1
第三节 对数频率特性
2
一、对数坐标图
1,幅频特性图：
纵坐标：幅值的对数 20lg（ dB）,采用线性分度；
横坐标：用频率 ω的对数 lgω分度。
2.相频特性图纵坐标：频率特性的相移，以度为单位，采用线性分度；
横坐标：用频率 ω的对数 lgω分度。
180?
1 100,1
20
40
60
- 2 0
- 4 0
- 6 0
0
90
18 0
90?
2 3 4 6 85 7
dBL )(?
)(
3
一,典型环节的伯德图
1。放大环节 G(jω)=K
放大环节的对数幅频特性是一条幅值为 20lgK分贝，且平行于横轴的直线，相频特性是一条和横轴重合的直线。
K>1时,20lgK>0dB； K<1时,20lgK<0dB。
()L?
()
2 0 l g K
20
10
10
10
0
0
100
100
10
4
2,积分环节当 ω=1时当 ω=10时
ω每增加 10倍,L(ω)则衰减 20dB,记为：
－ 20dB/十倍频程，或 -20dB/dec。 或直接写成 -20。
jω1jωGdB2 0 l g ωj ω
12 0 l gj ωG2 0 l gωL
dB02 0 l g 1ωL
dB022 0 l g 1 0ωL
()L?
()
0,1
0,1
20
10
10
0
90?
0
1
1
20?
5
说明积分环节的对数幅频曲线是一条经过横轴上 ω=1这一点，且斜率为 -20的直线。
相频与 ω无关，值为 -90°且平行于横轴的直线，
3。微分环节微分环节是积分环节的倒数，它们的曲线斜率和相位移也正好相差一个负号。
jωjωG?
()L?
()
0,1
10,1
10
100
20
90
1
20?
0
20?
6
4。惯性环节惯性环节的幅频特性为惯性环节的幅频特性在 时（低频段）：
近似地认为，惯性环节在低频段的对数幅频特性是与横轴相重合的直线。
Tjω1 1jωG
22
22
1lg20
1
1lg20
1
1lg20 T
TTj
T1ω
dB02 0 l g 1Tω12 0 l g 22
7
在 时（高频段）：
幅频特性：
—— 表示一条经过 横轴处，斜率为 -20dB/dec的直线方程。
综上所述,惯性环节的对数幅频特性可以用在处相交于 0分贝的两条渐近直线来近似表示：
当 时，是一条 0分贝的直线；
当 时，是一条斜率为 -20dB/dec的直线。
T1ω
dBT2 0 l g ωTω12 0 l g 22
T1ω?
T1ω?
T1ω
T1ω
8
两条渐近线相交处的频率 称为转折频率或交接频率。
()L?
()
10?
0
0
90?
45?
1
T
20?
精确曲线
dB
T1ω?
9
惯性环节的相频特性当 ω=0时，,当 时,； 当 ω趋于无穷时,趋于 -90°。
采用渐近线在幅频曲线上产生的误差是可以计算的。幅值的最大误差发生在转折频率 处，近似等于 3dB。
分析表明：惯性环节具有 低通特性,对低频输入能精确地复现，而对高频输入要衰减，且产生相位迟后。
因此，它只能复现定常或缓慢变化的信号。
Tωtgω 1
o0ω T1ω o-4 5ω
ω?
T1ω?
dB3,0 11 0 l g 2112 0 l g
10
5。 一阶微分环节一阶微分环节的频率特性（ 1+jωT）
与惯性环节的频率特性互为倒数关系，此其对数幅频曲线和相频曲线仅差一负号。
即
Tjω1jωG
22 Tω12 0 l gTj ω12 0 l g Tωtgω 1
11
一阶微分环节高频渐近线的斜率是 +20dB/dec，
其相位变化范围由 0°（ ω=0） 经 +45°至 90°
（ ω=∞）
()L?
()
1
10 T
1
10 T
1
T
1
T
10
T
10
T
20
90
45
0
20?
0
dB
12
6。振荡环节对数幅频特性对数相频特性低频段，即 ωT<<1时
——低频渐近线为一条 0dB的水平直线。
1Tj ω2 ζj ωT 1j ωG 22
2222 T ω2 ζωT12 0 l gωL
22
1
ωT1
T ω2 ζtgω?
dB 02 0 l g 1ωL ＝
13
高频段，即 ωT>>1时当 ω增加 10倍即高频渐近线是一条斜率为 -40dB/dec的直线。
当 时说明 为二阶系统 (振荡环节 )的转折频率。
2222 T ω2 ζωT12 0 l gωL
nωω?
)l g (40)l g (20)( 22 TTL
T
1ωω
n
)(01lg40lg40)( dBTL
T
1ωω
n
4 0 l g T ω404 0 l g 1 0 T ω)(L
14
。
101
10
0
90?
1 80?
()
10?
1.0
0)(?L
2.0 2 4 6 88.06.04.0
n
/
1.0
2.0
3.0
7.0
1
1.0
2.0
3.0
7.0
1
dB
15
可见：当频率接近 时，将产生谐振峰值。阻尼比的大小决定了谐振峰值的幅值。
相角 是 ω和 ζ的函数。在 ω=0,；当时，不管 ζ值的大小,； 当 ω=∞
时,。相频曲线对 -90°的弯曲点是斜对称的。
振荡环节的对数幅频特性在转折频率附近产生谐振峰值 可通过下列计算得到：
nωω?
0ω
o90ω
o180ω
T1ωn?
rjωG
nωω?
T1ωn?
16
振荡环节的幅频 特性为
其中,
当出现揩振峰值时,有最大值，即 有最小值。
得到式中
ωg
1
T ω2 ζωT1
1j ωG
2222
2222 T ω2 ζωT1ωg
jωGωg
0T ω2 ζωT1
d ω
d
d ω
ωdg 2222
2n2r ζ21ωζ21T1ω 21ζ0
T
1ω
n?
17
将 代入,不难求得 。
因此，在 ω=ωr处 具有最小值，亦即 此刻具有最大值。将 代入幅频特性 中，
得谐振峰值 Mr为谐振频率 ωr及谐振峰值 Mr都与 ζ有关。 ζ越小,ωr越接近
ωn,Mr将越大。当?>0.707时,?r为虚数，说明不存在谐振峰值，幅频特性单调衰减。当?=0.707时,?r=0，
Mr=1。<0.707时,?r>0,Mr>1。?0时,?rn，
Mr?∞。 谐振时,G(jω)的相角为
2nr 2 ζ1ωω
2
2
dω
ωgd 0ωd ωgd 22?
ωg
rjωG
jωG
2rr ζ12 ζ
1j ωGM
2nr 2 ζ1ωω
ζ 2 ζ1tgj ωG 21r 210 2 ζ1 ζs i n90
18
7。二阶微分环节频率特性对数幅频特性相频特性即二阶微分环节的幅频和相频特性分别与振荡环节的相应特性是关于横轴对称。此时，
其对数幅频特性的高频渐近线的斜率为
+40dB/dec而相频由 0°（对应 ω=0） 经
90°,最后趋于 180°（ ω→∞ ）。
22 j ωTj ωT2 ζ1j ωG
2222 T ω2 ζωT120lgωL
221 ωT1 T ω2 ζtgω
T1ωω n
19
()L?
()
dB
1
10 T
1
T
10
T
20
90
0
0
40
40?
180
7.0
3.0
2.0
7.0
3.0
2.0
20
8,延迟环节频率特性对数幅频特性及相频特性相移和频率 ω呈线性关系
Tjωe?
dB02 0 l g 1j ωG2 0 l gωL
0Tj ω T5 7,3T ( r a d )ωeω
1
T
10
T
1
10 T
()
0
100?
200?
300?
400?
21
二、开环系统的 伯德图基本步骤：
把系统的频率特性改写成各典型环节的乘积形式，画出每一个环节的对数幅频和相频曲线，然后进行同频率叠加，即得到该系统的伯德图。
例 1：
)11.0(
10)(
jj
jG
22
①
②
③
④
1
)(?L
10 1 0 0
20
40
20?
0
90?
45?
180?
①
②
③
④
)(
)11.0(
10)(
jjjG
23
三、最小相位系统
1,定义：
在系统的开环传递函数中，没有位于 S右半平面的 零点和极点，且没有纯时间延迟环节的系统为最小相位系统，反之为非最小相位系统。
七种典型环节组成的系统必为最小相位系统。
2,最小相位系统特征：
a,在 n≥m且幅频特性相同的情况下，最小相位系统的相角变化范围最小。
这里 n和 m分别表示传递函数分母和分子多项式的阶次。
24
例,两个系统的开环传递函数分别为（ T1>T2）
它们的对数幅频和相频特性为
ST1 ST1SG
1
21 ST1 ST1SG
1
22
21221 Tω12 0 l gTω12 0 l gωL
21222 Tω12 0 l gTω12 0 l gωL
21111 TωtgTωtgω
21112 TωtgTωtgω
()L?
()
1
1
1
T
2
2
1
T
20?
0
90?
180?
dB
0
1
G?
2
G?
25
显然,两个系统的幅频特性一样，但相频特性不同。由图可见,的变化范围要比 大得多。
—— 最小相位系统
—— 非最小相位系统
ω2ω1?
)(1 sG
)(2 sG
()L?
()
1
1
1
T
2
2
1
T
20?
0
90?
180?
dB
0
1
G?
2
G?
26
b,当 ω=∞时，其相角等于 -90°（ n-m）,对数幅频特性曲线的斜率为 –20(n–m)dB/dec。 有时用这一特性来判别该系统是否为最小相位系统。
c,对数幅频特性与相频特性之间存在确定的对应关系。 对于一个最小相位系统，我们若知道了其幅频特性，它的相频特性也就唯一地确定了。
也就是说：只要知道其幅频特性，就能写出此最小相位系统所对应的传递函数，而无需再画出相频特性。
非最小相位系统高频时相角迟后大，起动性能差，响应缓慢。对响应要求快的系统，不宜采用非最小相位元件。
第三节 对数频率特性
2
一、对数坐标图
1,幅频特性图：
纵坐标：幅值的对数 20lg（ dB）,采用线性分度；
横坐标：用频率 ω的对数 lgω分度。
2.相频特性图纵坐标：频率特性的相移，以度为单位，采用线性分度；
横坐标：用频率 ω的对数 lgω分度。
180?
1 100,1
20
40
60
- 2 0
- 4 0
- 6 0
0
90
18 0
90?
2 3 4 6 85 7
dBL )(?
)(
3
一,典型环节的伯德图
1。放大环节 G(jω)=K
放大环节的对数幅频特性是一条幅值为 20lgK分贝，且平行于横轴的直线，相频特性是一条和横轴重合的直线。
K>1时,20lgK>0dB； K<1时,20lgK<0dB。
()L?
()
2 0 l g K
20
10
10
10
0
0
100
100
10
4
2,积分环节当 ω=1时当 ω=10时
ω每增加 10倍,L(ω)则衰减 20dB,记为：
－ 20dB/十倍频程，或 -20dB/dec。 或直接写成 -20。
jω1jωGdB2 0 l g ωj ω
12 0 l gj ωG2 0 l gωL
dB02 0 l g 1ωL
dB022 0 l g 1 0ωL
()L?
()
0,1
0,1
20
10
10
0
90?
0
1
1
20?
5
说明积分环节的对数幅频曲线是一条经过横轴上 ω=1这一点，且斜率为 -20的直线。
相频与 ω无关，值为 -90°且平行于横轴的直线，
3。微分环节微分环节是积分环节的倒数，它们的曲线斜率和相位移也正好相差一个负号。
jωjωG?
()L?
()
0,1
10,1
10
100
20
90
1
20?
0
20?
6
4。惯性环节惯性环节的幅频特性为惯性环节的幅频特性在 时（低频段）：
近似地认为，惯性环节在低频段的对数幅频特性是与横轴相重合的直线。
Tjω1 1jωG
22
22
1lg20
1
1lg20
1
1lg20 T
TTj
T1ω
dB02 0 l g 1Tω12 0 l g 22
7
在 时（高频段）：
幅频特性：
—— 表示一条经过 横轴处，斜率为 -20dB/dec的直线方程。
综上所述,惯性环节的对数幅频特性可以用在处相交于 0分贝的两条渐近直线来近似表示：
当 时，是一条 0分贝的直线；
当 时，是一条斜率为 -20dB/dec的直线。
T1ω
dBT2 0 l g ωTω12 0 l g 22
T1ω?
T1ω?
T1ω
T1ω
8
两条渐近线相交处的频率 称为转折频率或交接频率。
()L?
()
10?
0
0
90?
45?
1
T
20?
精确曲线
dB
T1ω?
9
惯性环节的相频特性当 ω=0时，,当 时,； 当 ω趋于无穷时,趋于 -90°。
采用渐近线在幅频曲线上产生的误差是可以计算的。幅值的最大误差发生在转折频率 处，近似等于 3dB。
分析表明：惯性环节具有 低通特性,对低频输入能精确地复现，而对高频输入要衰减，且产生相位迟后。
因此，它只能复现定常或缓慢变化的信号。
Tωtgω 1
o0ω T1ω o-4 5ω
ω?
T1ω?
dB3,0 11 0 l g 2112 0 l g
10
5。 一阶微分环节一阶微分环节的频率特性（ 1+jωT）
与惯性环节的频率特性互为倒数关系，此其对数幅频曲线和相频曲线仅差一负号。
即
Tjω1jωG
22 Tω12 0 l gTj ω12 0 l g Tωtgω 1
11
一阶微分环节高频渐近线的斜率是 +20dB/dec，
其相位变化范围由 0°（ ω=0） 经 +45°至 90°
（ ω=∞）
()L?
()
1
10 T
1
10 T
1
T
1
T
10
T
10
T
20
90
45
0
20?
0
dB
12
6。振荡环节对数幅频特性对数相频特性低频段，即 ωT<<1时
——低频渐近线为一条 0dB的水平直线。
1Tj ω2 ζj ωT 1j ωG 22
2222 T ω2 ζωT12 0 l gωL
22
1
ωT1
T ω2 ζtgω?
dB 02 0 l g 1ωL ＝
13
高频段，即 ωT>>1时当 ω增加 10倍即高频渐近线是一条斜率为 -40dB/dec的直线。
当 时说明 为二阶系统 (振荡环节 )的转折频率。
2222 T ω2 ζωT12 0 l gωL
nωω?
)l g (40)l g (20)( 22 TTL
T
1ωω
n
)(01lg40lg40)( dBTL
T
1ωω
n
4 0 l g T ω404 0 l g 1 0 T ω)(L
14
。
101
10
0
90?
1 80?
()
10?
1.0
0)(?L
2.0 2 4 6 88.06.04.0
n
/
1.0
2.0
3.0
7.0
1
1.0
2.0
3.0
7.0
1
dB
15
可见：当频率接近 时，将产生谐振峰值。阻尼比的大小决定了谐振峰值的幅值。
相角 是 ω和 ζ的函数。在 ω=0,；当时，不管 ζ值的大小,； 当 ω=∞
时,。相频曲线对 -90°的弯曲点是斜对称的。
振荡环节的对数幅频特性在转折频率附近产生谐振峰值 可通过下列计算得到：
nωω?
0ω
o90ω
o180ω
T1ωn?
rjωG
nωω?
T1ωn?
16
振荡环节的幅频 特性为
其中,
当出现揩振峰值时,有最大值，即 有最小值。
得到式中
ωg
1
T ω2 ζωT1
1j ωG
2222
2222 T ω2 ζωT1ωg
jωGωg
0T ω2 ζωT1
d ω
d
d ω
ωdg 2222
2n2r ζ21ωζ21T1ω 21ζ0
T
1ω
n?
17
将 代入,不难求得 。
因此，在 ω=ωr处 具有最小值，亦即 此刻具有最大值。将 代入幅频特性 中，
得谐振峰值 Mr为谐振频率 ωr及谐振峰值 Mr都与 ζ有关。 ζ越小,ωr越接近
ωn,Mr将越大。当?>0.707时,?r为虚数，说明不存在谐振峰值，幅频特性单调衰减。当?=0.707时,?r=0，
Mr=1。<0.707时,?r>0,Mr>1。?0时,?rn，
Mr?∞。 谐振时,G(jω)的相角为
2nr 2 ζ1ωω
2
2
dω
ωgd 0ωd ωgd 22?
ωg
rjωG
jωG
2rr ζ12 ζ
1j ωGM
2nr 2 ζ1ωω
ζ 2 ζ1tgj ωG 21r 210 2 ζ1 ζs i n90
18
7。二阶微分环节频率特性对数幅频特性相频特性即二阶微分环节的幅频和相频特性分别与振荡环节的相应特性是关于横轴对称。此时，
其对数幅频特性的高频渐近线的斜率为
+40dB/dec而相频由 0°（对应 ω=0） 经
90°,最后趋于 180°（ ω→∞ ）。
22 j ωTj ωT2 ζ1j ωG
2222 T ω2 ζωT120lgωL
221 ωT1 T ω2 ζtgω
T1ωω n
19
()L?
()
dB
1
10 T
1
T
10
T
20
90
0
0
40
40?
180
7.0
3.0
2.0
7.0
3.0
2.0
20
8,延迟环节频率特性对数幅频特性及相频特性相移和频率 ω呈线性关系
Tjωe?
dB02 0 l g 1j ωG2 0 l gωL
0Tj ω T5 7,3T ( r a d )ωeω
1
T
10
T
1
10 T
()
0
100?
200?
300?
400?
21
二、开环系统的 伯德图基本步骤：
把系统的频率特性改写成各典型环节的乘积形式，画出每一个环节的对数幅频和相频曲线，然后进行同频率叠加，即得到该系统的伯德图。
例 1：
)11.0(
10)(
jj
jG
22
①
②
③
④
1
)(?L
10 1 0 0
20
40
20?
0
90?
45?
180?
①
②
③
④
)(
)11.0(
10)(
jjjG
23
三、最小相位系统
1,定义：
在系统的开环传递函数中，没有位于 S右半平面的 零点和极点，且没有纯时间延迟环节的系统为最小相位系统，反之为非最小相位系统。
七种典型环节组成的系统必为最小相位系统。
2,最小相位系统特征：
a,在 n≥m且幅频特性相同的情况下，最小相位系统的相角变化范围最小。
这里 n和 m分别表示传递函数分母和分子多项式的阶次。
24
例,两个系统的开环传递函数分别为（ T1>T2）
它们的对数幅频和相频特性为
ST1 ST1SG
1
21 ST1 ST1SG
1
22
21221 Tω12 0 l gTω12 0 l gωL
21222 Tω12 0 l gTω12 0 l gωL
21111 TωtgTωtgω
21112 TωtgTωtgω
()L?
()
1
1
1
T
2
2
1
T
20?
0
90?
180?
dB
0
1
G?
2
G?
25
显然,两个系统的幅频特性一样，但相频特性不同。由图可见,的变化范围要比 大得多。
—— 最小相位系统
—— 非最小相位系统
ω2ω1?
)(1 sG
)(2 sG
()L?
()
1
1
1
T
2
2
1
T
20?
0
90?
180?
dB
0
1
G?
2
G?
26
b,当 ω=∞时，其相角等于 -90°（ n-m）,对数幅频特性曲线的斜率为 –20(n–m)dB/dec。 有时用这一特性来判别该系统是否为最小相位系统。
c,对数幅频特性与相频特性之间存在确定的对应关系。 对于一个最小相位系统，我们若知道了其幅频特性，它的相频特性也就唯一地确定了。
也就是说：只要知道其幅频特性，就能写出此最小相位系统所对应的传递函数，而无需再画出相频特性。
非最小相位系统高频时相角迟后大，起动性能差，响应缓慢。对响应要求快的系统，不宜采用非最小相位元件。
