1
第六章 控制系统的瞬态响应分析希望系统有很快地响应速度。即在控制信号的作用下，系统的输出能很快地随控制信号变化而变化。
系统分析的准确度取决于数学模型描述的真实程度。
第一节 一阶系统的瞬态响应一、慨述
1,输入为单位阶跃函数，则输出为
TssR
sC
1
1
)(
)(
()Rs?
()Cs
Ts
1
TssTsssC 1
11
)1(
1)(
Ttetc 1)(
)0(?t
2
一阶系统单位阶跃响应曲线这是一条指数曲线,处斜率最大，其值为 1/T，
若系统保持此变化速度，在 t=T 时，输出将达到稳态值。
而实际系统只能达到稳态值的 0.632,经过 3T或 4T的时间系统输出响应分加别达到稳态值的 0.95或 0.98。
0
1
0.6 32
()ct
tT 2 T 3 T 4 T 5 T
63.2%
86,5% 95% 98.2% 99.3%
斜率=1 /T
0?t
3
2,输入为单位脉冲,
单位脉冲响应曲线也是一条指数曲线，
在 时为 ；
不难看出：单位脉冲响应是单位阶跃响应的导数，而单位阶跃响应是单位脉冲响应的积分。
TssRTssC 1
1)(
1
1)( Tte
Ttctg
1)()(
0?t T1
0 T 2 T 3 T 4 T t
()ct
1
T
/
1
()
tT
c t e
T
4
3,输入为单位速度系统输出响应曲线由两部分组成：
稳态分量为（ t-T）,它也是单位斜坡函数，但有时间 T的延迟，即稳态误差。瞬态分量为 Te-t/T,
以 1/T的系数衰减到零。
T越小，稳态误差也越小。
21)( ssR?
Ts
T
s
T
ssTssC /1
11
1
1)(
22
TtTeTttc /)(
)( tr
)( tc
t
)( tr
)( tc
Te
ss
5
第二节 二阶系统的瞬态响应一个可以用二阶微分方程来描述的系统称为二阶系统。从物理上讲，二阶系统包含有二个独立的储能元件，经常用到的储能元件有电感、电容等。
一、二阶系统标准形式
T
Ks
T
1s
T
K
)s(R
)s(C)s(
2
( 1 )
K
s Ts?
()Rs ()Cs?
6
令,则 二阶系统标准式,
－－无阻尼自然振荡频率；
－－阻尼比二阶系统的特征方程为系统的两个特征根（闭环极点）为特征根的性质取决于 的大小，下面分四种情况讨论。
TKn?2?
Tn 12
1s 2nn2,1
)10(
0s2s 2nn2
2
nn
2
2
n
s2s)s(
n?
7
特征根的 [s]平面的分布情况见图
1,欠阻尼情况,
则二阶系统具有一对共轭复根：
式中,—— 称为衰减系数
—— 称为阻尼振荡频率
n
)10(
djs2,1
[s]
[s]
Im
Re0
[s]
Im
Re
0
[s]
2
s
2
s
1
s
1
s
1
s
2
1
n
n
01
0
0
(a) (b) (d)
Im
Re
1
Im
Re01s2s
1(c)
21 nd
1s 2nn2,1
8
输入为单位阶跃信号，则系统输出量的拉氏变换为对上式进行拉氏反变换，可得式中：
)2()( 22
2
nn
n ssssC
2222 )()(
1
dn
n
dn
n ss ss
)ts i n1t( c o se1)t(c d2dtn
ts i ntc o s1(e1 11 dd2t2 n
)ts i n (1e1 d2tn
a r c c o s
9
欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应为一条衰减振荡曲线。振荡频率为,曲线 为动态响应的包络线，包络线的时间常数为 。单位阶跃响曲线 C(t)总是包含在一对包络线之内，
收敛速率取决于时间常数为 的数值，所以又把 称为衰减系数。
d? 2
tn
1
e1
n1
n
n
10
,
0
1
2
1
1
1?
2
1
1
1?
2
1
1
n
t
e
1
n
T
T 2 T 3 T 4 T
t
()ct
2
1
1
n
t
e
11
2,临界阻尼情况（ ）
由 可知，此时系统有两个相等的实根对单位阶跃输入，系统输出的拉氏变换可写为响应曲线：
1
1s 2nn2,1
n2,1s
nn
n
nn
n
sssssssc
1
)(
1
)2()( 222
2
)1(1)( tetc ntn
()ct
()rt
0
1
t
()ct
12
3,过阻尼情况（ ）
此时系统有两个不相等的负实根对单位阶跃输入，输出拉氏变换式写成部分分式为将上式进行拉氏反变换并整理，得式中
1s 2nn2,1
1s
]11(2[
1s
)]11(2[
s
1)s(c
2
nn
122
2
nn
122
)TeTe(
12
11)t(c
2
t2T
1
t1T
2?
n
n
T
T
)1(
)1(
2
2
2
1
1
13
过阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线图
()rt
t
()ct
0
14
4,无阻尼情况当此时系统有一对虚根这是一条平均值为 1的等幅振荡曲线。
njs2,1
1s 2nn2,1
)0(
tc o s1)t(c n )0t(?
()ct
0
1
2
t
)0(
第六章 控制系统的瞬态响应分析希望系统有很快地响应速度。即在控制信号的作用下，系统的输出能很快地随控制信号变化而变化。
系统分析的准确度取决于数学模型描述的真实程度。
第一节 一阶系统的瞬态响应一、慨述
1,输入为单位阶跃函数，则输出为
TssR
sC
1
1
)(
)(
()Rs?
()Cs
Ts
1
TssTsssC 1
11
)1(
1)(
Ttetc 1)(
)0(?t
2
一阶系统单位阶跃响应曲线这是一条指数曲线,处斜率最大，其值为 1/T，
若系统保持此变化速度，在 t=T 时，输出将达到稳态值。
而实际系统只能达到稳态值的 0.632,经过 3T或 4T的时间系统输出响应分加别达到稳态值的 0.95或 0.98。
0
1
0.6 32
()ct
tT 2 T 3 T 4 T 5 T
63.2%
86,5% 95% 98.2% 99.3%
斜率=1 /T
0?t
3
2,输入为单位脉冲,
单位脉冲响应曲线也是一条指数曲线，
在 时为 ；
不难看出：单位脉冲响应是单位阶跃响应的导数，而单位阶跃响应是单位脉冲响应的积分。
TssRTssC 1
1)(
1
1)( Tte
Ttctg
1)()(
0?t T1
0 T 2 T 3 T 4 T t
()ct
1
T
/
1
()
tT
c t e
T
4
3,输入为单位速度系统输出响应曲线由两部分组成：
稳态分量为（ t-T）,它也是单位斜坡函数，但有时间 T的延迟，即稳态误差。瞬态分量为 Te-t/T,
以 1/T的系数衰减到零。
T越小，稳态误差也越小。
21)( ssR?
Ts
T
s
T
ssTssC /1
11
1
1)(
22
TtTeTttc /)(
)( tr
)( tc
t
)( tr
)( tc
Te
ss
5
第二节 二阶系统的瞬态响应一个可以用二阶微分方程来描述的系统称为二阶系统。从物理上讲，二阶系统包含有二个独立的储能元件，经常用到的储能元件有电感、电容等。
一、二阶系统标准形式
T
Ks
T
1s
T
K
)s(R
)s(C)s(
2
( 1 )
K
s Ts?
()Rs ()Cs?
6
令,则 二阶系统标准式,
－－无阻尼自然振荡频率；
－－阻尼比二阶系统的特征方程为系统的两个特征根（闭环极点）为特征根的性质取决于 的大小，下面分四种情况讨论。
TKn?2?
Tn 12
1s 2nn2,1
)10(
0s2s 2nn2
2
nn
2
2
n
s2s)s(
n?
7
特征根的 [s]平面的分布情况见图
1,欠阻尼情况,
则二阶系统具有一对共轭复根：
式中,—— 称为衰减系数
—— 称为阻尼振荡频率
n
)10(
djs2,1
[s]
[s]
Im
Re0
[s]
Im
Re
0
[s]
2
s
2
s
1
s
1
s
1
s
2
1
n
n
01
0
0
(a) (b) (d)
Im
Re
1
Im
Re01s2s
1(c)
21 nd
1s 2nn2,1
8
输入为单位阶跃信号，则系统输出量的拉氏变换为对上式进行拉氏反变换，可得式中：
)2()( 22
2
nn
n ssssC
2222 )()(
1
dn
n
dn
n ss ss
)ts i n1t( c o se1)t(c d2dtn
ts i ntc o s1(e1 11 dd2t2 n
)ts i n (1e1 d2tn
a r c c o s
9
欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应为一条衰减振荡曲线。振荡频率为,曲线 为动态响应的包络线，包络线的时间常数为 。单位阶跃响曲线 C(t)总是包含在一对包络线之内，
收敛速率取决于时间常数为 的数值，所以又把 称为衰减系数。
d? 2
tn
1
e1
n1
n
n
10
,
0
1
2
1
1
1?
2
1
1
1?
2
1
1
n
t
e
1
n
T
T 2 T 3 T 4 T
t
()ct
2
1
1
n
t
e
11
2,临界阻尼情况（ ）
由 可知，此时系统有两个相等的实根对单位阶跃输入，系统输出的拉氏变换可写为响应曲线：
1
1s 2nn2,1
n2,1s
nn
n
nn
n
sssssssc
1
)(
1
)2()( 222
2
)1(1)( tetc ntn
()ct
()rt
0
1
t
()ct
12
3,过阻尼情况（ ）
此时系统有两个不相等的负实根对单位阶跃输入，输出拉氏变换式写成部分分式为将上式进行拉氏反变换并整理，得式中
1s 2nn2,1
1s
]11(2[
1s
)]11(2[
s
1)s(c
2
nn
122
2
nn
122
)TeTe(
12
11)t(c
2
t2T
1
t1T
2?
n
n
T
T
)1(
)1(
2
2
2
1
1
13
过阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线图
()rt
t
()ct
0
14
4,无阻尼情况当此时系统有一对虚根这是一条平均值为 1的等幅振荡曲线。
njs2,1
1s 2nn2,1
)0(
tc o s1)t(c n )0t(?
()ct
0
1
2
t
)0(
