1
前几章我们把接触表面都看成是绝对光滑的，忽略了物体之间的摩擦，事实上完全光滑的表面是不存在的，一般情况下都存在有摩擦。对于摩擦不是主要影响因素的问题，不考虑摩擦是可以的。
但是，对于摩擦是主要影响因素的问题，摩擦就非考虑不可了。例如：重力坝就是靠摩擦阻止它向下游滑动；又如闸门，如果事先未考虑摩擦，那么，洪水来时要开闸门放水，但闸门却提不起来，后果就不堪设想。
[例 ]
§ 2-4 摩擦平衡必计摩擦?
2
一、为什么研究摩擦？
二、摩擦分类当两物体接触处有相对滑动或相对滑动趋势时，在接触处的公切面内受到的阻碍，这种现象称为滑动摩擦。如：当两物体有相对滚动或相对滚动趋势时，物体间产生的对滚动的阻碍，就称为滚动摩擦。
3
1,定义,当两物体接触处有相对滑动趋势时，其接触面产生阻止物体运动的力。
（ 就是接触面对物体作用的切向约束反力）
一、静滑动摩擦力
2,特征,当 P较小时，物体处于 静止平衡,由平衡方程得：
F=P,P↑,F↑。
0≤F≤Fmax
当 P增大到某一数值时，物体处于将动但还未动的状态，称为 临界平衡状态,此时摩擦力达到最大值 Fmax。
方向：与物体相对滑动趋势方向相反
4
3,静滑动摩擦定律（又称库仑定律）：
f ——静滑动摩擦系数（只与材料和表面情况有关，与接触面积大小无关）。
4、摩擦角：
① 全约束反力：法向反力与静摩擦力的合力 R。
② 摩擦角,当摩擦力达到最大值 Fmax时其全约束反力与法线的夹角 。
静摩擦力的最大值与接触面法向反力成正比，即
Fmax=fN
所以增大摩擦力的途径为：①加大正压力 N,
② 加大摩擦系数 f
5翻页请看动画即摩擦角的正切等于静滑动摩擦系数。摩擦角也是表示材料摩擦性质的物理量。
fN NfNFtg m a x
③ 摩擦锥：当主动力的方向发生改变时，最大摩擦力的方向也随之改变，最大全约束反力的方向也随之改变。因此，最大全约束反力的作用线将形成一个以接触点为顶点的锥面，称为 摩擦锥 。
如物体间的摩擦系数沿各个方向都相同，则摩擦锥是一个顶角为 的正圆锥。2
6
7
5、自锁自锁条件,
工程中常用自锁原理设计某些机构和夹具，如爬电线杆的脚套钩在人爬电线杆时不会下滑；
螺旋千斤顶顶起重物不会自行下落等。而在另外一些情况下则要避免自锁现象，如变速箱中的滑动齿轮、水坝闸门等。
如果主动力的合力 的 作用线在摩擦锥之内，则无论 Q
多大，物体总是保持平衡。这种现象称为摩擦自锁。
Q
如果主动力的合力 的作用线在摩擦锥外，则无论 Q多小，物体一定不会平衡（会滑动）。
Q
8
摩擦系数的测定,OA绕 O 轴转动使物块刚开始下滑时测出
角,tg?=f,(该两种材料间静 摩 擦系数 )
fN NfNF m a xtg?
（翻页请看动画）
自锁应用举例斜面上物体自锁条件是斜面的倾角小于或等于摩擦角 。
9
10
（翻页请看动画）
千斤顶原理,千斤顶螺纹展开后为一斜面，当 时千斤顶自锁，即受重物作用不会自行回落。
11
12
大小,（无平衡范围）
3、特征,方向：与物体相对运动方向相反动滑动摩擦定律,（ f ‘只与材料和表面情况有 关，与接触面积大小无关。）
NfF ''
NfF ''
二、动滑动摩擦力
1,定义,当两物体接触处有相对滑动时，其接触面产生阻止物体运动的力。
2,状态,滑动（与静滑动摩擦力不同的是产生了滑动）。
一般,f’＜ f,∴ F’＜ Fmax
13
③ 当物体滑动时，滑动摩擦力 F‘=f‘N，其指向不能假设，必须与物体的运动趋势相反。
综述：
① 当物体处于静止平衡时,0≤F≤Fmax，静摩擦力由平衡方程确定，因此，摩擦力的指向可以假设，由计算结果判断假设的正确性。
② 当物体处于临界平衡状态时,F=Fmax=fN，其指向不能假设
，必须与物体的运动趋势相反。
主动力
FF
max
F’
静止 临界 滑动
（翻页请看动画）
14
15
下图滚子的受力分析中，有：
0NP,0Y
0FQ,0X
i
i
出现这种现象的原因是，
实际接触面并不是刚体，它们在力的作用下都会发生一些变形，如图：
三、滚动摩擦的概念与 形成主动力偶使滚子前滚，但当 Q较小时，滚子并未滚动。
Q F
16
此力系向
A点简化滚动摩擦力偶与主动力偶（ ）相平衡（翻页请看动画）F,Q
① 滚阻力偶 m随主动力偶（ ）的增大而增大 ;
② 0≤m≤mmax 有个平衡范围 ;
③ mmax与滚子半径无关 ;
④ 滚动摩擦定律,m= dN,d 为滚动 摩 擦系数。
F,Q
17
18
滚动摩擦系数 d的说明,
①有长度量纲，单位一般用 mm,cm；
②与滚子和支承面的材料的硬度和温度有关。
③ d 的物理意义见图示。
根据力的平移定理，将 N和 m合成一个力 N',
N'=N
'N
md? Nd'Ndm
d d
从图中看出，滚阻力偶 m的力偶臂正是 d（滚阻系数），
所以,d 具有长度量纲 。
由于滚阻系数很小，所以在工程中大多数情况下滚阻力偶不计，即滚动摩擦忽略不计。
19
考虑滑动摩擦的平衡问题与前面所述大致相同，但有如下特点：
[例 9] 已知,?（＞?）,G,f,求使物体不滑动的水平力 Q
的大小。
（翻页请看动画）
四,考虑摩擦时的平衡问题
1．受力分析时必需考虑接触面的摩擦力；
2．除平衡方程外，还必须列写补充方程,Fmax=fN；
3,因为 0≤F≤Fmax，所以平衡问题的解是一个范围。
此类问题是 求物体处于平衡时的某些量 （如主动力、物体的尺寸、位置、
f 等），解题步骤为：
（ 1）设物体沿一方向处于临界平衡状态，列平衡方程及 Fmax=fN求解。
（ 2）设物体沿相反方向处于临界平衡状态，列平衡方程及 Fmax=fN求解。
20
21
解,① 先求使物体不致于上滑的 图 (1)
maxQ
NfF
GQNY
FGQX
i
i
m a x
m a x
m a xm a x
,
0c o ss i n,0
0s i nc o s,0
补充方程由
tg1
tg,
m a x f
fGQ
解得
tgtg1
tgtg
G
)(tg G
考虑物体有上滑趋势的临界平衡状态,
另：用摩擦角求解由图,)(GQ m a x tg
23
) ( t gm in GQ解得：
平衡范围应是
m a xm i n QQQ
② 再求使物体不致下滑的 Qmin 图 (2)
考虑物体有下滑趋势的临界平衡状态,同理,
可以看出：
（ 1）若 f=0（ tg? =0），则
Q=Qmax=Qmin=G tgα，唯一
（ 2）若 α=?,则 Qmin=0，即自锁；
若 α＜?,则 Qmin为负值，也为自锁，即以一定大小的向左的力 Q，物体也不下滑。
24
[例 10]已知物块重 G=980N，斜面倾角 α=300,f=0.2,f’=0.15。
平行于斜面的力 Q=588N，求物块与斜面间的摩擦力。
此类问题为,已知主动力及 f,f ’
，求摩擦力 。解题步骤：
（ 1）假设物体静止，由平衡方程求平衡时所需的 F。
（ 3）比较 │F│和 Fmax：如果 │F│≤Fmax，则假设正确,F即为所求（其中 │F│＜ Fmax时物体为静止平衡状态,│F│＝ Fmax
时物体为临界平衡状态）。
（ 2）求 Fmax=fN
如果 │F│＞ Fmax，则假设错误，物体滑动,F’=f ’N。
25
解：以 物块为研究对象假设物块静止且有下滑的趋势，则
∑Xi=0,Q – Gsinα+F=0 —— ①
∑Yi=0,N – Gcosα=0 —— ②
F= Gsinα –Q= – 98N
N =Gcosα=848.7N
NF (说明 其实际指向与假设相反，即实际指向沿斜面向下，物块实际有上滑的趋势）
F
Fmax=fN=169.7N
∵ │F │ ＜ Fmax,∴ 假设正确，物块静止,│F │ =98N,方向沿斜面向下。
xy
26
如果 Q=200N？
则 由①式得 F=290N
由②式得 N=848.7N
NF
( 实际指向与假设相同）F
Fmax=fN=169.7N
∵ │F │ ＞ Fmax,∴ 假设错误，物块滑动,F’ =f’N =127.3N
,方向沿斜面向上。
xy
[例 11]均质杆重 500N，
轮重 300N,R=0.4m，
r=0.1m,fA=0.4,fB =0.2。
不计滚动摩擦，求拉动轮所需的 的最小值。Q
解,1.以杆 OC为研究对象：
,)F(m iO 0
023 PN A
NPN A 310 0032
2.以轮为研究对象（轮有向右运动的趋势）：
（ 1）假设 A点先 B达到临界平衡状态，则
NNf'Nf'F'F AAAAm a xAA 340 0
得由 0)F(m iB
N.Q 22221?
01 )rR(Q)rR('F A
[分析 ]轮的状态为：要么 A点先 B达到临界平衡状态，要么 B点先 A达到临界平衡状态，要么 A,B两点同时达到临界平衡状态。
)( BBB NfF?
∴ Qmin=[Q1,Q2]=Q1=222.2N
（若 Q1=Q2，说明 A,B两点同时达到临界平衡状态）
N.Q 73162?
020 2 rQ)rR(F,)F(m BiA
（ 2）假设 B点先 A达到临界平衡状态，则
N.N,'NWN,Y BABi 3363300
N.NfFF BBm a xBB 67126 )( AAA NfF?
30
* 练习,作出下列各物体的受力图
① P 最小维持平衡 ② P 最大维持平衡状态受力图； 状态受力图
31
[*例 12] 构件 1及 2用楔块 3联结，已知楔块与构件间的摩擦系数
f=0.1,求能自锁的倾斜角? 。
解：研究楔块，受力如图
0c o sR)c o s (R,0iX 1由
1,RR?由二力平衡条件时能自锁即当极限状态又
'26112
)( '26112
'4351.0tg,1.0tg
2,
0
0
01
f?
32
[*例 13] 水平梯子放在直角 V形槽内，略去梯重，梯子与两个斜面间的摩擦系数（摩擦角均为?），如人在梯子上走动，试分析不使梯子滑动，人的活动应限制在什么范围内？
解,E,G两点间的水平距离 CD l为人的 活 动范围由几何关系,
090 A G BAEB
)60c os ()30s i n()60c os (
)30c os ()60s i n()30c os (
000
000
ABBGBD
ABAEAC
前几章我们把接触表面都看成是绝对光滑的，忽略了物体之间的摩擦，事实上完全光滑的表面是不存在的，一般情况下都存在有摩擦。对于摩擦不是主要影响因素的问题，不考虑摩擦是可以的。
但是，对于摩擦是主要影响因素的问题，摩擦就非考虑不可了。例如：重力坝就是靠摩擦阻止它向下游滑动；又如闸门，如果事先未考虑摩擦，那么，洪水来时要开闸门放水，但闸门却提不起来，后果就不堪设想。
[例 ]
§ 2-4 摩擦平衡必计摩擦?
2
一、为什么研究摩擦？
二、摩擦分类当两物体接触处有相对滑动或相对滑动趋势时，在接触处的公切面内受到的阻碍，这种现象称为滑动摩擦。如：当两物体有相对滚动或相对滚动趋势时，物体间产生的对滚动的阻碍，就称为滚动摩擦。
3
1,定义,当两物体接触处有相对滑动趋势时，其接触面产生阻止物体运动的力。
（ 就是接触面对物体作用的切向约束反力）
一、静滑动摩擦力
2,特征,当 P较小时，物体处于 静止平衡,由平衡方程得：
F=P,P↑,F↑。
0≤F≤Fmax
当 P增大到某一数值时，物体处于将动但还未动的状态，称为 临界平衡状态,此时摩擦力达到最大值 Fmax。
方向：与物体相对滑动趋势方向相反
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3,静滑动摩擦定律（又称库仑定律）：
f ——静滑动摩擦系数（只与材料和表面情况有关，与接触面积大小无关）。
4、摩擦角：
① 全约束反力：法向反力与静摩擦力的合力 R。
② 摩擦角,当摩擦力达到最大值 Fmax时其全约束反力与法线的夹角 。
静摩擦力的最大值与接触面法向反力成正比，即
Fmax=fN
所以增大摩擦力的途径为：①加大正压力 N,
② 加大摩擦系数 f
5翻页请看动画即摩擦角的正切等于静滑动摩擦系数。摩擦角也是表示材料摩擦性质的物理量。
fN NfNFtg m a x
③ 摩擦锥：当主动力的方向发生改变时，最大摩擦力的方向也随之改变，最大全约束反力的方向也随之改变。因此，最大全约束反力的作用线将形成一个以接触点为顶点的锥面，称为 摩擦锥 。
如物体间的摩擦系数沿各个方向都相同，则摩擦锥是一个顶角为 的正圆锥。2
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5、自锁自锁条件,
工程中常用自锁原理设计某些机构和夹具，如爬电线杆的脚套钩在人爬电线杆时不会下滑；
螺旋千斤顶顶起重物不会自行下落等。而在另外一些情况下则要避免自锁现象，如变速箱中的滑动齿轮、水坝闸门等。
如果主动力的合力 的 作用线在摩擦锥之内，则无论 Q
多大，物体总是保持平衡。这种现象称为摩擦自锁。
Q
如果主动力的合力 的作用线在摩擦锥外，则无论 Q多小，物体一定不会平衡（会滑动）。
Q
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摩擦系数的测定,OA绕 O 轴转动使物块刚开始下滑时测出
角,tg?=f,(该两种材料间静 摩 擦系数 )
fN NfNF m a xtg?
（翻页请看动画）
自锁应用举例斜面上物体自锁条件是斜面的倾角小于或等于摩擦角 。
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（翻页请看动画）
千斤顶原理,千斤顶螺纹展开后为一斜面，当 时千斤顶自锁，即受重物作用不会自行回落。
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大小,（无平衡范围）
3、特征,方向：与物体相对运动方向相反动滑动摩擦定律,（ f ‘只与材料和表面情况有 关，与接触面积大小无关。）
NfF ''
NfF ''
二、动滑动摩擦力
1,定义,当两物体接触处有相对滑动时，其接触面产生阻止物体运动的力。
2,状态,滑动（与静滑动摩擦力不同的是产生了滑动）。
一般,f’＜ f,∴ F’＜ Fmax
13
③ 当物体滑动时，滑动摩擦力 F‘=f‘N，其指向不能假设，必须与物体的运动趋势相反。
综述：
① 当物体处于静止平衡时,0≤F≤Fmax，静摩擦力由平衡方程确定，因此，摩擦力的指向可以假设，由计算结果判断假设的正确性。
② 当物体处于临界平衡状态时,F=Fmax=fN，其指向不能假设
，必须与物体的运动趋势相反。
主动力
FF
max
F’
静止 临界 滑动
（翻页请看动画）
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下图滚子的受力分析中，有：
0NP,0Y
0FQ,0X
i
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出现这种现象的原因是，
实际接触面并不是刚体，它们在力的作用下都会发生一些变形，如图：
三、滚动摩擦的概念与 形成主动力偶使滚子前滚，但当 Q较小时，滚子并未滚动。
Q F
16
此力系向
A点简化滚动摩擦力偶与主动力偶（ ）相平衡（翻页请看动画）F,Q
① 滚阻力偶 m随主动力偶（ ）的增大而增大 ;
② 0≤m≤mmax 有个平衡范围 ;
③ mmax与滚子半径无关 ;
④ 滚动摩擦定律,m= dN,d 为滚动 摩 擦系数。
F,Q
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滚动摩擦系数 d的说明,
①有长度量纲，单位一般用 mm,cm；
②与滚子和支承面的材料的硬度和温度有关。
③ d 的物理意义见图示。
根据力的平移定理，将 N和 m合成一个力 N',
N'=N
'N
md? Nd'Ndm
d d
从图中看出，滚阻力偶 m的力偶臂正是 d（滚阻系数），
所以,d 具有长度量纲 。
由于滚阻系数很小，所以在工程中大多数情况下滚阻力偶不计，即滚动摩擦忽略不计。
19
考虑滑动摩擦的平衡问题与前面所述大致相同，但有如下特点：
[例 9] 已知,?（＞?）,G,f,求使物体不滑动的水平力 Q
的大小。
（翻页请看动画）
四,考虑摩擦时的平衡问题
1．受力分析时必需考虑接触面的摩擦力；
2．除平衡方程外，还必须列写补充方程,Fmax=fN；
3,因为 0≤F≤Fmax，所以平衡问题的解是一个范围。
此类问题是 求物体处于平衡时的某些量 （如主动力、物体的尺寸、位置、
f 等），解题步骤为：
（ 1）设物体沿一方向处于临界平衡状态，列平衡方程及 Fmax=fN求解。
（ 2）设物体沿相反方向处于临界平衡状态，列平衡方程及 Fmax=fN求解。
20
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解,① 先求使物体不致于上滑的 图 (1)
maxQ
NfF
GQNY
FGQX
i
i
m a x
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,
0c o ss i n,0
0s i nc o s,0
补充方程由
tg1
tg,
m a x f
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解得
tgtg1
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考虑物体有上滑趋势的临界平衡状态,
另：用摩擦角求解由图,)(GQ m a x tg
23
) ( t gm in GQ解得：
平衡范围应是
m a xm i n QQQ
② 再求使物体不致下滑的 Qmin 图 (2)
考虑物体有下滑趋势的临界平衡状态,同理,
可以看出：
（ 1）若 f=0（ tg? =0），则
Q=Qmax=Qmin=G tgα，唯一
（ 2）若 α=?,则 Qmin=0，即自锁；
若 α＜?,则 Qmin为负值，也为自锁，即以一定大小的向左的力 Q，物体也不下滑。
24
[例 10]已知物块重 G=980N，斜面倾角 α=300,f=0.2,f’=0.15。
平行于斜面的力 Q=588N，求物块与斜面间的摩擦力。
此类问题为,已知主动力及 f,f ’
，求摩擦力 。解题步骤：
（ 1）假设物体静止，由平衡方程求平衡时所需的 F。
（ 3）比较 │F│和 Fmax：如果 │F│≤Fmax，则假设正确,F即为所求（其中 │F│＜ Fmax时物体为静止平衡状态,│F│＝ Fmax
时物体为临界平衡状态）。
（ 2）求 Fmax=fN
如果 │F│＞ Fmax，则假设错误，物体滑动,F’=f ’N。
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解：以 物块为研究对象假设物块静止且有下滑的趋势，则
∑Xi=0,Q – Gsinα+F=0 —— ①
∑Yi=0,N – Gcosα=0 —— ②
F= Gsinα –Q= – 98N
N =Gcosα=848.7N
NF (说明 其实际指向与假设相反，即实际指向沿斜面向下，物块实际有上滑的趋势）
F
Fmax=fN=169.7N
∵ │F │ ＜ Fmax,∴ 假设正确，物块静止,│F │ =98N,方向沿斜面向下。
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如果 Q=200N？
则 由①式得 F=290N
由②式得 N=848.7N
NF
( 实际指向与假设相同）F
Fmax=fN=169.7N
∵ │F │ ＞ Fmax,∴ 假设错误，物块滑动,F’ =f’N =127.3N
,方向沿斜面向上。
xy
[例 11]均质杆重 500N，
轮重 300N,R=0.4m，
r=0.1m,fA=0.4,fB =0.2。
不计滚动摩擦，求拉动轮所需的 的最小值。Q
解,1.以杆 OC为研究对象：
,)F(m iO 0
023 PN A
NPN A 310 0032
2.以轮为研究对象（轮有向右运动的趋势）：
（ 1）假设 A点先 B达到临界平衡状态，则
NNf'Nf'F'F AAAAm a xAA 340 0
得由 0)F(m iB
N.Q 22221?
01 )rR(Q)rR('F A
[分析 ]轮的状态为：要么 A点先 B达到临界平衡状态，要么 B点先 A达到临界平衡状态，要么 A,B两点同时达到临界平衡状态。
)( BBB NfF?
∴ Qmin=[Q1,Q2]=Q1=222.2N
（若 Q1=Q2，说明 A,B两点同时达到临界平衡状态）
N.Q 73162?
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（ 2）假设 B点先 A达到临界平衡状态，则
N.N,'NWN,Y BABi 3363300
N.NfFF BBm a xBB 67126 )( AAA NfF?
30
* 练习,作出下列各物体的受力图
① P 最小维持平衡 ② P 最大维持平衡状态受力图； 状态受力图
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[*例 12] 构件 1及 2用楔块 3联结，已知楔块与构件间的摩擦系数
f=0.1,求能自锁的倾斜角? 。
解：研究楔块，受力如图
0c o sR)c o s (R,0iX 1由
1,RR?由二力平衡条件时能自锁即当极限状态又
'26112
)( '26112
'4351.0tg,1.0tg
2,
0
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01
f?
32
[*例 13] 水平梯子放在直角 V形槽内，略去梯重，梯子与两个斜面间的摩擦系数（摩擦角均为?），如人在梯子上走动，试分析不使梯子滑动，人的活动应限制在什么范围内？
解,E,G两点间的水平距离 CD l为人的 活 动范围由几何关系,
090 A G BAEB
)60c os ()30s i n()60c os (
)30c os ()60s i n()30c os (
000
000
ABBGBD
ABAEAC
