1
第五章 控制系统的误差分析对于一个稳定的控制系统而言，稳态误差是反映其控制精度的一种度量，通常又称为稳态性能。
研究表明：稳态误差与系统的结构、输入信号的形式有很大关系。控制系统设计的任务之一就是要保证系统在稳定的前提下，尽量地减小仍至消除稳态误差。
2
一、误差与稳态误差
1．定义
⑴ 误差的两种定义：
a,从输出端定义,等于系统输出量的实际值与希望值之差。
这种方法在性能指标提法中经常使用，但在实际系统中有时无法测量。因此，一般只具有数学意义。
b,从输入端定义，等于系统的输入信号与主反馈信号之差,
第一节 误差的基本概念
()Rs ()Cs
()Gs
()Bs
()Es?
()Hs
)()()( tbtrte
3
或若设式中 —— 系统的误差传递函数。得到这种方法定义的误差，在实际系统中是可测量的，故具有一定的物理意义。以后我们均采用从系统输入端定义的误差来进行计算和分析。
误差本身是时间的函数，其时域表达式为：
式中,—— 动态分量，
—— 稳态分量。
)]()(1)[()()()()()()( sHsGsRsHsCsRsBsRsE
)()(1 1)( )()( sHsGsR sEse
)(se?
)()()( sRssE e
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)(tets
)(tess
4
⑵ 稳态误差稳态误差,误差信号 的稳态分量 。
对稳定系统而言，随着时间趋于无穷，系统的动态过程结束,将趋于零。根据拉氏变换终值定理，稳定的非单位反馈系统的稳态误差为由上式可知，控制系统的稳态误差与输入信号的形式和开环传递函数的结构有关。当输入信号形式确定后，系统的稳态误差就取决于以开环传递函数描述的系统结构。
)(tess )(?ssesse
)(tets
)()(1
)(l i m)(l i m)(l i m
00 sHsG
sRsssEtee
sstss?
5
例,一系统的开环传递函数求,r(t)=1(t)及 t时的稳态误差解,
)104.0)(15.0(
20)()(
sssHsG
)(20)104.0)(15.0( )104.0)(15.0(l i m)()()(1 1l i m 00 sRss ssssRsHsGse ssss
05.0211120)104.0)(15.0( )104.0)(15.0(l i m
0
sss
ssse
sss
r(t) = 1(t) 时,R(s)=1/s
r(t) = t 时,R(s)=1/s2
20 120)104.0)(15.0( )104.0)(15.0(l i m sss ssse sss
6
2,系统扰动作用下的稳态误差系统经常处于各种扰动作用下。如：负载力矩的变化，电源电压和频率的波动，环境温度的变化等。
因此系统在扰动作用下的稳态误差数值，反映了系统的抗干扰能力。
得到系统的输出拉氏变换表达式为
()Rs ()Cs
()Ds
()Es
()Bs?
()Gs
()Hs
+ +
+
)()()()( sGsEsDsC)()()()(( sCsHsRsGsD
)s(R)s(H)s(G1 )s(G)s(H)s(G1 )s(D)s(C
7
R(s)＝ 0 时：
E(s) = -H(s)C(s)
稳态时，误差取其绝对值若扰动为单位阶跃信号，即 时,
式中：
)s(H)s(G1
)s(D)s(C
)s(D)s(H)s(G1 )s(H
)s(sD)s(H)s(G1 )s(Hlim)s(sElime 0s0sss
s
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)0(G
1
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)(l i m)0( 0 sGG s
()Rs ()Cs
()Ds
()Es
()Bs?
()Gs
()Hs
+ +
+
8
分析可知,
扰动作用点前的系统前向通道传递系数越大，由扰动引起的稳态误差就越小。
所以，为了降低由扰动引起的稳态误差，我们可以增大扰动作用点前的前向通道传递系数或者在扰动作用点以前引入积分环节，但这样不利于系统的稳定性。
9
第二节 稳态误差系数与稳态误差一,不同信号作用下的稳态误差计算问题
（ 1） 单位阶跃信号作用下的稳态误差定义,----为系统的 稳态位置误差系数 。
对于 0型系统,
对于 I型及 I型以上系统,
ssHsGsssEe ssss
1
)()(1
1lim)(lim
00 )()(l im1
1
0 sHsGs
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sp
)1()1)(1(
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21
21
0
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21
21
0 sTsTsTs
sssKK
Nn
N
m
sp?
)0(?N
)1(?N
10
于是，稳态误差可表示为：
0型系统对阶跃信号的稳态误差为一定值,大小基本上与开环放大系数 成反比,越大，
越小，但总有误差，除非为无穷大。所以 0型系统又称为有差系统。为了降低稳态误差,在稳定条件允许的前提下，可增大开环放大系数 。
10
01 1
NK
NKKKe
p
p
pss
K
sse
sse
K
sse
K
()rt
t
ss
e
()ct
0
K
11
（ 2） 单位速度信号作用下的稳态误差
r(t)=t 则 稳态误差为定义,------稳态速度误差系数
0 型系统,
I 型系统,
II 型或高于 II型系统,
2
1)( ssR?
200
1
)()(1
1lim)(lim
ssHsGsssEe ssss
)()(l i m0 sHsGsK sv
0?vK
KKv?
vK
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1lim
0 sHssGs
12
.
I型系统的输出能跟踪速度输入信号，但总有一定误差 。 为了使误差不超过规定值，
系统的,即 值必须足够大。
20
1
1
00
NK
NKK
K
NK
e
v
v
v
v
ss
()rt
t
ss
e
()ct
0
vK K
13
（ 3） 单位加速度信号作用下的稳态误差
r(t)=t2 /2 则稳态误差定义,------稳态速度误差系数
0型系统,
I型系统,
II型系统,
III型及 III型以上系统,
3
1)(
ssR?
300
1
)()(1
1lim)(lim
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20 sHsGs
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KKa?
aK
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t
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0
14
.
当输入为单位加速度信号时,II型系统的稳态误差为一常值 。
30
2
1
20
NK
NKK
K
NK
e
a
a
a
a
ss
15
表,系统的稳态误差
1,稳态误差与输入、系统结构有关,
2,减小或消除稳态误差的反方法：
a,增加开环放大系数 K；
b,提高系统的型号数 ;
系统型号
0型,I型
,II型
……
误差系数
Kp
Kv
Ka
单位阶跃输入单位速度输入单位加速度输入
)()( tutr? 2
21)( ttr?
II
I
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0
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K
K
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1
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0
1
K
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K
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1
ttr?)(
16
例,如下系统，当输入信号分别为,和时，试分别求出系统的稳态误差。
解：此系统为 I型系统输入为 时的稳态误差为
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2
1t
pK 2?vK 0?aK
()Rs ()Cs10
( 5 )ss?
2
11
vssv K
e01 1 PssP Ke assa Ke 1
t
17
用稳态误差系数求得的稳态误差或是零，
或是常值，
或是无穷大，但不能反映随时间变化的规律,为此，
有的书中引进动态误差系数的概念 。
18
二、对数频率特性上的稳态误差系数
1,0型系统设某一系统的开环频率特性其幅频特性如图所示在低频段 （ ω→ 0） 时,其幅值结论,0型系统对数幅频特性曲线低频段的斜率为 0；
高度为,其中 KP即为该系统的稳态位置误差系数 。
1Tjω KjωG
2 0 l g K
1
T
0
()L?
20?
P2 0 lg K2 0 KωL P
P20lgK
19
2,Ⅰ 型系统设某系统开环频率特性：
其幅频特性如图所示。
1） I型系统的对数幅频特性曲线低频段的斜率为 -20dB/dec且它 （ 或它的延长线 ） 与 ω=1直线交点处对应的幅值为 20lgKV,证明如下：
因此,当 ω=1时
1Tj ωj ω Kj ωG
2 0 l g K
1
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()L?
20?
40?1
vv
K
V
1ω
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j ω
K2 0 l g?
20
2） 斜率为 -20dB/dec的起始线段 （ 或它的延长线 ） 与 0dB线交点频率 ωV在数值上等到于 KV。 证明如下：
即
KV=ω1
dB0j ωK2 0 l g
1ωω
V?
1
jω
K
1
V?
21
3,II型系统设某系统其 幅频如图所示
1） II型系统对数幅频特性曲线低频段
（ 或它的延长线 ）
与 ω=1直线交点处对应的幅值为 20lgKa,证明如下：
II型系统低频段的频率特性
（ ω<<1）
因此当 ω=1时
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2 0 l g K
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dB
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a1ω2a 2 0 l g Kjω
K2 0 l g?
22
2） 若设斜率为 -40dB/dec的起始线段 （ 或它的延长线 ） 与 0dB线的交点处频率为 ωa,那么,它在数值上等于 Ka的开方 。 证明如下：
因为得到可以看出：提高系统开环频率特性低频段的幅值或增大低频段斜率的绝对值 （ 型号数增加 ）,都有利于系统稳态误差的减小 。
一般来说,开环频率特性的低频段表征了闭环系统的稳态特性,
dB0jω
K2 0 l g
aωω
2
a?
aa Kω?2
aa ωK?
23
例：如下系统，求 r(t)=t及 n(t)=-1(t)时的 ess
解：
(1) 控制信号作用（令 N(s)=0）
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()Bs
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2
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0
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24
(2) 扰动信号作用（令 R(s)＝ 0）
系统总误差：
11.0
2
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6.05.01.0 s s ns s rss eee
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第五章 控制系统的误差分析对于一个稳定的控制系统而言，稳态误差是反映其控制精度的一种度量，通常又称为稳态性能。
研究表明：稳态误差与系统的结构、输入信号的形式有很大关系。控制系统设计的任务之一就是要保证系统在稳定的前提下，尽量地减小仍至消除稳态误差。
2
一、误差与稳态误差
1．定义
⑴ 误差的两种定义：
a,从输出端定义,等于系统输出量的实际值与希望值之差。
这种方法在性能指标提法中经常使用，但在实际系统中有时无法测量。因此，一般只具有数学意义。
b,从输入端定义，等于系统的输入信号与主反馈信号之差,
第一节 误差的基本概念
()Rs ()Cs
()Gs
()Bs
()Es?
()Hs
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3
或若设式中 —— 系统的误差传递函数。得到这种方法定义的误差，在实际系统中是可测量的，故具有一定的物理意义。以后我们均采用从系统输入端定义的误差来进行计算和分析。
误差本身是时间的函数，其时域表达式为：
式中,—— 动态分量，
—— 稳态分量。
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4
⑵ 稳态误差稳态误差,误差信号 的稳态分量 。
对稳定系统而言，随着时间趋于无穷，系统的动态过程结束,将趋于零。根据拉氏变换终值定理，稳定的非单位反馈系统的稳态误差为由上式可知，控制系统的稳态误差与输入信号的形式和开环传递函数的结构有关。当输入信号形式确定后，系统的稳态误差就取决于以开环传递函数描述的系统结构。
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例,一系统的开环传递函数求,r(t)=1(t)及 t时的稳态误差解,
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2,系统扰动作用下的稳态误差系统经常处于各种扰动作用下。如：负载力矩的变化，电源电压和频率的波动，环境温度的变化等。
因此系统在扰动作用下的稳态误差数值，反映了系统的抗干扰能力。
得到系统的输出拉氏变换表达式为
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R(s)＝ 0 时：
E(s) = -H(s)C(s)
稳态时，误差取其绝对值若扰动为单位阶跃信号，即 时,
式中：
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分析可知,
扰动作用点前的系统前向通道传递系数越大，由扰动引起的稳态误差就越小。
所以，为了降低由扰动引起的稳态误差，我们可以增大扰动作用点前的前向通道传递系数或者在扰动作用点以前引入积分环节，但这样不利于系统的稳定性。
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第二节 稳态误差系数与稳态误差一,不同信号作用下的稳态误差计算问题
（ 1） 单位阶跃信号作用下的稳态误差定义,----为系统的 稳态位置误差系数 。
对于 0型系统,
对于 I型及 I型以上系统,
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于是，稳态误差可表示为：
0型系统对阶跃信号的稳态误差为一定值,大小基本上与开环放大系数 成反比,越大，
越小，但总有误差，除非为无穷大。所以 0型系统又称为有差系统。为了降低稳态误差,在稳定条件允许的前提下，可增大开环放大系数 。
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（ 2） 单位速度信号作用下的稳态误差
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I 型系统,
II 型或高于 II型系统,
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I型系统的输出能跟踪速度输入信号，但总有一定误差 。 为了使误差不超过规定值，
系统的,即 值必须足够大。
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（ 3） 单位加速度信号作用下的稳态误差
r(t)=t2 /2 则稳态误差定义,------稳态速度误差系数
0型系统,
I型系统,
II型系统,
III型及 III型以上系统,
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表,系统的稳态误差
1,稳态误差与输入、系统结构有关,
2,减小或消除稳态误差的反方法：
a,增加开环放大系数 K；
b,提高系统的型号数 ;
系统型号
0型,I型
,II型
……
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Kp
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解：此系统为 I型系统输入为 时的稳态误差为
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17
用稳态误差系数求得的稳态误差或是零，
或是常值，
或是无穷大，但不能反映随时间变化的规律,为此，
有的书中引进动态误差系数的概念 。
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二、对数频率特性上的稳态误差系数
1,0型系统设某一系统的开环频率特性其幅频特性如图所示在低频段 （ ω→ 0） 时,其幅值结论,0型系统对数幅频特性曲线低频段的斜率为 0；
高度为,其中 KP即为该系统的稳态位置误差系数 。
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2,Ⅰ 型系统设某系统开环频率特性：
其幅频特性如图所示。
1） I型系统的对数幅频特性曲线低频段的斜率为 -20dB/dec且它 （ 或它的延长线 ） 与 ω=1直线交点处对应的幅值为 20lgKV,证明如下：
因此,当 ω=1时
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2） 斜率为 -20dB/dec的起始线段 （ 或它的延长线 ） 与 0dB线交点频率 ωV在数值上等到于 KV。 证明如下：
即
KV=ω1
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21
3,II型系统设某系统其 幅频如图所示
1） II型系统对数幅频特性曲线低频段
（ 或它的延长线 ）
与 ω=1直线交点处对应的幅值为 20lgKa,证明如下：
II型系统低频段的频率特性
（ ω<<1）
因此当 ω=1时
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22
2） 若设斜率为 -40dB/dec的起始线段 （ 或它的延长线 ） 与 0dB线的交点处频率为 ωa,那么,它在数值上等于 Ka的开方 。 证明如下：
因为得到可以看出：提高系统开环频率特性低频段的幅值或增大低频段斜率的绝对值 （ 型号数增加 ）,都有利于系统稳态误差的减小 。
一般来说,开环频率特性的低频段表征了闭环系统的稳态特性,
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例：如下系统，求 r(t)=t及 n(t)=-1(t)时的 ess
解：
(1) 控制信号作用（令 N(s)=0）
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(2) 扰动信号作用（令 R(s)＝ 0）
系统总误差：
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