1
3.有些运动用动量矩比用动量更能反映其运动特征。如行星的运动，开普勒定理：
mv1r1= mv2r2 =常量
§ 8-3 动量矩和转动惯量有了动量定理，为什么还要讨论动量矩定理？
1.刚体绕过质心的轴转动时,可见动量不能表征或度量这种运动。
0 CvMK
2.动量定理和质心运动定理讨论了外力系的主矢与质点系运动变化的关系，但未讨论外力系主矩对质点系运动变化的影响。
2
一．动量矩 （质点或质点系动量对某点或某轴的矩，是度量质点或质点系绕某点或某轴运动强弱的物理量）
1．质点的动量矩仿照力矩的定义：
① 质点对点 O的动量矩：
vmr)vm(mh OO
矢量，瞬时量，指向符合右手螺旋法则。
大小,hO=2△ OAM。单位,kg·ｍ 2/s=N·m·s
对固定点 O：
② 质点对轴 z 的动量矩,对固定轴 z
'M'OAd'mv)'vm(m)vm(mh Ozz?2
3
代数量，由右手螺旋法则确定正负。
iiiiiOOO vmr)vm(mhH
)vm(mH iizz
同力矩关系式一样：动量对一点的矩在过该点的任一轴上的投影等于动量对该轴的矩，即：
zzO hh?][
2．质点系的动量矩
① 质系对点 O动量矩,
质点系中各质点对固定点动量矩的矢量和称为质点系对该点的动量矩：
② 质系对轴 z 动量矩：
质点系中各质点对固定轴动量矩的代数和称为质点系对该轴的动量矩：
4
并且有,zOz HH ][?
注意,（ a）计算质点系对某点（或轴）的动量矩，并不意味着质点系就绕该点（或轴）转动。
（ b）是否有
)vM(mH
)vM(mH
Czz
COO
否 ！
（ c）如果 刚体作平动，则可视为一质点，其动量矩与质点动量矩相同 。
5
zH
即：定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚体对该轴的转动惯量与角速度的乘积。
3．定轴转动刚体对转轴的动量矩对于任一点 Mi，由于 ⊥ z轴，
且 vi=riω,∴ iv
2)( iiiiiiizzi rmrvmvmmh
则整个刚体对 z轴的动量矩：
2iiz rmh?zJ?
2iiz rmJ式中 称为刚体对
z轴的 转动惯量，恒为正。
6
(一 )转动惯量的概念二．转动惯量
1.定义,刚体内各质点的质量与各质点到某轴距离平方的乘积的总和，称为刚体对该轴的转动惯量。
2iiz rmJ
① 转动惯量与刚体的质量和质量分布情况以及点（或轴）的位置有关；
②恒为正标量；
③单位,kg·m2
2.物理意义,刚体转动时惯性的度量。
对于质量是连续分布的刚体，则 dmrJ z 2
7
3,回转半径由 所定义的长度 ρz 称为刚体对 z 轴的回转半径或惯性半径 。
M
J z
z
若已知 ρz,则刚体的转动惯量为,2zz MJ
注意,ρz 不是刚体某一部分的具体尺寸，而是这样一个当量长度：假象地将刚体的质量集中在一个点上，如果这个点对某轴的转动惯量等于这个刚体对该轴的转动惯量，则这个点到该轴的距离就是这个刚体对该轴的回转半径。
ρz为长度量纲 。
8
类似：刚体内各质点的质量与各质点到某点距离平方的乘积的总和，称为刚体对该点的转动惯量。
2iiO rmJ
(二 )计算转动惯量的一般公式取直角坐标系 Oxyz，设刚体上任一点 Mi,mi,（ xi,yi,zi），则由定义：
)( 22 iiix zymJ
)( 22 iiiy xzmJ
)( 22 iiiz yxmJ
)(21)( 2222 zyxiiiiiiO JJJzyxmrmJ
9
即：刚体对点的转动惯量等于刚体对通过该点的三个垂直轴的转动惯量之和的一半。
对于 平面薄板,zi=0,∴
2iix ymJ
2iiy xmJ
即：平面薄板对点的转动惯量等于板对通过该点并在薄板内的相互垂直的两个轴的转动惯量之和。
Oyxiiiiiz JJJyxmrmJ )( 222
10
１．对简单形状的均质刚体，用积分法
[例 8] 匀质细直杆长为 l,质量为 m 。 求,对 z轴的转动惯量 。zJ
（三）转动惯量的计算
222
2
22
2 12
1 mldx
l
mxdmxJ l
l
l
lz
解,
2.对于可分为几个简单形状的均质刚体，先求出各部分对指定轴（或点）的转动惯量再求总和 —— 组合法。
3.对于形状复杂或非均质刚体，可用实验方法求转动惯量：
扭摆法、复摆法。
11
三,平行移轴定理同一个刚体对不同轴的转动惯量一般是不相同的。
2' MdJJ zz
刚体对某轴的转动惯量等于刚体对通过质心且与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离的平方之乘积。
任一轴,z’//z 质心轴 两轴距离
12
)( 222 iiiiiz yxmrmJ
)''(' 222' iiiiiz yxmrmJ
])([
','
22
' dyxmJ
dyyxx
iiiz
iiii?
ii
iiii
ymd
dmyxm
2
)()( 222
证明,设质量为 M的刚体，质心为 C,CzzO //''
2' 0,MdJJMyymMm zzCiii?
例如,对于例 8中均质细杆 z' 轴的转动惯量为
2222
3
1
4
1
12
1)
2(' mlmlml
lmJJ
zz
刚体对通过质心轴的转动惯量具有最小值 。
13
解,
[例 9]图示复摆，已知均质细杆,m,L；有孔圆盘,M,R,r，求摆对过 O点且垂直于图面的轴的转动惯量。
孔盘杆 JJJJ O
2
3
1 mLJ?
杆
2
1
2
1 )(2
1 RLmRmJ
盘
2
2
2
2 )(2
1 RLmrmJ
孔
14
其中，盘的质量,22
2
2
221 rR
MRR
rR
Mm
孔的质量,22
2
2
222 rR
Mrr
rR
Mm
2222 )()(
2
1
3
1 RLMrRmLJ
O
15
dt
vmrd
dt
hd O )(
§ 8-4 动量矩定理一．质点的动量矩定理
,)(,0 FmFrvmv O而
)( Fmdthd OO?
质点对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在质点上的力对同一点之矩。这就是 质点对固定点的动量矩定理。
故：
dt
vmdrvm
dt
rd )(
Frvmv
16
将上式在通过固定点 O的三个直角坐标轴上投影，得
)( ),( ),( FmdtdhFmdtdhFmdtdh zzyyxx
上式称 质点对固定轴的动量矩定理,也称为质点动量矩定理的投影形式。即质点对任一固定轴的动量矩对时间的导数，
等于作用在质点上的力对同一轴之矩。
质点的动量矩守恒 。
常量；则若 OiO hFm,0)(
常量；则若 ziz hFm,0)(
17
例如：
（ 1）质点受有心力作用（作用线始终通过某固定点的力称为有心力，此点称为力心），力对力心的矩始终等于零，则力对力心的动量矩守恒：
常量 vmrh O
如：行星的运动，行星所受到的力始终指向太阳。
（ 2）小球绕固定轴转动
mvrh
Fm
z
z
常量
,0)(?
r↑,v↓； r↓,v↑。
18
运动分析,。 2mllmlh OOMlv,
由动量矩定理即
)( Fmdtdh OO?
0s i n,s i n)( 2 lgm g lmldtd
微幅摆动时,并令,则,s in
l
g
n?
2? 02 n
代入初始条件 则运动方程 )0,,0(
00t
s i n)( mg lFm O
解,将小球视为质点。
受力图如图示。
[*例 10] 单摆 已知 m,l,t =0时?=?0，从静止开始释放。 求 单摆的运动规律。
解微分方程，得 )s i n ( tn
（怎样确定的方向？）
v
19
注意：计算动量矩与力矩时，符号规定应一致（本题规定逆时针转向为正）
质点动量矩定理的应用：
(1)在质点受有心力的作用时。
(2)质点绕某点（轴）转动的问题。
tlgc o s0,摆动周期
g
lT
n
22
20
质点系对任一 固定点 的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系上所有外力对同一点之矩的矢量和（外力系的主矩）。
二．质点系的动量矩定理左边交换求和与导数运算的顺序，
则,0)(, iiOOO FmhH?
)( eiOO FmdtHd 一 质点系的动量矩定理
),,3,2,1( )()( niFmFmhdtd eiOiiOOi对质点系，有
),,3,2,1( )()( niFmFmhdtd eiOiiOOi对质点 Mi,
)(,)(,)( eizzeiyyeixx FmdtdHFmdtdHFmdtdH
将上式在通过固定点 O的三个直角坐标轴上投影，得
21
上式称为 质点系对固定轴的动量矩定理 。即质点系对任一固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系上所有外力对同一固定轴之矩的代数和（外力系对同一轴的主矩）。
定理说明 内力不会改变质点系的动量矩，只有外力才能改变质点系的动量矩 （但内力可以改变质点系中质点的动量矩）。
质点系的动量矩守恒
（ 1）当 时,常矢量。
（ 2）当 时,常量。
0)( eio Fm?OH
0)( eiz Fm?zH
讨论 （ a）对定轴转动刚体，若,则常量，即?=常量，匀速转动。
zzeiz JLFm 0)(
（ b） 对定轴转动的可变质点系，若,则0)( e
iz Fm
zz JL 常量,Jz↑则?↓,Jz ↓则? ↑。
22
例如：芭蕾午演员、花样滑冰运动员，他们用伸展或收拢四肢的方法来改变旋转的速度。
又例如直升飞机为什么要在尾部装竖直螺旋桨？
例：两均质杆：长 l=300mm,m1=2kg，铰接于转盘上；转盘,r=40mm,m2=4kg，对 z轴的回转半径 ρ=30mm。开始时杆由绳连接,ω0=6rad/s。求由于绳断，两杆倒至水平位置时系统的 ω。
23
解,∵,∴ HZ= 常量，
或 HZ 1= HZ 2，即,JZ 1ω0= JZ 2ω——（ *）
0)( eiz Fm
2
2
20
1
20
11
])30s i n
2
1
(
)30s i n(
12
1
[2
mrlm
lmJ
Z
2
2
2
1
2
12 ])2
1(
12
1[2?mrlmlmJ
Z
代入（ *）式得 ω=2.157rad/s
P
P
Q
OX
OY
24
解,取整个系统为研究对象，
受力分析如图示。
运动分析,vA=vB =ｒ?
rPPrPrPFm BABAeiO )()(
OBBAAO JrvgPrvgPH
)2(,21
2
2 PPP
g
rHr
g
PJ
BAOO
得代入将由动量矩定理：
rPPPPPgrdtd BABA )()]2([ 2
2/PPP
PP
r
g
dt
d
BA
BA
[例 11] 均质轮（可视为均质圆盘）半径 r、重 P，重物 A,B分别重 PA,PB，且 PA ＞ PB，求轮的 ε。
得 )( eiOO FmdtdH
25
解,系统的动量矩守恒。,0)( eO Fm?
rvvmrvm ABAA )(0
2
vv
A?
猴 A与猴 B向上的绝对速度是一样的,
均为 。
2v
[*例 12] 已知猴子 A重 =猴子 B重，猴 B以相对绳速度上爬，猴 A不动，问当猴 B向上爬时，猴 A将如何动？
动的速度多大？（轮重不计）
v
26
对于 定轴转动刚体代入质点系动量矩定理：
zz JH?
)( eizz FmdtdH
)( )( )( 2
2
e
izz
e
izz
e
izz Fmdt
dJFm
dt
dJFmJ 或或
— 刚体定轴转动微分方程解决两类问题,
（ 1）已知作用在刚体的外力矩，求刚体的转动规律。
（ 2）已知刚体的转动规律，求作用于刚体的外力（矩）。
但不能求出轴承处的约束反力，需用质心运动定理或动量定理求解。
三,刚体定轴转动微分方程
27
特殊情况,
（ 1） 若,则 恒量，刚体作匀速转动或保持静止。
（ 2） 若 常量，则?=常量，刚体作匀变速转动。
将 与 比较，刚体的转动惯量是刚体转动惯性的度量。
0)( )( ez Fm,0
)( eiz Fm
)( eizz FmJ? Fam? zJ
28
[例 13] 提升装置中，轮 A,B的重量分别为 P1,P2,半径分别为 r1,r2,可视为均质圆盘 ; 物体 C 的重量为 P3 ; 轮 A上作用常力矩 M1 。
求 物体 C上升的加速度。
取轮 B连同物体 C为研究对象
21 2322222 vrgPrgPH O
( 1 ) 21 111211 TrMrgP
解,（ 1）取轮 A为研究对象，由刚体定轴转动微分方程：
29
由动量矩定理：
( 2 ) ')21( 232232222 rPrTvrgPrgPdtd
补充运动学条件
112222, rarvr
化简 (1) 得：
化简 (2) 得：
332 '2
2 PTa
g
PP
TrMagP
1
11
2
gPPP PrMa 22/
321
311
2322 ')( rPrTFm eiO
30
[例 14] 两根质量各为 8 kg的均质细杆固连成 T 字型，可绕通过 O
点的水平轴转动，当 OA处于水平位置时,T 形杆具有角速度?
=4rad/s 。求该瞬时轴承 O的反力。
解,选 T 字型杆为研究对象。
受力分析如图示。
r a d /s 2 0,7 5
5.08.9825.08.98 5.081217
2
2
5.025.0 mgmgJ O?
2222
12
17
12
1
3
1 mlmlmlmlJ
O
由刚体定轴转动微分方程
31
根据质心运动微分方程，得
OxCxC Xmama 21
mgmgYmama OyCyC 21
N 96) 5.04 25.04( 8)( 2221 xCxCO aamX
N 3.32 ) 5.075.20 25.075.20 ( 88.982OY
32
§ 8-5 质点系相对于质心的动量矩定理刚体平面运动微分方程一．质点系相对于质心的动量矩定理前面表述的动量矩定理，矩心或矩轴都是固定的，速度是绝对的。下面将证明：当质点系作一般运动时，以运动着的质心为矩心，或以过质心且作平动的轴为矩轴，动量矩定理的形式不变。
设质点系总质量为 M，质心速度为 vC。
任取一固定点 O,将平动坐标系 Cx’y’z’铰接在质心 C上 。
则质点系的运动可以分解为随质心的平动和相对于质心的运动。
33
研究任一质点 Mi：
Mi的位置：
Mi的绝对速度：
'iCi rrr
rieii vvv
riC vv
iiiOiO vmrhH
)()'( riCiiC vvmrr
CiiCiC vmrvmr '
riiiriiC vmrvmr '
riiiriiCCiiCC vmrvmrvrmvMr ''
式中,rcriiCii vMvmrMrm ''
1.质点系对固定点 O的动量矩
34
— 质心相对于动坐标系原点的矢径
—质心相对于动坐标系原点的速度
'Cr
rCv
∵ 动坐标系原点为质心 C
0,0' rCC vr
riiiC vmrH '又
— 质点系相对于质心的动量矩
CCCO HvMrH — 质点系对任一固定点的动量矩即：质点系对任一固定点的动量矩等于质心对该点的动量矩与质点系相对于质心的动量矩的矢量和。
35
对固定轴，有,')( zCzz HvMmH
z’— 过质心且平行于 z轴的轴即：质点系对任一固定轴的动量矩，等于质心对该轴的动量矩与质点系相对于过质心并与该轴平行的轴的动量矩的代数和。
由此的 刚体动量矩计算：
)(,CzzCCO vMmHvMrH
zz JH
CCzzCCOO JvMmHHvMmH )(,)(
（ 1）平动：
仿照力矩的计算：
（ 2）定轴转动：
（ 3）平面运动：
36
例如：求半径 R重 W且作纯滚动的均质圆盘对滑轮轴的动量矩。
取过 O且垂直于图面的轴 z轴，则
')( zCzz HvMmH
)2(21 2 RrgWvRvRgWvgWJrvgW CCCCC
37
2.质点系相对质心的动量矩定理
CCCCCO HKrHvMrH将
eiiCCC FrrHKrdtd )'()(得
( * )')( eiieiCCC FrFrdtHdKrdtd即
dt
KdrK
dt
rdKr
dt
d
C
C
C )(式中
eiieiOO FrFmdtHd )(代入
eiCeiCCC FrFrvMv
于是，由（ *） 或 eiiC Frdt
Hd ' )( e
iC
C Fm
dt
Hd
38
质点系相对于质心和固定点的动量矩定理，具有完全相似的数学形式，而对于质心以外的其它动点，一般并不存在这种简单的关系。
即：质点系对质心的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系上所有外力对质心矩的矢量和。 这就是质点系相对质心的动量矩定理。
质点系相对于质心的动量矩的改变，只与作用在质点系上的外力有关，而与内力无关。
)( eiCC FmdtHd
将上式向 过质心且随同质心作平动的坐标系 的各轴投影：
)('' eixx FmdtdH )('' eiyy FmdtdH )('' eizz FmdtdH
39
二．刚体平面运动微分方程设有一刚体在外力系 作用下作平面运动，它的运动可以简化为平面图形 S的运动来研究：刚体质心 C位于平面图形 S内，而且作用在刚体上的外力系可以简化为一个作用在此平面图形上的平面一般力系。平面图形的运动可视为平面图形随质心的平动 (xC,yC)和绕质心的转动 （?） 。
nFFF,,,21
由质心运动定理和相对质心的动量矩定理：
)(
e
iC
C
e
iC
Fm
dt
dH
FaM
40
写成 投影形式
)(,,eiCCeiyCeixC FmJYMaXMa?
或
)(,,eiCCeiCeiC FmJYyMXxM
上式称为 刚体平面运动微分方程 。
41
[例 15] 质量为 m半径为 R的 均质圆 轮放于倾角为? 的斜面上，
由静止开始运动 。 设 轮与斜面间的静、动滑动摩擦系数为 f、
f ′,不计滚动摩阻,试分析轮的运动。
解,取轮为研究对象。
受力分析如图示。
取直角坐标系 Oxy
aC y =0,aC x =aC，
轮作平面运动，根据刚体平面运动微分方程，有
Fmgma Cs in
Nmgc os 0
FRJ C
①
②
③
三个方程 中含有四个未知数,需补充附加条件。
2
2
1 mRJ
C?
42
1．设接触面绝对光滑。
因为轮由静止开始运动，故?＝ 0，轮沿斜面平动下滑。
常量。,0,s i n,0 gaF C
s i n31 ; s i n3 2,s i n32 mgFgRga C
2．设接触面足够粗糙。 轮作纯滚动,ac=? R，所以可解得
3．设轮与斜面间有滑动,轮又滚又滑,F=f′N,可解得
c os,c os'2,)c os'( s i n mgfFR gfgfa C
轮作纯滚动的条件：
c o ss i n31 f m gfNmgtg
3
1?f
表明：当 时，解答 3适用；
当 时，解答 2适用； f =0 时解答 1适用。
tg31?f
tg31?f
即m a xFF?
43
动量矩定理的应用应用动量矩定理，一般可以处理下列一些问题：（对单轴传动系统尤为方便）
1．已知质点系的运动，求系统所受的外力或外力矩。
2．已知质点系所受的外力矩是常力矩或时间的函数，求刚体的角加速度或角速度的改变。
3．已知质点所受到的外力主矩或外力矩在某轴上的投影代数和等于零，应用动量矩守恒定理求角速度或角位移。
44
[例 16]重 W长 l的均质细杆 AB，放在铅直平面内，两端分别沿光滑的铅直墙和水平地面滑动，试求杆的角加速度和 A,B处的约束力。设 t=0时,ω0=0。
解 （ 1）以 AB杆（平面运动）为研究对象。
（ 2）受力如图。
x
y
AN
BN
AC Nxg
W
———— ①
WNygW BC ———— ②
c o s2s i n2121 2 lNlNlgW AB
———— ③
（ 3）选轴建立平面运动微分方程：
45
三个方程五个未知量，故须建立补充方程：
x
y
AN
BN
s in2lx C? ———— ④
c os2ly C? ———— ⑤
（ 4）解方程由④⑤式得：
s i n2c o s2 2 llx C
c o s2s i n2 2 lly C
—— ⑥
—— ⑦
46
将⑥⑦代入①②得：
gWlWllgW 4s i n21121
2
2
—— ⑧
s i n23 lg （逆时针）
将⑧⑨代入③，得：
)s i nc o s(2 2 gWlN A
)c o ss i n(2 2 gWlWN B —— ⑨
—— ⑩
47
d
d
dt
d
d
d
dt
d
s i n
2
3
l
g
d
d
d
l
gd s i n
2
3
0 0
)cos( co s3 0 lg? （取正，逆时针）
由⑧⑨得, s i n)c o s
2
3c o s
4
9(
0 WN A
c o s)c o s( c o s23)s i n431( 02 WWN B
讨论 （ 1）?↑,NA↓。所以当?大到一定程度时,A端会脱离墙。
48
由⑩式
s i n21)4121(
2
2 Wl
g
Wll
g
W
x
y
AN
BN
)( eiII FmJ或：
I
表明,平面运动刚体，可以对速度瞬心直接应用动量矩定理。条件为：速度瞬心到质心的距离保持不变。
49
[*例 17] 均质圆柱，半径为 r，重量为 Q，置圆柱于墙角。初始角速度?0，墙面、地面与圆柱接触处的动摩擦系数均为 f '，
滚阻不计，求使圆柱停止转动所需要的时间。
解,选取圆柱为研究对象。受力分析如图示。
运动分析：质心 C不动，刚体绕质心转动。
根据刚体平面运动微分方程 )0,0(
CyCx aa
BA FN0
QNF BA0
rFrFdtdrgQ BA 21 2
①
②
③
补充方程：
BBAA NfFNfF ',' ④
50
将 ④式代入①、②两式，有 0)1'( 2 QNf B
1'
',
1'
',
1'
',
1' 2
2
222 f
QfF
f
QfN
f
QfF
f
QN
AABB
将上述结果代入 ③式，有
dtf frgfdr gff fdtd t 0202 '1 '1'2,2''1 '1
0?
解得：
)'1('2
)'1( 02
fgf
rft
BA FN0
QNF BA0
rFrFdtdrgQ BA 21 2
①
②
③
补充方程：
BBAA NfFNfF ',' ④
51
[例 18] 重 P长 l的均质杆 AB在光滑水平面上从图示位置无初速地倒下，求开始运动时地面对杆的约束反力。
解：以杆为研究对象：将杆放在任意位置?研究。
由刚体平面运动微分方程：
)1(0CxagP
)2( ACy NPagP
)3(s i n212 2 ANllgP
52
补充方程：
由（ 1）,aCx=0
∵ 杆开始静止,即 vCx=0
∴ xC=0常量（杆质心在 x方向守恒）
)4(c o s2s i n2 2 llva CCy?
（也可以用 或以 A点为基点的加速度合成的方法求 ）Cy? Cya
当?=?0时,ω=0。由（ 1）～（ 4）联立解得：
0
2s in31
PN
A
gl )s i n31( s i n6
0
2
0
s i n2lvv CCy
53
[*例 19] 均质圆柱体 A和 B的重量均为 P，半径均为 r，一绳缠在绕固定轴 O转动的圆柱 A上，绳的另一端绕在圆柱 B上，绳重不计且不可伸长，不计轴 O处 摩擦。
求 （ 1） 圆柱 B下落时质心的加速度。
（ 2） 若在圆柱体 A上作用一逆时针转向的转矩 M，试问在什么条件下圆柱 B的质心将上升。
54
由动量矩定理：
rPMrgPrvgPrgPdtd BCA 2)222( 22
rPMrgPragPrgP BcA 2222 22
补充运动学关系式：
BAC rra
代入 上 式，得
grP rPMarPMargPargP CCC 5 )2(2 ; 222
当 M >2Pr 时，,圆柱 B的质心将上升。0?
Ca
解：取系统为研究对象
BCAO rg
Prv
g
Pr
g
PH 22
222
rPMFm eiO 2)(
当 M=0时，得,表明 实际指向向下。ga C 54 Ca
55
研究刚体平面运动的动力学问题，一定要建立补充方程，找出质心运动与刚体转动之间的联系。
应用动量矩定理列方程时,要特别注意正负号的规定的一致性。
56
3.有些运动用动量矩比用动量更能反映其运动特征。如行星的运动，开普勒定理：
mv1r1= mv2r2 =常量
§ 8-3 动量矩和转动惯量有了动量定理，为什么还要讨论动量矩定理？
1.刚体绕过质心的轴转动时,可见动量不能表征或度量这种运动。
0 CvMK
2.动量定理和质心运动定理讨论了外力系的主矢与质点系运动变化的关系，但未讨论外力系主矩对质点系运动变化的影响。
2
一．动量矩 （质点或质点系动量对某点或某轴的矩，是度量质点或质点系绕某点或某轴运动强弱的物理量）
1．质点的动量矩仿照力矩的定义：
① 质点对点 O的动量矩：
vmr)vm(mh OO
矢量，瞬时量，指向符合右手螺旋法则。
大小,hO=2△ OAM。单位,kg·ｍ 2/s=N·m·s
对固定点 O：
② 质点对轴 z 的动量矩,对固定轴 z
'M'OAd'mv)'vm(m)vm(mh Ozz?2
3
代数量，由右手螺旋法则确定正负。
iiiiiOOO vmr)vm(mhH
)vm(mH iizz
同力矩关系式一样：动量对一点的矩在过该点的任一轴上的投影等于动量对该轴的矩，即：
zzO hh?][
2．质点系的动量矩
① 质系对点 O动量矩,
质点系中各质点对固定点动量矩的矢量和称为质点系对该点的动量矩：
② 质系对轴 z 动量矩：
质点系中各质点对固定轴动量矩的代数和称为质点系对该轴的动量矩：
4
并且有,zOz HH ][?
注意,（ a）计算质点系对某点（或轴）的动量矩，并不意味着质点系就绕该点（或轴）转动。
（ b）是否有
)vM(mH
)vM(mH
Czz
COO
否 ！
（ c）如果 刚体作平动，则可视为一质点，其动量矩与质点动量矩相同 。
5
zH
即：定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚体对该轴的转动惯量与角速度的乘积。
3．定轴转动刚体对转轴的动量矩对于任一点 Mi，由于 ⊥ z轴，
且 vi=riω,∴ iv
2)( iiiiiiizzi rmrvmvmmh
则整个刚体对 z轴的动量矩：
2iiz rmh?zJ?
2iiz rmJ式中 称为刚体对
z轴的 转动惯量，恒为正。
6
(一 )转动惯量的概念二．转动惯量
1.定义,刚体内各质点的质量与各质点到某轴距离平方的乘积的总和，称为刚体对该轴的转动惯量。
2iiz rmJ
① 转动惯量与刚体的质量和质量分布情况以及点（或轴）的位置有关；
②恒为正标量；
③单位,kg·m2
2.物理意义,刚体转动时惯性的度量。
对于质量是连续分布的刚体，则 dmrJ z 2
7
3,回转半径由 所定义的长度 ρz 称为刚体对 z 轴的回转半径或惯性半径 。
M
J z
z
若已知 ρz,则刚体的转动惯量为,2zz MJ
注意,ρz 不是刚体某一部分的具体尺寸，而是这样一个当量长度：假象地将刚体的质量集中在一个点上，如果这个点对某轴的转动惯量等于这个刚体对该轴的转动惯量，则这个点到该轴的距离就是这个刚体对该轴的回转半径。
ρz为长度量纲 。
8
类似：刚体内各质点的质量与各质点到某点距离平方的乘积的总和，称为刚体对该点的转动惯量。
2iiO rmJ
(二 )计算转动惯量的一般公式取直角坐标系 Oxyz，设刚体上任一点 Mi,mi,（ xi,yi,zi），则由定义：
)( 22 iiix zymJ
)( 22 iiiy xzmJ
)( 22 iiiz yxmJ
)(21)( 2222 zyxiiiiiiO JJJzyxmrmJ
9
即：刚体对点的转动惯量等于刚体对通过该点的三个垂直轴的转动惯量之和的一半。
对于 平面薄板,zi=0,∴
2iix ymJ
2iiy xmJ
即：平面薄板对点的转动惯量等于板对通过该点并在薄板内的相互垂直的两个轴的转动惯量之和。
Oyxiiiiiz JJJyxmrmJ )( 222
10
１．对简单形状的均质刚体，用积分法
[例 8] 匀质细直杆长为 l,质量为 m 。 求,对 z轴的转动惯量 。zJ
（三）转动惯量的计算
222
2
22
2 12
1 mldx
l
mxdmxJ l
l
l
lz
解,
2.对于可分为几个简单形状的均质刚体，先求出各部分对指定轴（或点）的转动惯量再求总和 —— 组合法。
3.对于形状复杂或非均质刚体，可用实验方法求转动惯量：
扭摆法、复摆法。
11
三,平行移轴定理同一个刚体对不同轴的转动惯量一般是不相同的。
2' MdJJ zz
刚体对某轴的转动惯量等于刚体对通过质心且与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离的平方之乘积。
任一轴,z’//z 质心轴 两轴距离
12
)( 222 iiiiiz yxmrmJ
)''(' 222' iiiiiz yxmrmJ
])([
','
22
' dyxmJ
dyyxx
iiiz
iiii?
ii
iiii
ymd
dmyxm
2
)()( 222
证明,设质量为 M的刚体，质心为 C,CzzO //''
2' 0,MdJJMyymMm zzCiii?
例如,对于例 8中均质细杆 z' 轴的转动惯量为
2222
3
1
4
1
12
1)
2(' mlmlml
lmJJ
zz
刚体对通过质心轴的转动惯量具有最小值 。
13
解,
[例 9]图示复摆，已知均质细杆,m,L；有孔圆盘,M,R,r，求摆对过 O点且垂直于图面的轴的转动惯量。
孔盘杆 JJJJ O
2
3
1 mLJ?
杆
2
1
2
1 )(2
1 RLmRmJ
盘
2
2
2
2 )(2
1 RLmrmJ
孔
14
其中，盘的质量,22
2
2
221 rR
MRR
rR
Mm
孔的质量,22
2
2
222 rR
Mrr
rR
Mm
2222 )()(
2
1
3
1 RLMrRmLJ
O
15
dt
vmrd
dt
hd O )(
§ 8-4 动量矩定理一．质点的动量矩定理
,)(,0 FmFrvmv O而
)( Fmdthd OO?
质点对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在质点上的力对同一点之矩。这就是 质点对固定点的动量矩定理。
故：
dt
vmdrvm
dt
rd )(
Frvmv
16
将上式在通过固定点 O的三个直角坐标轴上投影，得
)( ),( ),( FmdtdhFmdtdhFmdtdh zzyyxx
上式称 质点对固定轴的动量矩定理,也称为质点动量矩定理的投影形式。即质点对任一固定轴的动量矩对时间的导数，
等于作用在质点上的力对同一轴之矩。
质点的动量矩守恒 。
常量；则若 OiO hFm,0)(
常量；则若 ziz hFm,0)(
17
例如：
（ 1）质点受有心力作用（作用线始终通过某固定点的力称为有心力，此点称为力心），力对力心的矩始终等于零，则力对力心的动量矩守恒：
常量 vmrh O
如：行星的运动，行星所受到的力始终指向太阳。
（ 2）小球绕固定轴转动
mvrh
Fm
z
z
常量
,0)(?
r↑,v↓； r↓,v↑。
18
运动分析,。 2mllmlh OOMlv,
由动量矩定理即
)( Fmdtdh OO?
0s i n,s i n)( 2 lgm g lmldtd
微幅摆动时,并令,则,s in
l
g
n?
2? 02 n
代入初始条件 则运动方程 )0,,0(
00t
s i n)( mg lFm O
解,将小球视为质点。
受力图如图示。
[*例 10] 单摆 已知 m,l,t =0时?=?0，从静止开始释放。 求 单摆的运动规律。
解微分方程，得 )s i n ( tn
（怎样确定的方向？）
v
19
注意：计算动量矩与力矩时，符号规定应一致（本题规定逆时针转向为正）
质点动量矩定理的应用：
(1)在质点受有心力的作用时。
(2)质点绕某点（轴）转动的问题。
tlgc o s0,摆动周期
g
lT
n
22
20
质点系对任一 固定点 的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系上所有外力对同一点之矩的矢量和（外力系的主矩）。
二．质点系的动量矩定理左边交换求和与导数运算的顺序，
则,0)(, iiOOO FmhH?
)( eiOO FmdtHd 一 质点系的动量矩定理
),,3,2,1( )()( niFmFmhdtd eiOiiOOi对质点系，有
),,3,2,1( )()( niFmFmhdtd eiOiiOOi对质点 Mi,
)(,)(,)( eizzeiyyeixx FmdtdHFmdtdHFmdtdH
将上式在通过固定点 O的三个直角坐标轴上投影，得
21
上式称为 质点系对固定轴的动量矩定理 。即质点系对任一固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系上所有外力对同一固定轴之矩的代数和（外力系对同一轴的主矩）。
定理说明 内力不会改变质点系的动量矩，只有外力才能改变质点系的动量矩 （但内力可以改变质点系中质点的动量矩）。
质点系的动量矩守恒
（ 1）当 时,常矢量。
（ 2）当 时,常量。
0)( eio Fm?OH
0)( eiz Fm?zH
讨论 （ a）对定轴转动刚体，若,则常量，即?=常量，匀速转动。
zzeiz JLFm 0)(
（ b） 对定轴转动的可变质点系，若,则0)( e
iz Fm
zz JL 常量,Jz↑则?↓,Jz ↓则? ↑。
22
例如：芭蕾午演员、花样滑冰运动员，他们用伸展或收拢四肢的方法来改变旋转的速度。
又例如直升飞机为什么要在尾部装竖直螺旋桨？
例：两均质杆：长 l=300mm,m1=2kg，铰接于转盘上；转盘,r=40mm,m2=4kg，对 z轴的回转半径 ρ=30mm。开始时杆由绳连接,ω0=6rad/s。求由于绳断，两杆倒至水平位置时系统的 ω。
23
解,∵,∴ HZ= 常量，
或 HZ 1= HZ 2，即,JZ 1ω0= JZ 2ω——（ *）
0)( eiz Fm
2
2
20
1
20
11
])30s i n
2
1
(
)30s i n(
12
1
[2
mrlm
lmJ
Z
2
2
2
1
2
12 ])2
1(
12
1[2?mrlmlmJ
Z
代入（ *）式得 ω=2.157rad/s
P
P
Q
OX
OY
24
解,取整个系统为研究对象，
受力分析如图示。
运动分析,vA=vB =ｒ?
rPPrPrPFm BABAeiO )()(
OBBAAO JrvgPrvgPH
)2(,21
2
2 PPP
g
rHr
g
PJ
BAOO
得代入将由动量矩定理：
rPPPPPgrdtd BABA )()]2([ 2
2/PPP
PP
r
g
dt
d
BA
BA
[例 11] 均质轮（可视为均质圆盘）半径 r、重 P，重物 A,B分别重 PA,PB，且 PA ＞ PB，求轮的 ε。
得 )( eiOO FmdtdH
25
解,系统的动量矩守恒。,0)( eO Fm?
rvvmrvm ABAA )(0
2
vv
A?
猴 A与猴 B向上的绝对速度是一样的,
均为 。
2v
[*例 12] 已知猴子 A重 =猴子 B重，猴 B以相对绳速度上爬，猴 A不动，问当猴 B向上爬时，猴 A将如何动？
动的速度多大？（轮重不计）
v
26
对于 定轴转动刚体代入质点系动量矩定理：
zz JH?
)( eizz FmdtdH
)( )( )( 2
2
e
izz
e
izz
e
izz Fmdt
dJFm
dt
dJFmJ 或或
— 刚体定轴转动微分方程解决两类问题,
（ 1）已知作用在刚体的外力矩，求刚体的转动规律。
（ 2）已知刚体的转动规律，求作用于刚体的外力（矩）。
但不能求出轴承处的约束反力，需用质心运动定理或动量定理求解。
三,刚体定轴转动微分方程
27
特殊情况,
（ 1） 若,则 恒量，刚体作匀速转动或保持静止。
（ 2） 若 常量，则?=常量，刚体作匀变速转动。
将 与 比较，刚体的转动惯量是刚体转动惯性的度量。
0)( )( ez Fm,0
)( eiz Fm
)( eizz FmJ? Fam? zJ
28
[例 13] 提升装置中，轮 A,B的重量分别为 P1,P2,半径分别为 r1,r2,可视为均质圆盘 ; 物体 C 的重量为 P3 ; 轮 A上作用常力矩 M1 。
求 物体 C上升的加速度。
取轮 B连同物体 C为研究对象
21 2322222 vrgPrgPH O
( 1 ) 21 111211 TrMrgP
解,（ 1）取轮 A为研究对象，由刚体定轴转动微分方程：
29
由动量矩定理：
( 2 ) ')21( 232232222 rPrTvrgPrgPdtd
补充运动学条件
112222, rarvr
化简 (1) 得：
化简 (2) 得：
332 '2
2 PTa
g
PP
TrMagP
1
11
2
gPPP PrMa 22/
321
311
2322 ')( rPrTFm eiO
30
[例 14] 两根质量各为 8 kg的均质细杆固连成 T 字型，可绕通过 O
点的水平轴转动，当 OA处于水平位置时,T 形杆具有角速度?
=4rad/s 。求该瞬时轴承 O的反力。
解,选 T 字型杆为研究对象。
受力分析如图示。
r a d /s 2 0,7 5
5.08.9825.08.98 5.081217
2
2
5.025.0 mgmgJ O?
2222
12
17
12
1
3
1 mlmlmlmlJ
O
由刚体定轴转动微分方程
31
根据质心运动微分方程，得
OxCxC Xmama 21
mgmgYmama OyCyC 21
N 96) 5.04 25.04( 8)( 2221 xCxCO aamX
N 3.32 ) 5.075.20 25.075.20 ( 88.982OY
32
§ 8-5 质点系相对于质心的动量矩定理刚体平面运动微分方程一．质点系相对于质心的动量矩定理前面表述的动量矩定理，矩心或矩轴都是固定的，速度是绝对的。下面将证明：当质点系作一般运动时，以运动着的质心为矩心，或以过质心且作平动的轴为矩轴，动量矩定理的形式不变。
设质点系总质量为 M，质心速度为 vC。
任取一固定点 O,将平动坐标系 Cx’y’z’铰接在质心 C上 。
则质点系的运动可以分解为随质心的平动和相对于质心的运动。
33
研究任一质点 Mi：
Mi的位置：
Mi的绝对速度：
'iCi rrr
rieii vvv
riC vv
iiiOiO vmrhH
)()'( riCiiC vvmrr
CiiCiC vmrvmr '
riiiriiC vmrvmr '
riiiriiCCiiCC vmrvmrvrmvMr ''
式中,rcriiCii vMvmrMrm ''
1.质点系对固定点 O的动量矩
34
— 质心相对于动坐标系原点的矢径
—质心相对于动坐标系原点的速度
'Cr
rCv
∵ 动坐标系原点为质心 C
0,0' rCC vr
riiiC vmrH '又
— 质点系相对于质心的动量矩
CCCO HvMrH — 质点系对任一固定点的动量矩即：质点系对任一固定点的动量矩等于质心对该点的动量矩与质点系相对于质心的动量矩的矢量和。
35
对固定轴，有,')( zCzz HvMmH
z’— 过质心且平行于 z轴的轴即：质点系对任一固定轴的动量矩，等于质心对该轴的动量矩与质点系相对于过质心并与该轴平行的轴的动量矩的代数和。
由此的 刚体动量矩计算：
)(,CzzCCO vMmHvMrH
zz JH
CCzzCCOO JvMmHHvMmH )(,)(
（ 1）平动：
仿照力矩的计算：
（ 2）定轴转动：
（ 3）平面运动：
36
例如：求半径 R重 W且作纯滚动的均质圆盘对滑轮轴的动量矩。
取过 O且垂直于图面的轴 z轴，则
')( zCzz HvMmH
)2(21 2 RrgWvRvRgWvgWJrvgW CCCCC
37
2.质点系相对质心的动量矩定理
CCCCCO HKrHvMrH将
eiiCCC FrrHKrdtd )'()(得
( * )')( eiieiCCC FrFrdtHdKrdtd即
dt
KdrK
dt
rdKr
dt
d
C
C
C )(式中
eiieiOO FrFmdtHd )(代入
eiCeiCCC FrFrvMv
于是，由（ *） 或 eiiC Frdt
Hd ' )( e
iC
C Fm
dt
Hd
38
质点系相对于质心和固定点的动量矩定理，具有完全相似的数学形式，而对于质心以外的其它动点，一般并不存在这种简单的关系。
即：质点系对质心的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系上所有外力对质心矩的矢量和。 这就是质点系相对质心的动量矩定理。
质点系相对于质心的动量矩的改变，只与作用在质点系上的外力有关，而与内力无关。
)( eiCC FmdtHd
将上式向 过质心且随同质心作平动的坐标系 的各轴投影：
)('' eixx FmdtdH )('' eiyy FmdtdH )('' eizz FmdtdH
39
二．刚体平面运动微分方程设有一刚体在外力系 作用下作平面运动，它的运动可以简化为平面图形 S的运动来研究：刚体质心 C位于平面图形 S内，而且作用在刚体上的外力系可以简化为一个作用在此平面图形上的平面一般力系。平面图形的运动可视为平面图形随质心的平动 (xC,yC)和绕质心的转动 （?） 。
nFFF,,,21
由质心运动定理和相对质心的动量矩定理：
)(
e
iC
C
e
iC
Fm
dt
dH
FaM
40
写成 投影形式
)(,,eiCCeiyCeixC FmJYMaXMa?
或
)(,,eiCCeiCeiC FmJYyMXxM
上式称为 刚体平面运动微分方程 。
41
[例 15] 质量为 m半径为 R的 均质圆 轮放于倾角为? 的斜面上，
由静止开始运动 。 设 轮与斜面间的静、动滑动摩擦系数为 f、
f ′,不计滚动摩阻,试分析轮的运动。
解,取轮为研究对象。
受力分析如图示。
取直角坐标系 Oxy
aC y =0,aC x =aC，
轮作平面运动，根据刚体平面运动微分方程，有
Fmgma Cs in
Nmgc os 0
FRJ C
①
②
③
三个方程 中含有四个未知数,需补充附加条件。
2
2
1 mRJ
C?
42
1．设接触面绝对光滑。
因为轮由静止开始运动，故?＝ 0，轮沿斜面平动下滑。
常量。,0,s i n,0 gaF C
s i n31 ; s i n3 2,s i n32 mgFgRga C
2．设接触面足够粗糙。 轮作纯滚动,ac=? R，所以可解得
3．设轮与斜面间有滑动,轮又滚又滑,F=f′N,可解得
c os,c os'2,)c os'( s i n mgfFR gfgfa C
轮作纯滚动的条件：
c o ss i n31 f m gfNmgtg
3
1?f
表明：当 时，解答 3适用；
当 时，解答 2适用； f =0 时解答 1适用。
tg31?f
tg31?f
即m a xFF?
43
动量矩定理的应用应用动量矩定理，一般可以处理下列一些问题：（对单轴传动系统尤为方便）
1．已知质点系的运动，求系统所受的外力或外力矩。
2．已知质点系所受的外力矩是常力矩或时间的函数，求刚体的角加速度或角速度的改变。
3．已知质点所受到的外力主矩或外力矩在某轴上的投影代数和等于零，应用动量矩守恒定理求角速度或角位移。
44
[例 16]重 W长 l的均质细杆 AB，放在铅直平面内，两端分别沿光滑的铅直墙和水平地面滑动，试求杆的角加速度和 A,B处的约束力。设 t=0时,ω0=0。
解 （ 1）以 AB杆（平面运动）为研究对象。
（ 2）受力如图。
x
y
AN
BN
AC Nxg
W
———— ①
WNygW BC ———— ②
c o s2s i n2121 2 lNlNlgW AB
———— ③
（ 3）选轴建立平面运动微分方程：
45
三个方程五个未知量，故须建立补充方程：
x
y
AN
BN
s in2lx C? ———— ④
c os2ly C? ———— ⑤
（ 4）解方程由④⑤式得：
s i n2c o s2 2 llx C
c o s2s i n2 2 lly C
—— ⑥
—— ⑦
46
将⑥⑦代入①②得：
gWlWllgW 4s i n21121
2
2
—— ⑧
s i n23 lg （逆时针）
将⑧⑨代入③，得：
)s i nc o s(2 2 gWlN A
)c o ss i n(2 2 gWlWN B —— ⑨
—— ⑩
47
d
d
dt
d
d
d
dt
d
s i n
2
3
l
g
d
d
d
l
gd s i n
2
3
0 0
)cos( co s3 0 lg? （取正，逆时针）
由⑧⑨得, s i n)c o s
2
3c o s
4
9(
0 WN A
c o s)c o s( c o s23)s i n431( 02 WWN B
讨论 （ 1）?↑,NA↓。所以当?大到一定程度时,A端会脱离墙。
48
由⑩式
s i n21)4121(
2
2 Wl
g
Wll
g
W
x
y
AN
BN
)( eiII FmJ或：
I
表明,平面运动刚体，可以对速度瞬心直接应用动量矩定理。条件为：速度瞬心到质心的距离保持不变。
49
[*例 17] 均质圆柱，半径为 r，重量为 Q，置圆柱于墙角。初始角速度?0，墙面、地面与圆柱接触处的动摩擦系数均为 f '，
滚阻不计，求使圆柱停止转动所需要的时间。
解,选取圆柱为研究对象。受力分析如图示。
运动分析：质心 C不动，刚体绕质心转动。
根据刚体平面运动微分方程 )0,0(
CyCx aa
BA FN0
QNF BA0
rFrFdtdrgQ BA 21 2
①
②
③
补充方程：
BBAA NfFNfF ',' ④
50
将 ④式代入①、②两式，有 0)1'( 2 QNf B
1'
',
1'
',
1'
',
1' 2
2
222 f
QfF
f
QfN
f
QfF
f
QN
AABB
将上述结果代入 ③式，有
dtf frgfdr gff fdtd t 0202 '1 '1'2,2''1 '1
0?
解得：
)'1('2
)'1( 02
fgf
rft
BA FN0
QNF BA0
rFrFdtdrgQ BA 21 2
①
②
③
补充方程：
BBAA NfFNfF ',' ④
51
[例 18] 重 P长 l的均质杆 AB在光滑水平面上从图示位置无初速地倒下，求开始运动时地面对杆的约束反力。
解：以杆为研究对象：将杆放在任意位置?研究。
由刚体平面运动微分方程：
)1(0CxagP
)2( ACy NPagP
)3(s i n212 2 ANllgP
52
补充方程：
由（ 1）,aCx=0
∵ 杆开始静止,即 vCx=0
∴ xC=0常量（杆质心在 x方向守恒）
)4(c o s2s i n2 2 llva CCy?
（也可以用 或以 A点为基点的加速度合成的方法求 ）Cy? Cya
当?=?0时,ω=0。由（ 1）～（ 4）联立解得：
0
2s in31
PN
A
gl )s i n31( s i n6
0
2
0
s i n2lvv CCy
53
[*例 19] 均质圆柱体 A和 B的重量均为 P，半径均为 r，一绳缠在绕固定轴 O转动的圆柱 A上，绳的另一端绕在圆柱 B上，绳重不计且不可伸长，不计轴 O处 摩擦。
求 （ 1） 圆柱 B下落时质心的加速度。
（ 2） 若在圆柱体 A上作用一逆时针转向的转矩 M，试问在什么条件下圆柱 B的质心将上升。
54
由动量矩定理：
rPMrgPrvgPrgPdtd BCA 2)222( 22
rPMrgPragPrgP BcA 2222 22
补充运动学关系式：
BAC rra
代入 上 式，得
grP rPMarPMargPargP CCC 5 )2(2 ; 222
当 M >2Pr 时，,圆柱 B的质心将上升。0?
Ca
解：取系统为研究对象
BCAO rg
Prv
g
Pr
g
PH 22
222
rPMFm eiO 2)(
当 M=0时，得,表明 实际指向向下。ga C 54 Ca
55
研究刚体平面运动的动力学问题，一定要建立补充方程，找出质心运动与刚体转动之间的联系。
应用动量矩定理列方程时,要特别注意正负号的规定的一致性。
56
