1
2
工程中常常存在着很多各力的作用线不在同一平面内的力系，即空间力系，空间力系是最一般的力系。
(a)图为空间汇交力系； (b)图为空间任意力系；
(b)图中去了风力为空间平行力系。
迎 面风 力侧 面风 力
b
3
一、定义为了度量力使物体绕轴转动的效应，引用力对轴的矩。
图示门，求力 对 z
（ 矩轴 ）的矩。
z
F
F
将力分解：
§ 3-1 力对轴的矩
A
xyF
zFO
d
∥ z 轴
⊥ z 轴
ZF
xyF
4
于是,的面积''2)()( BOAdFFmFm xyxyOz
即力 与轴共面时，力对轴之矩为零 。
结论,力对轴的矩等于该力在垂直于此轴的平面上的投影对此轴与这个平面交点的矩。
（ 1）力对轴的矩是代数量。
正负号规定：右手螺旋法则。
（ 2）若力与轴空间垂直，则无须投影。
（ 3）若 // z 轴与 z轴相交
F
F
F
（ 4）力沿作用线移动，力对轴的矩不变。
5
即：
)(c o s)( FmFm zO )()]([ FmFm zzO?
二、力对点的矩与力对通过该点的轴之矩的关系面积由于 A O BFm O?2)(?
''2)()( BOAFmFm xyOz
通过 O点作任一轴 Z，则：
''c o s BOAO A B
由几何关系：
''2c os2 BOAO A B所以：
6
结论,力对点的矩矢在通过该点的任意轴上的投影等于这力对于该轴的矩。 这就是力对点之矩与对通过该点轴之矩的关系，
简称力 — 矩关系式。
kFmjFmiFmFrFm zOyOxOO )]([)]([)]([)(
kFmjFmiFm zyx )()()(
由于又由第一章知：
)F(m O
ZYX
zyx
kji
kyXxYjxZzXizYyZ )()()(
yXxY)F(m,xZzX)F(m,zYyZ)F(m zyx
这就是力对直角坐标轴的矩的解析表达式。
7
力对轴的矩的计算方法：
（ 1）定义法；
（ 2）解析式；
（ 4）合力矩定理。
（ 3）力 — 矩关系式；
[例 1]已知 P=20N，求对 z轴的矩。
解,方法一：定义法
dP)P(m)P(m xyxyOz
205.05.020d60c o sP 0
mN22
P
8
方法二：解析式
X=Pcos600sin450=5
Y=－ Pcos600cos450
= － 5
Z= － Psin600= － 10
x= － 0.4m
y=0.2+0.3=0.5m
z=0.3m
N2
N2
N3
yXxY)P(m z
mN 25.0255.0)25(4.0
9
方法三：力 — 矩关系式
)( Pm O ZYX
zyx
kji
3102525
3.05.04.0
kji
k25.0j)3425.1(i)3525.1(
)P(mx )P(m
y )P(mz
10
方法四：合力矩定理
)P(m)P(m xzz?
)P(m)P(m zzyz
=0
5.045s i n60co sP 00
4.045co s60co sP 00
mN25.0
11
§ 3-2 空间一般力系的简化与平衡一、空间汇交力系的合成同平面汇交力系一样，作力多边形（此时是空间的），得：
空间汇交力系合成的结果是一个合力，合力的大小和方向等于力系中各力的矢量和，即
in21 FF.,,FFR
二、空间力偶系的合成空间力偶是自由矢量，所以可以将空间力偶系中各力偶矩矢搬移到某一点，得到一组空间汇交的力偶矩矢。应用空间汇交力系的合成方法，得空间力偶系合成的结果是一个合力偶，合力偶矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和，即
in21 mm.,,mmm
12
把研究平面一般力系的简化方法拿来研究空间一般力系的简化问题，但须把平面坐标系扩充为空间坐标系。
nFFFF?321,,
设作用在刚体上有空间一般力系任选 O点 —— 简化中心三、空间一般力系向一点的简化
13
① 根据力的平移定理，将各力向 O点平移，
1'F
1m
2'F2m
n'F
nm=
得到一空间汇交力系,'',','
321 nFFFF?
和一附加空间力偶系,nmmm?,,21
[注意 ] 分别是各力对 O点的矩。nmmm?,,21
14
',,',',' 321 nFFFF?'R
ii FFR ''
nmmm,,,21? OM
)F(mmM iOiO
② 合成,得主矢原力系各力的矢量和,过简化中心
O,且与 O点的选择无关。
③ 合成,得主矩主矩一般与简化中心 O有关。
'R
OM
=
15
结论,
空间一般力系向一点简化，一般可得一个力和一个力偶，
这个力作用在简化中心，大小和方向等于原力系的主矢，
即等于原力系各力的矢量和；这个力偶的矩矢等于原力系对简化中心的主矩，即等于原力系各力对简化中心矩的矢量和。
16
若取 简化中心 O点为坐标原点建立直角坐标系，则：
主矢大小主矢方向根据力对点之矩与力对轴之矩的关系,
则 主矩大小 为：
主矩方向,
222222 )()()('''' iiizyx ZYXRRRR
'co s,'co s,'co s R
Z
R
Y
R
X iii
)( ;)(;)(])([
izOziyOy
ixxiOOx
FmMFmM
FmFmM
222 OzOyOxO MMMM
O
Oz
O
Oy
O
Ox
M
M
M
M
M
M 'c os,'c os,'c os
222 )]([)]([])([ iziyix FmFmFm
17
空间一般力系向一点简化的最后结果有以下几种情况：
2,则原力系简化为一个 合力偶,其矩等于原力系对于简化中心的主矩 MO。 此时主矩与简化中心的位置无关。
0,0' OMR
1,则原力系简化为一个 合力,主矢 等于原力系合力矢,合力 通过简化中心 O点。 （换个简化中心，主矩不为零）
0,0' OMR 'R
R R
四,简化结果的讨论
18
0M,0'R O3、
R'R OM① ⊥,此时可以进一步简化为一个合力 。
将 用代替
OM R
"R
'R
"RR
'R
Md,Rdd'RM O
O
根据,的转向与 一致的原则确定 在 O点的那一侧。R "R OM R
19
)F(m)R(m iOO
)F(m)R(m izz
)R(mM OO?由此知又 )F(mM iOO
即：如果空间一般力系简化为一合力，则合力对任一点的矩等于力系中各力对同一点矩的矢量和 —— 这就是 空间一般力系的合力矩定理 。
将上式向过 O点的任一轴 z轴 投影,得即合力对任一轴的矩等于各分力对同一轴的矩的 代数和。
20
②,—— 力螺旋
[例 ] ①拧螺丝 ②炮弹出膛时炮弹螺旋线
OMR //'
③ 与 成任意角?（ 不平行也不垂直）
<1>把 分解为 平行于 的 和垂直于 的 。
<2>分别按①、②处理。
' '
'R OM
OM 'R 1M 2M'R
若力与力偶矩矢同向，称为右手螺旋；反之，称为左手螺旋。
21
即原力系简化的结果为 O’点的一个 力螺旋 。
（自由矢量）平移到 O’点
'R
s i nM
'R
Md O2使主矢 搬家，搬家的矩离：2M 'R
1M
4、,则原力系 平衡 。0,0'
OMR
22
1、空间任意力系的平衡方程
2i2i2i )Z()Y()X('R?
2iz2iy2ixO ))F(m())F(m())F(m(M
五,空间一般力系的平衡方程空间一般力系平衡的充分必要条件是,0M,0'R O
0)F(m,0Z
0)F(m,0Y
0)F(m,0X
izi
iyi
ixi∴ 空间任意力系的平衡方程 为：
还有四矩式，五矩式和六矩式，同时各有一定限制条件。
23
0Z,0Y,0X iii
2、空间汇交力系的平衡方程以汇交点为简化中心，则
3、空间平行力系的平衡方程取 z轴平行于各力，则 0)F(m,0Y,0X izii
0)F(m,0)F(m,0Z iyixi
于是由空间一般力系的平衡方程得：
4、空间力偶系的平衡方程
0)F(m,0)F(m,0)F(m iziyix
于是由空间一般力系的平衡方程得：
0Z,0Y,0X iii?
于是由空间一般力系的平衡方程得：
0,0,0 iziyix mmm
24
(1)球铰（球形铰链）
5、空间约束观察物体在空间的六种（沿三轴移动和绕三轴转动）可能的运动中，有哪几种运动被约束所阻碍，有阻碍就有约束反力。
阻碍移动为反力，阻碍转动为反力偶。 [例 ]
25
球形铰链
26
（ 2）轴承 (滚珠轴承 )，蝶铰链轴承蝶铰
AX
AZ
27
（ 3）止推轴承
28
（ 4）空间固定端
29
[例 2] 图示起重机自重不计，已知,AB=3m,AE=AF=4m,
Q=200kN，起重臂 AC位于拉索 BE,BF的对称平面内。 求,索
BE,BF的拉力和杆 AB的内力。
解 （ 1） 以 C点为研究对象
（平面汇交力系）
)kN(54 6'
,045s i n15s i n',0
1
1 T QTY i
30
5
3 s i n,
5
4
43
4 c os
22
(2)以 B点为研究对象（空间汇交力系）：
32
3
2
045s i n c os
45s i n c os,0
TT
T
TX i
)kN( 419
045co s co s
45co s co s60s i n,0
32
3
21
TT
T
TTY i
)kN( 23 0
0 s i n s i n60cos -,0 321
BA
BAi
S
TTTSZ
31
注意：
① 力偶不出现在投影式中
② 力偶在力矩方程中出现是把力偶当成矢量后，将该矢量向该轴投影（类似力在轴上的投影）
[例 3] 曲杆 ABCD,∠ ABC=∠ BCD=900,已知,m2,m3 求：
支座反力及 m1=?
32
解,
32
32
1 )()( ma
cm
a
b
a
mc
a
mbcYbZm
DD
0,0 Di XX
a
mZaZmm
AAy
2
2,0,0
a
mYaYmm
AAz
3
3,0,0
a
mYYYYY
ADDAi
3,0,0
a
mZZZZZ
ADDAi
2,0,0
0,0 11 DDx YcbZmm
33
[*例 4] 已知,AB杆,AD,CB
为绳,A,C在同一垂线上，
AB重 80N,A,B光滑接触，
∠ ABC=∠ BCE=600,且 AD水平,AC铅直。求平衡时，绳
AD,BCD的拉力及支座 A、
B的反力。
解：
34
0N8
0,0
PN
PNZ
B
Bi由
02160c o s
,0'
CEPACT
m
B
DD
N)( 1.2380
6
3
3
3
2
60c t g
2
60c o s60c t g
2
160c o s
PPT
ACPACT
B
B
CEAC 60c o s60c t g?又
35
)N( 5.11
2
1
80
6
3
60co sTT
060co sTT,0X
BA
BAi
)N( 20
2
3
80
6
3
N
060s i nTN,0Y
A
BAi
36
[例 5]绞车的轴安装于水平位置。已知绞车筒半径 r1=10cm，
胶带轮半径 r2=40cm,a=c=80cm,b=120cm，重物重 P=10kN
。设胶带在垂直于转轴的平面内与水平成 α=300角，且
T1=3.5T2，求均速吊起重物时轴承 A,B处的约束力及 T1,T2
的大小。
37
解,以绞车为研究对象
AX
AZ
BX
联立 T1=3.5T2，
得 XB=1.56kN
得 ZB=5.1kN
BZ
得 T1=1kN，
T2=3.5kN
,0)( iz Fm
0s i ns i n)(,0)( 21 PaaTaTZcbFm Bix
x
z
y
0
,0)(
22211
rTrTrP
Fm iy
0c o sc o s)( 21 aTaTXcb B
38
AX
AZ
BX
BZ
x
z
y
得 XA=-5.46kN
得 ZA=7.15kN
绞车在 AB方向没有约束，可以运动，称为不完全约束系统。
但仍然是平衡的（ ∑Yi=0）。若在 B端换成止推轴承，则系统是完全约束系统。
0c o sc o s,0 11 TTXXX BAi
0s i ns i n
,0
21
PTT
ZZZ BAi
39
[例 6]均质薄板，单位面积重?=0.5kN/m2，在薄板平面内作用一力偶，其矩 M=100kN.m。在过边 DE的铅直平面内的 D点作用 F=10kN的力，与边 DE成 300角。试求球铰 A及三根连杆的约束力。
解：以板为研究对象将板视为正方形 ABCD
减去三角形 CDE。
正方形 ABCD重 P0=62·?
=18kN，三角形 CDE重
P1=6·3·? /2=4.5kN（应为负值，即 P1向上），
作用在各自的重心。
40
,0)F(m iz
0645c o sS
M645s i n30c o sF
'BC
kN9.14S 'BC
,0)F(m ix
kN25.0S 'DD
06630s i n53 '10 DDSFPP
,0)F(m iy
0645s i n633 ''10 BCBB SSPP kN79.3S 'BB?
045s i n30c osFX,0X Ai
kN12.6AX
41
045c o sS45c o s30c o sFY,0Y 'BCAi
kN7.16?AY
kN5.1?AZ
本题也可以不将板处理成 P0,P1而是用求板 ABCDE的重心来计算。
045s i n
30s i n,0
''
0
'
0
01
DDBBBC
Ai
SSS
FPPZZ
42
[例 7]图示结构,P和 M在 yz平面内，力 F和 AG杆平行于 x轴。
已知,F=100N,P=200N,M=150N.m,L1=1m,L2=1.5m
。求所有的约束力。
解 （ 1） 取 DE为研究对象：
0260s i n
,0
22
MLNLP
m
E
D
43
（ 2）取 OAD为研究对象
129 LBH?
力 在三个坐标轴上分力的大小：
BHS
BHBHB H y SBH
LSS
29
33 1
BHBHB H z SBH
LSS
29
44 1
BHBHB H x SBH
LSS
29
22 1
N6.36060s i n0 DDEi ZZNPZ 得，，
N1 0 0060c o s0 DDi YPYY 得，，
44
0,0 11 LSFLm B H xz
NS BH 3.2 6 9
0
04,0 1'
O
Oy
X
LXm
0
,0
AG
B H xAGO
S
SFSXX
NN
LYLSLS
LZLNm
C
DB H zB H y
DCx
2.5 45
04'4
3'2,0
111
11
NYSYYY OB H yDO 2 5 00',0
NZSZNZZ OB H zDCO 8.3810',0
45
空间平行力系，当它有合力时，合力的作用点 C 就是此空间平行力系的中心 。而物体重心问题可以看成是空间平行力系中心的一个特例。
§ 3-4 物体的重心和形心一、空间平行力系的中心、物体的重心
1、平行力系的中心由合力矩定理：
)()( iOO FmRm nnC FrFrFrRr2211
46
i
iinn
C F
rF
R
rFrFrFr?2211
R
zFz
R
yFy
R
xFx ii
C
ii
C
ii
C
,,:投影式
47
如果把物体的重力都看成为平行力系，则求重心问题就是求平行力系的中心问题。
由合力矩定理：
iiC xPxP
二、重心坐标公式,
y轴：
x轴,iiC yPyP
P=∑△ Pi—— 物体的重量
48
根据平行力系中心位置与各平行力系的方向无关的性质，将力线转成与 y轴平行，再应用合力矩定理对 x 轴取矩得：
iiC zPPz
综合上述得 重心坐标公式 为：
P
zPz
P
yPy
P
xPx ii
C
ii
C
ii
C
,,
若以△ Pi= △ mig,P=Mg 代入上式可得 质心公式
M
zmz
M
ymy
M
xmx ii
C
ii
C
ii
C
,,
49
设?i表示第 i个小部分每单位体积的重量,⊿ Vi第 i个小体积。对于 均质物体,?=恒量,则,
V
zVz,
V
yVy,
V
xVx ii
C
ii
C
ii
C
三、均质物体的重心坐标公式,
△ Pi=? △ Vi,P=∑ △ Pi= ∑? △ Vi=?∑ △ Vi=? V
于是得：
均质物体的重心与其重量无关，只与物体的体积（几何形状）
有关，这个 只由物体的几何形状决定的点称为物体的形心 。上式又称为物体的 形心公式 。
注意,（ 1）形心与重心是两个不同的概念。对于均质物体，
重心和形心是重合的。
50
（ 2）有对称面（轴、点）的均质物体，其重心必在对称面（轴、点）上。
令△ Vi→0,则上式可写成 积分形式,
V
x d Vx V
C
V
y d Vy V
C
V
z d Vz V
C
51
A— 面积
A
zAz,
A
yAy,
A
xAx ii
C
ii
C
ii
C
l
zlz,
l
yly,
l
xlx ii
C
ii
C
ii
C
同理可得均质薄壳（板）的重心公式：
均质空间曲线的重心公式：
l— 长度同样可得它们的积分形式。
52
解,由于对称关系，该圆弧重心必在 Ox轴，即 yC=0。取微段
dRdL
c o s Rx
R
dR
L
dLx
x LC
2
c o s
2?
s inRx
C?
① 积分法 （简单形体）
[例 ] 求半径为 R，顶角为 2? 的均质圆弧的重心。
四、确定均质物体重心的方法常见简单形状的均质物体的重心公式见教材 P97
53
② 分割法 （由简单形体组成的复杂形体）
解法一：
[例 ]求图示均质薄板的重心，尺寸如图，长度单位,cm。
（ 1）建坐标系（尽量利用对称性）
（ 2）将图形分成 Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ 三个部分，则
2
1
cm2 5 2 0 0
120210A
cm6012021x 1
cm10521021y 1
54
cm33042021120x 3 cm459021y 3
cm233AAA xAxAxAx
321
332211
C
cm4.86AAA yAyAyAy
321
332211
C
cm26042031120x 2
cm13 0)9021 0(3190y 2
2
2 cm25200)90210(4202
1A
23 cm3 7 8 0 0904 2 0A
55
解法二,把板看成长方形 Ⅰ
割去虚线所示三角形 Ⅱ 而成
，将割去的面积看作负值。
21 1 1 3 4 0 02 1 05 4 0 cmA
cmx 270540211
cmy 105210211
2
2 2 52 0 01 204 202
1 cmA
cmx 4 0 04 2 0321 2 02 cmy 1701203
290
2
cm233
21
2211?
AA
xAxAx
C cm4.86
21
2211?
AA
yAyAy
C
此方法也称为负面积法
56
0)( Fm B由 01 CxPlP 称 P lPx C 1 称
③ 实验法
<1>悬挂法 <2>称重法
57
[例 8] 挖去一正方形块 HGFK的均质凹形薄板 ABCD，在 A处用球铰支承,B处用碟铰与铅垂墙相连，再用一绳索 CE拉住使板保持水平。已知板的单位面积重 γ=5KN/m2，尺寸如图。求绳索的拉力及球铰 A和碟铰 B处的反力。
解 取整体为研究对象，
受力如图。取如图坐标：
板重 P=55kN,sinα=3/5
,cosα=4/5
由重心坐标公式求得
xc=-2.14m,yc=1.5m
∑mx=0,-P·yc
+Tsin30·3=0，得 T=55kN
∑my=0,ZB·4 -P·│xc│+Tsin300 ·4=0，得 ZB=1.9kN
58
∑mz=0,YB=0
∑Z=0,ZA+ZB+Tsin300-P=0,ZA=25.6 kN
∑Y=0,YA+YB-Tcos300sinα=0,YA=28.6 kN
∑X=0,-XA+Tcos300cosα=0,XA=38.1 kN
59
2
工程中常常存在着很多各力的作用线不在同一平面内的力系，即空间力系，空间力系是最一般的力系。
(a)图为空间汇交力系； (b)图为空间任意力系；
(b)图中去了风力为空间平行力系。
迎 面风 力侧 面风 力
b
3
一、定义为了度量力使物体绕轴转动的效应，引用力对轴的矩。
图示门，求力 对 z
（ 矩轴 ）的矩。
z
F
F
将力分解：
§ 3-1 力对轴的矩
A
xyF
zFO
d
∥ z 轴
⊥ z 轴
ZF
xyF
4
于是,的面积''2)()( BOAdFFmFm xyxyOz
即力 与轴共面时，力对轴之矩为零 。
结论,力对轴的矩等于该力在垂直于此轴的平面上的投影对此轴与这个平面交点的矩。
（ 1）力对轴的矩是代数量。
正负号规定：右手螺旋法则。
（ 2）若力与轴空间垂直，则无须投影。
（ 3）若 // z 轴与 z轴相交
F
F
F
（ 4）力沿作用线移动，力对轴的矩不变。
5
即：
)(c o s)( FmFm zO )()]([ FmFm zzO?
二、力对点的矩与力对通过该点的轴之矩的关系面积由于 A O BFm O?2)(?
''2)()( BOAFmFm xyOz
通过 O点作任一轴 Z，则：
''c o s BOAO A B
由几何关系：
''2c os2 BOAO A B所以：
6
结论,力对点的矩矢在通过该点的任意轴上的投影等于这力对于该轴的矩。 这就是力对点之矩与对通过该点轴之矩的关系，
简称力 — 矩关系式。
kFmjFmiFmFrFm zOyOxOO )]([)]([)]([)(
kFmjFmiFm zyx )()()(
由于又由第一章知：
)F(m O
ZYX
zyx
kji
kyXxYjxZzXizYyZ )()()(
yXxY)F(m,xZzX)F(m,zYyZ)F(m zyx
这就是力对直角坐标轴的矩的解析表达式。
7
力对轴的矩的计算方法：
（ 1）定义法；
（ 2）解析式；
（ 4）合力矩定理。
（ 3）力 — 矩关系式；
[例 1]已知 P=20N，求对 z轴的矩。
解,方法一：定义法
dP)P(m)P(m xyxyOz
205.05.020d60c o sP 0
mN22
P
8
方法二：解析式
X=Pcos600sin450=5
Y=－ Pcos600cos450
= － 5
Z= － Psin600= － 10
x= － 0.4m
y=0.2+0.3=0.5m
z=0.3m
N2
N2
N3
yXxY)P(m z
mN 25.0255.0)25(4.0
9
方法三：力 — 矩关系式
)( Pm O ZYX
zyx
kji
3102525
3.05.04.0
kji
k25.0j)3425.1(i)3525.1(
)P(mx )P(m
y )P(mz
10
方法四：合力矩定理
)P(m)P(m xzz?
)P(m)P(m zzyz
=0
5.045s i n60co sP 00
4.045co s60co sP 00
mN25.0
11
§ 3-2 空间一般力系的简化与平衡一、空间汇交力系的合成同平面汇交力系一样，作力多边形（此时是空间的），得：
空间汇交力系合成的结果是一个合力，合力的大小和方向等于力系中各力的矢量和，即
in21 FF.,,FFR
二、空间力偶系的合成空间力偶是自由矢量，所以可以将空间力偶系中各力偶矩矢搬移到某一点，得到一组空间汇交的力偶矩矢。应用空间汇交力系的合成方法，得空间力偶系合成的结果是一个合力偶，合力偶矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和，即
in21 mm.,,mmm
12
把研究平面一般力系的简化方法拿来研究空间一般力系的简化问题，但须把平面坐标系扩充为空间坐标系。
nFFFF?321,,
设作用在刚体上有空间一般力系任选 O点 —— 简化中心三、空间一般力系向一点的简化
13
① 根据力的平移定理，将各力向 O点平移，
1'F
1m
2'F2m
n'F
nm=
得到一空间汇交力系,'',','
321 nFFFF?
和一附加空间力偶系,nmmm?,,21
[注意 ] 分别是各力对 O点的矩。nmmm?,,21
14
',,',',' 321 nFFFF?'R
ii FFR ''
nmmm,,,21? OM
)F(mmM iOiO
② 合成,得主矢原力系各力的矢量和,过简化中心
O,且与 O点的选择无关。
③ 合成,得主矩主矩一般与简化中心 O有关。
'R
OM
=
15
结论,
空间一般力系向一点简化，一般可得一个力和一个力偶，
这个力作用在简化中心，大小和方向等于原力系的主矢，
即等于原力系各力的矢量和；这个力偶的矩矢等于原力系对简化中心的主矩，即等于原力系各力对简化中心矩的矢量和。
16
若取 简化中心 O点为坐标原点建立直角坐标系，则：
主矢大小主矢方向根据力对点之矩与力对轴之矩的关系,
则 主矩大小 为：
主矩方向,
222222 )()()('''' iiizyx ZYXRRRR
'co s,'co s,'co s R
Z
R
Y
R
X iii
)( ;)(;)(])([
izOziyOy
ixxiOOx
FmMFmM
FmFmM
222 OzOyOxO MMMM
O
Oz
O
Oy
O
Ox
M
M
M
M
M
M 'c os,'c os,'c os
222 )]([)]([])([ iziyix FmFmFm
17
空间一般力系向一点简化的最后结果有以下几种情况：
2,则原力系简化为一个 合力偶,其矩等于原力系对于简化中心的主矩 MO。 此时主矩与简化中心的位置无关。
0,0' OMR
1,则原力系简化为一个 合力,主矢 等于原力系合力矢,合力 通过简化中心 O点。 （换个简化中心，主矩不为零）
0,0' OMR 'R
R R
四,简化结果的讨论
18
0M,0'R O3、
R'R OM① ⊥,此时可以进一步简化为一个合力 。
将 用代替
OM R
"R
'R
"RR
'R
Md,Rdd'RM O
O
根据,的转向与 一致的原则确定 在 O点的那一侧。R "R OM R
19
)F(m)R(m iOO
)F(m)R(m izz
)R(mM OO?由此知又 )F(mM iOO
即：如果空间一般力系简化为一合力，则合力对任一点的矩等于力系中各力对同一点矩的矢量和 —— 这就是 空间一般力系的合力矩定理 。
将上式向过 O点的任一轴 z轴 投影,得即合力对任一轴的矩等于各分力对同一轴的矩的 代数和。
20
②,—— 力螺旋
[例 ] ①拧螺丝 ②炮弹出膛时炮弹螺旋线
OMR //'
③ 与 成任意角?（ 不平行也不垂直）
<1>把 分解为 平行于 的 和垂直于 的 。
<2>分别按①、②处理。
' '
'R OM
OM 'R 1M 2M'R
若力与力偶矩矢同向，称为右手螺旋；反之，称为左手螺旋。
21
即原力系简化的结果为 O’点的一个 力螺旋 。
（自由矢量）平移到 O’点
'R
s i nM
'R
Md O2使主矢 搬家，搬家的矩离：2M 'R
1M
4、,则原力系 平衡 。0,0'
OMR
22
1、空间任意力系的平衡方程
2i2i2i )Z()Y()X('R?
2iz2iy2ixO ))F(m())F(m())F(m(M
五,空间一般力系的平衡方程空间一般力系平衡的充分必要条件是,0M,0'R O
0)F(m,0Z
0)F(m,0Y
0)F(m,0X
izi
iyi
ixi∴ 空间任意力系的平衡方程 为：
还有四矩式，五矩式和六矩式，同时各有一定限制条件。
23
0Z,0Y,0X iii
2、空间汇交力系的平衡方程以汇交点为简化中心，则
3、空间平行力系的平衡方程取 z轴平行于各力，则 0)F(m,0Y,0X izii
0)F(m,0)F(m,0Z iyixi
于是由空间一般力系的平衡方程得：
4、空间力偶系的平衡方程
0)F(m,0)F(m,0)F(m iziyix
于是由空间一般力系的平衡方程得：
0Z,0Y,0X iii?
于是由空间一般力系的平衡方程得：
0,0,0 iziyix mmm
24
(1)球铰（球形铰链）
5、空间约束观察物体在空间的六种（沿三轴移动和绕三轴转动）可能的运动中，有哪几种运动被约束所阻碍，有阻碍就有约束反力。
阻碍移动为反力，阻碍转动为反力偶。 [例 ]
25
球形铰链
26
（ 2）轴承 (滚珠轴承 )，蝶铰链轴承蝶铰
AX
AZ
27
（ 3）止推轴承
28
（ 4）空间固定端
29
[例 2] 图示起重机自重不计，已知,AB=3m,AE=AF=4m,
Q=200kN，起重臂 AC位于拉索 BE,BF的对称平面内。 求,索
BE,BF的拉力和杆 AB的内力。
解 （ 1） 以 C点为研究对象
（平面汇交力系）
)kN(54 6'
,045s i n15s i n',0
1
1 T QTY i
30
5
3 s i n,
5
4
43
4 c os
22
(2)以 B点为研究对象（空间汇交力系）：
32
3
2
045s i n c os
45s i n c os,0
TT
T
TX i
)kN( 419
045co s co s
45co s co s60s i n,0
32
3
21
TT
T
TTY i
)kN( 23 0
0 s i n s i n60cos -,0 321
BA
BAi
S
TTTSZ
31
注意：
① 力偶不出现在投影式中
② 力偶在力矩方程中出现是把力偶当成矢量后，将该矢量向该轴投影（类似力在轴上的投影）
[例 3] 曲杆 ABCD,∠ ABC=∠ BCD=900,已知,m2,m3 求：
支座反力及 m1=?
32
解,
32
32
1 )()( ma
cm
a
b
a
mc
a
mbcYbZm
DD
0,0 Di XX
a
mZaZmm
AAy
2
2,0,0
a
mYaYmm
AAz
3
3,0,0
a
mYYYYY
ADDAi
3,0,0
a
mZZZZZ
ADDAi
2,0,0
0,0 11 DDx YcbZmm
33
[*例 4] 已知,AB杆,AD,CB
为绳,A,C在同一垂线上，
AB重 80N,A,B光滑接触，
∠ ABC=∠ BCE=600,且 AD水平,AC铅直。求平衡时，绳
AD,BCD的拉力及支座 A、
B的反力。
解：
34
0N8
0,0
PN
PNZ
B
Bi由
02160c o s
,0'
CEPACT
m
B
DD
N)( 1.2380
6
3
3
3
2
60c t g
2
60c o s60c t g
2
160c o s
PPT
ACPACT
B
B
CEAC 60c o s60c t g?又
35
)N( 5.11
2
1
80
6
3
60co sTT
060co sTT,0X
BA
BAi
)N( 20
2
3
80
6
3
N
060s i nTN,0Y
A
BAi
36
[例 5]绞车的轴安装于水平位置。已知绞车筒半径 r1=10cm，
胶带轮半径 r2=40cm,a=c=80cm,b=120cm，重物重 P=10kN
。设胶带在垂直于转轴的平面内与水平成 α=300角，且
T1=3.5T2，求均速吊起重物时轴承 A,B处的约束力及 T1,T2
的大小。
37
解,以绞车为研究对象
AX
AZ
BX
联立 T1=3.5T2，
得 XB=1.56kN
得 ZB=5.1kN
BZ
得 T1=1kN，
T2=3.5kN
,0)( iz Fm
0s i ns i n)(,0)( 21 PaaTaTZcbFm Bix
x
z
y
0
,0)(
22211
rTrTrP
Fm iy
0c o sc o s)( 21 aTaTXcb B
38
AX
AZ
BX
BZ
x
z
y
得 XA=-5.46kN
得 ZA=7.15kN
绞车在 AB方向没有约束，可以运动，称为不完全约束系统。
但仍然是平衡的（ ∑Yi=0）。若在 B端换成止推轴承，则系统是完全约束系统。
0c o sc o s,0 11 TTXXX BAi
0s i ns i n
,0
21
PTT
ZZZ BAi
39
[例 6]均质薄板，单位面积重?=0.5kN/m2，在薄板平面内作用一力偶，其矩 M=100kN.m。在过边 DE的铅直平面内的 D点作用 F=10kN的力，与边 DE成 300角。试求球铰 A及三根连杆的约束力。
解：以板为研究对象将板视为正方形 ABCD
减去三角形 CDE。
正方形 ABCD重 P0=62·?
=18kN，三角形 CDE重
P1=6·3·? /2=4.5kN（应为负值，即 P1向上），
作用在各自的重心。
40
,0)F(m iz
0645c o sS
M645s i n30c o sF
'BC
kN9.14S 'BC
,0)F(m ix
kN25.0S 'DD
06630s i n53 '10 DDSFPP
,0)F(m iy
0645s i n633 ''10 BCBB SSPP kN79.3S 'BB?
045s i n30c osFX,0X Ai
kN12.6AX
41
045c o sS45c o s30c o sFY,0Y 'BCAi
kN7.16?AY
kN5.1?AZ
本题也可以不将板处理成 P0,P1而是用求板 ABCDE的重心来计算。
045s i n
30s i n,0
''
0
'
0
01
DDBBBC
Ai
SSS
FPPZZ
42
[例 7]图示结构,P和 M在 yz平面内，力 F和 AG杆平行于 x轴。
已知,F=100N,P=200N,M=150N.m,L1=1m,L2=1.5m
。求所有的约束力。
解 （ 1） 取 DE为研究对象：
0260s i n
,0
22
MLNLP
m
E
D
43
（ 2）取 OAD为研究对象
129 LBH?
力 在三个坐标轴上分力的大小：
BHS
BHBHB H y SBH
LSS
29
33 1
BHBHB H z SBH
LSS
29
44 1
BHBHB H x SBH
LSS
29
22 1
N6.36060s i n0 DDEi ZZNPZ 得，，
N1 0 0060c o s0 DDi YPYY 得，，
44
0,0 11 LSFLm B H xz
NS BH 3.2 6 9
0
04,0 1'
O
Oy
X
LXm
0
,0
AG
B H xAGO
S
SFSXX
NN
LYLSLS
LZLNm
C
DB H zB H y
DCx
2.5 45
04'4
3'2,0
111
11
NYSYYY OB H yDO 2 5 00',0
NZSZNZZ OB H zDCO 8.3810',0
45
空间平行力系，当它有合力时，合力的作用点 C 就是此空间平行力系的中心 。而物体重心问题可以看成是空间平行力系中心的一个特例。
§ 3-4 物体的重心和形心一、空间平行力系的中心、物体的重心
1、平行力系的中心由合力矩定理：
)()( iOO FmRm nnC FrFrFrRr2211
46
i
iinn
C F
rF
R
rFrFrFr?2211
R
zFz
R
yFy
R
xFx ii
C
ii
C
ii
C
,,:投影式
47
如果把物体的重力都看成为平行力系，则求重心问题就是求平行力系的中心问题。
由合力矩定理：
iiC xPxP
二、重心坐标公式,
y轴：
x轴,iiC yPyP
P=∑△ Pi—— 物体的重量
48
根据平行力系中心位置与各平行力系的方向无关的性质，将力线转成与 y轴平行，再应用合力矩定理对 x 轴取矩得：
iiC zPPz
综合上述得 重心坐标公式 为：
P
zPz
P
yPy
P
xPx ii
C
ii
C
ii
C
,,
若以△ Pi= △ mig,P=Mg 代入上式可得 质心公式
M
zmz
M
ymy
M
xmx ii
C
ii
C
ii
C
,,
49
设?i表示第 i个小部分每单位体积的重量,⊿ Vi第 i个小体积。对于 均质物体,?=恒量,则,
V
zVz,
V
yVy,
V
xVx ii
C
ii
C
ii
C
三、均质物体的重心坐标公式,
△ Pi=? △ Vi,P=∑ △ Pi= ∑? △ Vi=?∑ △ Vi=? V
于是得：
均质物体的重心与其重量无关，只与物体的体积（几何形状）
有关，这个 只由物体的几何形状决定的点称为物体的形心 。上式又称为物体的 形心公式 。
注意,（ 1）形心与重心是两个不同的概念。对于均质物体，
重心和形心是重合的。
50
（ 2）有对称面（轴、点）的均质物体，其重心必在对称面（轴、点）上。
令△ Vi→0,则上式可写成 积分形式,
V
x d Vx V
C
V
y d Vy V
C
V
z d Vz V
C
51
A— 面积
A
zAz,
A
yAy,
A
xAx ii
C
ii
C
ii
C
l
zlz,
l
yly,
l
xlx ii
C
ii
C
ii
C
同理可得均质薄壳（板）的重心公式：
均质空间曲线的重心公式：
l— 长度同样可得它们的积分形式。
52
解,由于对称关系，该圆弧重心必在 Ox轴，即 yC=0。取微段
dRdL
c o s Rx
R
dR
L
dLx
x LC
2
c o s
2?
s inRx
C?
① 积分法 （简单形体）
[例 ] 求半径为 R，顶角为 2? 的均质圆弧的重心。
四、确定均质物体重心的方法常见简单形状的均质物体的重心公式见教材 P97
53
② 分割法 （由简单形体组成的复杂形体）
解法一：
[例 ]求图示均质薄板的重心，尺寸如图，长度单位,cm。
（ 1）建坐标系（尽量利用对称性）
（ 2）将图形分成 Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ 三个部分，则
2
1
cm2 5 2 0 0
120210A
cm6012021x 1
cm10521021y 1
54
cm33042021120x 3 cm459021y 3
cm233AAA xAxAxAx
321
332211
C
cm4.86AAA yAyAyAy
321
332211
C
cm26042031120x 2
cm13 0)9021 0(3190y 2
2
2 cm25200)90210(4202
1A
23 cm3 7 8 0 0904 2 0A
55
解法二,把板看成长方形 Ⅰ
割去虚线所示三角形 Ⅱ 而成
，将割去的面积看作负值。
21 1 1 3 4 0 02 1 05 4 0 cmA
cmx 270540211
cmy 105210211
2
2 2 52 0 01 204 202
1 cmA
cmx 4 0 04 2 0321 2 02 cmy 1701203
290
2
cm233
21
2211?
AA
xAxAx
C cm4.86
21
2211?
AA
yAyAy
C
此方法也称为负面积法
56
0)( Fm B由 01 CxPlP 称 P lPx C 1 称
③ 实验法
<1>悬挂法 <2>称重法
57
[例 8] 挖去一正方形块 HGFK的均质凹形薄板 ABCD，在 A处用球铰支承,B处用碟铰与铅垂墙相连，再用一绳索 CE拉住使板保持水平。已知板的单位面积重 γ=5KN/m2，尺寸如图。求绳索的拉力及球铰 A和碟铰 B处的反力。
解 取整体为研究对象，
受力如图。取如图坐标：
板重 P=55kN,sinα=3/5
,cosα=4/5
由重心坐标公式求得
xc=-2.14m,yc=1.5m
∑mx=0,-P·yc
+Tsin30·3=0，得 T=55kN
∑my=0,ZB·4 -P·│xc│+Tsin300 ·4=0，得 ZB=1.9kN
58
∑mz=0,YB=0
∑Z=0,ZA+ZB+Tsin300-P=0,ZA=25.6 kN
∑Y=0,YA+YB-Tcos300sinα=0,YA=28.6 kN
∑X=0,-XA+Tcos300cosα=0,XA=38.1 kN
59
