小，剪力大的梁(短粗梁，集中载荷作用在端点附近的梁)，还应考虑弯曲剪应力条件。
例（P144）：，，，试校核强度。一、画弯矩图,截面D,B为危险截面,见上图,a,b为危险点。
截面D：
截面B,
可先比较截面D上中与截面B上中的大小。
（校核三点。）
例（P145）：P=20kN，，，，选工字钢解：(1)
(2)
(查表，见p293，注意单位)
#22a
(3)校核
P146 例5-14
矩形截面应力叠加 圆截面先将弯矩合成
第14单元
§5-7 梁的合理强度设计
(a)
设计梁的主要依据是弯曲正应力强度，也就是尽可能降低式(a)的数值。梁的合理设计可从以下几个方面考虑。(正应力为主导因素)
一、梁的合理受力(降低最大弯矩)
(1)合理置支座(从设计方案考虑)
双杠，等强，
汽车主梁，后轮位置设计，
(2)分散载荷(从使用方案考虑)
图：
(3)加配重(特殊措施)
二人过桥，1人可作配重
2.合理设计截面形状(增大抗弯截面模量)
，通常，保持面积不变，增大时，同时也使增大，这时要看哪个是主导因素
(1)总是为正。保持面积不变，使材料远离中性层，并利用等强概念，
a.塑性材料
上、下对称 抗弯更好，抗扭差
b.脆性材料
调整下翼缘尺寸，使，但是截面太高太薄也不行，可能剪应力破坏或失稳。
(2)削去远离中性轴的小部分面积
(1)部分
(2)部分
当增加时，单调下降，但先增加后下降。
或
当，有极大值
提高5.35%，可见削去远离中性轴的小部分材料，梁的刚度总是减小，强度却可能增加。
3.变截面梁和等强度梁(式在各处为常量)
各截面等强
，(从剪应力考虑)
由于变截面梁并不节省材料，且加工麻烦，因此采用阶梯梁(加工方便)。
1和2处等强例1：某机器减震弹簧片，交变载荷下易断，加厚效果更差，弹簧片截面为矩形，半径，求压平后。
合理截面设计，减薄加宽(保持不变)。
例2：铸铁工字形截面梁，跨中腹板钻孔，求圆孔位置的合理方案。
位置(2)最好，中性轴下移，拉应力减小。
四川大足县佛雕，邱少云烈士雕塑手持冲锋枪，手臂易断。大佛手托宝塔披袈裟。烈士手持枪加斗篷，利用配重，解决了强度问题。
伽利略是材料力学创始人，但在梁弯曲应力上的错误。
§5-9 弯拉(压)组合与截面核心一、弯拉(压)组合的应力由叠加原理
适用范围：横向位移与横向高度相比可忽略。
二、偏心压缩与截面核心
中性轴正应力为零：
例5-17：压缩载荷沿轴线，中性轴在无穷远，弯矩(无穷远趋于压缩载荷)，中性轴过形心。
当偏心压力位于第一象限时，(杆内横截面)角点C的正应力为
令上式等于0得(坐标换为)
图象见上右图，当载荷位置从1移动到2时，中性轴绕C点旋转。
例18和19，应用强度条件，截面设计可能要经多次修改完成
