1
2
第二章 平面一般力系平面一般力系,各力的作用线都在同一平面内且任意分布的力系 。
[例 ]屋架：
2/G2/G
G G G
2/Q
Q Q
AX
AY BN
有自重,风压力,约束反力。
这些力构成平面一般力系。
3
平面一般力系包含以下几种特殊力系：
（ 1）平面汇交力系：各力的作用线都在同一平面内且汇交于一点的力系 。
（ 2）平面平行力系：各力的作用线都在同一平面内且相互平行的力系 。
（ 3）平面力偶系：各力偶作用面共面。
4
§ 2-1 平面一般力系的简化一、力的平移定理可以把作用在刚体上点 A的力平行移到任一指定点 B，但必须同时附加一个力偶。这个力偶的矩等于原力对指定点 B的矩。
= =
证,
FFF "' )( FmFdm B
5
● 该定理指出，一个力可等效于一个力和一个力偶，或一个力可分解为作用在同平面内的一个力和一个力偶。其逆定理表明，在同平面内的一个力和一个力偶可等效或合成一个力 。
● 该定理既是复杂力系简化的理论依据，又是分析力对物体作用效应的重要方法。
例如单手攻丝时，而且丝锥易折断。
6
二、平面汇交力系的合成设有四个力组成的平面汇交力系，应用平行四边形法则：
a
b
1F
c
2F
d
3F
e
4F
R
12R
123R
2112 FFR
312123 FRR
321 FFF
4123 FRR
4321 FFFF
说明：
（ 1）去掉虚线后的多边形称为 力多边形 。用此方法求合力，
称为力多边形法则。
（ 2）改变分力的作图顺序，力多边形改变，但其合力不变。
R
7
对于由 n个力组成的汇交力系，有平面汇交力系可合成为通过汇交点的合力，其大小和方向等于各分力的矢量和 。
n
1i
FFFFFR iin21?（ a）
以 A点为原点建立直角坐标系，将
（ a）式向 x,y轴投影：
由矢量投影定理：
inx XX.,,XXR 21
iny YY...YYR 21
8
当合力等于零，即 时，汇交力系平衡。0R?
此时,力多边形自行封闭 这就是 汇交力系平衡的几何条件 。
合力的大小：
方向：
作用点：
2
i
2
i
2
y
2
x YXRRR
x
y
R
R
tg
力系的汇交点
9
[例 1]如图所示，作用于吊环螺钉上的四个力构成平面汇交力系。已知各力的大小为 F1=360N,F2=550N，
F3=380N,F4=300N，方向如图。试求合力的大小和方向。
解,选取图示坐标系，则
44332211 co sFco sFco sFco sFR x
70c o s30030c o s3800c o s55060c o s360 N1162?
44332211y s i nFs i nFs i nFs i nFR N1 6 0
10
合力的大小和方向分别为
N)()(RRR yx 1 1 7 31 6 01 1 6 2 2222
1 3 3.01 1 6 21 6 0RRtg xy? 457
由于 为正,为负，故合力在第四象限，如图所示 。xR yR
三、平面力偶系的合成
11;111 dFm
222 dFm
212121 mmdPdPd)PP(dRm 合力偶矩设有两个力偶组成的力偶系
in 1i in21 mmmmmm?
结论,平面力偶系合成结果还是一个力偶,其力偶矩为各力偶矩的代数和 。
对由 n个力偶组成的力偶系：
= =
21
21
'P'P'R
PPR
dPm
dPm
22
11
12
(c)(b)
四、平面一般力系向作用面内任一点简化设刚体上作用一平面任意力系,····· 。 n21 FFF
在力系作用面内任取一点 O，称该点为 简化中心
（ 1）将各力平移至点 O,得一平面汇交力系和一平面力偶系。
（ 2）将平面汇交力系合成：
n21 'F...'F'F n21 F.,,FF iF
原力系中各力的矢量和称为力系的 主矢量,简称 主矢 （
它是不是原力系的合力？），用 表示，即'R iF'R
1'F
m1 2'F
m2
n'F
mn=
'R
'R
(a)
13
'R
(c)
(3)将平面力偶系合成
：
得到作用于力系平面内的一力偶，其力偶矩为,
=m1+m2+…+ mn
原力系中各力对简化中心之矩的代数和称为 力系对简化中心的主矩 （它是不是合力偶？）
主矩一般与简化中心的位置有关（ why？）。
)F(m.,,)F(m)F(m nO2O1O )F(m iO
MO
MO=
主矢 作用在简化中心 O点,与简化中心位置无关 （为什么？）。
=
(a)
1'F
m1 2'F
m2
mn
n'F (b)
14
'R
(c)(a)
过 O点建立直角坐标系，由矢量和投影定理，得主矢在 x,y轴上的投影为：
则主矢的大小：
in21
'
y
in21
'
x
YYYYR
XXXXR
y
x
y
x
2i2i2y2x )Y()X('R'R'R
方向,?
i
i
x
y
X
Y
'R
'R 11 tgtg?
α
结论,平面一般力系向作用面内任一点简化，得到一个力和一个力偶。这力的大小和方向等于原力系的主矢，作用在简化中心；
这力偶的矩等于原力系对简化中心的主矩。
MO
15
固定端（插入端）约束 说明
① 认为 Fi这群力在同一平面内 ;
② 将 Fi向 A点简化得一力和一力偶 ;
③ RA方向不定可用正交分力 YA,XA表示 ;
④ YA,XA,mA为固定端约束反力 ;
⑤ YA,XA限制物体平动,
mA为限制转动。
16
① =0,MO≠0 原力系简化为一合力偶 。 只有在这种情况下，主矩才与简化中心的位置无关，因为力偶对任一点的矩恒等于力偶矩，而与矩心的位置无关。
R?
简化结果：主矢,主矩 MO,下面分别讨论 。R?
五,简化结果的讨论? 合力矩定理
② ≠0,MO =0,原力系简化为一个合力,合力
（原力系各力的矢量和），作用线通过简化中心 O。出现这种情况是因为简化中心刚好选在了合力的作用线上了。
'R iF'RR
1.简化结果的讨论
17
R?③ ≠0,MO ≠0 （最一般的情况），此时 可以进一步简化为一个合力 。R
应用力的平移定理的逆过程,
合力 在主矢 的左侧还是右侧？ 根据合力 对简化中心矩的转向应与主矩 MO的转向一致的原则来确定 。
R 'R R
合力 的大小等于原力系的主矢合力 的作用线位置
R
Md O?
R
R
iF'RR
18
④ =0,MO =0,则 力系平衡,以后讨论。R?
2.合力矩定理因此,平面一般力系向作用面内一点简化，有三种可能结果：
合力、合力偶或平衡,.
由 1③ 知,合力 对 O点的矩,R OO MRd)R(m
又因为主矩,)F(mM iOO
于是, )F(m)R(m iOO
即,平面一般力系的合力对力系所在平面内任一点的矩，等于力系中各力对同一点矩的代数和,这就是合力矩定理。
19
例如已知：如图 F,Q,l,求,和解,①用力对点的矩法
②应用合力矩定理
)(FmO )(Qmo
s in)(
lFdFFm
O
lQQm o)(
s i n/Flc t gc o sFls i nFllFlF)F(m yxO c t g
lQQm o)(
20
[例 2] 图示工字形工件的横截面受三力作用，大小分别为：
F1=600N,F2=400N,F3=300N，试将此力系向 A点简化并求简化的最后结果。图中长度单位,mm。
解,（ 1） 计算主矢建立直角坐标系 Axy：
x
y
Rx'=∑Xi=F2=400N
Ry'=∑Yi=-F1+F3
=-300N
N5 0 0)R()R('R 2'y2'x∴ 的大小：'R
方向,θ=arctg│Rx'/ Ry'│=53.10
因为 Rx'为正,Ry'为负，所以主矢在第四象限。
'Rθ
21
（ 2） 计算力系对 A点的主矩
MA=0.1F1+0.1F3
=90N·m
（ 3）求简化的最后结果
x
y
'Rθ
由于 ≠0,MA≠0,因此可进一步简化为一个合力,
'R
R
d=│MA│/R’=90/500=0.18m=180mm
,R= R’=500N，合力作用线距 A点'RR?
R
θ
注意
,② 不管是向 A点简化，还是向其它点简化，简化的最后结果都是一样的。
① 要在图上画出,MA、,d；'R R
MA d
22
§ 2-2 平面一般力系的平衡条件与平衡方程由于 =0 为力平衡
MO=0 为力偶也平衡
R?
一、平面一般力系的平衡方程所以 平面任意力系平衡的充要条件为,
力系的主矢 和主矩 MO 都等于零,即：
0)()(' 22 YXR
0)( iOO FmM
R?
ii
23
0)( iA Fm
0)( iB Fm
0)( iC Fm
③ 三矩式条件,A,B,C不在同一直线上
① 三个独立方程，只能求出三个未知数。
0 iX
0 iY
0)( iO Fm
① 基本形式
0 X
0)( iA Fm
0)( iB Fm
② 二矩式条件,x 轴不 AB
连线
i
② 两投影轴可以不垂直（但不能平行）；矩心也可任选，不一定坐标原点（因为主矢等于零，主矩与简化中心的位置无关）。
③ 采用那种形式，先列那个方程，应以简便为原则。
24
[例 3] 图示起重机，均质梁重 Q=4.2kN，荷载 W=10kN。不计杆
BC自重，求平衡时 A处的反力和杆 BC受的力。
解,以 AB梁为研究对象受力图如图（ 以后对整体结构的受力图，可以直接画在原图上 ）
WQ
AX
S
,0)F(m iA S·6 · sin300-3Q-4W=0
kN53.175.06 1042.4330s i n6 W4Q3S 0 (拉）
AY
25
WQ
AX
AY
S
∑Xi=0,XA－ S ·cos300=0
XA = S ·cos300=17.53× 0.866=15.18kN
∑Yi=0,
YA － Q － W+S·sin300=0
YA= Q+W － S·sin300
=5.44kN
以上使用的是平衡方程的基本形式，如用二力矩式，则：
,0)F(m iA
∑Xi=0,同前
,0)F(m iB 3Q+2W － 6YA=0,YA=5.44kN
如使用三力矩式，则由可求得
,0)F(m iA,0)F(m iB
,0)F(m iC
y
x
26
平面一般力系的解题步骤：
1.选取研究对象
2.画受力图
3.选投影轴及矩心：尽可能使投影轴与未知力垂直，矩心尽可能选在未知力的交点上，以使每个方程中的未知量的数目最少。
4.列方程求解：应先列只含一个未知量的方程，避免解联立方程。
此外，计算力矩时要善于应用合力矩定理。
27
二、平面汇交力系的平衡方程
1F
2F
nF
O x
y
图示平面汇交力系,取汇交点 O未简化中心，则
0)F(m iO
于是，由平面一般力系平衡方程的基本形式，得平面汇交力系的平衡方程：
∑Xi=0
∑Yi=0
28
[例 4] 已知如图 P,Q,求平衡时 =？ 地面的反力 ND=？
解,研究对象：球 A
（其受力为平面汇交力系）
PPTN D 3Q60s i n2Qs i nQ 02由②得
060
212c o s 21 PPTT?
由①得
0 X
0Y
0c os 12 TT?
0Qs i n2 DNT?
①
②
i
i,
，
29
三、平面平行力系的平衡方程图示平行力系，
1F
2F nF
x
y
取如图所示直角坐标系，则
∑Xi≡0
于是，由平面一般力系平衡方程的基本形式及二力矩式，得平面平行力系的平衡方程：
∑Yi=0
0)( iO Fm
基本形式
0)( iA Fm
0)( iB Fm
二力矩式
O
AB连线不能平行于各力的作用线
30
[例 5] 已知塔式起重机 P=700kN,
W=200kN (最大起重量 )，尺寸如图。求：①保证满载和空载时不致翻倒，平衡块 Q=？ ②当
Q=180kN时，求满载时轨道 A,B
给起重机轮子的反力？（教材
P40例 2-3与此题类似）
31
0?AN
kN 75?Q
限制条件,
解得解,⑴ ①首先考虑满载时，起重机不向右翻倒的最小 Q为：
② 空载时,W=0
限制条件 为,0?BN 解得 kN 350?Q
因此保证空、满载均不倒 Q应满足如下关系,
kN 3 5 0kN 75 Q
0)( Fm B
0)22()212(2)26( ANWPQ
i,
由 0)( Fm
A 0)22(2)26( BNPQi
，
32
04212226 BN)(WP)(Q,
,0Yi 0 BA NNWPQ
kN 870
,kN 210
B
A
N
N
⑵ 求当 Q=180kN，满载 W=200kN时,NA,NB为多少由平面平行力系的平衡方程可得：
解得：
0)( Fm A i
33
四、平面力偶系的平衡方程因为力偶在任一轴上的投影的代数和恒等于零，即
∑Xi≡0
∑Yi≡0
所以，有平面一般力系平衡方程的基本形式，得平面力偶系的平衡方程：
∑mi=0
34
[例 6] 在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径的孔,每个钻头的力偶矩为求工件的总切削力偶矩和 A,B端水平反力?
mN154321 mmmm
mN60)15(4
4321
mmmmm
02.0 4321 mmmmN B
N3002.060 BN N 300 BA NN
解,各力偶的合力偶距为根据 ∑ mi=0有,
由力偶只能与力偶平衡的性质，
力 NA与力 NB组成一力偶。
35
§ 2-3 静定与静不定问题的概念? 物体系统的平衡独立方程数目 ≥ 未知数数目时，是静定问题（可求解）
独立方程数目 <未知数数目时，是静不定问题（超静定问题）
每种力系的独立平衡方程数是一定的，因而能求解未知量的个数也是一定的。
静不定次数：未知量的数目 — 独立平衡方程的数目
36
[例 ]
静不定问题在强度力学 （ 材力,结力,弹力）中用位移谐调条件来求解 。
静定（未知数三个） 静不定（未知数四个）
37
[例 ]
二、物体系统的平衡问题外力,外界物体作用于系统上的力。
内力,系统内部各物体之间的相互作用力。
物体系统（ 物系 ）：由两个及以上物体通过约束所组成的系统 。
38
物系平衡的特点：
①物系平衡，物系中每个物体也平衡。
② 在平面一般力系作用下，一个物体可列 3个平衡方程,则由 n个物体组成的系统可列 3n个方程。
③ 要分清内力与外力，内力不画在受力图上。
39
[*例 7] 已知,OA=R,AB= l,当 OA水平时，冲压力为 P
时，求：① M=？② O点的约束反力？③ AB杆内力？④
冲头给导轨的侧压力？
0X i由
0s inBSN
0Yi
0c o sBSP
gPNPS B t,c o s
解,研究 B
40
0)F(m iO
0c os MRS A?
0X i
0s inAO SX
0Y i
0c o s OA YS?
PRM PY
O t gPX O
[负号表示力的方向与图中所设方向相反 ]
再研究轮
41
[例 8]组合梁 ABC所受荷载及支承情况如图所示。已知集中力
P=10 kN，均布荷载的集度 q=20 kN／ m，力偶矩 m=150kN·m
,l=8m。试求 A,C处的反力。（教材例 2-6）
解 （ 1）以 AB为研究对象：
08418360s i n2 0 lqllPlY A
,)F(m iB 0
kN..,,Y A 516
42
(2)以整体为研究对象：
AY
CY
CX
mCy
x
kNX,Xc o sP,X CCi 50600 0
kN....Y,Ylqs i nPY,Y CCAi 167202600 0
02287600 0 CAiC mmllqls i nPlY,)F(m
mkN.m C 6498
2
第二章 平面一般力系平面一般力系,各力的作用线都在同一平面内且任意分布的力系 。
[例 ]屋架：
2/G2/G
G G G
2/Q
Q Q
AX
AY BN
有自重,风压力,约束反力。
这些力构成平面一般力系。
3
平面一般力系包含以下几种特殊力系：
（ 1）平面汇交力系：各力的作用线都在同一平面内且汇交于一点的力系 。
（ 2）平面平行力系：各力的作用线都在同一平面内且相互平行的力系 。
（ 3）平面力偶系：各力偶作用面共面。
4
§ 2-1 平面一般力系的简化一、力的平移定理可以把作用在刚体上点 A的力平行移到任一指定点 B，但必须同时附加一个力偶。这个力偶的矩等于原力对指定点 B的矩。
= =
证,
FFF "' )( FmFdm B
5
● 该定理指出，一个力可等效于一个力和一个力偶，或一个力可分解为作用在同平面内的一个力和一个力偶。其逆定理表明，在同平面内的一个力和一个力偶可等效或合成一个力 。
● 该定理既是复杂力系简化的理论依据，又是分析力对物体作用效应的重要方法。
例如单手攻丝时，而且丝锥易折断。
6
二、平面汇交力系的合成设有四个力组成的平面汇交力系，应用平行四边形法则：
a
b
1F
c
2F
d
3F
e
4F
R
12R
123R
2112 FFR
312123 FRR
321 FFF
4123 FRR
4321 FFFF
说明：
（ 1）去掉虚线后的多边形称为 力多边形 。用此方法求合力，
称为力多边形法则。
（ 2）改变分力的作图顺序，力多边形改变，但其合力不变。
R
7
对于由 n个力组成的汇交力系，有平面汇交力系可合成为通过汇交点的合力，其大小和方向等于各分力的矢量和 。
n
1i
FFFFFR iin21?（ a）
以 A点为原点建立直角坐标系，将
（ a）式向 x,y轴投影：
由矢量投影定理：
inx XX.,,XXR 21
iny YY...YYR 21
8
当合力等于零，即 时，汇交力系平衡。0R?
此时,力多边形自行封闭 这就是 汇交力系平衡的几何条件 。
合力的大小：
方向：
作用点：
2
i
2
i
2
y
2
x YXRRR
x
y
R
R
tg
力系的汇交点
9
[例 1]如图所示，作用于吊环螺钉上的四个力构成平面汇交力系。已知各力的大小为 F1=360N,F2=550N，
F3=380N,F4=300N，方向如图。试求合力的大小和方向。
解,选取图示坐标系，则
44332211 co sFco sFco sFco sFR x
70c o s30030c o s3800c o s55060c o s360 N1162?
44332211y s i nFs i nFs i nFs i nFR N1 6 0
10
合力的大小和方向分别为
N)()(RRR yx 1 1 7 31 6 01 1 6 2 2222
1 3 3.01 1 6 21 6 0RRtg xy? 457
由于 为正,为负，故合力在第四象限，如图所示 。xR yR
三、平面力偶系的合成
11;111 dFm
222 dFm
212121 mmdPdPd)PP(dRm 合力偶矩设有两个力偶组成的力偶系
in 1i in21 mmmmmm?
结论,平面力偶系合成结果还是一个力偶,其力偶矩为各力偶矩的代数和 。
对由 n个力偶组成的力偶系：
= =
21
21
'P'P'R
PPR
dPm
dPm
22
11
12
(c)(b)
四、平面一般力系向作用面内任一点简化设刚体上作用一平面任意力系,····· 。 n21 FFF
在力系作用面内任取一点 O，称该点为 简化中心
（ 1）将各力平移至点 O,得一平面汇交力系和一平面力偶系。
（ 2）将平面汇交力系合成：
n21 'F...'F'F n21 F.,,FF iF
原力系中各力的矢量和称为力系的 主矢量,简称 主矢 （
它是不是原力系的合力？），用 表示，即'R iF'R
1'F
m1 2'F
m2
n'F
mn=
'R
'R
(a)
13
'R
(c)
(3)将平面力偶系合成
：
得到作用于力系平面内的一力偶，其力偶矩为,
=m1+m2+…+ mn
原力系中各力对简化中心之矩的代数和称为 力系对简化中心的主矩 （它是不是合力偶？）
主矩一般与简化中心的位置有关（ why？）。
)F(m.,,)F(m)F(m nO2O1O )F(m iO
MO
MO=
主矢 作用在简化中心 O点,与简化中心位置无关 （为什么？）。
=
(a)
1'F
m1 2'F
m2
mn
n'F (b)
14
'R
(c)(a)
过 O点建立直角坐标系，由矢量和投影定理，得主矢在 x,y轴上的投影为：
则主矢的大小：
in21
'
y
in21
'
x
YYYYR
XXXXR
y
x
y
x
2i2i2y2x )Y()X('R'R'R
方向,?
i
i
x
y
X
Y
'R
'R 11 tgtg?
α
结论,平面一般力系向作用面内任一点简化，得到一个力和一个力偶。这力的大小和方向等于原力系的主矢，作用在简化中心；
这力偶的矩等于原力系对简化中心的主矩。
MO
15
固定端（插入端）约束 说明
① 认为 Fi这群力在同一平面内 ;
② 将 Fi向 A点简化得一力和一力偶 ;
③ RA方向不定可用正交分力 YA,XA表示 ;
④ YA,XA,mA为固定端约束反力 ;
⑤ YA,XA限制物体平动,
mA为限制转动。
16
① =0,MO≠0 原力系简化为一合力偶 。 只有在这种情况下，主矩才与简化中心的位置无关，因为力偶对任一点的矩恒等于力偶矩，而与矩心的位置无关。
R?
简化结果：主矢,主矩 MO,下面分别讨论 。R?
五,简化结果的讨论? 合力矩定理
② ≠0,MO =0,原力系简化为一个合力,合力
（原力系各力的矢量和），作用线通过简化中心 O。出现这种情况是因为简化中心刚好选在了合力的作用线上了。
'R iF'RR
1.简化结果的讨论
17
R?③ ≠0,MO ≠0 （最一般的情况），此时 可以进一步简化为一个合力 。R
应用力的平移定理的逆过程,
合力 在主矢 的左侧还是右侧？ 根据合力 对简化中心矩的转向应与主矩 MO的转向一致的原则来确定 。
R 'R R
合力 的大小等于原力系的主矢合力 的作用线位置
R
Md O?
R
R
iF'RR
18
④ =0,MO =0,则 力系平衡,以后讨论。R?
2.合力矩定理因此,平面一般力系向作用面内一点简化，有三种可能结果：
合力、合力偶或平衡,.
由 1③ 知,合力 对 O点的矩,R OO MRd)R(m
又因为主矩,)F(mM iOO
于是, )F(m)R(m iOO
即,平面一般力系的合力对力系所在平面内任一点的矩，等于力系中各力对同一点矩的代数和,这就是合力矩定理。
19
例如已知：如图 F,Q,l,求,和解,①用力对点的矩法
②应用合力矩定理
)(FmO )(Qmo
s in)(
lFdFFm
O
lQQm o)(
s i n/Flc t gc o sFls i nFllFlF)F(m yxO c t g
lQQm o)(
20
[例 2] 图示工字形工件的横截面受三力作用，大小分别为：
F1=600N,F2=400N,F3=300N，试将此力系向 A点简化并求简化的最后结果。图中长度单位,mm。
解,（ 1） 计算主矢建立直角坐标系 Axy：
x
y
Rx'=∑Xi=F2=400N
Ry'=∑Yi=-F1+F3
=-300N
N5 0 0)R()R('R 2'y2'x∴ 的大小：'R
方向,θ=arctg│Rx'/ Ry'│=53.10
因为 Rx'为正,Ry'为负，所以主矢在第四象限。
'Rθ
21
（ 2） 计算力系对 A点的主矩
MA=0.1F1+0.1F3
=90N·m
（ 3）求简化的最后结果
x
y
'Rθ
由于 ≠0,MA≠0,因此可进一步简化为一个合力,
'R
R
d=│MA│/R’=90/500=0.18m=180mm
,R= R’=500N，合力作用线距 A点'RR?
R
θ
注意
,② 不管是向 A点简化，还是向其它点简化，简化的最后结果都是一样的。
① 要在图上画出,MA、,d；'R R
MA d
22
§ 2-2 平面一般力系的平衡条件与平衡方程由于 =0 为力平衡
MO=0 为力偶也平衡
R?
一、平面一般力系的平衡方程所以 平面任意力系平衡的充要条件为,
力系的主矢 和主矩 MO 都等于零,即：
0)()(' 22 YXR
0)( iOO FmM
R?
ii
23
0)( iA Fm
0)( iB Fm
0)( iC Fm
③ 三矩式条件,A,B,C不在同一直线上
① 三个独立方程，只能求出三个未知数。
0 iX
0 iY
0)( iO Fm
① 基本形式
0 X
0)( iA Fm
0)( iB Fm
② 二矩式条件,x 轴不 AB
连线
i
② 两投影轴可以不垂直（但不能平行）；矩心也可任选，不一定坐标原点（因为主矢等于零，主矩与简化中心的位置无关）。
③ 采用那种形式，先列那个方程，应以简便为原则。
24
[例 3] 图示起重机，均质梁重 Q=4.2kN，荷载 W=10kN。不计杆
BC自重，求平衡时 A处的反力和杆 BC受的力。
解,以 AB梁为研究对象受力图如图（ 以后对整体结构的受力图，可以直接画在原图上 ）
WQ
AX
S
,0)F(m iA S·6 · sin300-3Q-4W=0
kN53.175.06 1042.4330s i n6 W4Q3S 0 (拉）
AY
25
WQ
AX
AY
S
∑Xi=0,XA－ S ·cos300=0
XA = S ·cos300=17.53× 0.866=15.18kN
∑Yi=0,
YA － Q － W+S·sin300=0
YA= Q+W － S·sin300
=5.44kN
以上使用的是平衡方程的基本形式，如用二力矩式，则：
,0)F(m iA
∑Xi=0,同前
,0)F(m iB 3Q+2W － 6YA=0,YA=5.44kN
如使用三力矩式，则由可求得
,0)F(m iA,0)F(m iB
,0)F(m iC
y
x
26
平面一般力系的解题步骤：
1.选取研究对象
2.画受力图
3.选投影轴及矩心：尽可能使投影轴与未知力垂直，矩心尽可能选在未知力的交点上，以使每个方程中的未知量的数目最少。
4.列方程求解：应先列只含一个未知量的方程，避免解联立方程。
此外，计算力矩时要善于应用合力矩定理。
27
二、平面汇交力系的平衡方程
1F
2F
nF
O x
y
图示平面汇交力系,取汇交点 O未简化中心，则
0)F(m iO
于是，由平面一般力系平衡方程的基本形式，得平面汇交力系的平衡方程：
∑Xi=0
∑Yi=0
28
[例 4] 已知如图 P,Q,求平衡时 =？ 地面的反力 ND=？
解,研究对象：球 A
（其受力为平面汇交力系）
PPTN D 3Q60s i n2Qs i nQ 02由②得
060
212c o s 21 PPTT?
由①得
0 X
0Y
0c os 12 TT?
0Qs i n2 DNT?
①
②
i
i,
，
29
三、平面平行力系的平衡方程图示平行力系，
1F
2F nF
x
y
取如图所示直角坐标系，则
∑Xi≡0
于是，由平面一般力系平衡方程的基本形式及二力矩式，得平面平行力系的平衡方程：
∑Yi=0
0)( iO Fm
基本形式
0)( iA Fm
0)( iB Fm
二力矩式
O
AB连线不能平行于各力的作用线
30
[例 5] 已知塔式起重机 P=700kN,
W=200kN (最大起重量 )，尺寸如图。求：①保证满载和空载时不致翻倒，平衡块 Q=？ ②当
Q=180kN时，求满载时轨道 A,B
给起重机轮子的反力？（教材
P40例 2-3与此题类似）
31
0?AN
kN 75?Q
限制条件,
解得解,⑴ ①首先考虑满载时，起重机不向右翻倒的最小 Q为：
② 空载时,W=0
限制条件 为,0?BN 解得 kN 350?Q
因此保证空、满载均不倒 Q应满足如下关系,
kN 3 5 0kN 75 Q
0)( Fm B
0)22()212(2)26( ANWPQ
i,
由 0)( Fm
A 0)22(2)26( BNPQi
，
32
04212226 BN)(WP)(Q,
,0Yi 0 BA NNWPQ
kN 870
,kN 210
B
A
N
N
⑵ 求当 Q=180kN，满载 W=200kN时,NA,NB为多少由平面平行力系的平衡方程可得：
解得：
0)( Fm A i
33
四、平面力偶系的平衡方程因为力偶在任一轴上的投影的代数和恒等于零，即
∑Xi≡0
∑Yi≡0
所以，有平面一般力系平衡方程的基本形式，得平面力偶系的平衡方程：
∑mi=0
34
[例 6] 在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径的孔,每个钻头的力偶矩为求工件的总切削力偶矩和 A,B端水平反力?
mN154321 mmmm
mN60)15(4
4321
mmmmm
02.0 4321 mmmmN B
N3002.060 BN N 300 BA NN
解,各力偶的合力偶距为根据 ∑ mi=0有,
由力偶只能与力偶平衡的性质，
力 NA与力 NB组成一力偶。
35
§ 2-3 静定与静不定问题的概念? 物体系统的平衡独立方程数目 ≥ 未知数数目时，是静定问题（可求解）
独立方程数目 <未知数数目时，是静不定问题（超静定问题）
每种力系的独立平衡方程数是一定的，因而能求解未知量的个数也是一定的。
静不定次数：未知量的数目 — 独立平衡方程的数目
36
[例 ]
静不定问题在强度力学 （ 材力,结力,弹力）中用位移谐调条件来求解 。
静定（未知数三个） 静不定（未知数四个）
37
[例 ]
二、物体系统的平衡问题外力,外界物体作用于系统上的力。
内力,系统内部各物体之间的相互作用力。
物体系统（ 物系 ）：由两个及以上物体通过约束所组成的系统 。
38
物系平衡的特点：
①物系平衡，物系中每个物体也平衡。
② 在平面一般力系作用下，一个物体可列 3个平衡方程,则由 n个物体组成的系统可列 3n个方程。
③ 要分清内力与外力，内力不画在受力图上。
39
[*例 7] 已知,OA=R,AB= l,当 OA水平时，冲压力为 P
时，求：① M=？② O点的约束反力？③ AB杆内力？④
冲头给导轨的侧压力？
0X i由
0s inBSN
0Yi
0c o sBSP
gPNPS B t,c o s
解,研究 B
40
0)F(m iO
0c os MRS A?
0X i
0s inAO SX
0Y i
0c o s OA YS?
PRM PY
O t gPX O
[负号表示力的方向与图中所设方向相反 ]
再研究轮
41
[例 8]组合梁 ABC所受荷载及支承情况如图所示。已知集中力
P=10 kN，均布荷载的集度 q=20 kN／ m，力偶矩 m=150kN·m
,l=8m。试求 A,C处的反力。（教材例 2-6）
解 （ 1）以 AB为研究对象：
08418360s i n2 0 lqllPlY A
,)F(m iB 0
kN..,,Y A 516
42
(2)以整体为研究对象：
AY
CY
CX
mCy
x
kNX,Xc o sP,X CCi 50600 0
kN....Y,Ylqs i nPY,Y CCAi 167202600 0
02287600 0 CAiC mmllqls i nPlY,)F(m
mkN.m C 6498
