1
第三章 频率特性频率特性（又叫频率响应）
频率特性是控制系统在频域中的一种数学模型，是研究自动控制系统的一种工程方法。
系统频率特性能间接地揭示系统的动态特性和稳态特性，可简单迅速地判断某些环节或参数对系统性能的影响，指出系统改进方向。
频率特性可以由实验确定，这对于难以建立动态模型的系统来说，很有用处。
2
第一节 频率特性的基本概念一、频率特性的定义,
在正弦输入下，系统的输出稳态分量与输入量的复数之比。一般用 G(j?)表示。
即,—— 系统的输出稳态分量控 制 系 统
trtr m?s in)(?t?mr )s i n ()( tctc mt?mc?
r
c)ωG (j?c
3
例：无源 RC网络输入,r(t)=Asin?t
电容 C的等效复阻抗为则输出量：
式中：
电路输出电压与输入电压的复数比：
（ RC=T）
这就是无源 RC网络的频率特性。
RC()it()rt ()ct
Cjω
1
Cωj
Ic
Cωj
1R
rI
1ωjT
1
1ωR C j
1c)ωG ( j
r
4
二、频率特性的性质
1,与传递函数一样，频率特性也是一种数学模型 。
它描述了系统的内在特性，与外界因素无关。当系统结构参数给定，则 频率特性也完全确定 。
2,频率特性是一种稳态响应。
系统稳定的前提下求得的，对于 不稳定系统则无法直接观察到稳态响应。 从理论上讲，系统动态过程的稳态分量总可以分离出来，而且其规律并不依赖于系统的稳定性。因此，我们仍可以用频率特性来分析研究系统，包括它的稳定性、动态性能、稳态性能等。
3、系统的稳态输出量与输入量具有相同的频率。
这是由于系统中的储能元件引起的。
5
4,实际系统的输出量都随频率的升高而 现失真，幅值衰减。
所以，可以将它们看成为一个“低通”滤波器。
5、频率特性可应用到某些非线性系统的分析中去。
三、频率特性的求取：
1、根据定义求取。
即对已知系统的微分方程，把正弦输入函数代入，求出其稳态解，取输出稳态分量与输入正弦量的复数比即可得到。
2、根据传递函数求取。
即用 s=j?代入系统的传递函数，即可得到。
3、通过实验的方法直接测得。
6
根据传递函数求取频率特性,
传递函数,
频率特性,（ s=j?）
Cs()Rs ()Gs
01
1n
1n
n
n
01
1m
1m
m
m
asasasa
bsbsbsb
R ( s )
C ( s )G ( s )
)j V ( ω)U( ω)eA( ω
a)(j ωa)(j ωa)(j ωa
b)(j ωb)(j ωb)(j ωb
)R ( j ω
)C ( j ω
)G ( j ω
)( ωj φ
n1
1n
1n
n
n
m1
1m
1m
m
m
7
A（?） —— 幅频特性； G（ j?） 的模，它等于稳态 的输出分量与输入分量幅值之比,
（?） —— 相频特性； G（ j?） 的幅角，它等于稳态输出分量与输入分量的相位差。
U（?） —— 实频特性； G（ j?） 的实部。
V（?） —— 虚频特性； G（ j?） 的虚部。
都是?的函数，之间的关系用矢量图来表示。
jV
()V?
()A?
()U?
()
()Gj?
U0
)()()()( )()( )( jVUeAjR jCjG j
8
四、频率特性的三种图示法
1,极坐标 图 —— Nyquist图 （ 又叫幅相频率特性,
或奈奎斯特图简称奈氏图 ）
2,对数坐标图 —— Bode图 （ 又叫伯德图,简称伯氏图 ）
3,复合坐标图 —— Nichocls图 （ 又叫尼柯尔斯图,简称尼氏图 ） ；及一般用于闭环系统频率特性分析的 。
9
第二节 幅相频率特性
一、典型环节的极坐标图
1.放大环节
G(jω)=K=U+jV
=
放大环节是复平面实轴上的一个点，它到原点的距离为 K。
KVU 22jωG
0)( 1
U
VtgjG?
0
Im
ReK
10
2,微分环节
G(jω)=jω
=ω
微分环节是一条与虚轴正段相重合的直线。
jωG
)(?jG?9001tg
0
0
Im
Re
11
3,积分环节
G(jω)=
jω
1
=
jωG ω1
)(?jG
由于 = - 90°是常数。而随 ω增大而减小。因此，
积分环节是一条与虚轴负段相重合的直线。
)(?jG
0
Im
Re0
90
0
1
1
tg
12
4,惯性环节我们取三个特殊点，显然不难看出，随着频率 ω=0→∞ 变化，惯性环节的幅值逐步衰减，最终趋于 0。相位移的绝对值越来越大，但最终不会大于
90°,其极坐标图为一个半圆。
90- 0)G ( j
)(?jG? 01tg
0 1G ( j 0 )4521T1jG
22 Tω1 1jωG
2222 Tω1 TωjTω1 1Tωj1 1ωjG
13
设,G(jω)=U+jV,极坐标图为一个半圆可证明如下：
实频特性虚频特性将它们之比 代入实频特性表达式经化简、配方得到上式为圆方程，圆心为,半径为 。
2T1
1U
2
22 Tω1
ω TV
TωUV
2
U
V1
1U
2
2
2
2
1V
2
1U?
,021 21
14
0
1
2 1
Re
Im
0
15
5,振荡环节
显然，当 ω=0,和 ω=∞时，
12122 TjjTjG
2222 21
1
TT
jG
)(?jG 1?tg 221 2T T
22222222
22
21
2
21
1
TT
Tj
TT
T
0 1G ( j0 )
90211
TjG
1 8 0- 0)G ( j
16
极坐标相位从 0°到 -180变化，频率特性与虚轴交点处的频率是无阻尼自然振荡频率,ζ越小，对应 ω的幅值越大。说明频率特性与
ω,ζ均有关。当 ζ小到一定程度时，将会出现峰值，这个值称为谐振峰值
Mr,此时对应的频率称为谐振频率 ωr。
0
n
n
n
2
3
Im
Re
0
1
321
1
17
6,一阶微分环节
G(jω)=1+jωT
当 ω从零变化到无穷时，相频从 0°变化到 +90°，
其幅相频率特性是通过（ 1,0）点，且平行于正虚轴的一条直线
22 Tω1jωG
)(?jG 1?tg?
0
10
Im
Re
18
7,二阶微分环节
随着 ω的增加,G(jω)的虚部是正的单调增加，
而实部则由 1开始单调递减，
T ωj2 ζωT11j ωT2 ζj ωTj ωG 2222
222222 ωT4 ζωT1j ωG
)(?jG 1?tg? 22ωT1 T ω2
0
Re
Im
0 1
19
8,延迟环节
延迟环节的幅频特性是与 ω无关的常量，其值为 1。而相频特性则与 ω成线性变化。故其极坐标图是一个单位图
Tje =)G ( j
1jωG?
)(?jG 1?tg?
Im
Re
11?
j?
j?
0
20
二、开环系统的幅相频率特性
绘制系统开环频率特性的极坐标图，则需把系统所包含的各个环节对应频率的幅值相乘，相角相加。
例,求如下传递函数的极坐标图。
解,G(jω)可写为：
Tjω1 ejωG Tjω
Tj ω1 1ej ωG Tj ω
21
其幅值与相角分别为：
由于幅值是从 1开始单调减小，相角也是单调减小，所以该传递函数的极坐标图是一条螺旋线
22Tj ω Tω1 1Tj ω1 1ej ωG
TtgT 1Tj ω Tj ω1 1e)G ( j
0
Im
Re
0
1
22
设系统的开环传递函数为系统的型号,一种依据系统开环传递函数中积分环节的多少来对系统进行分类的方法
１,0 型系统 （ N=0）
２,I 型系统 （ N=1）
3,II 型系统 （ N=2）
… …
21
N
ba
Tj ω1Tj ω1j ω
Tj ω1Tj ω1K)j ω(j ωG
H
23
极坐标图的形状与系统的型号有关，一般情况如下 （注意起始点）：
II型系 统
I型系 统
0 型系 统
0
Im
Re
0
0
0
24
()
()
()
m
m
n
n
b j w
G j w
a j w
Re
Im
0
1 mn
2 mn
3 mn
注意终止点：
25
e
R
m
I
21
21
TT
TT
1
0
m
I
)1)(1(
1
21
TjTj
eR
mI
0
1
1
Tj?
1
26
。
e
R
m
I
)1(
1
1
Tjj
1
T
0
1
21
TT
e
R
m
I
)1)(1(
1
21
TjTjj
1
T
0
21
TT?
27
结论,
１,0 型系统 （ N=0）,极坐标图起始于正实轴上的有限点，终止于原点。
２,I 型系统 （ N=1）,由于存在一个积分环节，所以低频时，极坐标图是一条渐近于和虚轴平行的直线。当 ω=∞时，幅值为零，曲线收敛于原点并且与某坐标轴相切。
3,II 型系统 （ N=2）,低频处，极坐标图是一条渐近于负实轴的直线 。在 ω=∞处幅值为零，
且曲线相切于某坐标轴。
第三章 频率特性频率特性（又叫频率响应）
频率特性是控制系统在频域中的一种数学模型，是研究自动控制系统的一种工程方法。
系统频率特性能间接地揭示系统的动态特性和稳态特性，可简单迅速地判断某些环节或参数对系统性能的影响，指出系统改进方向。
频率特性可以由实验确定，这对于难以建立动态模型的系统来说，很有用处。
2
第一节 频率特性的基本概念一、频率特性的定义,
在正弦输入下，系统的输出稳态分量与输入量的复数之比。一般用 G(j?)表示。
即,—— 系统的输出稳态分量控 制 系 统
trtr m?s in)(?t?mr )s i n ()( tctc mt?mc?
r
c)ωG (j?c
3
例：无源 RC网络输入,r(t)=Asin?t
电容 C的等效复阻抗为则输出量：
式中：
电路输出电压与输入电压的复数比：
（ RC=T）
这就是无源 RC网络的频率特性。
RC()it()rt ()ct
Cjω
1
Cωj
Ic
Cωj
1R
rI
1ωjT
1
1ωR C j
1c)ωG ( j
r
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二、频率特性的性质
1,与传递函数一样，频率特性也是一种数学模型 。
它描述了系统的内在特性，与外界因素无关。当系统结构参数给定，则 频率特性也完全确定 。
2,频率特性是一种稳态响应。
系统稳定的前提下求得的，对于 不稳定系统则无法直接观察到稳态响应。 从理论上讲，系统动态过程的稳态分量总可以分离出来，而且其规律并不依赖于系统的稳定性。因此，我们仍可以用频率特性来分析研究系统，包括它的稳定性、动态性能、稳态性能等。
3、系统的稳态输出量与输入量具有相同的频率。
这是由于系统中的储能元件引起的。
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4,实际系统的输出量都随频率的升高而 现失真，幅值衰减。
所以，可以将它们看成为一个“低通”滤波器。
5、频率特性可应用到某些非线性系统的分析中去。
三、频率特性的求取：
1、根据定义求取。
即对已知系统的微分方程，把正弦输入函数代入，求出其稳态解，取输出稳态分量与输入正弦量的复数比即可得到。
2、根据传递函数求取。
即用 s=j?代入系统的传递函数，即可得到。
3、通过实验的方法直接测得。
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根据传递函数求取频率特性,
传递函数,
频率特性,（ s=j?）
Cs()Rs ()Gs
01
1n
1n
n
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01
1m
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m
m
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)( ωj φ
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1m
1m
m
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A（?） —— 幅频特性； G（ j?） 的模，它等于稳态 的输出分量与输入分量幅值之比,
（?） —— 相频特性； G（ j?） 的幅角，它等于稳态输出分量与输入分量的相位差。
U（?） —— 实频特性； G（ j?） 的实部。
V（?） —— 虚频特性； G（ j?） 的虚部。
都是?的函数，之间的关系用矢量图来表示。
jV
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()A?
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U0
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四、频率特性的三种图示法
1,极坐标 图 —— Nyquist图 （ 又叫幅相频率特性,
或奈奎斯特图简称奈氏图 ）
2,对数坐标图 —— Bode图 （ 又叫伯德图,简称伯氏图 ）
3,复合坐标图 —— Nichocls图 （ 又叫尼柯尔斯图,简称尼氏图 ） ；及一般用于闭环系统频率特性分析的 。
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第二节 幅相频率特性
一、典型环节的极坐标图
1.放大环节
G(jω)=K=U+jV
=
放大环节是复平面实轴上的一个点，它到原点的距离为 K。
KVU 22jωG
0)( 1
U
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0
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2,微分环节
G(jω)=jω
=ω
微分环节是一条与虚轴正段相重合的直线。
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)(?jG?9001tg
0
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Re
11
3,积分环节
G(jω)=
jω
1
=
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)(?jG
由于 = - 90°是常数。而随 ω增大而减小。因此，
积分环节是一条与虚轴负段相重合的直线。
)(?jG
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tg
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4,惯性环节我们取三个特殊点，显然不难看出，随着频率 ω=0→∞ 变化，惯性环节的幅值逐步衰减，最终趋于 0。相位移的绝对值越来越大，但最终不会大于
90°,其极坐标图为一个半圆。
90- 0)G ( j
)(?jG? 01tg
0 1G ( j 0 )4521T1jG
22 Tω1 1jωG
2222 Tω1 TωjTω1 1Tωj1 1ωjG
13
设,G(jω)=U+jV,极坐标图为一个半圆可证明如下：
实频特性虚频特性将它们之比 代入实频特性表达式经化简、配方得到上式为圆方程，圆心为,半径为 。
2T1
1U
2
22 Tω1
ω TV
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V1
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,021 21
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Re
Im
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5,振荡环节
显然，当 ω=0,和 ω=∞时，
12122 TjjTjG
2222 21
1
TT
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22222222
22
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90211
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1 8 0- 0)G ( j
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极坐标相位从 0°到 -180变化，频率特性与虚轴交点处的频率是无阻尼自然振荡频率,ζ越小，对应 ω的幅值越大。说明频率特性与
ω,ζ均有关。当 ζ小到一定程度时，将会出现峰值，这个值称为谐振峰值
Mr,此时对应的频率称为谐振频率 ωr。
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n
n
2
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Im
Re
0
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6,一阶微分环节
G(jω)=1+jωT
当 ω从零变化到无穷时，相频从 0°变化到 +90°，
其幅相频率特性是通过（ 1,0）点，且平行于正虚轴的一条直线
22 Tω1jωG
)(?jG 1?tg?
0
10
Im
Re
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7,二阶微分环节
随着 ω的增加,G(jω)的虚部是正的单调增加，
而实部则由 1开始单调递减，
T ωj2 ζωT11j ωT2 ζj ωTj ωG 2222
222222 ωT4 ζωT1j ωG
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0
Re
Im
0 1
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8,延迟环节
延迟环节的幅频特性是与 ω无关的常量，其值为 1。而相频特性则与 ω成线性变化。故其极坐标图是一个单位图
Tje =)G ( j
1jωG?
)(?jG 1?tg?
Im
Re
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j?
j?
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二、开环系统的幅相频率特性
绘制系统开环频率特性的极坐标图，则需把系统所包含的各个环节对应频率的幅值相乘，相角相加。
例,求如下传递函数的极坐标图。
解,G(jω)可写为：
Tjω1 ejωG Tjω
Tj ω1 1ej ωG Tj ω
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其幅值与相角分别为：
由于幅值是从 1开始单调减小，相角也是单调减小，所以该传递函数的极坐标图是一条螺旋线
22Tj ω Tω1 1Tj ω1 1ej ωG
TtgT 1Tj ω Tj ω1 1e)G ( j
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Re
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设系统的开环传递函数为系统的型号,一种依据系统开环传递函数中积分环节的多少来对系统进行分类的方法
１,0 型系统 （ N=0）
２,I 型系统 （ N=1）
3,II 型系统 （ N=2）
… …
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N
ba
Tj ω1Tj ω1j ω
Tj ω1Tj ω1K)j ω(j ωG
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极坐标图的形状与系统的型号有关，一般情况如下 （注意起始点）：
II型系 统
I型系 统
0 型系 统
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m
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Re
Im
0
1 mn
2 mn
3 mn
注意终止点：
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1
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1
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结论,
１,0 型系统 （ N=0）,极坐标图起始于正实轴上的有限点，终止于原点。
２,I 型系统 （ N=1）,由于存在一个积分环节，所以低频时，极坐标图是一条渐近于和虚轴平行的直线。当 ω=∞时，幅值为零，曲线收敛于原点并且与某坐标轴相切。
3,II 型系统 （ N=2）,低频处，极坐标图是一条渐近于负实轴的直线 。在 ω=∞处幅值为零，
且曲线相切于某坐标轴。
