2
动力学普遍定理，是解决动力学问题的普遍方法，在一定条件下也是简捷而有效的方法。
本章介绍解答动力学问题的另一种方法 —— 达兰贝尔原理 或译为 达朗伯原理 。应用这一原理，就将动力学问题从形式上转化为静力学问题，从而根据关于平衡的理论来求解。
这种解答动力学问题的方法，因而也称 动静法 。
3
§ 9-1 惯性力的概念人用手推车 amFF'
力 是由于小车具有惯性，力图保持原来的运动状态，对于施力物体 (人手 )产生的反抗力。称为小车的 惯性力 。
'F
定义：质点惯性力加速运动的质点，对迫使其产生加速运动的物体的惯性反抗的总和。
amF J
4
z
J
z
y
J
y
x
J
x
amF
amF
amF
③ 惯性力作用在使质点产生加速度的其他施力物体上。
① 大小,FJ = maJF
② 方向：与 相反aJF
按不同坐标系，惯性力可分解为：
0
b
J
b
n
J
n
J
amF
amF
amF
—— 切向惯性力
—— 法,..............
5
NFR
0 JFNF
这就是 质点的达兰贝尔原理。
§ 9-2 达兰贝尔原理非自由质点 M，质量 m，受主动力,约束反力 作用,,的 合力为
F N
F N
由牛顿第二定律,amR?
假象地将 作用在 M上，则JF
0 amamFR J
JF
即：
一、质点的 达兰贝尔原理
6
该方程对动力学问题来说只是形式上的平衡，并没有改变动力学问题的实质。采用动静法解决动力学问题的最大优点，就是可以利用静力学提供的解题方法，给动力学问题一种统一的解题格式。也就是,对于动力学问题，假想地加上惯性力，就可以用平衡方程求解 。
7
[例 1] 列车在水平直线轨道上行驶，车厢内悬挂一单摆，当车厢向右作匀加速运动时，单摆左偏角度?，相对于车厢静止。求车厢的加速度 。a
8
研究对象：单摆的摆锤虚加惯性力
maF J?
0c o ss i n,0 JFmgX
tg ga
角随着加速度 的变化而变化，当 不变时,? 角也不变。只要测出?角，就能知道列车的加速度 。摆式加速计的原理。
a a
a
解：
得方向与 相反a
0c oss i n mamg即：
9
对整个质点系,如果在每一个质点上都假象地加上惯性力，
则主动力系、约束反力系、惯性力系在形式上构成平衡力系 。
这就是 质点系的达兰贝尔原理 。可用方程表示为：
0)()()(
0
J
iOiOiO
J
iii
FmNmFm
FNF
设有一质点系由 n个质点组成，对任一质点，虚加惯性力，
则有 ),1,2,.,,,,,( 0 niFNF J
iii
二、质点系的 达兰贝尔原理对于每一个研究对象，平面问题有三个平衡方程，空间问题有六个平衡方程。
10
§ 9-3 刚体惯性力系的简化一般质点系，在应用动静法是，可在每一质点上虚加相应的惯性力，但对于刚体这样由无穷多质点组成的质点系，则不可能逐个质点虚加惯性力。怎么办？可以采用静力学中的力系简化的理论，求出各质点惯性力所组成的惯性力系的主矢和主矩，来代替惯性力系。这样，在刚体上虚加了惯性力系的主矢和主矩，就相当于在刚体上的各个质点上虚加了惯性力。
11
一、刚体作平动惯性力系向质心 C简化：
CCiiiJiJ aMamamFF )(
0)( CCCiiCiiJiiJC arMarmamrFrM
0, JCcJ MaMF
故刚体平动时惯性力系合成为一过质心的合惯性力。
质心相对于质心的矢径相对于质心的矢径 0,Cii rMr
12
空间惯性力系 — >平面惯性力系（质量对称面）
O为转轴 z与质量对称平面的交点,向 O点简化,
iiJi amF
主矢：
主矩：
CiiJiJ aMamFF )(
二、定轴转动刚体设刚体具有垂直于转轴的质量对称平面。
O
直线 i,平动,过 Mi点，
JiF? JinF
)(
0
)()(
2
反向负号表示与?
O
ii
iii
J
inO
J
iO
J
O
J
rm
rmr
FmFm
M
13
即,向 O点简化：
CJ aMF
OJO JM
作用在 O点作用在 C点
CJ aMF
CJC JM
若向质心 C简化，同理可得实际应用时可将惯性主矢分解,
JnJcnccncCJ FFaMaMaaMaMF )(
14
讨论：
① 若 ε=0，转轴不通过质点 C,向转轴简化，则
0, JOCnCJ MaMaMF
② 若转轴过质点 C，且0，则
OJOJ JMF,0
③ 若 ε=0且转轴过质心 C，则
0,0 JOJ MF
15
假设刚体具有质量对称平面，并且平行于该平面作平面运动。此时，刚体的惯性力系可先简化为对称平面内的平面力系。
刚体平面运动可分解为随基点（质点 C）的平动：
绕通过质心轴的转动：
CJ aMF
CJC JM
三、刚体作平面运动
CJ aMF
CJC JM
作用于质心 C
无论刚体作什么运动，惯性力系主矢都等于刚体质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反 。
16
[*例 1] 均质杆长 l,质量 m,与水平面铰接,杆由与平面成?0角位置静止倒下。求开始倒下时杆 AB的角加速度及 A点支座反力。
（ 1）研究对象：杆 AB
（ 2）受力图
（ 3计算惯性力系的主矢、主矩将惯性力系向 A点简化：
2
mlF J?
3
0
2?
ml
JM
maF
A
J
A
Cn
J
n
解,
17
0c o s,0 0 JA FmgRF
s i n 0?mgR nA
（ 4）选轴及矩心建立平衡方程求解
0s i n,0 0 JnnAn FmgRF?
02/c o s,0)( 0 JAA MlmgFm?
co s
2
3
0 l
g
c o s4 0 mgR A
032c o s
2
0
mllmg即：
02c o s 0 mlmgR A即：
18
0
2
0
c o s
2
3
3
1
c o s
2?
l
g
ml
l
mg
用动量矩定理 +质心运动定理再求解此题：
解,选 AB为研究对象
2c o s 0
lmgJ
A
由 得：
由质心运动定理：
2
0
00
2
s i n
c o s
4
3
2
c o s
l
aRmgma
g
ε
l
amgRma
Cn
n
ACn
CAC
00 c o s4,s i n
mgRmgR
A
n
A
19
[*例 2] 牵引车的主动轮质量为 m，半径为 R，沿水平直线轨道滚动，设车轮所受的主动力可简化为作用于质心的两个力及驱动力偶矩 M，车轮对于通过质心 C并垂直于轮盘的轴的回转半径为?，轮与轨道间摩擦系数为 f,试求在车轮滚动而不滑动的条件下，驱动力偶矩 M 之最大值。
TS,
取轮为研究对象虚加惯性力系：
2mJM
mRmaF
C
J
C
C
J
解：
则：
20
( 3 ) 0,0)(
( 2 ) 0,0
( 1 ) 0,0
J
CC
J
MFRMFm
SmgNY
FTFX
由 (1)得?mRFTF J
得代入所以 ( 3 ) mR TF
( 4 ) )(
22
2
R
TR
R
FM
mR
TF
mFRMFRM JC
由 (2)得 N= P +S，要保证车轮不滑动，
必须 F≤f N =f (mg+S) (5)
RTRRSmgfM
22
))((
可见,f 越大越不易滑动。
Mmax的值为上式右端的值。把 (5)代入 (4)得：
21
根据动静法，可以用静力学平衡方程的形式来建立动力学方程。应用动静法既可求运动，例如加速度、角加速度；也可以求力。
应用动静法可以利用静力学建立平衡方程的一切形式上的便利。例如，矩心可以任意选取，二矩式，三矩式等等。
因此当问题中有多个约束反力时，应用动静法求解它们时就方便得多。
动静法的应用
22
① 选取研究对象 。原则与静力学相同。
②受力分析。 画出全部主动力和外约束反力。
③运动分析。 主要是刚体质心加速度，刚体角加速度,标出方向。
应用动静法求动力学问题的步骤及要点：
④ 虚加惯性力。 在受力图上画上惯性力和惯性力偶，一定要在 正确进行运动分析的基础上。熟记刚体惯性力系的简化结果。
23
⑤ 列动静方程。 选取适当的矩心和投影轴。
⑥建立补充方程。 运动学补充方程（运动量之间的关系）。
⑦求解未知量。
[注意 ] 的方向及转向已在受力图中标出，建立方程时，
只需按 计算即可 。
JCJ MF,
CJCCJ JMmaF,
24
[例 1] 质量为 m1和 m2的两重物，分别挂在两条绳子上，绳又分别绕在半径为 r1和 r2并装在同一轴的两鼓轮上,已知两鼓轮对于转轴 O的转动惯量为 J,系统在重力作用下发生运动,求鼓轮的角加速度及 O处反力。
取系统为研究对象解,方法 1 用动静法求解
25
虚加惯性力和惯性力偶：
111 amF J?
则：
0
0
,0)(
2221112211
22112211
Jramramgrmgrm
MrFrFgrmgrm
Fm
J
O
JJ
O
列补充方程, 2211,rara
g
Jrmrm
rmrm
2
22
2
11
2211?
JJM OJO
222 amF J?
重物 1：
重物 2：
轮：
26
x
y0,0
OXX
0
,0
2211
gmFgmFPY
Y
JJ
O
JJO FFgmgmPY 2121即
...
)( 112221
rmrmgmgmP
27
方法 2 用动量矩定理求解
2211
2
22
2
11
222111
)(
grmgrmM
Jrmrm
JrvmrvmH
e
O
O
g
Jrmrm
rmrm
2
22
2
11
2211?
根据动量矩定理：
2211
2
22
2
11 ])[( grmgrmJrmrmdt
d
取系统为研究对象
eOO MdtdH
28
g
Jrmrm
rmrm
2
22
2
11
2211?
)(
2
2
1
2
1
2
1
2
22
2
11
2
22
22
2
11
Jrmrm
JvmvmT
gdrmrmJrmrmdWdT )()](2[ 22112222112 得由取系统为研究对象，任一瞬时系统的
) gdr-mr(m
dgrmdgrm
gdsmgdsmW
2211
2211
2211
元功两边除以 dt，并求导数，得方法 3 用动能定理求解方法 2,3须用质心运动定理求 O处反力
29
[例 2] 在图示机构中,均质圆柱体 A,O重分别为 P和 Q，半径均为 R,A作纯滚动。 绳子不可伸长，其质量不计，斜面倾角?，
如在 O上作用一常力偶矩 M,试 求,(1)圆柱体 O的角加速度？
(2)绳子的拉力？ (3)轴承 O处的反力？ (4)圆柱体 A与斜面间的摩擦力 （不计滚动摩擦）？
30
解,（ 1） 取轮 O为研究对象，虚加惯性力偶
OOO
J
O Rg
QJM 2
2
1
列平衡方程：
( 3) 0 s i n0
( 2) 0cos0
( 1) 0,0)(
TQ,YY
T,XX
MMTRFm
O
O
J
OO
AAAA
J R
g
PJa
g
PF 2J
A 2
1M,
（ 2）取轮 A为研究对象，虚加惯性力 。
31
列出平衡方程：
( 5 ) 0s i n,0
( 4 ) 0's i n,0)(
PFFT'X
MRTRFRPFm
J
J
A
J
C
运动学关系：,
OAOAA RRa
。
)3(
)s in3(
,
)3(
)s in(2
2
RPQ
QRMP
T
g
RPQ
RPM
O
将 及运动学关系代入到 (1)和 (4)式并联立求解得：
JAJJO MFM,,
32
代入 (2),(3),(5)式，得：
。
)3(
)s i n(
,s i n
)3(
)s i n3(
,c os
)3(
)s i n3(
RPQ
PRMP
F
Q
RPQ
QRMP
Y
RPQ
QRMP
X
O
O
33
方法 2 用动力学普遍定理求解
(1) 用动能定理求鼓轮角加速度。
取系统为研究对象
)s i n(
s i n
PRM
PRMW
)s i n()3(4,2
2
12 PRMCRPQgWTT
O 得由
)( AO R ωR ωv
2
2
22222
2
1
)3(
4
22
1
2
1
22
1
)(
RPQ
g
R
g
Pv
g
PR
g
QT
CT
O
AO
常量
gRPQ PRMO 2)3( )s in(2
两边对 t求导数：
)s i n(2)3(4 1 2 OOO PRMRPQg
34
(2) 用动量矩定理求绳子拉力
（定轴转动微分方程）
取轮 O为研究对象，由 Jo?=∑MOe得
TRMRgQ O22 RPQ QRMPT )3( )s in3(
(3) 用质心运动定理求解轴承 O处支反力取轮 O为研究对象，根据质心运动定理：
s i n0,
co s0,
TQYYMa
TXXMa
O
e
Cy
O
e
Cx
QRPQ QRMPYRPQ QRMPX OO s i n)3( )s i n3(,c o s)3( )s i n3(
35
(4) 用刚体平面运动微分方程求摩擦力取圆柱体 A为研究对象，
根据刚体平面运动微分方程
)( OAAA FRJ
RPQ
PRMPg
RPQ
PRMR
g
P
RR
JF AA
)3(
)s i n(
)3(
)s i n(2
2
1
2
2
方法 3：用动能定理求鼓轮的角加速度用达朗伯原理求约束反力 （绳子拉力,轴承 O处反力 和 及摩擦力 ）。
T
OX OY
F
36
[例 3] 均质圆柱体重 P，半径 R，自 O点无滑动地沿倾斜板由静止开始滚动。板与水平成?角,试求 OA=S时板在 O点的约束反力。板重略去不计。
解,圆柱体作平面运动，设其质心加速度为 a，虚加惯性力 P
a
g
PR
R
a
R
g
P
JM
a
g
P
F
C
J
C
J
22
1
,
2
（ 1）取圆柱体为研究对象：
0s i n,0)(PRMRFFm JCJA
0s i n2PRagPRRagP即：
37
2s i n31c o s0c o s,0 PFX F XX JOJO
s i n32?ga?得
（ 2）取系统体为研究对象：
s i n3,s i n32 PRMPF JCJ
0s i nc o s,0)( RPPSRFMMFm JJCOO
αFP YY JO 0s i n,0 PαFP Y J )s i n321(s i n 2
c os
s i nc oss i n
3
2
s i n
3
s i nc os
PS
RPPSR
PPR
RPPSRFMM JJCO
38
解,绕线轮作平面运动由
0c o s
,0)(
RTTrRFM
Fm
JJ
O
C
将 FJ,MOJ 代入上式，可得
grRP rRTa O )( )c o s(
[例 4] 绕线轮重 P，半径为 R及 r,对质心 O的回转半径为 ρ，且
ρ2 =Rr,轮在常力 作用下作纯滚动,已知?，不计滚阻，求：
(1)轮心的加速度； (2)分析轮纯滚动的条件。
T
O
O
O
J
OO
J ra
g
P
R
a
g
PJMa
g
PF,2
39
0c o s,0 JFFTX?
rR
Trg
rRP
rRT
g
PT
)1( c o s
)(
)c o s(c o s
s in
0s i n,0
TPN
TPNY
纯滚动的条件,F ≤f N
)s i n()1( c o s TPfrRTr ))(s in( )1( c o s rRTP Trf
JFTFc o s
40
解,BD作平动,A相对于
BD不动，所以：
,11 2 CAJACJC agWagWFagWF
[例 5] 重 W2的板 BD由两根等长且平行的细绳悬挂，板上放置重
W1且不计大小的物块 A。系统从图示位置无初速开始运动，求此瞬时 A物不在 BD 上滑动的接触面的静摩擦系数。
CACC aaaa,?
（ 1）以物 A及 BD为研究对象：
x
0s i ns i n
,0
21
WW
FFX JCJA
将 FAJ,FCJ 代如得 aC = g sinθ
（ 2）以物 A为研究对象：
0c o s,0JAFFX
c o ss i n
c o sc o s
1
1
W
a
g
W
FF AJA
0s i n,0 1 WFNY JA 2
1
1
11 coss i ns i n Wag
W
WFWN AJA
A在 BD上不滑动，必须 F≤fN，
tgNFf,..
42
解 （ 1） 以 AB为研究对象：
设其质心加速度为 aC、角加速度为?AB，则
12
1
,
AB
2
1
1
lmJM
amF
ABC
J
C
C
J
C
[例 6] 图示系统，均质杆 AB,m1=2m,l；均质圆轮,m2=2m，
r；物体 G,m3=m 。系统开始静止,AB水平。求 A端绳突然断开的瞬时物体 G和杆 AB质心的加速度及 O处反力。
)1.,,,,,(
0,0 1 gmFTY JC
)2.,,,,,(
02/,0)( TlMFm JCC
43
（ 2）以物体 G及轮 O为研究对象：
设物体 G的加速度为 aG、轮 O的角加速度为?O，虚加惯性力：
2
1
,
O
2
2
3
rmJMO
amFG
OO
J
O
G
J
G
：轮
：物体
)4.,,,,,(
0',0 32 TgmgmFYY JGO
)5.,,,,,(0'
,0)( 3
rTrF
grmMFm
J
G
J
OO
)3.,,,,,(0,0 OXX
运动学关系,ralaa GOABGC,2
将各惯性力及运动学关系代入（ 1）～（ 5）式联立解得：
ga
ga
mgY
X
C
G
O
O
10
7
5
1
5
17
0
45
例 7,图示机构位于 水平面 。已知：均质杆 AD,m； 均质杆 AB：
L,2m； 套筒 E至 AD杆距离为 L/2。 系统初始静止,且
AE=5L/8。 求当 AD杆突然受到 向右的力 F作用时,AB杆 的 角加速度?及 套筒 E对 AB杆在水平面内 的约束反力 。不计套筒质量及各处摩擦。
解,AD杆作平动,AB杆作平面运动
（ 1）分析加速度
（ a）以 E及 AB为研究对象，以套筒 E为动点,AB为动系
crea aaaa
∵ aa=0,ac=0（图示瞬时?AB=0）
46
（ b）以 AB为研究对象，设?。
以 E为基点，则
re aa
沿 AB,也就是 沿 AB。ra? ea? Ea
AEa E?:设
nAEAEEA aaaa
02 AEa ABnAE
AEA aa s i n
LaLLLa AA 3225858/5 2/,即
（ c）以 AB为研究对象，以 A为基点，则
47
CAAnCACAAC aaaaaa
2/La CA其中
（ 2）虚加惯性力
mLmaFAD AJAD 3225,
22
6
1
2
12
1
2
1
2
16
25
2:
mLmLJM
mLmaF
mLmaFAB
C
J
C
CA
J
r
A
J
e
48
（ 3）以 AB为研究对象
0
8
5
s i n
22
,0
L
NM
L
F
L
Fm
E
J
C
J
e
J
rA
将惯性力代入，得：
015 ENmL? ———— ①
49
（ 4）以整体为研究对象
0s i n
s i n,0
FNF
FFX
E
J
e
J
r
J
AD
将惯性力代入，得：
016 012 824 7 FNmL E?
———— ②
联立①②解得：
FN
sr ad
mL
F
E 04.0
)/(63.0 2
（ ）
50
1,物体系统由质量均为 m的两物块
A和 B组成，放在光滑水平面上，
物体 A上作用一水平力 F，试用动静法说明 A物体对 B物体作用力大小是否等于 F？
思考题：
解：
FNN
FmaFN
NRF Q
'
0
51
c o s2 212221 aaaamF J
c o s
s intg
21
21 aa a
解：
2,质量为 M的三棱柱体 A 以加速度 向右移动，质量为 m的滑块 B以加速度 相对三棱柱体的斜面滑动，试问滑块 B的惯性力的大小和方向如何？
1a
2a
52
3,匀质轮重为 P，半径为 r,在水平面上作纯滚动。某瞬时角速度?,角加速度为?,求轮对质心 C 的转动惯量，轮的动量、
动能，对质心的动量矩，向质心简化的惯性力系主矢与主矩。
解：
g
rP
JMr
g
P
a
g
P
F
g
rP
JH
g
rP
v
g
P
JT
r
g
P
v
g
P
K
r
g
P
J
C
J
CC
J
CC
CC
C
C
2
,
2
4
3
2
1
2
1
)(
2
2
2
2
2
22
2
53
