1
由物系的多样化，引出仅由杆件组成的系统 —— 桁架
§ 2-5 平面静定桁架的内力
2
工程中的桁架结构
3
工程中的桁架结构
4
工程中的桁架结构
5
工程中的桁架结构
6
桁架,桁架是由若干直杆在两端以适当的方式连接而成的几何形状不变的结构。
节点杆件所有杆件都在同一平面内的桁架，称为 平面桁架 。杆端连接处称为 节点 。
7(a)
实际桁架的构造和受力一般是较复杂的，为了简化计算，作如下 假设,
① 杆件两端为 光滑铰链 连接；
(b) (c)
② 外力都作用在节点上,且在桁架平面内；
③ 杆重 忽略 不计 或均分到节点上。
由假设,桁架中各杆件均为二力杆 。
力学中的桁架模型
( 基本三角形依次累加两根杆，构成几何不变结构 )
8
工程中常见的桁架简化计算模型
9
,0X i 0?BX
,0)( Fm A
,0)( Fm B
024 PY B
042 ANP
kN 5,0 BAB YNX
解,① 研究整体，求支座反力
② 依次取 A,C,D节点研究，计算各杆内力。
)(kN10,kN66.8 12 表示杆受压解得 SS
0 X 030c o s 012 SSi
0Y 030s i n 01 SN Ai
一、节点法 [例 12]如图，已知,P=10kN，求各杆内力？
AN
BX
BY
10
0X i
0Y i
030c o s'30c o s 0104 SS
030s i n30s i n' 04013 SSS
1'1 SS?代入
kN 10,kN 10,43 SS解得
kN 66.75?S解得
0X i 0'25 SS
后代入 2'2 SS?
节点 D的另一个方程可用来校核计算结果
0Y 0,'3 SP
,kN 10'3? 解得 S
恰与 相等,计算准确无误。3S
i
11
解,研究整体求支座反力
,0X i 0?AX
,0)F(m iB
0aPa2Pa3Y A
PY A
①
,0)F(m iA由 04 aYhS A
hPaS 4,0Yi 0s in5 PSY A? 05?S
,0X i 0co s 456 AXSSS?
hPaS?6
二、截面法 [例 13] 如图，已知,h,a,P
求,4,5,6杆的内力。
② 选截面 I-I,取左半部研究
I
IAX
AY BN
12
说明,节点法：用于设计，计算全部杆内力截面法：用于校核，计算部分杆内力先把杆都设为拉力,计算结果为负时,说明是压力,
与所设方向相反。
截取截面应注意：
① 截断的杆中要包含要求的内力 ；
② 对于平面桁架，截断的杆数 一般 不得超过三根；
③ 一定要把桁架至少分成两部分（要一刀两断，不要藕断丝连）；
④ 选取受力简单的部分为研究对象（要单独画出其受力图）
，截断的杆用内力代替。
13
三杆节点无载荷、其中两杆在一条直线上，另一杆必为零杆
2121 SS,SS且四杆节点无载荷、其中两两在一条直线上，同一直线上两杆内力等值、同性。
2121 SS,SS
4343 SS,SS
两杆节点无载荷、且两杆不在一条直线上时，该两杆是 零杆
（内力为零的杆）。
三、特殊杆件的内力判断
021 SS
①
②
③
14
,平面一般力系习题课,
一、力线平移定理是力系简化的理论基础力 力 +力偶
③ 平衡;0,0' OMR
合力矩定理
)()(
1
i
n
i
OO FmRm?
;0,0;0,0 '' OO MRMR 或
① 合力（主矢）;0,0' OMR② 合力偶（主矩）
二、平面一般力系的合成结果本章小结：
15
一矩式 二矩式 三矩式三、
0)(
0
0
Fm
Y
X
O
0)(
0)(
0
Fm
Fm
X
B
A
A,B连线不 x轴?
0)(
0)(
0)(
Fm
Fm
Fm
C
B
A
A,B,C不共线平面一般力系的平衡方程平面平行力系的平衡方程成为恒等式一矩式 二矩式
0X?
0)(
0
Fm
Y
A 0)(
0)(
Fm
Fm
B
A
BA 连线不平行于力线
16
平面汇交力系的平衡方程成为恒等式 0)( Fm A
0
0
Y
X
平面力偶系的平衡方程
0 im
四、静定与静不定独立方程数 ≥ 未知力数目 ——— 静定问题独立方程数 ＜未知力数目 ——— 静不定问题五、物系平衡物系平衡时，物系中每个构件都平衡，
解物系问题的方法常是,由整体 局部 单体
17
六、解题步骤与技巧解题步骤 解题技巧选研究对象 选坐标轴最好是未知力 投影轴；
画受力图（受力分析） 取矩点最好选在未知力的交叉点上；
选坐标、取矩点、列 充分发挥二力杆的直观性；
平衡方程。
解方程求出未知数 灵活使用合力矩定理 。
① ①
② ②
③ ③
④ ④
七、注意问题力偶在坐标轴上投影不存在；
力偶矩 M =常数，它与坐标轴与取矩点的选择无关。
18
解,选整体研究受力图选坐标、取矩点列方程为,
解方程得
1.
①
②
③
)mN(100011000BM
[例 1] 已知各杆均铰接,B端插入地内,P=1000N，
AE=BE=CE=DE=1m，杆重不计。 求 AC 杆内力？ B点的反力？
八、例题分析
0,0)( DEPMFm BiB
0,0 Bi XX
PYPYY BBi,0,0
19
受力如图取矩心列方程解方程求未知数
045s i n,0)( EDPCESFm oCAiE
2.
①
②
③
)N(1 41 417 07.0 11 00 045s i n CEEDPS oCA
再研究 CD杆
20
[例 2]刚架自重不计,q=15kN/m，
P=10kN,m=20kN,m，求 A,B,C
三处的约束反力。
解,（ 1）以整体为研究对象：
AX
AY
BX
BY
084480 qPmY,)F(m BiA
kN.Y B 562?
kN.Y,qPYY,Y ABAi 567080
00 BAi XX,X ------------------------(*)
x
y
21
(2)以 AC为研究对象 (分布力应照画 )：
AX
AY
CX
CY
x
y
02448,0)( qYXFm AAiC
kN.X A 7518?
kNYqYYY CCAi 5.7,04,0
,0,0 CAi XXX
kN.XX AC 7518
将 XA=18.75kN代入（ *），得 XB=18.75kN
22
[例 3]图示结构，水平力 P=500N，重物重 Q=500N，滑轮 H半径
r=20cm，不计杆、滑轮、绳重，求杆 CE作用于销钉 K的力。
AX
AY EN解,（ 1）以整体为研究对象：
010015050
0
E
iA NP)r(Q,)F(m
NN E 1 1 0 0?
（ 2）以 HK（带滑轮及重物）
为研究对象：
050500 KiD YQ)r(Tr,)F(m
NY K 5 0 0
23
（ 3）以 CE为研究对象：
,)F(m iC 0
01 005050 EKK N'Y'X
N'X K 1700?
24
[例 4] 已知 P d,求,a.b.c.d四杆的内力？
解,由零杆判式
0 adc SSS
研究 A点：
0Y由
045c o s PS ob
PS b 2?
25
[例 5] 已知：连续梁上,P=10kN,Q=50kN,CE 铅垂,不计梁重求,A,B和 D点的反力
0)( iF Fm由
0512 PQY G
)kN(502 10550 GY
解,① 研究起重机
26
0610123,0)( QPYYFm DBiA )kN(100 BY
③
研究整体
② 研究梁 CD
0,0 PQYYYY DBAi )kN(33.48 AY
016,0)( ' GDiC YYFm
)(33.8650 kNY D
0,0 Ai XX
27
[*例 6]平面构架由杆 AB,DE及 DB铰接而成。已知重力 P，
DC=CE=AC=CB=2l；定滑轮半径为 R，动滑轮半径为 r，且
R=2r=l,θ=450。求 A,E支座的约束力及 BD杆所受的力。
解 (1)取整体为研究对象
,)F(m iE 0 02522 lPlN A
,X i 0 045 EA Xc osN
,Yi 0 045 PYs i nN EA
PN A 8 25
PX E 85?
PY E 813?
28
,)F(m iB 0 0 RTrP
2
PT?
,)F(m iC 0
02245 lXl'Tlc osS EDB
PS DB 8 23?
(2)取大小轮及重物为研究对象
(3)取 DE为条件对象
由物系的多样化，引出仅由杆件组成的系统 —— 桁架
§ 2-5 平面静定桁架的内力
2
工程中的桁架结构
3
工程中的桁架结构
4
工程中的桁架结构
5
工程中的桁架结构
6
桁架,桁架是由若干直杆在两端以适当的方式连接而成的几何形状不变的结构。
节点杆件所有杆件都在同一平面内的桁架，称为 平面桁架 。杆端连接处称为 节点 。
7(a)
实际桁架的构造和受力一般是较复杂的，为了简化计算，作如下 假设,
① 杆件两端为 光滑铰链 连接；
(b) (c)
② 外力都作用在节点上,且在桁架平面内；
③ 杆重 忽略 不计 或均分到节点上。
由假设,桁架中各杆件均为二力杆 。
力学中的桁架模型
( 基本三角形依次累加两根杆，构成几何不变结构 )
8
工程中常见的桁架简化计算模型
9
,0X i 0?BX
,0)( Fm A
,0)( Fm B
024 PY B
042 ANP
kN 5,0 BAB YNX
解,① 研究整体，求支座反力
② 依次取 A,C,D节点研究，计算各杆内力。
)(kN10,kN66.8 12 表示杆受压解得 SS
0 X 030c o s 012 SSi
0Y 030s i n 01 SN Ai
一、节点法 [例 12]如图，已知,P=10kN，求各杆内力？
AN
BX
BY
10
0X i
0Y i
030c o s'30c o s 0104 SS
030s i n30s i n' 04013 SSS
1'1 SS?代入
kN 10,kN 10,43 SS解得
kN 66.75?S解得
0X i 0'25 SS
后代入 2'2 SS?
节点 D的另一个方程可用来校核计算结果
0Y 0,'3 SP
,kN 10'3? 解得 S
恰与 相等,计算准确无误。3S
i
11
解,研究整体求支座反力
,0X i 0?AX
,0)F(m iB
0aPa2Pa3Y A
PY A
①
,0)F(m iA由 04 aYhS A
hPaS 4,0Yi 0s in5 PSY A? 05?S
,0X i 0co s 456 AXSSS?
hPaS?6
二、截面法 [例 13] 如图，已知,h,a,P
求,4,5,6杆的内力。
② 选截面 I-I,取左半部研究
I
IAX
AY BN
12
说明,节点法：用于设计，计算全部杆内力截面法：用于校核，计算部分杆内力先把杆都设为拉力,计算结果为负时,说明是压力,
与所设方向相反。
截取截面应注意：
① 截断的杆中要包含要求的内力 ；
② 对于平面桁架，截断的杆数 一般 不得超过三根；
③ 一定要把桁架至少分成两部分（要一刀两断，不要藕断丝连）；
④ 选取受力简单的部分为研究对象（要单独画出其受力图）
，截断的杆用内力代替。
13
三杆节点无载荷、其中两杆在一条直线上，另一杆必为零杆
2121 SS,SS且四杆节点无载荷、其中两两在一条直线上，同一直线上两杆内力等值、同性。
2121 SS,SS
4343 SS,SS
两杆节点无载荷、且两杆不在一条直线上时，该两杆是 零杆
（内力为零的杆）。
三、特殊杆件的内力判断
021 SS
①
②
③
14
,平面一般力系习题课,
一、力线平移定理是力系简化的理论基础力 力 +力偶
③ 平衡;0,0' OMR
合力矩定理
)()(
1
i
n
i
OO FmRm?
;0,0;0,0 '' OO MRMR 或
① 合力（主矢）;0,0' OMR② 合力偶（主矩）
二、平面一般力系的合成结果本章小结：
15
一矩式 二矩式 三矩式三、
0)(
0
0
Fm
Y
X
O
0)(
0)(
0
Fm
Fm
X
B
A
A,B连线不 x轴?
0)(
0)(
0)(
Fm
Fm
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C
B
A
A,B,C不共线平面一般力系的平衡方程平面平行力系的平衡方程成为恒等式一矩式 二矩式
0X?
0)(
0
Fm
Y
A 0)(
0)(
Fm
Fm
B
A
BA 连线不平行于力线
16
平面汇交力系的平衡方程成为恒等式 0)( Fm A
0
0
Y
X
平面力偶系的平衡方程
0 im
四、静定与静不定独立方程数 ≥ 未知力数目 ——— 静定问题独立方程数 ＜未知力数目 ——— 静不定问题五、物系平衡物系平衡时，物系中每个构件都平衡，
解物系问题的方法常是,由整体 局部 单体
17
六、解题步骤与技巧解题步骤 解题技巧选研究对象 选坐标轴最好是未知力 投影轴；
画受力图（受力分析） 取矩点最好选在未知力的交叉点上；
选坐标、取矩点、列 充分发挥二力杆的直观性；
平衡方程。
解方程求出未知数 灵活使用合力矩定理 。
① ①
② ②
③ ③
④ ④
七、注意问题力偶在坐标轴上投影不存在；
力偶矩 M =常数，它与坐标轴与取矩点的选择无关。
18
解,选整体研究受力图选坐标、取矩点列方程为,
解方程得
1.
①
②
③
)mN(100011000BM
[例 1] 已知各杆均铰接,B端插入地内,P=1000N，
AE=BE=CE=DE=1m，杆重不计。 求 AC 杆内力？ B点的反力？
八、例题分析
0,0)( DEPMFm BiB
0,0 Bi XX
PYPYY BBi,0,0
19
受力如图取矩心列方程解方程求未知数
045s i n,0)( EDPCESFm oCAiE
2.
①
②
③
)N(1 41 417 07.0 11 00 045s i n CEEDPS oCA
再研究 CD杆
20
[例 2]刚架自重不计,q=15kN/m，
P=10kN,m=20kN,m，求 A,B,C
三处的约束反力。
解,（ 1）以整体为研究对象：
AX
AY
BX
BY
084480 qPmY,)F(m BiA
kN.Y B 562?
kN.Y,qPYY,Y ABAi 567080
00 BAi XX,X ------------------------(*)
x
y
21
(2)以 AC为研究对象 (分布力应照画 )：
AX
AY
CX
CY
x
y
02448,0)( qYXFm AAiC
kN.X A 7518?
kNYqYYY CCAi 5.7,04,0
,0,0 CAi XXX
kN.XX AC 7518
将 XA=18.75kN代入（ *），得 XB=18.75kN
22
[例 3]图示结构，水平力 P=500N，重物重 Q=500N，滑轮 H半径
r=20cm，不计杆、滑轮、绳重，求杆 CE作用于销钉 K的力。
AX
AY EN解,（ 1）以整体为研究对象：
010015050
0
E
iA NP)r(Q,)F(m
NN E 1 1 0 0?
（ 2）以 HK（带滑轮及重物）
为研究对象：
050500 KiD YQ)r(Tr,)F(m
NY K 5 0 0
23
（ 3）以 CE为研究对象：
,)F(m iC 0
01 005050 EKK N'Y'X
N'X K 1700?
24
[例 4] 已知 P d,求,a.b.c.d四杆的内力？
解,由零杆判式
0 adc SSS
研究 A点：
0Y由
045c o s PS ob
PS b 2?
25
[例 5] 已知：连续梁上,P=10kN,Q=50kN,CE 铅垂,不计梁重求,A,B和 D点的反力
0)( iF Fm由
0512 PQY G
)kN(502 10550 GY
解,① 研究起重机
26
0610123,0)( QPYYFm DBiA )kN(100 BY
③
研究整体
② 研究梁 CD
0,0 PQYYYY DBAi )kN(33.48 AY
016,0)( ' GDiC YYFm
)(33.8650 kNY D
0,0 Ai XX
27
[*例 6]平面构架由杆 AB,DE及 DB铰接而成。已知重力 P，
DC=CE=AC=CB=2l；定滑轮半径为 R，动滑轮半径为 r，且
R=2r=l,θ=450。求 A,E支座的约束力及 BD杆所受的力。
解 (1)取整体为研究对象
,)F(m iE 0 02522 lPlN A
,X i 0 045 EA Xc osN
,Yi 0 045 PYs i nN EA
PN A 8 25
PX E 85?
PY E 813?
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,)F(m iB 0 0 RTrP
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PT?
,)F(m iC 0
02245 lXl'Tlc osS EDB
PS DB 8 23?
(2)取大小轮及重物为研究对象
(3)取 DE为条件对象
