1
第四节 Nyquist 稳定性判据基本思想,利用系统的开环系统的频率特性判别闭环系统的稳定性。
一、预备知识 ——幅角定理由复变函数可知，对 S复平面上除奇点外的任一点，经过复变函数 F(s)的映射，在 F(s)平面上可以找到对应的象。设辅助函数第四章 控制系统的稳定性分析
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2
令,s从 开始沿任一闭合路径 Γs （不经过 F(s)的零点和极点） 顺时针 旋转一圈,F(s)的相角变化情况如下：
零点 (-Zi) 极点 (-Pj)
1) –Zi在 Γs外,。
2) –Pj在 Γs外,。
结论：相角无变化
1) –Zi在 Γs内,。 (顺时针 )
2) –Pj在 Γs内,。 (逆时针 )
结论：若 F(s)在 Γs中有 Z个零点和 P个极点，则当 s沿 Γs顺时针方向旋转一圈时,F(s) 相角有变化：
1s
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2 jps
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1
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2
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Re
1
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3
幅角定理：
F(s)是 s的单值有理函数,在 s平面上任一闭合路径包围了 F(s)的 Z个零点和 P个极点,并且不经过 F(s)的任一零点和极点,则当 s沿闭合路径 顺时针 方向 旋转一圈时,映射到 F(s)平面内的 F(s)曲线 顺时针绕原点 （ Z– P） 圈 。 即
N=Z-P
（ 或 逆 时针 绕原点 N= P - Z圈 ）
其中,N为圈数,正,负表示的旋转方向：逆时针为正,顺时针为负 。
4
三,奈魁斯特稳定性判据
1,奈氏路径顺时针方向 包围整个 s右半面 。
由于不能通过 F(s)的任何零,极点,所以当 F(s)有若干个极点处于 s平面虚轴 （ 包括原点 ） 上时,则以这些点为圆心,作半径为无穷小的半圆,按 逆时针 方向 从右侧绕过 这些点 。
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s平面
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5
2,奈氏判据设,——闭环系统特征多项式显然,F(s) 的零点就是闭环系统的极点。
(1) 1＋ G(S)H(S)平面上的系统稳定性分析假如 s沿着奈氏路径绕一圈，根据幅角定理,F(s)平面上绘制的 F(s)曲线 ΓF逆时针 方向绕 原点 的圈数 N则为
F(s)在 s右半开平面内极点个数 P与的零点个数 Z之差：
N= P - Z
当 Z=0时，说明系统闭环传递函数无极点在 s右半开平面，系统是稳定的；反之，系统则是不稳定的。
sHsGSF 1
6
（ 2） G(s)H(s)平面上的系统稳定性分析 --奈氏判据因为 1+ G(s)H(s) 与 G(s)H(s) 之间相差 1，所以系统的稳定性可表达成：
奈氏判据：闭环系统稳定的充要条件是,s沿着奈氏路绕一圈,G(jω)H(jω) 曲线逆时针绕（ -1,j0） 点的 P圈。
P——为 G(s)H(s)位于 s右半平面的极点数。
a.若 P=0,且 N=0,即 曲线不包围（ -1,j0） 点，则闭环系统稳定；
b.若 P≠0,且 N=P,即 曲线逆时针 绕 （ -1,j0） 点 P圈,则闭环系统稳定，否则是不稳定系统。
不稳定系统分布在 s右半平面 极点 的个数可按下式求取：
Z=P N
c.若 曲线通过（ -1,j0） 点 L次，则说明闭环系统有 L个极点分布在 s平面的虚轴上。
7
例,一系统开环传递函数为：
试判别系统的稳定性。
解,本系统的开环频率特性当 变化时，
系统的幅相曲线如图所示。
因为系统有一个开环极点位于 s的右半平面，即,P=1。
图中奈氏曲线是 逆时针方向 绕（ -1,j0） 点的 1圈，即 N=1。
根据 奈氏判据,闭环系统在 s右半平面极点数 Z=P-N=1-1=0
所以系统稳定。
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1)()( j ajHjG
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2?
1? 0
Re
Im
8
a,当 s=0是开环极点时，奈氏路径：
s= - j0→+j0 时，以原点为圆心，作半径为 无穷小的半圆，按逆时针方向从右侧绕过原点。
令,ε→0 当从 s=-j0转到 +j0
时,θ从 -90°变到 +90°（ Ⅰ 型系统 ）
所以,从 变到 。
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Re
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结论,当 s从 -j0转到 +j0时,G(s)H(s)的奈氏曲线以半径为无穷大，顺时针转过 。
b,s→∞ 的奈氏曲线令,因为 R→∞,则有所以，对 n - m>0的系统,ε就趋向于零。
从 -（ n - m） 90° 变到 +（ n - m） 90°。
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结论,当 s 沿奈氏曲线从 +j∞到 - j∞时，对
n>m的系统,G(s)H(s)的奈魁斯特氏曲线以无穷小半径，绕原点逆时针转过（ n - m） π。
11
例 一系统的开环传递函数为：
试判断系统的稳定性解先作 +j 0到 +j∞时的
G(jω)H(jω)曲线。再根据对称性，作出 -j 0到
-j∞时的 G(jω)H(jω)曲线。
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Im
Re
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题中,当 s从 - j0转到 +j0时，
G(jω)H(jω) 曲线以半径为无穷大，顺时针转过 π角（图中虚线）。并可求得,? =?1时，
G(j?)H(j?)与实轴交 。
从图可见,G(s)H(s)的奈氏曲线顺时针绕 ( -1,j0 ) 点一圈，
N =-1,又因为 P =0,所以
Z = P - N=1，
说明为不稳定系统，有一个闭环极点在 s的右半平面。
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Re
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0?
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例 设系统的开环传递函数中,T5<T1<T2,T3和 T4
某 K值下 G(jω)H(jω) 曲线，
N=0,且 P=0,所以系统稳定。
K增大，使（ -1,j0） 位于
c,d间，曲线顺时针包围
（ -1,j0） 两圈，系统不稳定。
K减小，使（ -1,j0） 位于
a,b之间，曲线顺时针包围
（ -1,j0） 点两圈，系统仍不稳定。 K再减小，使（ -1,j0）
点位于 a点左边，那么闭环系统又稳定了。这样的系统称为条件稳定系统。即要使系统稳定,K必须满足一定 的条件。
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Re
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第四节 Nyquist 稳定性判据基本思想,利用系统的开环系统的频率特性判别闭环系统的稳定性。
一、预备知识 ——幅角定理由复变函数可知，对 S复平面上除奇点外的任一点，经过复变函数 F(s)的映射，在 F(s)平面上可以找到对应的象。设辅助函数第四章 控制系统的稳定性分析
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零点 (-Zi) 极点 (-Pj)
1) –Zi在 Γs外,。
2) –Pj在 Γs外,。
结论：相角无变化
1) –Zi在 Γs内,。 (顺时针 )
2) –Pj在 Γs内,。 (逆时针 )
结论：若 F(s)在 Γs中有 Z个零点和 P个极点，则当 s沿 Γs顺时针方向旋转一圈时,F(s) 相角有变化：
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幅角定理：
F(s)是 s的单值有理函数,在 s平面上任一闭合路径包围了 F(s)的 Z个零点和 P个极点,并且不经过 F(s)的任一零点和极点,则当 s沿闭合路径 顺时针 方向 旋转一圈时,映射到 F(s)平面内的 F(s)曲线 顺时针绕原点 （ Z– P） 圈 。 即
N=Z-P
（ 或 逆 时针 绕原点 N= P - Z圈 ）
其中,N为圈数,正,负表示的旋转方向：逆时针为正,顺时针为负 。
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三,奈魁斯特稳定性判据
1,奈氏路径顺时针方向 包围整个 s右半面 。
由于不能通过 F(s)的任何零,极点,所以当 F(s)有若干个极点处于 s平面虚轴 （ 包括原点 ） 上时,则以这些点为圆心,作半径为无穷小的半圆,按 逆时针 方向 从右侧绕过 这些点 。
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2,奈氏判据设,——闭环系统特征多项式显然,F(s) 的零点就是闭环系统的极点。
(1) 1＋ G(S)H(S)平面上的系统稳定性分析假如 s沿着奈氏路径绕一圈，根据幅角定理,F(s)平面上绘制的 F(s)曲线 ΓF逆时针 方向绕 原点 的圈数 N则为
F(s)在 s右半开平面内极点个数 P与的零点个数 Z之差：
N= P - Z
当 Z=0时，说明系统闭环传递函数无极点在 s右半开平面，系统是稳定的；反之，系统则是不稳定的。
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（ 2） G(s)H(s)平面上的系统稳定性分析 --奈氏判据因为 1+ G(s)H(s) 与 G(s)H(s) 之间相差 1，所以系统的稳定性可表达成：
奈氏判据：闭环系统稳定的充要条件是,s沿着奈氏路绕一圈,G(jω)H(jω) 曲线逆时针绕（ -1,j0） 点的 P圈。
P——为 G(s)H(s)位于 s右半平面的极点数。
a.若 P=0,且 N=0,即 曲线不包围（ -1,j0） 点，则闭环系统稳定；
b.若 P≠0,且 N=P,即 曲线逆时针 绕 （ -1,j0） 点 P圈,则闭环系统稳定，否则是不稳定系统。
不稳定系统分布在 s右半平面 极点 的个数可按下式求取：
Z=P N
c.若 曲线通过（ -1,j0） 点 L次，则说明闭环系统有 L个极点分布在 s平面的虚轴上。
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例,一系统开环传递函数为：
试判别系统的稳定性。
解,本系统的开环频率特性当 变化时，
系统的幅相曲线如图所示。
因为系统有一个开环极点位于 s的右半平面，即,P=1。
图中奈氏曲线是 逆时针方向 绕（ -1,j0） 点的 1圈，即 N=1。
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a,当 s=0是开环极点时，奈氏路径：
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结论,当 s从 -j0转到 +j0时,G(s)H(s)的奈氏曲线以半径为无穷大，顺时针转过 。
b,s→∞ 的奈氏曲线令,因为 R→∞,则有所以，对 n - m>0的系统,ε就趋向于零。
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结论,当 s 沿奈氏曲线从 +j∞到 - j∞时，对
n>m的系统,G(s)H(s)的奈魁斯特氏曲线以无穷小半径，绕原点逆时针转过（ n - m） π。
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例 一系统的开环传递函数为：
试判断系统的稳定性解先作 +j 0到 +j∞时的
G(jω)H(jω)曲线。再根据对称性，作出 -j 0到
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题中,当 s从 - j0转到 +j0时，
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G(j?)H(j?)与实轴交 。
从图可见,G(s)H(s)的奈氏曲线顺时针绕 ( -1,j0 ) 点一圈，
N =-1,又因为 P =0,所以
Z = P - N=1，
说明为不稳定系统，有一个闭环极点在 s的右半平面。
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例 设系统的开环传递函数中,T5<T1<T2,T3和 T4
某 K值下 G(jω)H(jω) 曲线，
N=0,且 P=0,所以系统稳定。
K增大，使（ -1,j0） 位于
c,d间，曲线顺时针包围
（ -1,j0） 两圈，系统不稳定。
K减小，使（ -1,j0） 位于
a,b之间，曲线顺时针包围
（ -1,j0） 点两圈，系统仍不稳定。 K再减小，使（ -1,j0）
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