1
与动量定理和动量矩定理用矢量法研究不同，动能定理用能量法研究动力学问题。能量法不仅在机械运动的研究中有重要的应用，而且是沟通机械运动和其它形式运动的桥梁。动能定理建立了与运动有关的物理量 — 动能和作用力的物理量 — 功之间的联系，这是一种能量传递的规律。
一、力的功力的功是力沿路程累积效应的度量。
SFFSWc o s
力的功是 代数量 。 时,正功； 时,功为零； 时,负功。
单位：焦耳（Ｊ）；
2 2 2
m1N1J1
（一）常力的功
2
（二）变力的功
dsF rdF
Z dzY dyX dx
kdzjdyidxrdkZjYiXF,(
)Z d zY d yX dxrdF
力 在曲线路程 中作功为F
21MM
2
1
2
1
c os
M
M
M
M
dsFdsFW （自然形式表达式）
2
1
M
M
rdF （矢量式）
2
1
M
M
Z d zY d yX d x
（直角坐标表达式）
dsFW c o s?元功,
3
（三）合力的功质点 M 受 n个力 作用合力为,则合力的功
nFFF,,,21 iFR R
rdFFFrdRW n
M
M
M
M
)(
2
1
2
1
21
rdFrdFrdF
M
M
n
M
M
M
M
2
1
2
1
2
1
21
nWWW 21
即在任一路程上,合力的功等于各分力功的代数和 。
iWW
4
（四）常见力的功
1．重力的功
m gh
zzmgW
)( 21
重力的功，等于质点系的重量与其在始末位置重心的高度差的乘积，而与其的路径无关。
(下降为正 )
2．弹性力的功
)(2 2221 kW δ1—— 初变形,δ2—— 末变形
k—— 弹簧常数弹性力的功只与弹簧的起始变形和终了变形有关，而与质点运动的路径无关。
5
dFmrdFdsFW z )(
2
1
)(
dFmW z
2
1
mdW
若 m = 常量,则 )( 12 mW
注意：功的符号的确定。
3．万有引力的功 )11(
12 rr
G M mW
万有引力所作的功只与质点的始末位置有关，与路径无关。
如果作用力偶,m,且力偶的作用面垂直转轴，则
4．作用于转动刚体上的力或力偶的功设在绕 z 轴转动的刚体上 M点作用有力,计算刚体转过一角度?时力 所作的功。 M点轨迹已知。
F
F bn FFFF
6
注意：圆轮作纯滚动时摩擦力 F不做功
(2) 滚动摩擦阻力偶 m的功
5．摩擦力的功
(1) 动滑动摩擦力的功
R
smmW若 m = 常量则同其他力的功计算一样。一般摩擦力做负功。
6．约束反力的功约束反力元功为零或元功之和为零的约束称为理想约束。
即,理性约束的约束反力做功为零。
)0(?rd?
7
（ 1）光滑支承面
0 rdNWrdN?
（ 2）固定铰支座
00 Wrd?
（ 3）活动铰支座、向心轴承
0 WrdN?
（ 4）不可伸长的绳
00 Wrd?
rdNrdNW '?
0 rdNrdN
（ 5）联接刚体的光滑铰链（中间铰）
8
（五）质点系内力的功只要 A,B两点间距离保持不变,内力的元功和就等于零 。
不变质点系的内力功之和等于零。刚体的内力功之和等于零。
BA rdFrdFW '? BA rdFrdF
)( BA rrdF )( BAdF
内力功之和一般不等于零。
9
二 动能物体的动能是由于物体运动而具有的能量，是机械运动强弱的又一种度量。
（ 一）质点的动能
（ 二）质点系的动能
221 mvT?
瞬时量,与速度方向无关的 正标量,具有与功相同的量纲,单位 也是 J。
221 ii vmT
将质点系的运动分解为随同质心的平动和相对于质心的运动，据此计算某些问题中的动能较为方便：
设质心速度为 vc，则质点 Mi的速度 vi：
10
22 2121 riiC vmMvT
即：质点系的动能等于随同质心平动的动能与相对于质心运动的动能之和。 —— 柯尼希定理
riCi vvv 于是：
)()(2 riCriCiii vvvvvvv
riCriC vvvv 222
riCiriiCiii vvmvmvmvmT
222
2
1
2
1
2
1
式中,22
CCi Mvvm
0 rCCriiCriCi vMvvmvvvm
质心相对于质心的速度
11
2
2
1?
IJT? （ I为速度瞬心）
T1．平动刚体
2．定轴转动刚体
3．平面运动刚体
（三）刚体的动能
2
2
1
CMv 221 ii vm 2)(2
1
Ci vm
221 ii vm? 2)(21?ii rm?T
22 )(21?ii rm 221?zJ
22
2
1
2
1?
CC JvMT
刚体的平面运动可以分解为随质心的平动和饶过质心且垂直于运动平面的转动，所以：
或：
12
三 动能定理
1．质点的动能定理：
)21()(2)( 2mvdvvdmdtvvmdtd而
Wmvd)21( 2因此 质点动能定理的 微分形式将上式沿路径 积分，可得
21MM
Wmvmv 2122 2121
质点动能定理的 积分形式两边点乘以,有dtvrd rdFdtvvmdtd
FvmdtdFam )(
13
对质点系中的一质点,
iM iii Wvmd)21( 2
即 质点系动能定理的 微分形式
iWdT?
21MM
WTT 12 质点系动能定理的 积分形式
iiiiii WvmdWvmd )21( )21( 22
对整个质点系，有
2．质点系的动能定理将上式沿路径 积分，可得质点系动能的微分等于质点系上所有力的元功之和。
在某一过程中，质点系动能的变化量，等于质点系上所有力在同一过程中所作的功的代数和。
14
[例 1] 图示系统,均质圆盘 A,B各重 P,半径均为 R,OC水平,A上作用一矩为 M(常量 )的力偶；重物 D重 Q。 求 D下落 h时的速度与加速度。 (绳重不计，绳不可伸长，盘 B作纯滚动，初始时系统静止 )
解,研究对象：系统
01?T
222
2 2
1
2
1
2
1
BIAO Jvg
QJT
)78(
16
2
3
2
1
2
1
22
1
2
22222
PQ
g
v
R
g
Pv
g
Q
R
g
P
BA
)2,( RvRv BA式中
15
)/( RhQhMW
得由 WTT 12
)(0)78(16
2
hQRMPQgv
对（ *）式求导（注意：此时应视 h为变量） 得：
)(216 78 dtdhQRMdtdvvg PQ
PQ
gQRMa
78
)/(8
hQRM )(
PQ
hgQRMv
78
)/(4
———— （ *）
vdtdh
（ F做功不？）
16
[例 2] 均质圆盘 A,m,r,作纯滚动 ；滑块 B,m。杆 AB质量不 计。
斜面倾角?，摩擦系数 f。求：滑块的加速度。
解：研究对象：系统
)c o ss i n2( c o s s i n d 2 fdSmgm g d SfSmgW
222
2
1
2
1
2
1 mvJmvT
A
rvmrJ A,21 2?
2
4
5 mvT
由动能定理的微分形式 dT=∑?W得：
)c o ss i n2()45( 2 fmg d Smvd
两边同除以 dｔ,得
gfa )co s52s i n54(
设任意瞬时圆盘 A质心的速度为 v，则当圆盘 A质心沿斜面向下运动 dS时：
17
[例 3] 均质杆 AB与重物 C的质量均为 m,杆在地面水平位置时系统静止，求杆被拉到与水平成 300角时 C的加速度（不计各处摩擦及定滑轮 O、滑块 B的质量）。
解,以系统为研究对象
222
2 2
1
2
1
2
1?
DD JmvmvT
设杆长 l，则：
v
Bv
Dv
AN
BN
P P
OX
OY
I?
T1=0
c o sl
v
IB
v B
c os22
vlv
D
2
12
1 mlJ
D?
)c o s3 11(21 222 mvT
将杆放在任一位置研究 。设 C的速度为 v，则 vB= v
18
AN
BN
Pv
I Dv
OX
OY
P?
Bv
s i n21s i n2s i n m g llPPlW
:12 得由 WTT?
s i n2
10)
c o s3
11(
2
1
2
2 mg lmv
———— （ *）
两边对 t求导得,
c o s)c o s3
s i n2()
c o s3
11(2
3
2
2 glvva
s i n0)c o s3 11( 22 glv或：
由（ *）知,)c o s3/11(
s i n
2
2
glv
c o sl
v而代入上式得,ga 22
222
)1c os3(3
s i n6)1c os3(c os3
当?=300时,a=0.275g
19
*1,均质杆 OA质量为 30kg,杆在铅垂位置时弹簧处于自然状态 。弹簧常数 k =3N/mm,为使杆能由 铅直位置 OA转到 水平位置 OA',在铅直位置时的角速度 ω0至少应为多大？
解,研究对象,OA杆
)(212.1 2221 kPW
)J(4.38 8
02?T
由 得, WTT 12
r a d / s67.3 4.3888.280 020
8.284.230312121 20202201 OJT
])22.14.2(0[3 00 0212.18.930 22
动能定理练习题
20
*2．行星齿轮机构,位于水平面内。 动齿轮 O1半径 r,重 P,视为均质圆盘； 曲柄 OO1重 Q,长 l,作用一力偶,矩为 M(常量 ),曲柄由静止开始转动； 求曲柄的 ω (以转角? 的函数表示 ) 和 ε。
解,研究对象：系统
MW
01?T 2
1
22
12
2
2 2
2
1
2
1
32
1
g
rPv
g
P
g
QlT
rlrvlv 111,?
22
2 12
92?l
g
PQT
PQ
gM
l 92
32
将（?） 式对 t 求导数，得
2)92(
6
lPQ
gM
根据 得
Mlg PQ 012 92 22 （?） WTT 12
21
*3,两根均质直杆 组成的机构及尺寸如图示； OA杆质量是
AB杆质量的两倍，不计摩擦,机构在图示位置 从静止释放,
求当 OA杆转到铅垂位置时,AB杆 B 端的速度 。
01?T
2222
2 6
5
2
19.02
3
1
2
1 mvmvmT9.0?v
得由 WTT 12 m / s98.3 35.1065 2 vmgmv
解,研究对象：系统
OA铅直时 AB瞬时平动
mgmgmgW 35.1)15.06.0(2 9.02
22
四 功率 · 功率方程
（ 一）功率,力在单位时间内所作的功（它是衡量机器工作能力的一个重要指标）。功率是代数量，并有瞬时性。
dtWN
作用力的功率：
vFvFdt rdFdtWN
力矩的功率：
30
nMM
dt
dM
dt
WN zzz
功率的单位：瓦特（ W），千瓦（ kW），１ W=１ J/s 。
23
（二）功率方程,
由 的两边同除以 dt 得 WdT?
无用有用输入即 NNNNdtdTdt WdtdT?
分析：起动阶段（加速）,即制动阶段（减速）,即稳定阶段（匀速）,即
0?dtdT
0?dtdT
0?dtdT
无用有用输入 NNN
无用有用输入 NNN
无用有用输入 NNN
机器稳定运行时,机械效率0/?dtdT
%1 0 0
输入有用
N
N?
是评定机器质量优劣的重要指标之一。一般情况下? ＜１ 。
24
§ 8-7 势力场、势能、机械能守恒定律一．势力场
1．力场,若质点在某空间内的任何位置都受到一个大小和方向完全由所在位置确定的力的作用，则此空间称为 力场 。
重力场、万有引力场、弹性力场都是势力场。
质点在势力场中受到的场力称为 有势力 (保守力 ),如重力、
弹力等。
2．势力场,在力场中,如果作用于质点的场力作功只决定于质点的始末位置，与运动路径无关，这种力场称为 势力场 。
25
二．势能在势力场中,质点从位置 M 运动到任选位置 M0,有势力所作的功 称为质点在位置 M 相对于位置 M0的势能，用 V 表示。
00
M
M
M
M
Z d zY d yX d xrdFV
M0作为基准位置，势能为零，称为 零势能点 。
X=X(x,y,z),Y=Y(x,y,z),Z=Z(x,y,z),
上式积分与路径无关，由高度数学知 Xdx+Ydy+Zdz可表示为某一单值连续函数的全微分，即：
Xdx+Ydy+Zdz=－ dV
V=V(x,y,z)是坐标的单值连续函数，称为 势能函数 。
26
dzzVdyyVdxxVdV
,,zVZyVYxVX比较前式有：
① 质点或质点系在某一位置具有的势能是相对于零位置而言的，零位置是任选的，同一质点对不同的零位置的势能是不同的。
②某位置的势能就等于该位置的势能函数值，如果不知势能函数，可通过功的计算来确定。
③势能相等的各点所组成的面，称为 等势面 。
物理意义：势能是质点（系）在某一位置相对零位置所具有的做功的能力。
27
hPV
221?kV?
r
mGmV 21
有势力的功等于质点系在运动的始末位置的势能之差。
*有势力的功
rdFrdFrdFW M
M
M
M
M
M
2
0
0
1
2
1
12
*质点或质点系在常见势力场中的势能
1.重力场 在给定零位置之上为正
2,弹性力场,取弹簧的自然位置为零势能点
3,万有引力场,取距引力中心无穷远处为零势能位置：
21
0
2
0
1
VVrdFrdF M
M
M
M
28
设质点系只受到有势力 (或同时受到不作功的非有势力 ) 作用，
则
211212 VVWTT
— 机械能守恒定律 常量
2211 VTVT
三．机械能守恒定律机械能：系统的动能与势能的代数和 。
这样的系统称为 保守系统 。
[例 4] 均质直杆,m,l,直立于光滑的桌面上。当杆无初速度地倾倒后，求质心的速度（用杆的倾角
和质心的位置表示）。
29
解,由于水平方向不受外力，且初始静止，故质心 C铅垂下降。
由于约束反力不作功,主动力为有势力，因此可用机械能守恒定律求解。
s i n2,s i n2 c os12 l ylyly 即又由机械能守恒定律：
)2(2124120 222 ylmgymmlmgl
将 代入上式，化简后得
sin2l y
ygy2
2
s in31
s in6
mglVT 2,0 11初瞬时：
222222 212412121 ymmlymJT C
)2(2 ylmgV
任一瞬时：
30
§ 8-8 动力学普遍定理及综合应用动力学普遍定理包括质点和质点系的动量定理（质心运动定理）、动量矩定理和动能定理。动量定理和动量矩定理是矢量形式，
动能定理是标量形式，他们都可应用研究机械运动，而动能定理还可以研究其它形式的运动能量转化问题。
动力学普遍定理提供了解决动力学问题的一般方法。动力学普遍定理的综合应用，大体上包括两方面的含义：一是能根据问题的已知条件和待求量，选择适当的定理求解，包括各种守恒情况的判断，相应守恒定理的应用。避开那些无关的未知量，直接求得需求的结果。二是对比较复杂的问题，能根据需要选用两、三个定理联合求解。
求解过程中,要正确进行运动分析,提供正确的运动学补充方程。
31
举例说明动力学普遍定理的综合应用：
[*例 1]两根均质杆 各重为 P，长均为 l，在 C处光滑铰接,置于光滑水平面上；初始静止,C点高度为 h，求铰 C到达地面时的速度 。设两杆轴线始终在铅垂面内。
32
讨论 ① 质心运动守恒定理＋动能定理求解。
② 计算动能时，利用平面运动的运动学关系。
解,研究对象：整体
0eX?
PhhPW 220
1?T
2
3
1 l
g
PJ
A?
由动能定理：
ghvPhvgP CC 3 031 2
2
2 3
1
Cvg
PT
且初始静止，
∴ 水平方向质心位置守恒。
C到达地面时,AC速度瞬心在 A点
221 22AJT
lv C?
33
[例 2] 重 150N的均质圆盘与重 60N、长 24cm的均质杆 AB铰接。
系统由图示位置无初速地释放。 求 系统经过最低位置 B'点时 B'点的速度及支座 A的约束反力。
解,（ 1）取圆盘为研究对象; 0)(Fm B 0 0 BBBJ
0 B?,圆盘平动。
又开始系统静止，
34
（ 2）用动能定理求速度 。
取系统研究,T1=0,
222
2 2
1
2
1
BA vg
GJT
221
2 6
3
Bvg
GGT
)60c o s)(2()60c o s()60c o s22( 2121 llGGllGllGW
得由 WTT 12 )60c o s)(
2(06
3
2
1221
llG
Gv
g
GG
B
代入数据，得 m /s 58.1'?Bv
l
vl
g
GJ B
A
'21,
3
1
35
（ 3）用动量矩定理求杆的角加速度? 。
)31(31 2221221 lgGlgGvlgGlgGH A
由于 0)( )( eAA FmdtdH 所以?＝ 0 。
杆质心 C的加速度：
盘质心加速度：
)0( 2 2 CnCC alaa
)0( 2' BnBB alaa
r a d/ s 58.624.0 58.1' lv B?
（ 4）由质心运动定理求支座反力。 研究整个系统。; '21 ABceiixi XagGagGXam
代入数据，得 N4 0 1,0
AA YX
212221 2 GGYlgGlgGYam Aeiiyi
36
① 相对质心动量矩守恒定理 +动能定理 +动量矩定理 +质心运动定理。
② 可用对积分形式的动能定理求导计算?，但要注意需取杆 AB在一般位置进行分析 。
mLmvK C 61
])6(121[ 22 LmmLJH OO
291 mL?
222 18121 mLJT O
223 mRH O?
2243?mRT?
mRK? mvK?
221 mRH C?
222 4121?mRmvT
[例 3] 基本量计算 (动量,动量矩,动能 )
37
[例 4] 质量为 m 的杆置于两个半径为 r,质量为 的实心圆柱上，圆柱放在水平面上，求当杆上加水平力 时，杆的加速度。
设接触处无相对滑动。
2m
P
解,方法一：用动能定理求解。
取系统为研究对象，杆作平动，圆柱体作平面运动。设任一瞬时，
杆的速度为 v，则圆柱体质心速度为 v/2，角速度
rv2系统的动能
22222 1611])2)(221(21)2(221[221 mvrvrmvmmvT
所有力的元功之和, dSPW? 由动能定理的微分形式：
WdT? dSPmvd)1611( 2
两边除以,得dt
vPavm 21611 mPa 118
38
方法二,用动量矩定理求解
（ 1）取板为研究对象：由质心运动定理
m v rrvrmH C 832223 2
rFFm eiC 2)( 3
根据,得 )(
eiCC Fm
dt
dH
rFmv rdtd 2)83( 3,.,( b ).........,2
8
3
3 rFm r a即：
).,,,,,,(.,,,,,,,,,43 aFFPma
（ 2）取轮 1为研究对象
m
Pa
11
8?
（ 3）取轮 2为研究对象，同理有：
..,( c )..,.,.,.,,283 4 rFm r a即,由（ a） — （ c）得：
39
解,取杆为研究对象
231 2 lPlgP lg 2/3
由质心运动定理：
0 OOCx XXagP
PYPYlgP OO 41 2
[*例 5] 均质杆 OA，重 P，长 l，。 求 绳子突然剪断瞬时，杆的角加速度及 O处反力。
由动量矩定理：
与动量定理和动量矩定理用矢量法研究不同，动能定理用能量法研究动力学问题。能量法不仅在机械运动的研究中有重要的应用，而且是沟通机械运动和其它形式运动的桥梁。动能定理建立了与运动有关的物理量 — 动能和作用力的物理量 — 功之间的联系，这是一种能量传递的规律。
一、力的功力的功是力沿路程累积效应的度量。
SFFSWc o s
力的功是 代数量 。 时,正功； 时,功为零； 时,负功。
单位：焦耳（Ｊ）；
2 2 2
m1N1J1
（一）常力的功
2
（二）变力的功
dsF rdF
Z dzY dyX dx
kdzjdyidxrdkZjYiXF,(
)Z d zY d yX dxrdF
力 在曲线路程 中作功为F
21MM
2
1
2
1
c os
M
M
M
M
dsFdsFW （自然形式表达式）
2
1
M
M
rdF （矢量式）
2
1
M
M
Z d zY d yX d x
（直角坐标表达式）
dsFW c o s?元功,
3
（三）合力的功质点 M 受 n个力 作用合力为,则合力的功
nFFF,,,21 iFR R
rdFFFrdRW n
M
M
M
M
)(
2
1
2
1
21
rdFrdFrdF
M
M
n
M
M
M
M
2
1
2
1
2
1
21
nWWW 21
即在任一路程上,合力的功等于各分力功的代数和 。
iWW
4
（四）常见力的功
1．重力的功
m gh
zzmgW
)( 21
重力的功，等于质点系的重量与其在始末位置重心的高度差的乘积，而与其的路径无关。
(下降为正 )
2．弹性力的功
)(2 2221 kW δ1—— 初变形,δ2—— 末变形
k—— 弹簧常数弹性力的功只与弹簧的起始变形和终了变形有关，而与质点运动的路径无关。
5
dFmrdFdsFW z )(
2
1
)(
dFmW z
2
1
mdW
若 m = 常量,则 )( 12 mW
注意：功的符号的确定。
3．万有引力的功 )11(
12 rr
G M mW
万有引力所作的功只与质点的始末位置有关，与路径无关。
如果作用力偶,m,且力偶的作用面垂直转轴，则
4．作用于转动刚体上的力或力偶的功设在绕 z 轴转动的刚体上 M点作用有力,计算刚体转过一角度?时力 所作的功。 M点轨迹已知。
F
F bn FFFF
6
注意：圆轮作纯滚动时摩擦力 F不做功
(2) 滚动摩擦阻力偶 m的功
5．摩擦力的功
(1) 动滑动摩擦力的功
R
smmW若 m = 常量则同其他力的功计算一样。一般摩擦力做负功。
6．约束反力的功约束反力元功为零或元功之和为零的约束称为理想约束。
即,理性约束的约束反力做功为零。
)0(?rd?
7
（ 1）光滑支承面
0 rdNWrdN?
（ 2）固定铰支座
00 Wrd?
（ 3）活动铰支座、向心轴承
0 WrdN?
（ 4）不可伸长的绳
00 Wrd?
rdNrdNW '?
0 rdNrdN
（ 5）联接刚体的光滑铰链（中间铰）
8
（五）质点系内力的功只要 A,B两点间距离保持不变,内力的元功和就等于零 。
不变质点系的内力功之和等于零。刚体的内力功之和等于零。
BA rdFrdFW '? BA rdFrdF
)( BA rrdF )( BAdF
内力功之和一般不等于零。
9
二 动能物体的动能是由于物体运动而具有的能量，是机械运动强弱的又一种度量。
（ 一）质点的动能
（ 二）质点系的动能
221 mvT?
瞬时量,与速度方向无关的 正标量,具有与功相同的量纲,单位 也是 J。
221 ii vmT
将质点系的运动分解为随同质心的平动和相对于质心的运动，据此计算某些问题中的动能较为方便：
设质心速度为 vc，则质点 Mi的速度 vi：
10
22 2121 riiC vmMvT
即：质点系的动能等于随同质心平动的动能与相对于质心运动的动能之和。 —— 柯尼希定理
riCi vvv 于是：
)()(2 riCriCiii vvvvvvv
riCriC vvvv 222
riCiriiCiii vvmvmvmvmT
222
2
1
2
1
2
1
式中,22
CCi Mvvm
0 rCCriiCriCi vMvvmvvvm
质心相对于质心的速度
11
2
2
1?
IJT? （ I为速度瞬心）
T1．平动刚体
2．定轴转动刚体
3．平面运动刚体
（三）刚体的动能
2
2
1
CMv 221 ii vm 2)(2
1
Ci vm
221 ii vm? 2)(21?ii rm?T
22 )(21?ii rm 221?zJ
22
2
1
2
1?
CC JvMT
刚体的平面运动可以分解为随质心的平动和饶过质心且垂直于运动平面的转动，所以：
或：
12
三 动能定理
1．质点的动能定理：
)21()(2)( 2mvdvvdmdtvvmdtd而
Wmvd)21( 2因此 质点动能定理的 微分形式将上式沿路径 积分，可得
21MM
Wmvmv 2122 2121
质点动能定理的 积分形式两边点乘以,有dtvrd rdFdtvvmdtd
FvmdtdFam )(
13
对质点系中的一质点,
iM iii Wvmd)21( 2
即 质点系动能定理的 微分形式
iWdT?
21MM
WTT 12 质点系动能定理的 积分形式
iiiiii WvmdWvmd )21( )21( 22
对整个质点系，有
2．质点系的动能定理将上式沿路径 积分，可得质点系动能的微分等于质点系上所有力的元功之和。
在某一过程中，质点系动能的变化量，等于质点系上所有力在同一过程中所作的功的代数和。
14
[例 1] 图示系统,均质圆盘 A,B各重 P,半径均为 R,OC水平,A上作用一矩为 M(常量 )的力偶；重物 D重 Q。 求 D下落 h时的速度与加速度。 (绳重不计，绳不可伸长，盘 B作纯滚动，初始时系统静止 )
解,研究对象：系统
01?T
222
2 2
1
2
1
2
1
BIAO Jvg
QJT
)78(
16
2
3
2
1
2
1
22
1
2
22222
PQ
g
v
R
g
Pv
g
Q
R
g
P
BA
)2,( RvRv BA式中
15
)/( RhQhMW
得由 WTT 12
)(0)78(16
2
hQRMPQgv
对（ *）式求导（注意：此时应视 h为变量） 得：
)(216 78 dtdhQRMdtdvvg PQ
PQ
gQRMa
78
)/(8
hQRM )(
PQ
hgQRMv
78
)/(4
———— （ *）
vdtdh
（ F做功不？）
16
[例 2] 均质圆盘 A,m,r,作纯滚动 ；滑块 B,m。杆 AB质量不 计。
斜面倾角?，摩擦系数 f。求：滑块的加速度。
解：研究对象：系统
)c o ss i n2( c o s s i n d 2 fdSmgm g d SfSmgW
222
2
1
2
1
2
1 mvJmvT
A
rvmrJ A,21 2?
2
4
5 mvT
由动能定理的微分形式 dT=∑?W得：
)c o ss i n2()45( 2 fmg d Smvd
两边同除以 dｔ,得
gfa )co s52s i n54(
设任意瞬时圆盘 A质心的速度为 v，则当圆盘 A质心沿斜面向下运动 dS时：
17
[例 3] 均质杆 AB与重物 C的质量均为 m,杆在地面水平位置时系统静止，求杆被拉到与水平成 300角时 C的加速度（不计各处摩擦及定滑轮 O、滑块 B的质量）。
解,以系统为研究对象
222
2 2
1
2
1
2
1?
DD JmvmvT
设杆长 l，则：
v
Bv
Dv
AN
BN
P P
OX
OY
I?
T1=0
c o sl
v
IB
v B
c os22
vlv
D
2
12
1 mlJ
D?
)c o s3 11(21 222 mvT
将杆放在任一位置研究 。设 C的速度为 v，则 vB= v
18
AN
BN
Pv
I Dv
OX
OY
P?
Bv
s i n21s i n2s i n m g llPPlW
:12 得由 WTT?
s i n2
10)
c o s3
11(
2
1
2
2 mg lmv
———— （ *）
两边对 t求导得,
c o s)c o s3
s i n2()
c o s3
11(2
3
2
2 glvva
s i n0)c o s3 11( 22 glv或：
由（ *）知,)c o s3/11(
s i n
2
2
glv
c o sl
v而代入上式得,ga 22
222
)1c os3(3
s i n6)1c os3(c os3
当?=300时,a=0.275g
19
*1,均质杆 OA质量为 30kg,杆在铅垂位置时弹簧处于自然状态 。弹簧常数 k =3N/mm,为使杆能由 铅直位置 OA转到 水平位置 OA',在铅直位置时的角速度 ω0至少应为多大？
解,研究对象,OA杆
)(212.1 2221 kPW
)J(4.38 8
02?T
由 得, WTT 12
r a d / s67.3 4.3888.280 020
8.284.230312121 20202201 OJT
])22.14.2(0[3 00 0212.18.930 22
动能定理练习题
20
*2．行星齿轮机构,位于水平面内。 动齿轮 O1半径 r,重 P,视为均质圆盘； 曲柄 OO1重 Q,长 l,作用一力偶,矩为 M(常量 ),曲柄由静止开始转动； 求曲柄的 ω (以转角? 的函数表示 ) 和 ε。
解,研究对象：系统
MW
01?T 2
1
22
12
2
2 2
2
1
2
1
32
1
g
rPv
g
P
g
QlT
rlrvlv 111,?
22
2 12
92?l
g
PQT
PQ
gM
l 92
32
将（?） 式对 t 求导数，得
2)92(
6
lPQ
gM
根据 得
Mlg PQ 012 92 22 （?） WTT 12
21
*3,两根均质直杆 组成的机构及尺寸如图示； OA杆质量是
AB杆质量的两倍，不计摩擦,机构在图示位置 从静止释放,
求当 OA杆转到铅垂位置时,AB杆 B 端的速度 。
01?T
2222
2 6
5
2
19.02
3
1
2
1 mvmvmT9.0?v
得由 WTT 12 m / s98.3 35.1065 2 vmgmv
解,研究对象：系统
OA铅直时 AB瞬时平动
mgmgmgW 35.1)15.06.0(2 9.02
22
四 功率 · 功率方程
（ 一）功率,力在单位时间内所作的功（它是衡量机器工作能力的一个重要指标）。功率是代数量，并有瞬时性。
dtWN
作用力的功率：
vFvFdt rdFdtWN
力矩的功率：
30
nMM
dt
dM
dt
WN zzz
功率的单位：瓦特（ W），千瓦（ kW），１ W=１ J/s 。
23
（二）功率方程,
由 的两边同除以 dt 得 WdT?
无用有用输入即 NNNNdtdTdt WdtdT?
分析：起动阶段（加速）,即制动阶段（减速）,即稳定阶段（匀速）,即
0?dtdT
0?dtdT
0?dtdT
无用有用输入 NNN
无用有用输入 NNN
无用有用输入 NNN
机器稳定运行时,机械效率0/?dtdT
%1 0 0
输入有用
N
N?
是评定机器质量优劣的重要指标之一。一般情况下? ＜１ 。
24
§ 8-7 势力场、势能、机械能守恒定律一．势力场
1．力场,若质点在某空间内的任何位置都受到一个大小和方向完全由所在位置确定的力的作用，则此空间称为 力场 。
重力场、万有引力场、弹性力场都是势力场。
质点在势力场中受到的场力称为 有势力 (保守力 ),如重力、
弹力等。
2．势力场,在力场中,如果作用于质点的场力作功只决定于质点的始末位置，与运动路径无关，这种力场称为 势力场 。
25
二．势能在势力场中,质点从位置 M 运动到任选位置 M0,有势力所作的功 称为质点在位置 M 相对于位置 M0的势能，用 V 表示。
00
M
M
M
M
Z d zY d yX d xrdFV
M0作为基准位置，势能为零，称为 零势能点 。
X=X(x,y,z),Y=Y(x,y,z),Z=Z(x,y,z),
上式积分与路径无关，由高度数学知 Xdx+Ydy+Zdz可表示为某一单值连续函数的全微分，即：
Xdx+Ydy+Zdz=－ dV
V=V(x,y,z)是坐标的单值连续函数，称为 势能函数 。
26
dzzVdyyVdxxVdV
,,zVZyVYxVX比较前式有：
① 质点或质点系在某一位置具有的势能是相对于零位置而言的，零位置是任选的，同一质点对不同的零位置的势能是不同的。
②某位置的势能就等于该位置的势能函数值，如果不知势能函数，可通过功的计算来确定。
③势能相等的各点所组成的面，称为 等势面 。
物理意义：势能是质点（系）在某一位置相对零位置所具有的做功的能力。
27
hPV
221?kV?
r
mGmV 21
有势力的功等于质点系在运动的始末位置的势能之差。
*有势力的功
rdFrdFrdFW M
M
M
M
M
M
2
0
0
1
2
1
12
*质点或质点系在常见势力场中的势能
1.重力场 在给定零位置之上为正
2,弹性力场,取弹簧的自然位置为零势能点
3,万有引力场,取距引力中心无穷远处为零势能位置：
21
0
2
0
1
VVrdFrdF M
M
M
M
28
设质点系只受到有势力 (或同时受到不作功的非有势力 ) 作用，
则
211212 VVWTT
— 机械能守恒定律 常量
2211 VTVT
三．机械能守恒定律机械能：系统的动能与势能的代数和 。
这样的系统称为 保守系统 。
[例 4] 均质直杆,m,l,直立于光滑的桌面上。当杆无初速度地倾倒后，求质心的速度（用杆的倾角
和质心的位置表示）。
29
解,由于水平方向不受外力，且初始静止，故质心 C铅垂下降。
由于约束反力不作功,主动力为有势力，因此可用机械能守恒定律求解。
s i n2,s i n2 c os12 l ylyly 即又由机械能守恒定律：
)2(2124120 222 ylmgymmlmgl
将 代入上式，化简后得
sin2l y
ygy2
2
s in31
s in6
mglVT 2,0 11初瞬时：
222222 212412121 ymmlymJT C
)2(2 ylmgV
任一瞬时：
30
§ 8-8 动力学普遍定理及综合应用动力学普遍定理包括质点和质点系的动量定理（质心运动定理）、动量矩定理和动能定理。动量定理和动量矩定理是矢量形式，
动能定理是标量形式，他们都可应用研究机械运动，而动能定理还可以研究其它形式的运动能量转化问题。
动力学普遍定理提供了解决动力学问题的一般方法。动力学普遍定理的综合应用，大体上包括两方面的含义：一是能根据问题的已知条件和待求量，选择适当的定理求解，包括各种守恒情况的判断，相应守恒定理的应用。避开那些无关的未知量，直接求得需求的结果。二是对比较复杂的问题，能根据需要选用两、三个定理联合求解。
求解过程中,要正确进行运动分析,提供正确的运动学补充方程。
31
举例说明动力学普遍定理的综合应用：
[*例 1]两根均质杆 各重为 P，长均为 l，在 C处光滑铰接,置于光滑水平面上；初始静止,C点高度为 h，求铰 C到达地面时的速度 。设两杆轴线始终在铅垂面内。
32
讨论 ① 质心运动守恒定理＋动能定理求解。
② 计算动能时，利用平面运动的运动学关系。
解,研究对象：整体
0eX?
PhhPW 220
1?T
2
3
1 l
g
PJ
A?
由动能定理：
ghvPhvgP CC 3 031 2
2
2 3
1
Cvg
PT
且初始静止，
∴ 水平方向质心位置守恒。
C到达地面时,AC速度瞬心在 A点
221 22AJT
lv C?
33
[例 2] 重 150N的均质圆盘与重 60N、长 24cm的均质杆 AB铰接。
系统由图示位置无初速地释放。 求 系统经过最低位置 B'点时 B'点的速度及支座 A的约束反力。
解,（ 1）取圆盘为研究对象; 0)(Fm B 0 0 BBBJ
0 B?,圆盘平动。
又开始系统静止，
34
（ 2）用动能定理求速度 。
取系统研究,T1=0,
222
2 2
1
2
1
BA vg
GJT
221
2 6
3
Bvg
GGT
)60c o s)(2()60c o s()60c o s22( 2121 llGGllGllGW
得由 WTT 12 )60c o s)(
2(06
3
2
1221
llG
Gv
g
GG
B
代入数据，得 m /s 58.1'?Bv
l
vl
g
GJ B
A
'21,
3
1
35
（ 3）用动量矩定理求杆的角加速度? 。
)31(31 2221221 lgGlgGvlgGlgGH A
由于 0)( )( eAA FmdtdH 所以?＝ 0 。
杆质心 C的加速度：
盘质心加速度：
)0( 2 2 CnCC alaa
)0( 2' BnBB alaa
r a d/ s 58.624.0 58.1' lv B?
（ 4）由质心运动定理求支座反力。 研究整个系统。; '21 ABceiixi XagGagGXam
代入数据，得 N4 0 1,0
AA YX
212221 2 GGYlgGlgGYam Aeiiyi
36
① 相对质心动量矩守恒定理 +动能定理 +动量矩定理 +质心运动定理。
② 可用对积分形式的动能定理求导计算?，但要注意需取杆 AB在一般位置进行分析 。
mLmvK C 61
])6(121[ 22 LmmLJH OO
291 mL?
222 18121 mLJT O
223 mRH O?
2243?mRT?
mRK? mvK?
221 mRH C?
222 4121?mRmvT
[例 3] 基本量计算 (动量,动量矩,动能 )
37
[例 4] 质量为 m 的杆置于两个半径为 r,质量为 的实心圆柱上，圆柱放在水平面上，求当杆上加水平力 时，杆的加速度。
设接触处无相对滑动。
2m
P
解,方法一：用动能定理求解。
取系统为研究对象，杆作平动，圆柱体作平面运动。设任一瞬时，
杆的速度为 v，则圆柱体质心速度为 v/2，角速度
rv2系统的动能
22222 1611])2)(221(21)2(221[221 mvrvrmvmmvT
所有力的元功之和, dSPW? 由动能定理的微分形式：
WdT? dSPmvd)1611( 2
两边除以,得dt
vPavm 21611 mPa 118
38
方法二,用动量矩定理求解
（ 1）取板为研究对象：由质心运动定理
m v rrvrmH C 832223 2
rFFm eiC 2)( 3
根据,得 )(
eiCC Fm
dt
dH
rFmv rdtd 2)83( 3,.,( b ).........,2
8
3
3 rFm r a即：
).,,,,,,(.,,,,,,,,,43 aFFPma
（ 2）取轮 1为研究对象
m
Pa
11
8?
（ 3）取轮 2为研究对象，同理有：
..,( c )..,.,.,.,,283 4 rFm r a即,由（ a） — （ c）得：
39
解,取杆为研究对象
231 2 lPlgP lg 2/3
由质心运动定理：
0 OOCx XXagP
PYPYlgP OO 41 2
[*例 5] 均质杆 OA，重 P，长 l，。 求 绳子突然剪断瞬时，杆的角加速度及 O处反力。
由动量矩定理：
