1
§ 7－ 3 频率域中的无源串联校正 (续 )
三个频段的概念中频段 高频段低频段
c
()L?
15
15?
dB
2
控制系统的校正方法通常采用的有两种：
1,分析法。分析法实际上是一种试探的方法，可归结为：
原系统频率特性 +校正装置频率特性 =希望频率特性
G0(jω) Gc(jω) G(jω)
从原有的系统频率特性出发，根据分析和经验，选取合适的校正装置，使校正后的系统满足性能要求。
2,综合法。这种方法的基本可归结为：
希望频率特性 原系统频率特性 =校正装置频率特性
G(j?) G0(j?) Gc(j?)
根据对系统品质指标的要求，求出能满足性能的系统开环频率特性，即希望频率特性。再将希望的频率特性与原系统的频率特性相比较，确定校正装置的频率特性。
3
一、超前校正装置与超前校正
1,超前校正装置
具有相位超前特性 (即相频特性＞ 0)的校正装置叫超前校正装置，有的地方又称为微分校正装置。
超前网络的传递函数可写为
C
()Rs
()Cs
1
R
2
R
(a)
1Ts
1Tsα
α
1
R( s )
C( s )(s )G
c?
CRR RRT
21
21
1R RRα
2
21
4
如果对无源超前网络传递函数的衰减由放大器增益所补偿，则
称为超前校正装置传递函数
无源超前校正网络对数频率特性
(b)
()L?
1
T
1
T?
2 0 l g
()
m
20?
m
0
0
1Ts
1Tsα( s )G
c?
5
校正网络有下面一些特点：
1,幅频特性小于或等于 0dB。
2,大于或等于零。
3,最大的超前相角 发生的转折频率 1/αT与 1/T的几何中点 ωm处。证明如下：
超前网络相角计算式是根据两角和的三角函数公式，可得将上式求导并令其为零，得最大超前角频率
)(
m?
ωTtga r cωTαtga r c)ω(
22 ωTα1
ω1 )Tα(
tga rc)ω(
αT
1ω
m?
6
得最大超前相角
或写为
α值越大，则超前网络的微分效应越强。 与 α的关系在系统的校正与设计中很有用处。
当 α大于 20以后,的变化很小,α一般取 1?20之间。
α2
1αtgar c
m
1α
1αs i narc
m?
m
m
s i n -1
s i n 1α
m?
m?
0
2
4
6
8
10
12
0
10
20
30
40
50
60
()
m
1 0 l g?
1 3 5 7 9 13 15 17 1911
2 0 l g (d B)?
7
2,超前校正应用举例
例,设一系统的开环传递函数：
若要使系统的稳态速度误差系数 Kv=12s-1,相位裕量?400，试设计一个校正装置。
解,(1) 根据稳态误差要求，确定开环增益 K。
画出校正前系统的伯德图，求出相角裕量 和增益剪切频率 ωc0
即 k=12
校正前系统的频率特性
作出伯德图，求出原系统 =150,ωc0 ＝ 3.5 rad /s
1)s (s
k(s )G 0
121)s ( s kslim( s )sGlimK
0s00sv
1)(j ωj ω
12)(j ωG
0
0?
0?
8
,
()L?
dB
20
0
L
90?
180?
0
1
0
0
15
40?
20?
5.3
)(
90
9
(2) 根据要求相角裕量，估算需补偿的超前相角 。
=Δθ+ε= +ε
式中,Δθ=,习惯上又称它为校正装置相位补偿的理论值。 =Δθ+ε,称为校正装置相位补偿的实际值。当 (ω)在 ωc0处衰减变化比较缓慢时，取
=Δθ+ε=400-150+50=300 (ε取 50)
增量 ε（ 一般取 50?120）是为了补偿校正后系统增益剪切频率 增大（右移）所引起的相位迟后。
若在 ωc0处衰减变化比较快,ε的取值也要随之增大，
甚至要选用其它的校正装置才能满足要求。
(3) 求 α 。 令 =,按下式确定 α,即
0
0
c?
m
330s in 1 30s in 1α 00
10
为了充分利用超前网络的相位超前特性，应使校正后系统的增益剪切频率 ωc正好在 ωm处，即取 ωc=ωm。
分析可知,ωm位于 1/αT与 1/T的几何中点，求得：
而在 ωm在点上 G0(jω)的幅值应为：
-10lg α= -4.8dB
从 原系统的伯德图上，我们可求得
ωm=4.6 rad /s
所以
αω
1T
m
0,1 2 6 sαω 1T
m
1-7,9 4 sT1?
0,3 7 8 sTα? 1-2,6 5 sTα 1?
11
,
()L?
dB
20
20?
20?
40?
0
L
L
90?
180?
0
1
c
L
1
T
1
T?
c
0
0
15
42
40?
20?
5.3
6.4
)(
65.2 94.7
20?
90
12
引入超前校正网络后的传递函数：
（ 4）引入 倍的放大器。 为了补偿超前网络造成的衰
减，引入 倍的放大器，得到超前校正装置的传递函数
校正后系统的传递函数
（ 5）作出校正后的伯德图。求得,Kv=12s-1,=420，
Kg=+?dB,ωc从 3.5 rad/s增加到 4.6 rad/s。 原系统的动态
性能得到改善，满足要求。
1126.0
1378.0
3
1
1Ts
1Tsα
α
1( s )G c
s
s
10,1 2 6 s
10,3 7 8 s
10,1 2 6 s
10,3 7 8 s
3
13( s )Gα
0?
1)1 ) ( 0,1 2 6 s1 ) ( 0,5 ss ( s
1)1 2 ( 0,3 7 8 s( s )Gα( s )GG ( s )
c0
3
13
通过超前校正分析可知：
（ 1） 提高了控制系统的相对稳定性 —— 使系统的稳定裕量增加，超调量下降。
工业上常取 α=10,此时校正装置可提供约 550的超前相角。为了保证系统具有 300?600的相角裕量，要求校正后系统的增益剪切频率 ωc处的幅频斜率应为 20dB/dec，
并占有一定的带宽。
(2) 加快了控制系统的反应速度 —— 过渡过程时间减小 。 由于串联超前校正的存在，使校正后系统的?c,?r
及?b均变大了。带宽的增加，无疑会使系统响应速度变快。
（ 3）系统的抗干扰能力下降了。
（ 4）控制系统的稳态性能是通过步骤一中选择校正后系统的开环增益来保证的。
14
二,迟后校正装置与迟后校正
1.迟后校正装置具有迟后相位特性 (即相频特性?(?)小于零 )的校正装置叫迟后校正装置。有的地方又称之为积分校正装置。
介绍一个无源迟后网络的电路图。
式中,T=R2C
此校正网络的对数频率特性：
()Rs ()Cs
1
R
2
R
C
1Tsβ
1Ts( s )G
c?
1R RRβ
2
21
15
特点：
1,幅频特性小于或等于 0dB。 是一个低通滤波器。
2,?(?)小于等于零。可看作是一阶微分环节与惯性环节的串联，但惯性环节的时间常数?T大于一阶微分环节的时间常数 T（ 即传递函数中分母的时间常数大于分子的时间常数），即积分效应大于微分效应，相角表现为一种迟后效应。
3,最大负相移发生在转折频率 与 的几何中点。
()L?
1
T
()
m
m
90?
1
T?
2 0 l g
0
0
20?
β1
β1s i narc
1β
1βs i narc
m?
)(-s i n-1
)(-s i n1β
m
m
Tβ
1T1
16
例 设一系统的开环传递函数为：
要求校正后，系统稳态速度误差系数 KV=5秒 -1,γ?400。
解：
(1) 根据稳态误差要求确定开环增益 K。 绘制未校正系统的伯德图，并求出其相位裕量和增益裕量。
确定 K值。因为
所以 Kv=K=5
作出原系统的伯德图，见图 6-13。求得原系统的相位裕量,= - 200，系统不稳定。
1)1 ) ( 0,5 ss ( s
k( s )G 0
K1)1 ) ( 0,5 ss ( s skl i m( s )sGl i mK 0s00sv
0?
17
,
0,0 1 0,1 0,5 10
20?
60?
0
L
()L? dB
0
0
20
90?
180?
60
40
20
0
1
20?
40?
1.2
)(
18
(2) 确定校正后系统的增益剪切频率?c。 在此频率上，
开环传递函数的相位裕量应等于要求的相位裕量再加上 (50?120)---补偿迟后校正网络本身在?c处的相位迟后。
确定?c。
原系统在其增益剪切频率?c0处的相角衰减得很快,
采用超前校正作用不明显,故考虑采用迟后校正 。
现要求校正后系统的相位裕量?400,为了补偿迟后校正网络本身的相位迟后,需再加上 50?120的补偿角,
所以取
Δ =400+(50— 120)=520 (补偿角取 120)
在伯德图上可找得,在?=0.5s-1附近的相位角等于 -
1280(即相位裕量为 520),故取此频率为校正后系统的增益剪切频率 。 即：
ωc=0.5s-1
19
,
0,0 1 0,1 0,5 10
20?
40?
60?
0
L
L
c
L
()L? dB
c
0
0
20
90?
180?
60
40
20
40
0
1
60?
40?
20?
40?
1.2
20?
)(
20?
20
(3) 求?值。 确定原系统频率特性在?=?c处幅值下降到 0dB时所必需的衰减量 ΔL。 由等式
ΔL=20lg?求取?值。
由图得原系统在?c处的幅频增益为 20dB,为了保证系统的增益剪切频率在 ωc处,迟后校正装置应产生
20dB的衰减量,ΔL=20dB,即
20=20lgβ β=10
(4) 选取 T值。 为了使迟后校正装置产生的相位迟后对校正后系统的增益剪切频率?c处的影响足够小，
应满足，一般取
ωc=(5— 10) 1/T
取
1c 0,1 sω5
1
T
1 10,0 1 s
Tβ
1
21
(5)确定迟后校正装置的传递函数。
校正后系统的开环传递函数
(6) 检验。
作出校正后系统的伯德图，求得 =400,KV=5。 所以，系统满足要求。
0,0 1s
0,1s
10
1
11 0 0 s
11 0 s( s )G
c?
1)1 ) ( 0,5 s1 ) ( ss ( 1 0 0 s
1)5 ( 1 0 s( s )G( s )GG ( s )
c0
22
由上分析可知：在迟后校正中,我们利用的是迟后校正网络在高频段的衰减特性,而不是其相位的迟后特性 。 对系统迟后校正后：
① 改善了系统的稳态性能 。
迟后校正网络实质上是一个低通滤波器,对低频信号有较高的增益,从而减小了系统的稳态误差 。
同时由于迟后校正在高频段的衰减作用,使增益剪切频率移到较低的频率上,保证了系统的稳定性 。
② 响应速度变慢 。
迟后校正装置使系统的频带变窄,导致动态响应时间增大 。
23
,超前校正和迟后校正的区别与联系超 前 校 正 迟 后 校 正原理利用超前网络的相角超前特性，改善系统的动态性能。
利用迟后网络的高频幅值衰减特性，改善系统的稳态性能。
效果
( 1 ) 在 ω
c
附近，原系统的对数幅频特性的斜率变小，相角裕量 γ 与幅值裕量 K
g
变大。
( 2 ) 系统的频带宽度增加。
( 3 ) 由于 γ 增加，超调量下降。
( 4 ) 不影响系统的稳态特性，即校正前后 e
ss
不变。
( 1 ) 在相对稳定性不变的情况下，系统的稳态精度提高了。
( 2 ) 系统的增益剪切频率 ω
c
下降，闭环带宽减小。
( 3 ) 对于给定的开环放大系数，由于 ω
c
附近幅值衰减，使 γ,K
g
及谐振峰值 M
r
均得到改善。
缺点
( 1 ) 频带加宽，对高频抗干扰能力下降。
( 2 ) 用无源网络时，为了补偿校正装置的幅值衰减，需附加一个放大器。
频带变窄，使动态响应时间变大。
应用范围
( 1 ) ω
c
附近，原系统的相位迟后变化缓慢，
超前相位一般要求小于 55
0
，对于多级串联超前校正则无此要求。
( 2 ) 要求有大的频宽和快的瞬态响应。
( 3 ) 高频干扰不是主要问题。
( 1 ) ω
c
附近,原系统的相位变化急剧，以致难于采用串联超前校正。
( 2 ) 适于频宽与瞬态响应要求不高的情况。
( 3 ) 对高频抗 干扰有一定的要求。
( 4 ) 低频段能找到所需要的相位裕量。
§ 7－ 3 频率域中的无源串联校正 (续 )
三个频段的概念中频段 高频段低频段
c
()L?
15
15?
dB
2
控制系统的校正方法通常采用的有两种：
1,分析法。分析法实际上是一种试探的方法，可归结为：
原系统频率特性 +校正装置频率特性 =希望频率特性
G0(jω) Gc(jω) G(jω)
从原有的系统频率特性出发，根据分析和经验，选取合适的校正装置，使校正后的系统满足性能要求。
2,综合法。这种方法的基本可归结为：
希望频率特性 原系统频率特性 =校正装置频率特性
G(j?) G0(j?) Gc(j?)
根据对系统品质指标的要求，求出能满足性能的系统开环频率特性，即希望频率特性。再将希望的频率特性与原系统的频率特性相比较，确定校正装置的频率特性。
3
一、超前校正装置与超前校正
1,超前校正装置
具有相位超前特性 (即相频特性＞ 0)的校正装置叫超前校正装置，有的地方又称为微分校正装置。
超前网络的传递函数可写为
C
()Rs
()Cs
1
R
2
R
(a)
1Ts
1Tsα
α
1
R( s )
C( s )(s )G
c?
CRR RRT
21
21
1R RRα
2
21
4
如果对无源超前网络传递函数的衰减由放大器增益所补偿，则
称为超前校正装置传递函数
无源超前校正网络对数频率特性
(b)
()L?
1
T
1
T?
2 0 l g
()
m
20?
m
0
0
1Ts
1Tsα( s )G
c?
5
校正网络有下面一些特点：
1,幅频特性小于或等于 0dB。
2,大于或等于零。
3,最大的超前相角 发生的转折频率 1/αT与 1/T的几何中点 ωm处。证明如下：
超前网络相角计算式是根据两角和的三角函数公式，可得将上式求导并令其为零，得最大超前角频率
)(
m?
ωTtga r cωTαtga r c)ω(
22 ωTα1
ω1 )Tα(
tga rc)ω(
αT
1ω
m?
6
得最大超前相角
或写为
α值越大，则超前网络的微分效应越强。 与 α的关系在系统的校正与设计中很有用处。
当 α大于 20以后,的变化很小,α一般取 1?20之间。
α2
1αtgar c
m
1α
1αs i narc
m?
m
m
s i n -1
s i n 1α
m?
m?
0
2
4
6
8
10
12
0
10
20
30
40
50
60
()
m
1 0 l g?
1 3 5 7 9 13 15 17 1911
2 0 l g (d B)?
7
2,超前校正应用举例
例,设一系统的开环传递函数：
若要使系统的稳态速度误差系数 Kv=12s-1,相位裕量?400，试设计一个校正装置。
解,(1) 根据稳态误差要求，确定开环增益 K。
画出校正前系统的伯德图，求出相角裕量 和增益剪切频率 ωc0
即 k=12
校正前系统的频率特性
作出伯德图，求出原系统 =150,ωc0 ＝ 3.5 rad /s
1)s (s
k(s )G 0
121)s ( s kslim( s )sGlimK
0s00sv
1)(j ωj ω
12)(j ωG
0
0?
0?
8
,
()L?
dB
20
0
L
90?
180?
0
1
0
0
15
40?
20?
5.3
)(
90
9
(2) 根据要求相角裕量，估算需补偿的超前相角 。
=Δθ+ε= +ε
式中,Δθ=,习惯上又称它为校正装置相位补偿的理论值。 =Δθ+ε,称为校正装置相位补偿的实际值。当 (ω)在 ωc0处衰减变化比较缓慢时，取
=Δθ+ε=400-150+50=300 (ε取 50)
增量 ε（ 一般取 50?120）是为了补偿校正后系统增益剪切频率 增大（右移）所引起的相位迟后。
若在 ωc0处衰减变化比较快,ε的取值也要随之增大，
甚至要选用其它的校正装置才能满足要求。
(3) 求 α 。 令 =,按下式确定 α,即
0
0
c?
m
330s in 1 30s in 1α 00
10
为了充分利用超前网络的相位超前特性，应使校正后系统的增益剪切频率 ωc正好在 ωm处，即取 ωc=ωm。
分析可知,ωm位于 1/αT与 1/T的几何中点，求得：
而在 ωm在点上 G0(jω)的幅值应为：
-10lg α= -4.8dB
从 原系统的伯德图上，我们可求得
ωm=4.6 rad /s
所以
αω
1T
m
0,1 2 6 sαω 1T
m
1-7,9 4 sT1?
0,3 7 8 sTα? 1-2,6 5 sTα 1?
11
,
()L?
dB
20
20?
20?
40?
0
L
L
90?
180?
0
1
c
L
1
T
1
T?
c
0
0
15
42
40?
20?
5.3
6.4
)(
65.2 94.7
20?
90
12
引入超前校正网络后的传递函数：
（ 4）引入 倍的放大器。 为了补偿超前网络造成的衰
减，引入 倍的放大器，得到超前校正装置的传递函数
校正后系统的传递函数
（ 5）作出校正后的伯德图。求得,Kv=12s-1,=420，
Kg=+?dB,ωc从 3.5 rad/s增加到 4.6 rad/s。 原系统的动态
性能得到改善，满足要求。
1126.0
1378.0
3
1
1Ts
1Tsα
α
1( s )G c
s
s
10,1 2 6 s
10,3 7 8 s
10,1 2 6 s
10,3 7 8 s
3
13( s )Gα
0?
1)1 ) ( 0,1 2 6 s1 ) ( 0,5 ss ( s
1)1 2 ( 0,3 7 8 s( s )Gα( s )GG ( s )
c0
3
13
通过超前校正分析可知：
（ 1） 提高了控制系统的相对稳定性 —— 使系统的稳定裕量增加，超调量下降。
工业上常取 α=10,此时校正装置可提供约 550的超前相角。为了保证系统具有 300?600的相角裕量，要求校正后系统的增益剪切频率 ωc处的幅频斜率应为 20dB/dec，
并占有一定的带宽。
(2) 加快了控制系统的反应速度 —— 过渡过程时间减小 。 由于串联超前校正的存在，使校正后系统的?c,?r
及?b均变大了。带宽的增加，无疑会使系统响应速度变快。
（ 3）系统的抗干扰能力下降了。
（ 4）控制系统的稳态性能是通过步骤一中选择校正后系统的开环增益来保证的。
14
二,迟后校正装置与迟后校正
1.迟后校正装置具有迟后相位特性 (即相频特性?(?)小于零 )的校正装置叫迟后校正装置。有的地方又称之为积分校正装置。
介绍一个无源迟后网络的电路图。
式中,T=R2C
此校正网络的对数频率特性：
()Rs ()Cs
1
R
2
R
C
1Tsβ
1Ts( s )G
c?
1R RRβ
2
21
15
特点：
1,幅频特性小于或等于 0dB。 是一个低通滤波器。
2,?(?)小于等于零。可看作是一阶微分环节与惯性环节的串联，但惯性环节的时间常数?T大于一阶微分环节的时间常数 T（ 即传递函数中分母的时间常数大于分子的时间常数），即积分效应大于微分效应，相角表现为一种迟后效应。
3,最大负相移发生在转折频率 与 的几何中点。
()L?
1
T
()
m
m
90?
1
T?
2 0 l g
0
0
20?
β1
β1s i narc
1β
1βs i narc
m?
)(-s i n-1
)(-s i n1β
m
m
Tβ
1T1
16
例 设一系统的开环传递函数为：
要求校正后，系统稳态速度误差系数 KV=5秒 -1,γ?400。
解：
(1) 根据稳态误差要求确定开环增益 K。 绘制未校正系统的伯德图，并求出其相位裕量和增益裕量。
确定 K值。因为
所以 Kv=K=5
作出原系统的伯德图，见图 6-13。求得原系统的相位裕量,= - 200，系统不稳定。
1)1 ) ( 0,5 ss ( s
k( s )G 0
K1)1 ) ( 0,5 ss ( s skl i m( s )sGl i mK 0s00sv
0?
17
,
0,0 1 0,1 0,5 10
20?
60?
0
L
()L? dB
0
0
20
90?
180?
60
40
20
0
1
20?
40?
1.2
)(
18
(2) 确定校正后系统的增益剪切频率?c。 在此频率上，
开环传递函数的相位裕量应等于要求的相位裕量再加上 (50?120)---补偿迟后校正网络本身在?c处的相位迟后。
确定?c。
原系统在其增益剪切频率?c0处的相角衰减得很快,
采用超前校正作用不明显,故考虑采用迟后校正 。
现要求校正后系统的相位裕量?400,为了补偿迟后校正网络本身的相位迟后,需再加上 50?120的补偿角,
所以取
Δ =400+(50— 120)=520 (补偿角取 120)
在伯德图上可找得,在?=0.5s-1附近的相位角等于 -
1280(即相位裕量为 520),故取此频率为校正后系统的增益剪切频率 。 即：
ωc=0.5s-1
19
,
0,0 1 0,1 0,5 10
20?
40?
60?
0
L
L
c
L
()L? dB
c
0
0
20
90?
180?
60
40
20
40
0
1
60?
40?
20?
40?
1.2
20?
)(
20?
20
(3) 求?值。 确定原系统频率特性在?=?c处幅值下降到 0dB时所必需的衰减量 ΔL。 由等式
ΔL=20lg?求取?值。
由图得原系统在?c处的幅频增益为 20dB,为了保证系统的增益剪切频率在 ωc处,迟后校正装置应产生
20dB的衰减量,ΔL=20dB,即
20=20lgβ β=10
(4) 选取 T值。 为了使迟后校正装置产生的相位迟后对校正后系统的增益剪切频率?c处的影响足够小，
应满足，一般取
ωc=(5— 10) 1/T
取
1c 0,1 sω5
1
T
1 10,0 1 s
Tβ
1
21
(5)确定迟后校正装置的传递函数。
校正后系统的开环传递函数
(6) 检验。
作出校正后系统的伯德图，求得 =400,KV=5。 所以，系统满足要求。
0,0 1s
0,1s
10
1
11 0 0 s
11 0 s( s )G
c?
1)1 ) ( 0,5 s1 ) ( ss ( 1 0 0 s
1)5 ( 1 0 s( s )G( s )GG ( s )
c0
22
由上分析可知：在迟后校正中,我们利用的是迟后校正网络在高频段的衰减特性,而不是其相位的迟后特性 。 对系统迟后校正后：
① 改善了系统的稳态性能 。
迟后校正网络实质上是一个低通滤波器,对低频信号有较高的增益,从而减小了系统的稳态误差 。
同时由于迟后校正在高频段的衰减作用,使增益剪切频率移到较低的频率上,保证了系统的稳定性 。
② 响应速度变慢 。
迟后校正装置使系统的频带变窄,导致动态响应时间增大 。
23
,超前校正和迟后校正的区别与联系超 前 校 正 迟 后 校 正原理利用超前网络的相角超前特性，改善系统的动态性能。
利用迟后网络的高频幅值衰减特性，改善系统的稳态性能。
效果
( 1 ) 在 ω
c
附近，原系统的对数幅频特性的斜率变小，相角裕量 γ 与幅值裕量 K
g
变大。
( 2 ) 系统的频带宽度增加。
( 3 ) 由于 γ 增加，超调量下降。
( 4 ) 不影响系统的稳态特性，即校正前后 e
ss
不变。
( 1 ) 在相对稳定性不变的情况下，系统的稳态精度提高了。
( 2 ) 系统的增益剪切频率 ω
c
下降，闭环带宽减小。
( 3 ) 对于给定的开环放大系数，由于 ω
c
附近幅值衰减，使 γ,K
g
及谐振峰值 M
r
均得到改善。
缺点
( 1 ) 频带加宽，对高频抗干扰能力下降。
( 2 ) 用无源网络时，为了补偿校正装置的幅值衰减，需附加一个放大器。
频带变窄，使动态响应时间变大。
应用范围
( 1 ) ω
c
附近，原系统的相位迟后变化缓慢，
超前相位一般要求小于 55
0
，对于多级串联超前校正则无此要求。
( 2 ) 要求有大的频宽和快的瞬态响应。
( 3 ) 高频干扰不是主要问题。
( 1 ) ω
c
附近,原系统的相位变化急剧，以致难于采用串联超前校正。
( 2 ) 适于频宽与瞬态响应要求不高的情况。
( 3 ) 对高频抗 干扰有一定的要求。
( 4 ) 低频段能找到所需要的相位裕量。
