1
第三节 瞬态响应指标及其与系统参数的关系控制系统的动态 （ 又叫瞬态 ） 响应是指系统从初始状态到接近稳定状态的响应 。
动态响应对稳定系统才有意义 。 对不稳定系统,其响应是发散的 。
我们通常以系统在单位阶跃输入时的响应特性,来衡量系统性能的优劣和定义时域性能指标 。
一、瞬态指标的定义
2
,
1,上升时间,动态响应曲线从零到第一次上升到稳态值所需的时间。 (0— 1或 0.1－ 0.9)
()ct
允许误差,
r
t
p
t
s
t
1
0
0,1
0,9
p
t
05.0? 或 02.0?
rt
3
2．峰值时间,对应于最大超调量发生的时间。
3．最大超调量 (或 ) —— 定义为阶跃响应超过稳态值的最大值与稳态值之比的百分数，即式中,为输出响应的最大值； 为稳态值。
4．延迟时间,响应曲线第一次达到终值一半所需的时间。
5．调整时间 （或 过渡过程时间）：它定义为阶跃响应曲线衰减到与稳态值之差不超过某一个特定百分数△（又叫误差带）带所需要的时间。△一般取
± 2%或± 5%。
P?
%1 0 0)(c )(c)t(c PP
)( Ptc )(?c
dt
Pt
pM
st
4
上述 5个动态性能指标，基本上可以反映出系统的动态过程特性，通常用 或 评价系统的响应速度；用 评价系统的阻尼程度；
而 是同时反应响应速度和阻尼程度的综合指标。
实际中用得最多的是：
最大超调量：
过渡过程时间：
Ptrt
P?
P?
st
st
5
二、瞬态指标与系统参数的关系
1,上升时间根据定义，当 时，,即系统输出：
因为,必有：
所以
( )
上式表明：在一定的情况下，无阻尼自然振荡频率越大，系统的响应就越迅速。
rtt? 1)(?rtc
1)ts i n (
1
e1)t(c
rd2
tn
r
0 rnterdt
n?
21
nd
rt Tn
1
6
（ 2） 峰值时间
系统输出对时间求导，并令其为零，
即
因为,上面方程的解为
由定义可知,为输出响应达到第一个峰值所需的时间，应取，
则峰值时间为：
上式表明,峰值时间与系统极点的虚部成反比,ζ一定的情况下,极点离实轴越远,系统峰值时间 越短
0dt )t(dc
ptt
0)c o s ()s in ( pdtdpdtn tete pnpn?
2
pd
1)t(tg
21tg
Pt
Pd t
21
nd
Pt
3,2,,0?pp t
)s i n (
1
1)( 2
tetc d
tn
Pt
7
（ 3） 最大超调量因为最大超调量发生在峰值时间上，由前面可知：
令 代入上式
得到
上式表明,二阶系统的最大超调量 仅与阻尼比 ζ有关,ζ越大,
越小。 P?
)s i n
1
( c o se1)t(c 221P?
21e1
%100e 21P
P?
P?
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1
11)( 2
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tn
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t
8
,
0.5 1,0 1,50
2
22
()
2
n
nn
s
ss
p
：最大超调量
20
40
60
80
100
%
p
9
（ 4） 调整时间
根据定义 式中：
为指定的很小量，一般取 =0.02或 0.05。
二阶系统欠阻尼情况下输出响应的衰减情况可以用包络线近似，包络线的方程
即：
进一步得到
在 时,可近似为取取
)(c)(c)t(c s
1
e1)t(c tn
2
stn
1
e
2ns 1
1ln1t
9.00
ns
4t
ns
3t
st
02.0
05.0
10
上式表明,越大,越小，即调整时间与系统极点的实数值成反比，实数值越大，调整时间越小。由于系统的最大超调量是由它的阻尼比决定的，若保持阻尼比不变，加大无阻尼自然振荡频率 的数值，则可以在不影响系统超调量的情况下，减少调整时间，加快系统的响应速度。
n
n?
st
n
s
3t
%100e 21
P
11
例 系统如图所示。要求性能指标为 秒，
试确定系统的 和 值，并计算 和 。
解,系统的闭环传递函数式中
（ 1）先由 求出,根据已知条件即
()Rs ()Cs?
( 1 )
K
ss?
01 Ks?
1t%,20 PP
0K K rtst
KsKKs
K
sKKKss
K
sR
sC
)()1()(
)(
020
012,KKK nn
P 2.021e
61.12.0 1ln1 2
4 5 6.0
12
（ 2） 求 K0
因为要求 tp =1秒求得所以
11 2
n
Pt
sra dn /53.3
5.12K 2n
nKK21 0
1 7 8.00?K
13
（ 3） 求 tr
式中
（ 3） 求 ts
s65.0
1
t
2
n
r
r a d1.11tg
2
1
st
n
s 86.1
3
14
第五节 高阶系统的瞬态响应通常把三阶以上的系统就称为高阶系统。严格地说，实际控制系统的运动几乎都应由高阶微分方程来描述，即是一个高阶系统。而对高阶系统的分析研究一般比较困难，在处理上通常采用抓住主要矛盾，忽略次要因素，将它近似为一个二阶系统。
一、高阶系统的阶跃响应设 控制系统的闭环传递函数为
01
1n
1n
n
n
01
1m
1m
m
m
asasasa
bsbsbsb
)s(D
)s(M
)s(R
)s(C
15
系统在单位阶跃函数作用下的输出拉氏变换式为式中,复极点写成 代入上式分别为在输入极点和闭环极点处的留数。
对进行拉氏反变换，求得高阶系统的动态响应为：
sjsjsps
zsk
sC q
j
r
k
kkj
m
i
i 1
)()((()(
)(
)(
1 1
22
1?
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1
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1 1
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j kk
j
)1s i n (1
1 1
2 kq
j
r
i
kk
t
k
tp
j teDea kkj
16
式中,,,均为求解过程中的系数。
二、高阶系统解分析,
⑴ 高阶系统动态响应曲线的类型由闭环极点的性质所决定。
⑵ 高阶系统动态响应曲线的形状由闭环系统的零、
极点共同决定。
⑶ 闭环极点离虚轴愈近，其对系统的影响愈大。
kB kC kD k?
()ct
)( tr
1
0 t t
()ct
0
1
)( tr
()ct
t
0
1
)( tr
17
三、高阶系统的主导极点系统输出各动态响应分量衰减快慢取决于对应的闭环极点距离 S平面虚轴的远近，其中最靠近虚轴的闭环极点所对应的动态分量衰减得最慢，在所有各分量中起主要作用。
主导极点,如果高阶系统中，所有其他极点的实部比距离虚轴最近的闭环极点的实部大 5倍以上，
并且在该极点附近不存在闭环零点，则这种离虚轴最近的闭环极点将对系统的动态响应起主导作用，
并称其为闭环主导极点。
主导极点常以共轭复数形式出现，此时可用二阶系统的动态响应指标来估计高阶系统的性能。所以，具有重要的实用意义。
18
,
j
s
主导极点
19
例 三阶系统的闭环传递函数系统闭环极点,极点实部之比为所以 p1,p2为一对共轭复数主导极点。系统精确解为如果忽略闭环极点 p3 所对应的动态分量，即式中第三项忽略，则该系统单位阶跃响应的近似解即用二阶系统的分析方法来近似原来的三阶系统。
)5200s20s)(60s(
3 1 2 0 0 0
)s(R
)s(C
2
60p,7.71j10p 32,1
5
1
6
1
60
10
]pR e [
]pR e [
3
1
t60ot10 e6 8 6.0)93.26t7.71s i n (e6 9 6.01)t(c
)93.26t7.71s i n (e6 9 6.01)t(c ot10
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第三节 瞬态响应指标及其与系统参数的关系控制系统的动态 （ 又叫瞬态 ） 响应是指系统从初始状态到接近稳定状态的响应 。
动态响应对稳定系统才有意义 。 对不稳定系统,其响应是发散的 。
我们通常以系统在单位阶跃输入时的响应特性,来衡量系统性能的优劣和定义时域性能指标 。
一、瞬态指标的定义
2
,
1,上升时间,动态响应曲线从零到第一次上升到稳态值所需的时间。 (0— 1或 0.1－ 0.9)
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2．峰值时间,对应于最大超调量发生的时间。
3．最大超调量 (或 ) —— 定义为阶跃响应超过稳态值的最大值与稳态值之比的百分数，即式中,为输出响应的最大值； 为稳态值。
4．延迟时间,响应曲线第一次达到终值一半所需的时间。
5．调整时间 （或 过渡过程时间）：它定义为阶跃响应曲线衰减到与稳态值之差不超过某一个特定百分数△（又叫误差带）带所需要的时间。△一般取
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实际中用得最多的是：
最大超调量：
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二、瞬态指标与系统参数的关系
1,上升时间根据定义，当 时，,即系统输出：
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由定义可知,为输出响应达到第一个峰值所需的时间，应取，
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第五节 高阶系统的瞬态响应通常把三阶以上的系统就称为高阶系统。严格地说，实际控制系统的运动几乎都应由高阶微分方程来描述，即是一个高阶系统。而对高阶系统的分析研究一般比较困难，在处理上通常采用抓住主要矛盾，忽略次要因素，将它近似为一个二阶系统。
一、高阶系统的阶跃响应设 控制系统的闭环传递函数为
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系统在单位阶跃函数作用下的输出拉氏变换式为式中,复极点写成 代入上式分别为在输入极点和闭环极点处的留数。
对进行拉氏反变换，求得高阶系统的动态响应为：
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式中,,,均为求解过程中的系数。
二、高阶系统解分析,
⑴ 高阶系统动态响应曲线的类型由闭环极点的性质所决定。
⑵ 高阶系统动态响应曲线的形状由闭环系统的零、
极点共同决定。
⑶ 闭环极点离虚轴愈近，其对系统的影响愈大。
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三、高阶系统的主导极点系统输出各动态响应分量衰减快慢取决于对应的闭环极点距离 S平面虚轴的远近，其中最靠近虚轴的闭环极点所对应的动态分量衰减得最慢，在所有各分量中起主要作用。
主导极点,如果高阶系统中，所有其他极点的实部比距离虚轴最近的闭环极点的实部大 5倍以上，
并且在该极点附近不存在闭环零点，则这种离虚轴最近的闭环极点将对系统的动态响应起主导作用，
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19
例 三阶系统的闭环传递函数系统闭环极点,极点实部之比为所以 p1,p2为一对共轭复数主导极点。系统精确解为如果忽略闭环极点 p3 所对应的动态分量，即式中第三项忽略，则该系统单位阶跃响应的近似解即用二阶系统的分析方法来近似原来的三阶系统。
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