t)(? 12)( ttt
① 运动学
② 运动学研究的对象
③ 运动学学习目的
④ 运动是相对的
⑤ 瞬时,时间间隔
⑥ 运动分类运动学的一些基本概念研究物体在空间位置随时间变化的几何性质的科学 。
(包括,轨迹,速度,加速度等 )不考虑运动的原因。
① 点
②刚体为后续课打基础及直接运用于工程实际 。
( relativity ):参考体 (物 );参考系 ;静系 ;动系。
1)点的运动 2)刚体的运动引 言
4
)t(rr?
§ 4-1 点的运动一、点的运动的矢量法轨迹或路径,点运动时在空间所占位置随时间连续变化而形成的一条曲线。
（一 ）运动方程
1.参考系,固定点 O
2.动点的位置,用矢径 表示r
3.运动方程：
●
●
M
O
r
4.轨迹：矢径 的矢端线r
5
rdt rdΔ trΔv
Δ t
0
l i m
rdt rddt vdΔ tvΔa Δ t 220l i m
（二）速度
（三）加速度
① 矢量、瞬时量
② 大小,dtdrv?
③ 方向：沿轨迹在 M点的切线并指向点的运动一方
① 矢量、瞬时量
② 大小：
③ 方向：沿速度矢端线的切线并指向速度矢端运动方向
dt
vda?
dt
dva?
注意
6
（一）运动方程二、点的运动的直角坐标法
1.参考系,Oxyz
2.动点的位置,（ x,y,z）
3.运动方程：
x=f1(t),y=f2(t),z=f3(t)
4.轨迹：从运动方程中消去 t，即得轨迹方程。运动方程本身是轨迹的参数方程。
7
（二 ） 速度
kdtdzjdtdyidtdxdt rdv
kvjvivv zyx
2z2y2x vvvv
，vviv x ),c o s (,
v
vjv y ),co s ( v
vkv z ),cos (
kzjyixr ∴
zdtdzv,ydtdyv,xdtdxv zyx
:v 的大小方向：
8
（三）加速度
kajaiak
dt
zd
j
dt
yd
i
dt
xd
k
dt
dv
j
dt
dv
i
dt
dv
dt
vd
a
zyx
zyx
2
2
2
2
2
2
zyx aaaa 222
),c os ( aaia x
.,,a
y.,,a
x
dt
xd
v
dt
dv
a
z
y
2
2
x
x
x
9
以点的轨迹作为坐标轴来确定 动点的位置的方法叫 自然法 。 因此，此方法必须已知点的运动轨迹。
（一）运动方程
s=f (t)
三、点的运动的自然法
1.参考系,用确定了原点和正方向的轨迹表示。
2.位置,用弧坐标 s（代数量）
表示
3.运动方程：
注意：不能将弧坐标与路程的概念混为一谈。
10
（二）自然轴系以动点为原点，由曲线在该点的切线、主法线、副法线构成的 正交轴系 称为自然轴系。
nb
注意,是变矢量nb?
为单位矢量nb?
11
（三）速度
v
dt
ds
ds
rd
dt
ds
s
r
lim
t
s
lim
)
t
s
s
r
(lim
t
r
limv
0t0t
0t0t
即 的 大小,v sdt
dsv
方向,沿轨迹 切向当 v＞ 0时，点沿弧坐标的正方向运动，当 v＜ 0时则相反。
12
dt
τdvτ
dt
dv)τ(v
dt
d
dt
vda
（四）加速度
s
limv
)
t
s
s
(limv
t
limv
dt
d
v
0t
2
0t0t
)vdtdstsl i m(
0t
13
由图可知
1
ds
d)
s(lim|s|lim 0t0t
2s i n22s i n||2|'|||
22s i n,0s,0t
时当
于是1||
ρ— 曲率半径的极限方向 ⊥,即指向曲率中心，亦即主法线方向。
nvtd vda
2
nvdtdv
2
即
14
banaaaaaa bnbn
比较前式得：
0a,nva,dtdva b
2
n
0a,va,svdtdva b
2
n
a
（ 1） —— 切向加速度,表示速度大小变化快慢的程度
—— 法向加速度,表示速度方向变化快慢的程度na
—— 加速度沿副法线方向的分量
ba
沿切线。注意：
指向曲率中心
dt
dva,
dt
vda
（ 2）当 ＞ 0 时 指向轨迹正向（与 方向一致），
当 ＜ 0时则相反。
a
a
a
与 v同号时动点作加速运动，异号时作减速运动?a
（ 3）加速度的大小和方向：
n
n a
aaaa ||a r c t g,22?
16
（五）特殊情况
1.点作平面曲线运动，上述结论完全成立（密切面为曲线所在平面）。
2.点作匀速曲线运动，则
vtss,nvaa,0a,co n s tv 0
2
n
3.点作匀变速曲线运动，则
2
n
va,co n s ta
)ss(a2vv
ta
2
1
tvss
tavv
0
2
0
2
2
00
0
17
判断下列运动是否可 能,若可能请判断是什么运动?
(加速运动 ) (不可能 ) (匀速曲线运动 ) (不可能）
(不可能 )
(不可能 ) (减速曲线运动 )
思考题：
18
点 M沿着螺线自外向内运动，它走过的弧长与时间的一次方成 正比，问点的加速度是越来越大，还是越来越小？点是越跑越快，
还是越跑越慢？
常数
bdtdSv
abtS
222,,0 baabva
dtdva nn
由于点由外向内运动,曲率半径?越来越小,所以加速度越来越大 。而速度 v =常数,故点运动快慢不变。
解：
思考题：
19
[例 1]细杆 O1A以 的规律绕 O1转动,ω为常量。杆上套以小环 M，小环又同时套在半径为 R的固定圆环上，试求小环的速度、加速度。
t
解：以小环 M为动点已知轨迹，用自然法将 M放在任意位置考虑 O
2
（ — ）
（ +）
s
（ 1）运动方程
tR22Rs
（ 2）速度
)(R2dtdsv 常量
v
方向沿切向（即 ⊥ OM）
（ 3）加速度
2
20
O2
（ — ）
（ +）
s
v
0dtdva
2
22
n R4R
)R2(va
22
n
2 R4aaa
a
的大小：
方向：恒指向圆心。
a
另解：用直角坐标法
21
（ 1）运动方程
x
y
2
设 M（ x,y）
t2c o sR2c o sRx
t2s i nR2s i nRy
（消去 t即得轨迹方程：
） 222 Ryx
（ 2）求 v
t2s i nR2xv x
t2c o sR2yv y
R2...vvvv 2y2x 的大小：
xv
yvv
22
x
y
2
xv
yvv
方向,Ryt2s i n...vv)i,vc o s ( x
R
x
t2c os
...
v
v
)j,vc os ( y
v即 ⊥ OM
（ 3）求 a
t2cosR4va 2xx
t2s i nR4va 2yy
22
y
2
x R4.,,aaaa 的大小：
23
x
y
xv
yvv
方向,Rxt2c o s...aa)i,ac o s ( x
R
y
t2s i n
...
a
a
)j,ac os ( y
即,M→O （与 R方位相同，指向相反）
a
a
24
① 矢量法用于公式推导；
② 直角坐标法和自然法用于计算：
综述：
自然法的优点 是物理意义鲜明，较直角坐标法 简便 。缺点是要事先知道轨迹，因而适用范围有限。
直角坐标法的优点 是 适用范围广 （在轨迹未知时只能用直角坐标法）。缺点是一般较自然法麻烦。
有些题需要用两种方法联合求解，此时：
2
z
2
y
2
x
2
n
2 aaaaaa
