第五章 测量误差理论基础
测量误差的概念
偶然误差的统计规律性
偶然误差的分布
衡量精度的数字指标
精度数字指标的实际计算方法
误差传播定律
误差传播定律的应用
§ 5-1 测量误差的概念
什么是测量误差
测量误差产生的原因
测量误差的分类
测量误差的处理原则
LX
一、什么是测量误差
真误差
真值、观测值
真误差的概念
精度
精度是反映误差密集程度的指标。
误差大,精度低；误差小,精度高。
二,测量误差产生的原因
2、测量设备的因素
1、观测者的因素
3、观测环境的因素观测条件不等精度观测等精度观测三、测量误差的分类
1.系统误差 —— 若观测过程中，观测误差在符号或大小上表现出一定的规律性，在相同观测条件下，该规律保持不变或变化可预测，则具有这种性质的误差称为系统误差。
处理方法,（ 1）、模型改正法 ----加改正数
（ 2）、观测程序法 ----采用适当的观测方法
2.偶然误差 —— 在相同观测条件下，取得一系列等精度观测值，若单个误差的大小、符号没有任何规律，即在一定限度内，不能对可能出现的误差作任何预测，则这一类的误差就称为偶然误差，又称随机误差。
3.粗差 —— 特别大的误差（错误）
四、测量误差的处理原则
粗差 — 细心，多余观测
系统误差 — 找出规律，加以改正
偶然误差 — 多余观测，制定限差
在测量工作中处理误差的基本原则是：首先发现和剔除粗差，然后采用模型改正法及观测程序法消除或削弱系统误差的影响，使观测值中只含有偶然误差，或者说相对于偶然误差，系统误差的影响可以忽略不计；然后运用误差理论求观测值及其函数的最佳估值
（最或然值）。
§ 5-2 偶然误差的统计规律性
例如：
对同一量观测了 n次
观测值为 L1,L2,L3,…,Ln
如何取值？
如何评价数据的精度？
对 358个三角形在相同的观测条件下观测了全部内角，三角形内角和的误差?i为：
i=180 -(?i +?i+?i)；
其结果如表 5-1，分析三角形内角和的误差?i
的规律。?
误差区间 负误差 正误差 误差绝对值
dΔ " v v/n v v/n v v/n
0-3 45 0.126 46 0.128 91 0.254
3-6 40 0.112 41 0.115 81 0.226
6-9 33 0.092 33 0.092 66 0.184
9-12 23 0.064 21 0.059 44 0.123
12-15 17 0.047 16 0.045 33 0.092
15-18 13 0.036 13 0.036 26 0.073
18-21 6 0.017 5 0.014 11 0.031
21-24 4 0.011 2 0.006 6 0.017
24以上 0 0 0 0 0 0
Σ 181 0.505 177 0.495 358 1.000
表 2-1 偶然误差的统计误差分布的特点
在确定的观测条件下，按一定的观测程序观测，偶然误差的绝对值不会超出一定的限度。
绝对值小的偶然误差比绝对值大的偶然误差出现的频率高。
绝对值相等符号相反的偶然误差，出现的频率基本相同。
§ 5-3 偶然误差的分布
-24 -21 -18 -15 -12 -9 -6 -3 0 3 6 9 12 15 18 21 24
v/(nd?)
频率直方图偶然误差的特性
有限性,在有限次观测中，偶然误差应小于一定的限值。
渐降性,小误差的出现的概率比较大。
对称性,绝对值相等的正负误差出现的概率相等。
抵偿性,当观测次数无限增大时，偶然误差的平均数趋近于零。
§ 5-4衡量精度的数字指标一,方差 和 标准差 （ 中误差 ）
2.标准差,?
n
i
in n
1
21li m?
3.实际意义,参见课本 P103
的偶然误差是观测值式中：
叫标准差方差：
ii
n
i
i
l
n
,1
2
2
4.方差,
1.正态分布概率密度函数：
衡量精度的指标
一定的观测条件，对应着一个确定的误差分布。
偶然误差服从数学期望为 0的正态分布，即 。
9 9 7.0)33(
9 5 5.0)22(
6 8 3.0)(
P
P
P
003.0)3(
045.0)2(
P
P
m2 容二、容许误差 （补充内容）
m3 容或：
在实际测量中只能得到标准差的估值 — 中误差，用 m来表示。
容许误差也叫极限误差，是确定一定观测条件下观测是否包含粗差的依据。容许误差和中误差有明确的数量关系。
三、相对误差 （补充内容）
某些观测值的误差与其本身大小有关。
用观测值的中误差与观测值之比的形式描述观测的质量，称为相对误差（全称,相对中误差,）。
m
LL
m
K
1
例，用钢卷尺丈量 200m和 40m两段距离，
量距的中误差都是 ± 2cm，但不能认为两者的精度是相同的；前者的相对中误差为
0,02／ 200 ＝ 1／ 10000；而后者则为 0,02
／ 40＝ l／ 2000；前者的量距精度高于后者。
n
n
i
i?
1
2
2?
ii lX
§ 5-5 精度数字指标的实际计算方法
nn
m
n
i
i
][1
1
2
中误差,
注意：是一个定义式，难以实际应用 ;
测量工作中常采用观测值改正数来计算中误差 。
按观测值的真误差计算中误差第一组观测 第二组观测 次序观测值 l Δ Δ
2
观测值 l Δ Δ
2
1 180 ° 00 ˊ 03" - 3 9 180 ° 00 ˊ 0 0 " 0 0
2 180 ° 00 ˊ 02" - 2 4 1 59 ° 59 ˊ 59 " +1 1
3 179 ° 59 ˊ 58" +2 4 180 ° 00 ˊ 0 7 " - 7 49
4 179 ° 59 ˊ 56" +4 16 180 ° 00 ˊ 0 2 " - 2 4
5 180 ° 00 ˊ 01" - 1 1 180 ° 00 ˊ 0 1 " - 1 1
6 180 ° 00 ˊ 00" 0 0 1 79 ° 59 ˊ 59 " +1 1
7 180 ° 00 ˊ 04" - 4 16 1 79 ° 59 ˊ 52 " +8 64
8 179 ° 59 ˊ 57" +3 9 180 ° 00 ˊ 0 0 " 0 0
9 1 79 ° 59 ˊ 58 " +2 4 1 79 ° 59 ˊ 57 " +3 9
10 180 ° 00 ˊ 03" - 3 9 180 ° 00 ˊ 0 1 " - 1 1
Σ || 24 72
24 130
''7.2
][
1
n
m ''6.3
][
2
n
m
w
一,必要观测数,根据每确定一个待定量，需要一个观测值的原则，要解算出全部的待定量，必须有数量足够,函数独立 的观测值，称为 必要观测值 。其个数叫 必要观测数。如,γ =180o-（ α +β ）
二,多余观测数,设必要观测数为 t，实际观测数为 n，则称 r＝ n－ t为多余观测数 。
三,不符值,测量上将由于误差导致观测值不满足函数关系，而产生的与理论值的差值，称之为不符值，也称为闭合差，通常用 表示。
四,观测值改正数,观测值经平差方法处理后，能得到符合最优估值条件的平差值，设观测值为,平差值为,
则称 为观测值改正数。
五,等精度观测值中误差计算
w
r
vv
tn
vvm ][][
iL?iL
iii LLv
1 8 0
几个重要概念
(一 )集中趋势的测度（最优值）
1.中位数：设把 n个观测值按大小排列,这时位于最中间的数就是,中位数,。
2.众数：在 n个数中,重复出现次数最多的数就是,众数,。
3.切尾平均数,去掉 Lmax,Lmin以后的平均数 。
x
n
L
L
n
i
i
1
4.算术平均值,
证明中误差的公式证明 X是最或然值
X
n
L
n
nn
n
L
X
n
][
lim
0
][
lim
4
][][
）特性根据偶然误差第（
证明中误差的公式
ii LX
假设在相同的观测条件下，对同一个量进行了 n次观测
将 n个等式相加，
并除以 n,得到
（二）观测值的改正值
若被观测对象的真值不知，则取多次观测的算术平均值 x为最或然值．
定义改正值
改正值的特性
0 ivv
证明中误差的公式
iii LxLLv
根据改正数来计算中误差
标准差可按下式计算：
中误差：
1
1
2
2
n
v
n
i
i
证明中误差的公式
1
][
n
vv
m
由改正数计算中误差的实例次序 观测值 L 改正数 v vv
1 1 2 3,457 - 5 25
2 1 2 3,450 +2 4
3 1 2 3,453 - 1 1
4 1 2 3,449 +3 9
5 1 2 3,451 +1 1
x 1 2 3,452 0 40
毫米16.3
2
32.6
15
40
452.123
m
L
证明中误差的公式小结
一、已知真值 X，则真误差
一、真值不知，则
ii LX
n
m
][
i
Lx
i
v
n
Lx
][
1
][
n
vv
m
二、中误差 二、中误差证明中误差的公式
.,,),( 21 xxfy?设有函数式：
§ 5-6 误差传播定律
已知,mx1,mx2,…,mxn,求,my=?
误差传播定律,测量学中阐述观测值中误差与其函数中误差之间数学关系的定律称为中误差传播定律。
线性函数
mm LaLaLaLaay,..332211
2233222211 )(...)()()( mmy mamamamam
§ 5.7 误差传播定律的应用一、距离测量的中误差
nLLLS,..21
nmm S?
结论：距离丈量结果的中误差与所用尺段数的平方根成正比。
二、水准测量高差的中误差
n
i
iAB hh
1
nmm h A B 站?
结论：在假设每站观测高差精度相等的前提下，水准测量高差的中误差等于一站观测高差中误差的倍，即与测站数的平方根成正比三、算术平均值的中误差算术平均值已知,m1 =m2 =…,=mn=m,求,mx
n
LLLx n21
m
n
m
n
m
n
m
n
m
nx
1
)
1
()
1
()
1
(
222
2
22
1
2
算例：用三角形闭合差求测角中误差次序 观测值 l Δ ΔΔ
1 180-00- 10.3 -10.3 106.1
2 179-59- 57.2 +2.8 7.8
3 179-59- 49.0 +1 1.0 121
4 180-00- 01.5 -1.5 2.6
5 180-00- 02.6 -2.6 6.8
S -1.6 244.3
秒0.7
5
3.244
m
CBA
22 3 mm mm 3 秒0.43/mm
误差传播定律应用举例根据实际要求确定观测精度和观测方法设对某三角形观测了 及,若 角以 ± 3″的精度观测，
为使 角的中误差 ≤ ± 5″，问 应以怎样的精度进行观测？
若使用 J6级经纬仪应测几测回？
解：
根据误差传播定律，有所以
J6级经纬仪一测回测角中误差为 ± 8.5″，
若观测 n个测回,角平均值的中误差为则有即 角应测 5测回。
思考题
名词解释：观测条件、系统误差、偶然误差、真误差、中误差、极限（容许）误差、相对误差
测量误差的产生，概括起来有哪三方面的影响？
什么是等精度观测？什么是非等精度观测？
系统误差具有什么性质？如何尽量减小或消除系统误差？
偶然误差具有什么统计特性？用什么方法来研究偶然误差？
作业
测量学实验实习与习题
P100第 8,9,12题
P101第 23题
测量误差的概念
偶然误差的统计规律性
偶然误差的分布
衡量精度的数字指标
精度数字指标的实际计算方法
误差传播定律
误差传播定律的应用
§ 5-1 测量误差的概念
什么是测量误差
测量误差产生的原因
测量误差的分类
测量误差的处理原则
LX
一、什么是测量误差
真误差
真值、观测值
真误差的概念
精度
精度是反映误差密集程度的指标。
误差大,精度低；误差小,精度高。
二,测量误差产生的原因
2、测量设备的因素
1、观测者的因素
3、观测环境的因素观测条件不等精度观测等精度观测三、测量误差的分类
1.系统误差 —— 若观测过程中，观测误差在符号或大小上表现出一定的规律性，在相同观测条件下，该规律保持不变或变化可预测，则具有这种性质的误差称为系统误差。
处理方法,（ 1）、模型改正法 ----加改正数
（ 2）、观测程序法 ----采用适当的观测方法
2.偶然误差 —— 在相同观测条件下，取得一系列等精度观测值，若单个误差的大小、符号没有任何规律，即在一定限度内，不能对可能出现的误差作任何预测，则这一类的误差就称为偶然误差，又称随机误差。
3.粗差 —— 特别大的误差（错误）
四、测量误差的处理原则
粗差 — 细心，多余观测
系统误差 — 找出规律，加以改正
偶然误差 — 多余观测，制定限差
在测量工作中处理误差的基本原则是：首先发现和剔除粗差，然后采用模型改正法及观测程序法消除或削弱系统误差的影响，使观测值中只含有偶然误差，或者说相对于偶然误差，系统误差的影响可以忽略不计；然后运用误差理论求观测值及其函数的最佳估值
（最或然值）。
§ 5-2 偶然误差的统计规律性
例如：
对同一量观测了 n次
观测值为 L1,L2,L3,…,Ln
如何取值？
如何评价数据的精度？
对 358个三角形在相同的观测条件下观测了全部内角，三角形内角和的误差?i为：
i=180 -(?i +?i+?i)；
其结果如表 5-1，分析三角形内角和的误差?i
的规律。?
误差区间 负误差 正误差 误差绝对值
dΔ " v v/n v v/n v v/n
0-3 45 0.126 46 0.128 91 0.254
3-6 40 0.112 41 0.115 81 0.226
6-9 33 0.092 33 0.092 66 0.184
9-12 23 0.064 21 0.059 44 0.123
12-15 17 0.047 16 0.045 33 0.092
15-18 13 0.036 13 0.036 26 0.073
18-21 6 0.017 5 0.014 11 0.031
21-24 4 0.011 2 0.006 6 0.017
24以上 0 0 0 0 0 0
Σ 181 0.505 177 0.495 358 1.000
表 2-1 偶然误差的统计误差分布的特点
在确定的观测条件下，按一定的观测程序观测，偶然误差的绝对值不会超出一定的限度。
绝对值小的偶然误差比绝对值大的偶然误差出现的频率高。
绝对值相等符号相反的偶然误差，出现的频率基本相同。
§ 5-3 偶然误差的分布
-24 -21 -18 -15 -12 -9 -6 -3 0 3 6 9 12 15 18 21 24
v/(nd?)
频率直方图偶然误差的特性
有限性,在有限次观测中，偶然误差应小于一定的限值。
渐降性,小误差的出现的概率比较大。
对称性,绝对值相等的正负误差出现的概率相等。
抵偿性,当观测次数无限增大时，偶然误差的平均数趋近于零。
§ 5-4衡量精度的数字指标一,方差 和 标准差 （ 中误差 ）
2.标准差,?
n
i
in n
1
21li m?
3.实际意义,参见课本 P103
的偶然误差是观测值式中：
叫标准差方差：
ii
n
i
i
l
n
,1
2
2
4.方差,
1.正态分布概率密度函数：
衡量精度的指标
一定的观测条件，对应着一个确定的误差分布。
偶然误差服从数学期望为 0的正态分布，即 。
9 9 7.0)33(
9 5 5.0)22(
6 8 3.0)(
P
P
P
003.0)3(
045.0)2(
P
P
m2 容二、容许误差 （补充内容）
m3 容或：
在实际测量中只能得到标准差的估值 — 中误差，用 m来表示。
容许误差也叫极限误差，是确定一定观测条件下观测是否包含粗差的依据。容许误差和中误差有明确的数量关系。
三、相对误差 （补充内容）
某些观测值的误差与其本身大小有关。
用观测值的中误差与观测值之比的形式描述观测的质量，称为相对误差（全称,相对中误差,）。
m
LL
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1
例，用钢卷尺丈量 200m和 40m两段距离，
量距的中误差都是 ± 2cm，但不能认为两者的精度是相同的；前者的相对中误差为
0,02／ 200 ＝ 1／ 10000；而后者则为 0,02
／ 40＝ l／ 2000；前者的量距精度高于后者。
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§ 5-5 精度数字指标的实际计算方法
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中误差,
注意：是一个定义式，难以实际应用 ;
测量工作中常采用观测值改正数来计算中误差 。
按观测值的真误差计算中误差第一组观测 第二组观测 次序观测值 l Δ Δ
2
观测值 l Δ Δ
2
1 180 ° 00 ˊ 03" - 3 9 180 ° 00 ˊ 0 0 " 0 0
2 180 ° 00 ˊ 02" - 2 4 1 59 ° 59 ˊ 59 " +1 1
3 179 ° 59 ˊ 58" +2 4 180 ° 00 ˊ 0 7 " - 7 49
4 179 ° 59 ˊ 56" +4 16 180 ° 00 ˊ 0 2 " - 2 4
5 180 ° 00 ˊ 01" - 1 1 180 ° 00 ˊ 0 1 " - 1 1
6 180 ° 00 ˊ 00" 0 0 1 79 ° 59 ˊ 59 " +1 1
7 180 ° 00 ˊ 04" - 4 16 1 79 ° 59 ˊ 52 " +8 64
8 179 ° 59 ˊ 57" +3 9 180 ° 00 ˊ 0 0 " 0 0
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10 180 ° 00 ˊ 03" - 3 9 180 ° 00 ˊ 0 1 " - 1 1
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一,必要观测数,根据每确定一个待定量，需要一个观测值的原则，要解算出全部的待定量，必须有数量足够,函数独立 的观测值，称为 必要观测值 。其个数叫 必要观测数。如,γ =180o-（ α +β ）
二,多余观测数,设必要观测数为 t，实际观测数为 n，则称 r＝ n－ t为多余观测数 。
三,不符值,测量上将由于误差导致观测值不满足函数关系，而产生的与理论值的差值，称之为不符值，也称为闭合差，通常用 表示。
四,观测值改正数,观测值经平差方法处理后，能得到符合最优估值条件的平差值，设观测值为,平差值为,
则称 为观测值改正数。
五,等精度观测值中误差计算
w
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iii LLv
1 8 0
几个重要概念
(一 )集中趋势的测度（最优值）
1.中位数：设把 n个观测值按大小排列,这时位于最中间的数就是,中位数,。
2.众数：在 n个数中,重复出现次数最多的数就是,众数,。
3.切尾平均数,去掉 Lmax,Lmin以后的平均数 。
x
n
L
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1
4.算术平均值,
证明中误差的公式证明 X是最或然值
X
n
L
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4
][][
）特性根据偶然误差第（
证明中误差的公式
ii LX
假设在相同的观测条件下，对同一个量进行了 n次观测
将 n个等式相加，
并除以 n,得到
（二）观测值的改正值
若被观测对象的真值不知，则取多次观测的算术平均值 x为最或然值．
定义改正值
改正值的特性
0 ivv
证明中误差的公式
iii LxLLv
根据改正数来计算中误差
标准差可按下式计算：
中误差：
1
1
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i
证明中误差的公式
1
][
n
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m
由改正数计算中误差的实例次序 观测值 L 改正数 v vv
1 1 2 3,457 - 5 25
2 1 2 3,450 +2 4
3 1 2 3,453 - 1 1
4 1 2 3,449 +3 9
5 1 2 3,451 +1 1
x 1 2 3,452 0 40
毫米16.3
2
32.6
15
40
452.123
m
L
证明中误差的公式小结
一、已知真值 X，则真误差
一、真值不知，则
ii LX
n
m
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n
Lx
][
1
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二、中误差 二、中误差证明中误差的公式
.,,),( 21 xxfy?设有函数式：
§ 5-6 误差传播定律
已知,mx1,mx2,…,mxn,求,my=?
误差传播定律,测量学中阐述观测值中误差与其函数中误差之间数学关系的定律称为中误差传播定律。
线性函数
mm LaLaLaLaay,..332211
2233222211 )(...)()()( mmy mamamamam
§ 5.7 误差传播定律的应用一、距离测量的中误差
nLLLS,..21
nmm S?
结论：距离丈量结果的中误差与所用尺段数的平方根成正比。
二、水准测量高差的中误差
n
i
iAB hh
1
nmm h A B 站?
结论：在假设每站观测高差精度相等的前提下，水准测量高差的中误差等于一站观测高差中误差的倍，即与测站数的平方根成正比三、算术平均值的中误差算术平均值已知,m1 =m2 =…,=mn=m,求,mx
n
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算例：用三角形闭合差求测角中误差次序 观测值 l Δ ΔΔ
1 180-00- 10.3 -10.3 106.1
2 179-59- 57.2 +2.8 7.8
3 179-59- 49.0 +1 1.0 121
4 180-00- 01.5 -1.5 2.6
5 180-00- 02.6 -2.6 6.8
S -1.6 244.3
秒0.7
5
3.244
m
CBA
22 3 mm mm 3 秒0.43/mm
误差传播定律应用举例根据实际要求确定观测精度和观测方法设对某三角形观测了 及,若 角以 ± 3″的精度观测，
为使 角的中误差 ≤ ± 5″，问 应以怎样的精度进行观测？
若使用 J6级经纬仪应测几测回？
解：
根据误差传播定律，有所以
J6级经纬仪一测回测角中误差为 ± 8.5″，
若观测 n个测回,角平均值的中误差为则有即 角应测 5测回。
思考题
名词解释：观测条件、系统误差、偶然误差、真误差、中误差、极限（容许）误差、相对误差
测量误差的产生，概括起来有哪三方面的影响？
什么是等精度观测？什么是非等精度观测？
系统误差具有什么性质？如何尽量减小或消除系统误差？
偶然误差具有什么统计特性？用什么方法来研究偶然误差？
作业
测量学实验实习与习题
P100第 8,9,12题
P101第 23题
