1
第二章 物理系统的数学模型
第一节 控制工程的数学方法
（ Laplace变换）
第二节 物理系统的数学模型
第三节 非线性数学模型的线性化
2
第四节 典型环节及其传递函数
1、比例环节（又叫放大环节）
特 点,输出量按一定比例复现输入量，
无滞后、失真现象。
运动方程,c(t)=Kr(t)
K—— 放大系数，通常都是有量纲的。
传递函数：
频率特性：
KR ( s )C ( s )G ( s )
K)R ( j )C ( j)G ( j
K)(sR )(sC
3
例,输入,?(t)—— 角度 E—— 恒定电压输出,u(t)—— 电压
运动方程,u(t)=K?(t)
传递函数：
K—— 比例系数，量纲为伏 /弧度。
频率特性,G（ j?） =K
K( s )U( s )G( s )
E
u ( t )
K)( s? )( sU+
+
- ()t
4
例：输入,n1(t)—— 转速 Z1—— 主动轮的齿数输出,n2(t)—— 转速 Z2—— 从动轮的齿数运动方程：
传递函数：
频率特性：
( t )nzz( t )n 1
2
1
2?
Kzz( s )N ( s )NG( s )
2
1
1
2
Kzz)(j ωN )(j ωN)G ( jω
2
1
1
2
12zz1Ns2Ns1 ()nt2 ()nt1Z 2Z
5
其它一些比例环节
()rt ()ct1r 2r
()RsCs
2
12
r
rr? ()RsCs
2
1
R
R
K+-()rt ()ct
1R 2R3R
+
cER ()cit
()bit
()cIs()bIs
6
2、微分环节特 点,动态过程中，输出量正比于输入量的变化速度。
运动方程：
传递函数：
频率特性：
dt
dr ( t)KC ( t)?
KS R ( s )C ( s )G ( s )
jK ω)R ( j ω )C ( j ω)G ( jω
)(sR )(sC
S
7
例 RC电路设,输入 —— ur(t)
输出 —— uc(t)
消去 i(t),得到 运动方程：
传递函数,（ Tc=RC）
当 Tc<<1时，传递函数又可表示成：
频率特性,G（ j?） =jTc?—— 此时可近似为纯微分环节 。
()rut ()cutitCR
i ( t ) Ri ( t ) d tc1( t )u r
( t )u( t ) d tuRC1( t )u ccr
1sT
sT
( s )U
( s )UG ( s )
c
c
r
c
sT( s )U ( s )UG( s ) c
r
c
R
tuti c )()(?
8
例：测速发电机 CF的数学描述输 入,?(t)—— 电动机 D转子（与测速发电机同轴）的转角输 出,uf(t)—— 测速发电机的电枢电压运动方程：
传递函数,G（ s） =Ks
频率特性,G（ j?） =jK?
dt
( t )dK( t )u
f
F ()futD()dut()t?
9
其他举例 ()cut
()itCsC C()itR()utCs1
R()cUs ()Is ()Is()Us + ()IsLs ()LEs
()it ()LetL
+
10
3、积分环节
特点,输出量的变化速度和输入量成正比。
运动方程：
传递函数：
频率特性：
)K r ( tdtd c ( t)?
s
KG ( s )?
jω
K)G ( jω?
)(sR )(sCs1
11
例：积分电路
输入为 r(t),输出为 c(t)
运动方程：
传递函数,（ T=R1C）
频率特性：
K
+
-()rt ()ct
1R 3RC()cit1()it
)(sR )(sC CsR1
1?
r ( t ) d tT1r ( t ) d tCR 1( t ) d tiC1c ( t )
1
c
s
K
Ts
1
R ( s )
C ( s )G ( s )
1
1c R
r ( t )( t )i( t )i
jT
K
)R ( j
)C ( j)G ( j
12
其它举例 D()nt ()xt
D
s
()Ns ()Xs ()ut
()it1
Cs()Is ()Us
13
4、惯性环节 (又叫非周期环节 )
特点,此环节中含有一个独立的储能元件，以致对突变的输入来说，输出不能立即复现，存在时间上的延迟。
运动方程：
传递函数：
频率特性：
K r ( t )c ( t )dtd c ( t )T
1Ts
KG ( s )
1jT ω
K)G( jω
)(sR )(sC 11?Ts
14
例：直流电机输入量,ud —— 电枢电压输出量,id —— 电枢电流动态方程如下：
即传递函数,
式中 Ld —— 电枢回路电感；
Rd —— 电枢回路电阻；
τd —— 电枢绕组的时间常数；
+ du
diD
ddddd uiRidtdL
d
ddd
R
ui
dt
d
1
1
)(
)(G ( s )
s
R
sU
sI
d
d
d
d
d
dd RL
15
其他一些例子r ( t )
1
1
L
s
R
()Rs ()Cs M
()ft ()vtB
()Fs ()Vs
()Tt ()t?J B
()Ts ()s?c ( t )R
L
1
1
s
B
J
B
1
1
s
B
J
B
16
5、振荡环节特点,包含两个独立的储能元件，当输入量发生变化时，两个储能元件的能量进行交换，使输出带有振荡的性质。
运动方程：
传递函数：
式中,?—— 阻尼比,T—— 振荡环节的时间常数。
频率特性：
)( sR )( sC
12
1
22 TssT?
K r ( t )c ( t )dtd c ( t )T2 ζdt c ( t )dT 222
)( sR )( sC
12
1
22 TssT?
TjTjR
jCjG
2)1(
1
)(
)()(
22
17
例,RLC电路
ωjR C)ωLC-(1
1
1)ωR C ( j)ωL C ( j
1)ωG ( j
22
i ( t ) dt
C
1c ( t )
i ( t ) dt
C
1r i ( t )
dt
di ( t )Lr ( t )
解：
消去中间变量 i(t)得到运动方程：
传递函数：
频率特性：
r ( t )c ( t )dtd c ( t )RCdt c ( t )dLC 22
1R C sLC s
1G ( s )
2
c ( t )r ( t )
R
L C
+
_
()it+
_
_
18
例：
ea(t)--- 输入量为加在电枢两端
(t) ---输出量为电机轴的角位移 ;
R------电枢绕组的电阻；
L------电枢绕组电感；
i(t)----电枢绕组中的电流；
eb(t)-- 电动机的反电势；
T(t)---电动机产生的转矩；
J------电动机和负载折合到电动机转轴上的转动惯量；
B------电动机和负载折合到电动机转轴上的粘性摩擦系数。
R
L ()bet()aet ()t? BJ
)( ti
+
_
D
+
_
19
电机运动方程
1） T(t)=Ki(t) T(t)—— 转矩 K—— 力矩系数
2） eb(t)—— 反电势 Kb—— 反电势常数
3） ea(t)—— 电枢两端的电压
4）
分别进行拉氏变换
1） T ( s ) = K I ( s )
2） Eb( s ) = Kb s? ( s )
3） Ea( s ) = ( L s + R ) I ( s ) + Eb( s )
4） T( s ) = ( J s2 + B s )? ( s )
dt
( t)dK( t)e bb
( t )e( t )eR i ( t )dtd i ( t )L ab
T ( t )dt ( t )d θBdt ( t )θdJ 2
2
R
L ()bet()aet ()t? BJ
)(tia
+
_
D
+
_
20
消去中间变量 Eb(s),T(s)和 I(s)
)]KK( R BR J ) s( L Bs [ L J s
K
( s )E
( s )θ
b2a
如果输入量 Ea(s),输出量转速?(s),则又可得到：
这是一个典型的振荡环节的传递函数频率特性：
)KK( R BR J ) s( L BL J s
K
( s )E
( s )
b2a
R J ) ωj ( L B)LJ ω-KK( R B
K
)(j ωE
)(j ω
2ba
21
电枢回路中的电感 L通常较小，若忽略 L的影响，则：
式中,km=K/(RB+KKb) —— 电动机增益常数
Tm=RJ/(RB+KKb)—— 电动机时间常数。
如果 J,R比较小,Tm趋近于零，又可简化为：
1)ss ( T
K
( s )E
( s )θ
m
m
a?
1sT K( s )E ( s )
m
m
a?
)K 1K(sKs1 / K( s )E
( s )θ
b
'
'
b
a
22
机械装置输入 ----------力,f(t)，
输出 ----------位移,x(t) 。
微分方程式中,K—— 弹簧弹性系数；
M—— 物体的质量，
B—— 粘性摩擦系数。
传递函数：
M
()ft
()xt
B
图2-16 机械振荡
K
)()()()( 2
2
tKxdt tdxBdt txdMtf
1s
K
Bs
K
M
K
1
F ( s )
X ( s )G ( s )
2
23
6、一阶微分环节特 点,此环节的输出量不仅与输入量本身有关，而且与输入量的变化率有关运动方程,
传递函数,G( s ) = Ts + 1
频率特性,G( j? ) = j? T + 1
r ( t )dtd r ( t)Tc ( t )
24
RC电路输入,u(t),输出,i(t),则传递函数,（ R=1? RC=? ）
频率特性：
一阶微分环节可看成一个微分环节与一个比例环节的并联，其传递函数和频率特性是惯性环节的倒数。
u ( t )
dt
d u ( t )
τu ( t ) ]
dt
d u ( t )
[ R C
R
1
R
u ( t )
dt
d u ( t )
c( t )i( t )ii ( t ) 21
1sU ( s )I ( s )
j ω1j ωG
1()it()ut ()itRC2()
25
7、二阶微分环节特点,输出量与输入量及输入量的一阶,二阶导数都有关运动方程,
传递函数,
频率特性：
可以看出,二阶微分环节的传递函数和频率特性是振荡环节的倒数 。
r ( t )dtd r ( t )T2 ζdt r ( t )dTc ( t ) 222
1Ts2 ζsTR ( s )C ( s )G ( s ) 22
TjT
jTjTjG
2)1(
1)(2)()(
22
22
26
小结
（ 1） 不同物理性质的系统，可以有相同形式的传递函数。
例如：前面介绍的振荡环节中两个例子，一个是机械系统，
另一个是电气系统，但传递函数的形式完全相同。
（ 2）同一个系统，当我们选取不同的输入量、输出量时，就可能得到不同形式的传递函数。
例如：电容：输入 — 电流，输出 — 电压，则是积分环节。
反之，输入 — 电压，输出 — 电流，则为微分环节。
第二章 物理系统的数学模型
第一节 控制工程的数学方法
（ Laplace变换）
第二节 物理系统的数学模型
第三节 非线性数学模型的线性化
2
第四节 典型环节及其传递函数
1、比例环节（又叫放大环节）
特 点,输出量按一定比例复现输入量，
无滞后、失真现象。
运动方程,c(t)=Kr(t)
K—— 放大系数，通常都是有量纲的。
传递函数：
频率特性：
KR ( s )C ( s )G ( s )
K)R ( j )C ( j)G ( j
K)(sR )(sC
3
例,输入,?(t)—— 角度 E—— 恒定电压输出,u(t)—— 电压
运动方程,u(t)=K?(t)
传递函数：
K—— 比例系数，量纲为伏 /弧度。
频率特性,G（ j?） =K
K( s )U( s )G( s )
E
u ( t )
K)( s? )( sU+
+
- ()t
4
例：输入,n1(t)—— 转速 Z1—— 主动轮的齿数输出,n2(t)—— 转速 Z2—— 从动轮的齿数运动方程：
传递函数：
频率特性：
( t )nzz( t )n 1
2
1
2?
Kzz( s )N ( s )NG( s )
2
1
1
2
Kzz)(j ωN )(j ωN)G ( jω
2
1
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12zz1Ns2Ns1 ()nt2 ()nt1Z 2Z
5
其它一些比例环节
()rt ()ct1r 2r
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2
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r
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2
1
R
R
K+-()rt ()ct
1R 2R3R
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cER ()cit
()bit
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6
2、微分环节特 点,动态过程中，输出量正比于输入量的变化速度。
运动方程：
传递函数：
频率特性：
dt
dr ( t)KC ( t)?
KS R ( s )C ( s )G ( s )
jK ω)R ( j ω )C ( j ω)G ( jω
)(sR )(sC
S
7
例 RC电路设,输入 —— ur(t)
输出 —— uc(t)
消去 i(t),得到 运动方程：
传递函数,（ Tc=RC）
当 Tc<<1时，传递函数又可表示成：
频率特性,G（ j?） =jTc?—— 此时可近似为纯微分环节 。
()rut ()cutitCR
i ( t ) Ri ( t ) d tc1( t )u r
( t )u( t ) d tuRC1( t )u ccr
1sT
sT
( s )U
( s )UG ( s )
c
c
r
c
sT( s )U ( s )UG( s ) c
r
c
R
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8
例：测速发电机 CF的数学描述输 入,?(t)—— 电动机 D转子（与测速发电机同轴）的转角输 出,uf(t)—— 测速发电机的电枢电压运动方程：
传递函数,G（ s） =Ks
频率特性,G（ j?） =jK?
dt
( t )dK( t )u
f
F ()futD()dut()t?
9
其他举例 ()cut
()itCsC C()itR()utCs1
R()cUs ()Is ()Is()Us + ()IsLs ()LEs
()it ()LetL
+
10
3、积分环节
特点,输出量的变化速度和输入量成正比。
运动方程：
传递函数：
频率特性：
)K r ( tdtd c ( t)?
s
KG ( s )?
jω
K)G ( jω?
)(sR )(sCs1
11
例：积分电路
输入为 r(t),输出为 c(t)
运动方程：
传递函数,（ T=R1C）
频率特性：
K
+
-()rt ()ct
1R 3RC()cit1()it
)(sR )(sC CsR1
1?
r ( t ) d tT1r ( t ) d tCR 1( t ) d tiC1c ( t )
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jT
K
)R ( j
)C ( j)G ( j
12
其它举例 D()nt ()xt
D
s
()Ns ()Xs ()ut
()it1
Cs()Is ()Us
13
4、惯性环节 (又叫非周期环节 )
特点,此环节中含有一个独立的储能元件，以致对突变的输入来说，输出不能立即复现，存在时间上的延迟。
运动方程：
传递函数：
频率特性：
K r ( t )c ( t )dtd c ( t )T
1Ts
KG ( s )
1jT ω
K)G( jω
)(sR )(sC 11?Ts
14
例：直流电机输入量,ud —— 电枢电压输出量,id —— 电枢电流动态方程如下：
即传递函数,
式中 Ld —— 电枢回路电感；
Rd —— 电枢回路电阻；
τd —— 电枢绕组的时间常数；
+ du
diD
ddddd uiRidtdL
d
ddd
R
ui
dt
d
1
1
)(
)(G ( s )
s
R
sU
sI
d
d
d
d
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15
其他一些例子r ( t )
1
1
L
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R
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()Fs ()Vs
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()Ts ()s?c ( t )R
L
1
1
s
B
J
B
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1
s
B
J
B
16
5、振荡环节特点,包含两个独立的储能元件，当输入量发生变化时，两个储能元件的能量进行交换，使输出带有振荡的性质。
运动方程：
传递函数：
式中,?—— 阻尼比,T—— 振荡环节的时间常数。
频率特性：
)( sR )( sC
12
1
22 TssT?
K r ( t )c ( t )dtd c ( t )T2 ζdt c ( t )dT 222
)( sR )( sC
12
1
22 TssT?
TjTjR
jCjG
2)1(
1
)(
)()(
22
17
例,RLC电路
ωjR C)ωLC-(1
1
1)ωR C ( j)ωL C ( j
1)ωG ( j
22
i ( t ) dt
C
1c ( t )
i ( t ) dt
C
1r i ( t )
dt
di ( t )Lr ( t )
解：
消去中间变量 i(t)得到运动方程：
传递函数：
频率特性：
r ( t )c ( t )dtd c ( t )RCdt c ( t )dLC 22
1R C sLC s
1G ( s )
2
c ( t )r ( t )
R
L C
+
_
()it+
_
_
18
例：
ea(t)--- 输入量为加在电枢两端
(t) ---输出量为电机轴的角位移 ;
R------电枢绕组的电阻；
L------电枢绕组电感；
i(t)----电枢绕组中的电流；
eb(t)-- 电动机的反电势；
T(t)---电动机产生的转矩；
J------电动机和负载折合到电动机转轴上的转动惯量；
B------电动机和负载折合到电动机转轴上的粘性摩擦系数。
R
L ()bet()aet ()t? BJ
)( ti
+
_
D
+
_
19
电机运动方程
1） T(t)=Ki(t) T(t)—— 转矩 K—— 力矩系数
2） eb(t)—— 反电势 Kb—— 反电势常数
3） ea(t)—— 电枢两端的电压
4）
分别进行拉氏变换
1） T ( s ) = K I ( s )
2） Eb( s ) = Kb s? ( s )
3） Ea( s ) = ( L s + R ) I ( s ) + Eb( s )
4） T( s ) = ( J s2 + B s )? ( s )
dt
( t)dK( t)e bb
( t )e( t )eR i ( t )dtd i ( t )L ab
T ( t )dt ( t )d θBdt ( t )θdJ 2
2
R
L ()bet()aet ()t? BJ
)(tia
+
_
D
+
_
20
消去中间变量 Eb(s),T(s)和 I(s)
)]KK( R BR J ) s( L Bs [ L J s
K
( s )E
( s )θ
b2a
如果输入量 Ea(s),输出量转速?(s),则又可得到：
这是一个典型的振荡环节的传递函数频率特性：
)KK( R BR J ) s( L BL J s
K
( s )E
( s )
b2a
R J ) ωj ( L B)LJ ω-KK( R B
K
)(j ωE
)(j ω
2ba
21
电枢回路中的电感 L通常较小，若忽略 L的影响，则：
式中,km=K/(RB+KKb) —— 电动机增益常数
Tm=RJ/(RB+KKb)—— 电动机时间常数。
如果 J,R比较小,Tm趋近于零，又可简化为：
1)ss ( T
K
( s )E
( s )θ
m
m
a?
1sT K( s )E ( s )
m
m
a?
)K 1K(sKs1 / K( s )E
( s )θ
b
'
'
b
a
22
机械装置输入 ----------力,f(t)，
输出 ----------位移,x(t) 。
微分方程式中,K—— 弹簧弹性系数；
M—— 物体的质量，
B—— 粘性摩擦系数。
传递函数：
M
()ft
()xt
B
图2-16 机械振荡
K
)()()()( 2
2
tKxdt tdxBdt txdMtf
1s
K
Bs
K
M
K
1
F ( s )
X ( s )G ( s )
2
23
6、一阶微分环节特 点,此环节的输出量不仅与输入量本身有关，而且与输入量的变化率有关运动方程,
传递函数,G( s ) = Ts + 1
频率特性,G( j? ) = j? T + 1
r ( t )dtd r ( t)Tc ( t )
24
RC电路输入,u(t),输出,i(t),则传递函数,（ R=1? RC=? ）
频率特性：
一阶微分环节可看成一个微分环节与一个比例环节的并联，其传递函数和频率特性是惯性环节的倒数。
u ( t )
dt
d u ( t )
τu ( t ) ]
dt
d u ( t )
[ R C
R
1
R
u ( t )
dt
d u ( t )
c( t )i( t )ii ( t ) 21
1sU ( s )I ( s )
j ω1j ωG
1()it()ut ()itRC2()
25
7、二阶微分环节特点,输出量与输入量及输入量的一阶,二阶导数都有关运动方程,
传递函数,
频率特性：
可以看出,二阶微分环节的传递函数和频率特性是振荡环节的倒数 。
r ( t )dtd r ( t )T2 ζdt r ( t )dTc ( t ) 222
1Ts2 ζsTR ( s )C ( s )G ( s ) 22
TjT
jTjTjG
2)1(
1)(2)()(
22
22
26
小结
（ 1） 不同物理性质的系统，可以有相同形式的传递函数。
例如：前面介绍的振荡环节中两个例子，一个是机械系统，
另一个是电气系统，但传递函数的形式完全相同。
（ 2）同一个系统，当我们选取不同的输入量、输出量时，就可能得到不同形式的传递函数。
例如：电容：输入 — 电流，输出 — 电压，则是积分环节。
反之，输入 — 电压，输出 — 电流，则为微分环节。
