第15单元
第六章 弯曲变形
§6-1 引言
应用:梁的刚度问题,静不定梁,压杆稳定挠曲轴:变弯后的梁轴(当外力位于梁对称面内时,挠曲线为平面曲线)。
挠度,横截面形心的位移
转角:横截面绕中性轴的转角
挠曲轴方程: (挠曲轴的解析表达式)


(通常=0.01745弧度)
§6-2 梁变形基本方程
目的:求,
途径:建立微分方程求解一、挠曲轴微分方程
1.中性层曲率表示的弯曲变形公式

(其中可以通过弯矩方程表示为的函数,为曲率半径,它可由和表示)
2.由数学

3.挠曲轴微分方程
 (1)
4.方程简化,挠曲轴近似微分方程
小变形,0.0175(弧度)

 ((1)式分母等于1)
正负号确定——确定坐标系:向上
(从数学) 
(本书规定) 
选正号

二、积分法计算梁的变形


C、D为积分常数,它由位移边界与连续条件确定。
三、位移边界与连续条件
边界条件:固定端 
固定铰,活动铰 
自由端:无位移边界条件连续条件 

例1:
,


由

例2:求挠曲轴微分方程
AB段,BC段
 
 
边界和连续条件
 
(连续条件)
 (光滑条件)
四个方程定4个常数
 
例3:
1.画剪力弯矩图
2.列挠曲线的位移和连续条件
3.画挠曲线大致形状(注明凹凸性与拐点)
位移与连续条件
A:
B:
C:

D:无
挠曲线大致形状的画法
(1)根据弯矩图定凹凸性,

(2)弯矩图过零点处为拐点
(3)支座限定支座处的位移
§6-3 计算梁位移的奇异函数法
奇异函数法仍属积分法。由于引入了奇异函数,可以建立梁的弯矩通用方程(不必根据载荷性质将矩方程分段表达),从而减少了积分常数(仅包含两个积分常数,由端点条件确定)
一、麦考利函数(Macaulay Function)或奇异函数


函数(奇异函数):

二、弯矩与剪力通用方程
截面法,取梁左段研究,梁的内力仅与左段载荷相关(右段外载的影响在求约束反力中已体现)

(上式实际上也是分段表达,不过写成了统一形式)

其中见右图

得到上页图在点一个脉冲函数,通常在材料力学画的剪力图中忽略了这个剪力脉冲(等效)(关于这个问题的讨论)
三、梁位移通用方程

两次积分

其中C、D由边界条件定。
第16单元
§6-4 计算梁位移的叠加法

熟记P308的表(指定6个)。各力产生的互不影响
各力产生的位移可以叠加例1:EI=常数,求,。
分三个载荷叠加(查表)
 
 
 
 


例2:EI=常值,求

例3:
零弯矩,不变形 相当于悬臂梁



刚化BC弯曲刚度,BA
刚化BC扭转刚度,BA
刚化BC,相当于悬臂梁
引入逐段分析求和法),(未被刚化部分之和等于原结构,各段变形效应计算一次,且仅计算一次,仅适用静定结构,静不定问题先取静定的相当系统)
例5:EI=常数,=常数,求。




例5:求G点桡度

(简支梁中点挠度)
(随刚体位移)

(刚化CD,BC看作悬臂梁)
(刚化BC,C点弯矩为,CD为悬臂梁)
(,拉压位移,可忽略)


设截面宽,高,矩形,

故拉压位移可忽略,拉压杆(不受弯)很细,故需考虑。
例7:载荷集度为,求自由端挠度。
解:查表P284,2
对下图作用集中载荷问题


(分布载荷可看作由无数微集中载荷组成,此时,或常数,成变量,变量与常量在不同问题中可转化)
令

有时称为基本奇异解。
在任意位置作用集中力的解是一个重要解答,它可作为格林函数求任意分布载荷的解答。
例:矩形截面梁斜弯曲(分解—合成)
,
,

方位角
一般,中性轴,不,弯曲变形不发生在外力作用面内。
如在梁中间位置作用载荷,如(虚线),挠曲可能是空间曲线。
利用对称性求简支梁与悬臂梁的变形关系
转角为0,又取挠度为0
令左边图形,
 
 
令左图
 
 
令右上图
右下图:
简支端
利用对称性求下面梁中点挠度与转角对称 反对称
 
 


例P200 6.14b:
逐段分析求和
刚体转动
下图片面上端挠度与上图中点挠图相同
第17单元
§6-5 简单静不定梁
基本系统
相当系统
(基本系统)(相当系统)
一、基本概念
1.静定梁(有效平衡方程数=未知力数)
2.静不定梁(有效平衡方程数<未知力数)
3.静不定度(有效平衡方程数与未知力数之差)
4.基本系统(一个静不定系统解除多余约束后所得的静定系统)
5.相当系统(作用有原静不定梁载荷与多余约束反力的基本系统)
6.约束
(限制刚度位移的约束个数等于有效平衡方程数。多余约束反力总是与多余位移边界条件一一对应的,知道其中一个,就可以写出求解另一个的对应方程)
二、求解步骤
1.判断静不定度
2.选多余约束,相当系统
3.求解静不定问题

例1:
1.静不定度6-3=3
小变形,轴向变形可忽略

2.相当系统(悬臂梁,也可选简支梁)
3.补充方程

 (1)
 (2)
联立求解(1)和(2),可求,
注:(1)平衡方程可爱和来求左端反力
(2)可以利用对称条件求解,求得,这时只需用方程(1)、(2)之一求。
(3)如果存在装配应力,只需将方程(1)、(2)右端加上合适的量。
(注意的方向)




例2:


例3:
变形协调条件:
B点位移按左下图计算
例(P202,6.24):已知弯曲刚度EI,梁单位长度重W,外伸长a,求拱起部分b。
工程问题:力学分析与力学模型,求解
ABC段的力学分析:
位移的约束条件:,,
力:
力学模型,求解
(1)悬臂梁点多余约束
,的条件已满足,未知量,(a为已知)
补充方程:
(力):
 (1)
(位移):
 (2)
由(1)和(2)得到
(2)简支梁
未知量,多余约束
由

合适的力学模型可能使求解大为简化。此题属材力的近似解法,可能受到严格的力学家的批评。从工程分析的角度,这是实用的方法。
§6-6 梁的刚度条件与合理刚度设计一、梁的刚度条件
 (强度条件)
例 已知:,,,,,选择工字钢。
(1)按强度要求计算


(查表,P317,),选#20a工字钢
(2)按刚度要求设计


(查表P317)选#22a工字钢,一般刚度条件更严二、梁的合理刚度设计(与合理强度设计对比)
1.理论依据:


2.二者相同点
(1)改善受力(支座、分散载荷、配重等)
(2)合理截面形状,(工字钢、空心管等)能有效提高
3.二者不同点
(1)强度:局部量(危险截面、危险点)
刚度:整体量(是沿梁的两次积分)
比如:
a:开孔,强度影响大,刚度影响小,可忽略。
b.阶梯梁、变截面梁,提高强度/重量比有力措施,对提高刚度/重量比不大,无效。
c.与的区别(去右图顶尖,,提高强度,,降低刚度)。
d.梁的合理加强,
强度,局部措施
刚度、整体措施
(2)合理材料选择
高强度钢(铝合金)显著提高强度极限,弹性模量,影响不大
 
低碳钢Q235 400Mpa 200GPa
30铬锰硅 1100MPa 210GPa
从提高刚度着眼,选高强度钢不明智。
(3)刚度对跨度变化更敏感


长度增为两倍,弯矩增为2倍,挠度增为8倍。
补充:梁挠曲轴四阶微分方程

两次求导:
边界条件:位移,力,共四个
例:



(1)简支:






(2)固支