1
第四节 Nyquist 稳定性判据基本思想,利用系统的开环频率特性判别闭环系统的稳定性。
第四章 控制系统的稳定性分析复习
2
一,预备知识 ——幅角定理幅角定理：
F(s)是 s的单值有理函数,在 s平面上任一闭合路径包围了 F(s)的 Z个零点和 P个极点,并且不经过 F(s)
的任一零点和极点,则当 s沿闭合路径 顺时针 方向旋转一圈时,映射到 F(s)平面内的 F(s)曲线 顺时针绕原点 （ Z – P） 圈 。 即
N=Z-P
（ 或 逆时针 绕原点 N= P - Z圈 ）
其中,N为圈数逆时针为正,
顺时针为负 。
3
二、奈魁斯特稳定性判据
1、线性系统的特征方程运动方程一般形式,r(t)——输入 c(t)——输出特征方程系统传递函数系统结构为：
比较得到闭环系统的特征方程（闭环传递函数的分母＝ 0）
c ( t )adtd c ( t )adt c ( t )dadt c ( t )da 011-n1-n1-n1-nnnnn r ( t )bdtd r ( t )bdt r ( t )dbdt r ( t )db 011-m 1-m1-m1-mmmmm
+
_
()Rs ()Cs
()Hs
()Bs
()Es
()Gs
G ( s ) H ( s )1
G ( s )
R ( s )
C ( s )
01
1n
1n
n
n
01
1m
1m
m
m
asasasa
bsbsbsb
R ( s )
C ( s )
0asasasa 011n1nnn ＝
0asasasaG ( s ) H ( s )1F ( s ) 011n1nnn ＝＝＝
4
2,奈氏路径令,顺时针方向 包围整个 s
右半平面 。 当 F(s)
有若干个极点处于 s平面虚轴 （ 包括原点 ） 上时,
则以这些点为圆心,作半径为无穷小的半圆,按逆时针 方向 从右侧绕过 这些点 。
j?
j?
1
j?
1
j
()Fs 的极点
R
j
0j?
0j?
s平面
jjjjjs 00
5
3,奈氏判据设,——闭环系统特征多项式显然,F(s) 的 零点 就是闭环系统的 极点 。
(1) 1＋ G(S)H(S)平面上的系统稳定性分析假如 s沿着奈氏路径绕一圈，根据幅角定理,F(s)平面上绘制的 F(s)曲线 ΓF 逆时针 方向绕 原点 的圈数 N则为
F(s)在 s右半开平面内极点个数 P与的零点个数 Z之差：
N= P - Z
当 Z=0 即（ N= P ）时，说明系统闭环传递函数无极点在 s 右半开平面，系统是稳定的；反之，系统则是不稳定的。
sHsGSF 1
6
（ 2） G(s)H(s)平面上的系统稳定性分析 --奈氏判据因为 1+ G(s)H(s) 与 G(s)H(s) 之间相差 1，所以系统的稳定性可表达成：
奈氏判据：闭环系统稳定的充要条件,s沿着奈氏路径绕一圈,G(jω)H(jω) 曲线逆时针绕（ -1,j0） 点的 P圈 （ N= P ） 。
P——为 G(s)H(s)位于 s右半平面的极点数。
a.若 P=0,且 N=0,即 曲线不包围（ -1,j0） 点，则闭环系统稳定；
b.若 P≠0,且 N=P,即 曲线逆时针 绕 （ -1,j0） 点 P圈,则闭环系统稳定，否则是不稳定系统。
不稳定系统分布在 s右半平面 极点 的个数可按下式求取：
Z=P N
c.若 曲线通过（ -1,j0） 点 L次，则说明闭环系统有 L个极点分布在 s平面的虚轴上。
7
例,一系统开环传递函数为：
试判别系统的稳定性。
解,本系统的开环频率特性当 变化时，系统的幅相曲线如图所示。
因为系统有一个开环极点位于 s的右半平面，即,P=1。
图中奈氏曲线是 逆时针方向 绕（ -1,j0） 点的 1圈，即 N=1。
根据 奈氏判据,闭环系统在 s右半平面极点数 Z=P-N=1-1=0
所以系统稳定。
0)a ( 1)()( s asHsG
1)()( j
ajHjG
jjjj 00?
2?
1? 0
Re
Im
8
绘 画乃氏曲线过程中：
当 s从 -j0转到 +j0时,G(s)H(s)的奈氏曲线以半径为无穷大，顺时针转过 。
当 s 沿奈氏曲线从 +j∞到 - j∞时，对 n>m的系统,G(s)H(s)的奈魁斯特氏曲线以无穷小半径，绕原点逆时针转过（ n - m） π。
9
例,一系统的开环传递函数为：
试判断系统的稳定性解：
先作 +j 0到 +j∞时的
G(jω)H(jω)曲线。再根据对称性，作出 -j 0到
-j∞时的 G(jω)H(jω)曲线。
0)k ( )1( )1()()( 1 ss sKsHsG
)1( )1()()( 1 jj jKjHjG
Im
Re
2 K
1
0
1?
0?
0?
1
K
10
当 时,s从 - j0转到 +j0，
G(jω)H(jω) 曲线以 半径为无穷大，顺时针 转过 π角（图中虚线）。并可求得,? =?1时，
G(j?)H(j?)与实轴交 。
从图可见,G(s)H(s)的奈氏曲线顺时针绕 ( -1,j0 ) 点一圈，
N = -1,又因为 P =0,所以
Z = P - N=1，
说明为不稳定系统，有一个闭环极点在 s的右半平面。
1
1K
Im
Re
2 K
1
0
1?
0?
0?
1
K
11
3。一种简易的奈氏判据
（ 1）正、负穿越的概念
G(jω)H(jω)曲线对称实轴。应用中只画 部分。
所谓“穿越”是指 轨迹穿过 段。
正穿越,从上而下穿过该段一次（相角增加），用 表示。
负穿越,由下而上穿过该段一次（相角减少），用 表示。
正穿越 负穿越
N
0?
N
),1( ImRe0
( － 1,j 0 )
+
ImRe0
( － 1,j 0 )
_
12
( 1,0 )j? 0
( ) ( )G j H j
Im
Re
－
＋＋
2＝?N 1＝?N
13
若 G(jω)H(jω)轨迹起始或终止于 (-1,j0)
以左的负轴上，则穿越次数为半次，且同样有 + 1/2 次穿越和 -1/2次穿越。
I m Re
0
0
_
( ) ( )G j H j
( 1,0 )j?
ImRe0
( 1,0 )j
( ) ( )G j H j
0
＋
14
如果 G(jω)H(jω)按逆时针方向铙 (-1,j0) 一周，则必正穿越一次。反之，若按顺时针方向包围点 (-1,j0)
一周，则必负穿越一次。这种正负穿越之和即为
G(jω)H(jω)包围的圈数。故 奈氏判据 又可表述为：
闭环系统稳定的充要条件是：当 由 0变化到 时，
G(jω)H(jω)曲线在（ -1,j0） 点以左的负实轴上的正负穿越之和为 P/2 圈。
P为 开环传递函数在 s右半平面的极点数 。此时
Z=P-2N
若开环传递函数无极点分布在 S右半平面，
即,则 闭环系统稳定的充要条件应该是 N=0：
注意：这里对应的 ω变化范围是 。
0
0?P
15
例,某系统 G(jω)H(jω)轨迹如下，已知有 2个开环极点分布在 s的右半平面，试判别系统的稳定性。
解,系统有 2个开环极点分布在 s的右半平面（ P=2），
G(jω)H(jω)轨迹在点 (-1,j0)以左的负实轴有 2次正穿越,1次负穿越，因为,N=,
求得,Z=P-2N=2-2=0 所以系统是稳定系统。
,( 1,0 )j?
Im Re
00
( ) ( )G j H j
112 NN
2?P
16
例,两系统取一半奈氏曲线，试分析系统稳定性。
解,(a),N= N+ - N –=（ 0-1） = -1,且已知 P =0,所以
Z=P-2N=2 系统不稳定。
(b),K>1时,N= N+ - N - =1-1/2= -1/2,且已知 P=1,所以
Z= P-2N=0,闭环系统稳定；
K<1时,N = N+ - N - =0-1/2= -1/2,且已知 P =1,所以
Z= P-2N=2,闭环系统不稳定；
K=1时，奈氏曲线穿过 (-1,j0) 点两次，说明有两个根在虚轴上，所以系统不稳定。
ImRe00?R 0? 1?PImRe
0
K?
17
四、伯德图上的奈氏判据极坐标图 伯德图单位圆 0db线（幅频特性图）
单位圆以内区域 0db线以下区域单位圆以外区域 0db线以上区域负实轴 -1800线（相频特性图）
因此，奈氏曲线自上而下（或自下而上）地穿越（ -1,j0）
点左边的负实轴，相当于在伯德图中当 L(ω)>0db时相频特性曲线自下而上（或自上而下）地穿越 -180°线。
Im
Re
0
( 1,0 )j?
( ) ( )G j H j
()L?
()
dB
0?
0
c?
18
参照极坐标中奈氏判据的定义，对数坐标下的奈判据可表述如下：
闭环系统稳定的充要条件是：当 由 0变到 时，
在开环对数幅频特性 的频段内，相频特性穿越的次数（正穿越 与负穿越 次数之差）
为 。
P为 开环传递函数在 s右半平面的极点数 。
若开环传递函数无极点分布在 S右半平面，即,
则 闭环系统稳定的充要条件是：在 的频段内，
相频特性 在 线上正负穿越次数代数和为零。或者不穿越 线 。
0)(L
)(
N?N
2P
0?P
0)(L
)(
19
例：某系统有两个开环极点在 S右半平面（ P=2）
N+- N-=1-2= -1 不等于 P/2（ =1）
所以，系统不稳定。
)(?L
0
)(
2?P
20
第四节 稳定裕量人们常用系统开环频率特性 G(jω)H(jω)与 GH平面上与（ -1,j0） 点的靠近程度来表征闭环系统的稳定程度。一般来说,G(jω)H(jω)离开（ -1,j0） 点越远，
则稳定程度越高；反之，稳定程度越低。
一,相位裕量增益剪切频率,是指开环频率特性 (jω)H(jω）
的幅值等于 1时的频率，即在控制系统的增益剪切频率 ωc上，使闭环系统达到临界稳定状态所需附加的相移（超前或迟后相移）量，称为系统的相位裕量，记作 γ。
c?
1)()(?cc jHjG
21
（ a） （ b）
相位裕量：
=
当 γ>0时，相位裕量为正，系统稳定 ；
当 γ<0时，相位裕量为负，系统不稳定 。
正相位裕量
1
g
K
1?
B
()Gj?
Im
Re
正增益裕量
[]GH
1
1
g
K
B
Im
Re
[]GH
负相位裕量负增益裕量
()Gj?
1?
1
0c 180ωγ )(1 8 0 c
22
,
270?
()L?
()
dB
0
90?
180?
正相位裕量
0
c
g
0?
g
K
负增益裕量负相位裕量
270?
180?
90?
()L?
()
0
dB
0
c
g
0?
g
K
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二,增益裕量在系统的相位剪切频率 ωg（ ωg>0） 上，开环频率特性的倒数，称为控制系统的增量裕量，记作 Kg,即以分贝表示时
Kg大于 1，则增益裕量为正值，系统稳定。
Kg小于 1，则增益裕量为负值。系统不稳定。图中（ a）,
(b)分别表示正的增益裕量和负的增益裕量。
一般说来为了得到满意的性能,相位裕量应当在
30°? 60° 之间,而增益裕量应当大于 6dB。
ggg ωjHωjG 1K?
dBωjHωjG 2 0 l g2 0 l g KdBK gggg
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第四节 Nyquist 稳定性判据基本思想,利用系统的开环频率特性判别闭环系统的稳定性。
第四章 控制系统的稳定性分析复习
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一,预备知识 ——幅角定理幅角定理：
F(s)是 s的单值有理函数,在 s平面上任一闭合路径包围了 F(s)的 Z个零点和 P个极点,并且不经过 F(s)
的任一零点和极点,则当 s沿闭合路径 顺时针 方向旋转一圈时,映射到 F(s)平面内的 F(s)曲线 顺时针绕原点 （ Z – P） 圈 。 即
N=Z-P
（ 或 逆时针 绕原点 N= P - Z圈 ）
其中,N为圈数逆时针为正,
顺时针为负 。
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二、奈魁斯特稳定性判据
1、线性系统的特征方程运动方程一般形式,r(t)——输入 c(t)——输出特征方程系统传递函数系统结构为：
比较得到闭环系统的特征方程（闭环传递函数的分母＝ 0）
c ( t )adtd c ( t )adt c ( t )dadt c ( t )da 011-n1-n1-n1-nnnnn r ( t )bdtd r ( t )bdt r ( t )dbdt r ( t )db 011-m 1-m1-m1-mmmmm
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()Hs
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G ( s ) H ( s )1
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C ( s )
0asasasa 011n1nnn ＝
0asasasaG ( s ) H ( s )1F ( s ) 011n1nnn ＝＝＝
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2,奈氏路径令,顺时针方向 包围整个 s
右半平面 。 当 F(s)
有若干个极点处于 s平面虚轴 （ 包括原点 ） 上时,
则以这些点为圆心,作半径为无穷小的半圆,按逆时针 方向 从右侧绕过 这些点 。
j?
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1
j?
1
j
()Fs 的极点
R
j
0j?
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s平面
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3,奈氏判据设,——闭环系统特征多项式显然,F(s) 的 零点 就是闭环系统的 极点 。
(1) 1＋ G(S)H(S)平面上的系统稳定性分析假如 s沿着奈氏路径绕一圈，根据幅角定理,F(s)平面上绘制的 F(s)曲线 ΓF 逆时针 方向绕 原点 的圈数 N则为
F(s)在 s右半开平面内极点个数 P与的零点个数 Z之差：
N= P - Z
当 Z=0 即（ N= P ）时，说明系统闭环传递函数无极点在 s 右半开平面，系统是稳定的；反之，系统则是不稳定的。
sHsGSF 1
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（ 2） G(s)H(s)平面上的系统稳定性分析 --奈氏判据因为 1+ G(s)H(s) 与 G(s)H(s) 之间相差 1，所以系统的稳定性可表达成：
奈氏判据：闭环系统稳定的充要条件,s沿着奈氏路径绕一圈,G(jω)H(jω) 曲线逆时针绕（ -1,j0） 点的 P圈 （ N= P ） 。
P——为 G(s)H(s)位于 s右半平面的极点数。
a.若 P=0,且 N=0,即 曲线不包围（ -1,j0） 点，则闭环系统稳定；
b.若 P≠0,且 N=P,即 曲线逆时针 绕 （ -1,j0） 点 P圈,则闭环系统稳定，否则是不稳定系统。
不稳定系统分布在 s右半平面 极点 的个数可按下式求取：
Z=P N
c.若 曲线通过（ -1,j0） 点 L次，则说明闭环系统有 L个极点分布在 s平面的虚轴上。
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例,一系统开环传递函数为：
试判别系统的稳定性。
解,本系统的开环频率特性当 变化时，系统的幅相曲线如图所示。
因为系统有一个开环极点位于 s的右半平面，即,P=1。
图中奈氏曲线是 逆时针方向 绕（ -1,j0） 点的 1圈，即 N=1。
根据 奈氏判据,闭环系统在 s右半平面极点数 Z=P-N=1-1=0
所以系统稳定。
0)a ( 1)()( s asHsG
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jjjj 00?
2?
1? 0
Re
Im
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绘 画乃氏曲线过程中：
当 s从 -j0转到 +j0时,G(s)H(s)的奈氏曲线以半径为无穷大，顺时针转过 。
当 s 沿奈氏曲线从 +j∞到 - j∞时，对 n>m的系统,G(s)H(s)的奈魁斯特氏曲线以无穷小半径，绕原点逆时针转过（ n - m） π。
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例,一系统的开环传递函数为：
试判断系统的稳定性解：
先作 +j 0到 +j∞时的
G(jω)H(jω)曲线。再根据对称性，作出 -j 0到
-j∞时的 G(jω)H(jω)曲线。
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Im
Re
2 K
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0?
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当 时,s从 - j0转到 +j0，
G(jω)H(jω) 曲线以 半径为无穷大，顺时针 转过 π角（图中虚线）。并可求得,? =?1时，
G(j?)H(j?)与实轴交 。
从图可见,G(s)H(s)的奈氏曲线顺时针绕 ( -1,j0 ) 点一圈，
N = -1,又因为 P =0,所以
Z = P - N=1，
说明为不稳定系统，有一个闭环极点在 s的右半平面。
1
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Im
Re
2 K
1
0
1?
0?
0?
1
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3。一种简易的奈氏判据
（ 1）正、负穿越的概念
G(jω)H(jω)曲线对称实轴。应用中只画 部分。
所谓“穿越”是指 轨迹穿过 段。
正穿越,从上而下穿过该段一次（相角增加），用 表示。
负穿越,由下而上穿过该段一次（相角减少），用 表示。
正穿越 负穿越
N
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( ) ( )G j H j
Im
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若 G(jω)H(jω)轨迹起始或终止于 (-1,j0)
以左的负轴上，则穿越次数为半次，且同样有 + 1/2 次穿越和 -1/2次穿越。
I m Re
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( ) ( )G j H j
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如果 G(jω)H(jω)按逆时针方向铙 (-1,j0) 一周，则必正穿越一次。反之，若按顺时针方向包围点 (-1,j0)
一周，则必负穿越一次。这种正负穿越之和即为
G(jω)H(jω)包围的圈数。故 奈氏判据 又可表述为：
闭环系统稳定的充要条件是：当 由 0变化到 时，
G(jω)H(jω)曲线在（ -1,j0） 点以左的负实轴上的正负穿越之和为 P/2 圈。
P为 开环传递函数在 s右半平面的极点数 。此时
Z=P-2N
若开环传递函数无极点分布在 S右半平面，
即,则 闭环系统稳定的充要条件应该是 N=0：
注意：这里对应的 ω变化范围是 。
0
0?P
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例,某系统 G(jω)H(jω)轨迹如下，已知有 2个开环极点分布在 s的右半平面，试判别系统的稳定性。
解,系统有 2个开环极点分布在 s的右半平面（ P=2），
G(jω)H(jω)轨迹在点 (-1,j0)以左的负实轴有 2次正穿越,1次负穿越，因为,N=,
求得,Z=P-2N=2-2=0 所以系统是稳定系统。
,( 1,0 )j?
Im Re
00
( ) ( )G j H j
112 NN
2?P
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例,两系统取一半奈氏曲线，试分析系统稳定性。
解,(a),N= N+ - N –=（ 0-1） = -1,且已知 P =0,所以
Z=P-2N=2 系统不稳定。
(b),K>1时,N= N+ - N - =1-1/2= -1/2,且已知 P=1,所以
Z= P-2N=0,闭环系统稳定；
K<1时,N = N+ - N - =0-1/2= -1/2,且已知 P =1,所以
Z= P-2N=2,闭环系统不稳定；
K=1时，奈氏曲线穿过 (-1,j0) 点两次，说明有两个根在虚轴上，所以系统不稳定。
ImRe00?R 0? 1?PImRe
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四、伯德图上的奈氏判据极坐标图 伯德图单位圆 0db线（幅频特性图）
单位圆以内区域 0db线以下区域单位圆以外区域 0db线以上区域负实轴 -1800线（相频特性图）
因此，奈氏曲线自上而下（或自下而上）地穿越（ -1,j0）
点左边的负实轴，相当于在伯德图中当 L(ω)>0db时相频特性曲线自下而上（或自上而下）地穿越 -180°线。
Im
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( ) ( )G j H j
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参照极坐标中奈氏判据的定义，对数坐标下的奈判据可表述如下：
闭环系统稳定的充要条件是：当 由 0变到 时，
在开环对数幅频特性 的频段内，相频特性穿越的次数（正穿越 与负穿越 次数之差）
为 。
P为 开环传递函数在 s右半平面的极点数 。
若开环传递函数无极点分布在 S右半平面，即,
则 闭环系统稳定的充要条件是：在 的频段内，
相频特性 在 线上正负穿越次数代数和为零。或者不穿越 线 。
0)(L
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N?N
2P
0?P
0)(L
)(
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例：某系统有两个开环极点在 S右半平面（ P=2）
N+- N-=1-2= -1 不等于 P/2（ =1）
所以，系统不稳定。
)(?L
0
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2?P
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第四节 稳定裕量人们常用系统开环频率特性 G(jω)H(jω)与 GH平面上与（ -1,j0） 点的靠近程度来表征闭环系统的稳定程度。一般来说,G(jω)H(jω)离开（ -1,j0） 点越远，
则稳定程度越高；反之，稳定程度越低。
一,相位裕量增益剪切频率,是指开环频率特性 (jω)H(jω）
的幅值等于 1时的频率，即在控制系统的增益剪切频率 ωc上，使闭环系统达到临界稳定状态所需附加的相移（超前或迟后相移）量，称为系统的相位裕量，记作 γ。
c?
1)()(?cc jHjG
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（ a） （ b）
相位裕量：
=
当 γ>0时，相位裕量为正，系统稳定 ；
当 γ<0时，相位裕量为负，系统不稳定 。
正相位裕量
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负增益裕量负相位裕量
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二,增益裕量在系统的相位剪切频率 ωg（ ωg>0） 上，开环频率特性的倒数，称为控制系统的增量裕量，记作 Kg,即以分贝表示时
Kg大于 1，则增益裕量为正值，系统稳定。
Kg小于 1，则增益裕量为负值。系统不稳定。图中（ a）,
(b)分别表示正的增益裕量和负的增益裕量。
一般说来为了得到满意的性能,相位裕量应当在
30°? 60° 之间,而增益裕量应当大于 6dB。
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