1
2
前一章我们研究点和刚体的运动，一般都是以地面为参考体的。然而在实际问题中，还常常要在相对于地面运动着的参考系上观察和研究物体的运动。例如，从行驶的汽车上观看飞机的运动等，坐在行驶的火车内看下雨的雨点是向后斜落的等。
为什么在不同的坐标系或参考体上观察物体的运动会有不同的结果呢？ 我们说事物都是相互联系着的。下面我们就将研究参考体与观察物体运动之间的联系。为了便于研究，下面先来介绍有关的概念。
第五章 点的复合运动
（或称点的合成运动）
3
§ 5-1 绝对运动、相对运动、牵连运动一．坐标系：
1.静坐标系（静系）,固结于地面上的坐标系。
2.动坐标系（动系）,固结于相对于地面运动物体上的坐标系。
铅直下降
4
三．三种运动、速度、加速度。
１．绝对运动,动点相对于静系的运动。
２．相对运动,动点相对于动系的运动。
例如,M点相对于飞机机身的运动。
３．牵连运动,动系相对于静系的运动例如：直升飞机相对于地面的运动。
动点相对于静系的速度与加速度称为 绝对速度 与 绝对加速度动点相对于动系的速度和加速度称为 相对速度 与 相对加速度牵连运动中,牵连点的速度和加速度称为 牵连速度 与 牵连加速度
aa
ev ea
rv ra
av
牵连点,在某瞬时，动系上与动点相重合的点。
点的运动刚体的运动二．动点,所研究的点（运动着的点）。
② 不是随便一点，而是在该瞬时动系上与动点重合的那一点。
注意：① 是动系上某点的速度、加速度；ee a,v
5
下面举例说明以上各概念：
动点：
动系：
静系：
AB杆上 A点固结于凸轮 Ｏ '上固结在地面上四．动点、动系的选择原则：
（ 1）动点相对动系要有运动（即动点、动系不能在一个物体上）
（ 2）动点相对运动轨迹要明显
（ 3）动系的运动要简单（已知或可求）
一般：动点必须是始终与动系接触的那一点，如杆的端点、
销钉、滑块、套筒等机构的连接点。特殊情况为圆心。
6
相对运动,
牵连运动,
曲线（圆弧）
直线平动绝对运动,直线
7
evrvav
绝对速度,相对速度,牵连速度,
8
绝对加速度：
相对加速度：
牵连加速度：
aa
ea
ra
9
动点：圆盘上的销钉 A
动系：摆杆 O'A
静系：机架绝对运动：曲线（圆周）
相对运动：直线牵连运动：定轴转动动点,A1（在 O'A1 摆杆上 )
动系：圆盘静系：机架绝对运动：曲线（圆弧）
相对运动：曲线牵连运动：定轴转动
10
若动点 A在偏心轮上时动点,A(在 AB杆上 ) A（在偏心轮上）
动系：偏心轮 AB杆静系：地面 地面绝对运动：直线 圆周（红色虚线）
相对运动：圆周（曲线） 曲线（未知）
牵连运动：定轴转动 平动
[注 ] 要指明动点应在哪个物体上,但不能选在动系上。
11
§ 5-２点的速度合成定理速度合成定理将建立动点的绝对速度，相对速度和牵连速度之间的关系。
t→ t+△ t
M → M′
也可看成：
M → M1 → M′
M1M′MM′ — 绝对轨迹 — 相对轨迹
M M′ M1M′— 绝对位移 — 相对位移 M M1— 牵连位移
12
1MM
＝'MM ＋ '
1MM由图：
将两边同除以△ t，并取△ t →0 时的极限：
t
MM
t
MM
tMM ttt
1
0
1
00 limlimlim
13
rea vvv
av
ev
rv
即在任一瞬时动点的绝对速度等于其牵连速度与相对速度的矢量和，这就是点的速度合成定理。
14
① 点的速度合成定理是瞬时矢量式，共包括大小?方向 六个元素，已知任意四个元素，就能求出其他两个。
② 在速度平行四边形中,一定夹在 与 之间。
③ 无论牵连运动为何种运动，此定理都成立。
av ev rv
[*例 1] 桥式吊车 已知：
小车水平运行，速度为 v1，
物块 A相对小车垂直上升的速度为 v2。求物块 A的运行速度。
15
作出速度平四边形 如图示，则物块Ａ的速度大小和方向为
2
2
2
1
22 vvvvvv
reaA
1
21tg
v
v
由速度合成定理：
rea vvv
解,选取 动点,物块 A
动系,小车静系,地面相对运动,直线 ;
相对速度 vr =v2 方向?
牵连运动,平动 ;
牵连速度 ve=v1 方向?
绝对运动,曲线 ;
绝对速度 va的大小,方向待求
16
解题步骤：
（ 1）选取动点、动系动系可以用文字说明（如本题），也可以在所选物体上画出 x′o ′ y ′，静系可以不叙述。
（ 2）分析三种运动
（ 3）分析三种速度
（ 4）由 作速度平行四边形注意,要位于 与 之间
（ 5）由速度平行四边形求解
rea vvv
av ev rv
17
2
2
2
2
21
111
22
2
22
222
1
,
s i n,s i n
lr
r
lr
r
lrAO
v
AOv
lr
r
vv
lr
r
e
e
ae
又 （ ）
[例 2] 曲柄摆杆机构已知,OA= r,?,OO1=l 图示瞬时 OA?OO1
求,摆杆 O1B角速度?1
由速度合成定理 作出 速度平行四边形 如图示。rea vvv
解,动点：套筒 A，动系：固结在摆杆
O1B上。
绝对速度 va = r? 方向? OA与 ω一致相对速度 vr =? 方位,O1B
牵连速度 ve =? 方位?O1B
18
由速度合成定理,
作出速度平行四边形 如图示。
解,动点 取直杆上 A点,动系 固结于圆盘，
静系 固结于基座。
（翻页请看动画）
)(3 32 3 3230 0 evetgvv ABea
[*例 3] 圆盘凸轮机构已知,OC＝ e,,?（匀角速度）
图示瞬时,OC?CA 且 O,A,B三点共线。
求,从动杆 AB的速度。
eR 3?
rea vvv
绝对速度 va =? 待求，方位 AB
相对速度 vr =? 未知，方位?CA
牵连速度 ve =OA=2e?,方向? OA如图
19
20
分析,相接触的两个物体的接触点位置都随时间而变化，
因此两物体的接触点都不宜选为动点，否则相对运动的分析就会很困难。这种情况下，需选择满足上述两条原则的非接触点为动点。
[*例４ ] 已知,凸轮半径 r,图示时 杆 OA靠在凸轮上。
求：杆 OA的角速度。;30,v
21
解,取凸轮上 C点为 动点,
动系 固结于 OA杆上,
静系 固结于基座。
绝对运动,直线运动,
绝对速度,
相对运动,直线运动,
相对速度,
牵连运动,定轴转动,牵连速度,
,方向vv a
OCOCv e 方位待求,,方位,rv OA
如图示。根据速度合成定理,
rea vvv
作出速度平行四边形
r
vv
rr
v e
6
3
3
3
2
1
2
vvv ae 33tg
（ ）
,2s i n rrOCv e又
22
§ 5-3 点的加速度合成定理
rea vvv
由于 牵连运动为平动,故由速度合成定理
'',OeOe aavv
'''''' r kdtdzjdtdyidtdxv而
kdtdzjdtdyidtdxvv Oa '''
对 t求导,''''''
2
2
2
2
2
2 k
dt
zdj
dt
ydi
dt
xd
dt
vd
dt
vda Oa
a
设有一动点 M按一定规律沿着固连于动系 O'x'y'z' 的曲线 AB
运动,而曲线 AB同时又随同动系 O'x'y'z' 相对静系 Oxyz平动。
一、牵连运动为平动时点的加速度合成定理
23
0',0',0' dtzddtyddtid
(其中 为动系坐标的单位矢量，因为动系为平动，故它们的方向不变，是常矢量，所以 ）
',',' kji
rea aaa
— 牵连运动为平动时点的加速度合成定理即当牵连运动为平动时，动点的绝对加速度等于牵连加速度与相对加速度的矢量和。
'''''',222222'' kdt zdjdt ydidt xdaaadtvd reOO又
naaa
nrrneenaa aaaaaa
∴ 一般式可写为：
24
解,取杆 AB上的 A点为 动点,
动系 固连在凸轮上。
[例 5] 已知：凸轮半径求,? =60o时,顶杆 AB的加速度。
oo avR,,
请看动画
25
由,
rea vvv 作速度平行四边形如图示：
0o0er v3
2
60s i n
v
s i n
vv
（ 1）求 rv,va =?,方位,AB ；av
,ve=v0,方向,→ 。ev
,vr =?,方位?CA;rv
26
（ 2）求 aAB aa?
,aa=?,方 位,AB，指向：假设
arτ=? 方位?CA
方向,A→ C
,ae=a0,方向,→
R
v
R
va rn
r 3
4 202
aa
ea
:ar
指向：假设注意：不同于速度，加速度的指向一般为假设加速度图要与速度图分开画
27
因 牵连运动为平动,故有
nrea aaaa
r
将上式向 n轴投影，得
nrea aaa c o ss in
60s i n/)3460c o s(s i n/)c o s(
2
00
R
vaaaa n
rea
得 )
3
8(
3
3 20
0 R
vaaa
aAB
[注意 ]加速度矢量方程的投影是等式两端的投影，与静平衡方程的投影关系不同
n
28
上一节我们证明了牵连运动为平动时的点的加速度合成定理，那么当牵连运动为转动时，上述的加速度合成定理是否还适用呢？下面我们来分析一特例。
二、牵连运动为转动时点的加速度合成定理设一圆盘以匀角速度? 绕定轴 Ｏ 顺时针转动，盘上圆槽内有一点 M以大小不变的速度 vr 沿槽作圆周运动，那么 M点相对于静系的绝对加速度应是多少呢？
1.牵连运动为转动时的加速度合成定理与牵连运动为平动时有何不同？
29
R
vav r
rr
2
, 常数有相对运动 为匀速圆周运动，
（方向如图）
由速度合成定理可得出常数 rrea vRvvv?
选点 M为动点，动系固结与圆盘上,
则 M点的 牵连运动 为匀速转动
RaRv ee 2, （方向如图）
即 绝对运动 也为匀速圆周运动，所以方向指向圆心 Ｏ 点
rrerrraa vaavR
vR
R
)vR(
R
va 222222
30
分析上式,还多出一项 2? vr 。
可见,当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度 并不等于牵连加速度 和相对加速度 的矢量和。 那么他们之间的关系是什么呢？ 2? vr 又是怎样出现的呢？它是什么呢？ 下面我们就来讨论这些问题，推证牵连运动为转动时点的加速度合成定理。
ea ra
aa
,,/ 22?RaRva err
2.牵连运动为转动时的加速度合成定理
31
2.牵连运动为转动时的加速度合成定理
(1)动系,O’x’y’z’；静系,Oxyz，
动系以 ω,ε绕 z轴转动，动点 M相对于动系沿 AB运动。
① 动点的相对速度及相对加速度
'''''' kdtdzjdtdyidtdxv r
'''''' 2
2
2
2
2
2
kdt zdjdt ydidt xda r
② 动系绕 z轴转动，动系上与动点重合的点的速度、加速度即牵连速度、牵连加速度：由公式（ 4-2-13）（ 4-2-14）
eee vrarv ','
32
(2)由速度合成定理 得
rea vvv
dt
vd
dt
vd
dt
vda rea
a —— （ *）
dt
rdr
dt
d
dt
rd
dt
vd e '')'(
dt
oordr )'('
avrdt
rdr ''
rere vavvr '
rv 是牵连速度受相对运动的影响而对时间的变化率
33
)''''''( kdtdzjdtdyidtdxdtddtvd r
dt
kd
dt
dz
dt
jd
dt
dy
dt
id
dt
dx
k
dt
zd
j
dt
yd
i
dt
xd
''''''
'
'
'
'
'
'
2
2
2
2
2
2
dt
kd
dt
dz
dt
jd
dt
dy
dt
id
dt
dxa
r
''''''
是 矢端的速度，所以 可以看成是矢径 的端点速度，由于 随同动系绕 z轴转动，因此 端点的速度可按式
（ 4-2-13）得
dt
rd
dt
kd 'r
'k'k
'k
34
'' kdtkd '','' jdt jdidt id同理
rrr
r vak
dt
dzj
dt
dyi
dt
dxa
dt
vd )''''''(
是相对速度受牵连运动的影响而对时间的变化率rv
于是，由（ *）：
crea aaaa则
rrea vaaa2
科氏加速度令 rC va?2
35
所以，当牵连运动为转动时,加速度合成定理 为
crea aaaa
当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度等于它的牵连加速度，相对加速度和科氏加速度三者的矢量和。
rc va2
cnrrneenaa aaaaaaa一般式
3.科氏加速度这是由于牵连运动为转动时，牵连运动会改变相对速度的方向而引起相对速度的变化，相对运动会改变牵连点而引起牵连速度的变化。
—— 牵连运动（即动系）
的角速度
36
大小, s i nva rc 2?方向：按右手法则确定
rcro vav 290 ），时（当
01800 croo av// ），时（或当
4,存在的实例ca
在北半球,沿经线 (南北 )流动的河流的右岸易被冲刷 (如苏联的伏尔加河 ),铁路的右轨磨损厉害，在南半球则相反。
rv
对于平面机构,aC=2ωvr,方向：
将 绕动系 ω方向转 900即得
37
解,动点,AB杆上 A点；
动系,凸轮 ; 静系,地面。
（ 1）求 vAB
[例 6] 已知：凸轮机构以匀? 绕 O轴转动，
图示瞬时 OA= r,A点曲率半径?,? 已知。
求：该瞬时顶杆 AB的速度和加速度。
av,va=?,方位,AB
ev,ve=? r,方向?OA,?
rv,vr=? 方向?n
38
nrvaa rnrr,,c os//,2222 方向
，指向：假设方位,AB?aa aa,,?
n?a r 方位?;OA:raaaa neeτee,,0,2 方向?
相反。指向与方位
22,2
n,n:
,cos/rvaa rcc
)(tg tg rvvv eaAB
c o s/ c o s/ rvv er
根据
rea vvv
作出速度平行四边形
（ 2）求 aAB
指向：假设
39
由 牵连运动为转动时的加速度合成定理
cnrrea aaaaa
作出 加速度矢量图 如图示
cnrea aaaa c o sc o s
c o s/)s e c2/s e cc o s( 22222 rrraa aAB
)s e c2/s e c1( 232 rr
向 n 轴投影：
40
)v//a c 22 ( 0
[练习 ] 矩形板 ABCD以匀角速度? 绕固定轴 z 转动，点 M1和点 M2分别沿板的对角线
BD和边线 CD运动，在图示位置时相对于板的速度分别为 和,计算点 M1,M2的科氏加速度大小,并图示方向。
1v 2v
点 M2 的科氏加速度
s i nva c 11 2?
解,点 M1的科氏加速度垂直板面向里?。
1ca
41
解,rc va 22?
rcr vav 22 2
rea vvv
根据 做出速度平行四边形
)c o s (s i n),s i n (c o s 11 rvvrvv arae
11
2
2 c o s
s i n)s i n (
c o s
s i n)s i n (?
rrAO
v e
rc o s )s i n (va rc 212 222 方向：与 相同。
ev
[练习 ] 曲柄摆杆机构已知,O1A＝ r,?,?,?1;
取 O1A杆上 A点为动点，动系固结 O2B
上，试计算动点 A的科氏加速度。
42
rea vvv
rea aaa
点的合成运动习题课一．概念及公式
1,一点、二系、三运动
2,速度合成定理
3,加速度合成定理牵连运动为平动时牵连运动为转动时 )2( rCCrea vaaaaa
43
二．解题步骤
1,选择动点、动系、静系。
2,分析三种运动：绝对运动、相对运动和牵连运动。
3,作速度分析,画出速度平行四边形,求出有关未知量 (速度,
角速度）。
4,作加速度分析，画出加速度矢量图，求出有关的加速度、
角加速度未知量。
44
二．解题技巧
1,恰当地选择动点,动系和静系,应满足选择原则,，具体地有：
两个不相关的动点，求二者的相对速度。
根据题意,选择其中之一为动点,动系为固结于另一点的平动坐标系。
运动刚体上有一动点，点作复杂运动。
该点取为动点，动系固结于运动刚体上。
机构传动,传动特点是在一个刚体上存在一个不变的接触点,
相对于另一个刚体运动。
导杆滑块机构：典型方法是动系固结于导杆，取滑块为动点。
凸轮挺杆机构：典型方法是动系固结与凸轮，取挺杆上与凸轮接触点为动点。
45
特殊问题,特点是相接触两个物体的接触点位置都随时间而变化,此时,这两个物体的接触点都不宜选为动点，应选择满足前述的选择原则的非接触点为动点。
2,速度问题,一般采用几何法求解简便,即作出速度平行四边形；
加速度问题,往往超过三个矢量,一般采用解析（投影）法求解，投影轴的选取依解题简便的要求而定。
46
四．注意问题
1,牵连速度及加速度是牵连点的速度及加速度。
2,牵连转动时作加速度分析不要丢掉,正确分析和计算 。
3,加速度矢量方程的投影是等式两端的投影，与静平衡方程的投影式不同。
4,圆周运动时，
非圆周运动时,(? 为曲率半径 )
Ca
RRva n 22 /
22 / va n
Ca
47
已知,OA＝ l,,?,?;求,
= 45o 时小车的速度与加速度．
解,动点：套筒 A;
动系：固结在滑杆上（平动） ;
静系：固结在机架上。
绝对运动：圆周运动,
相对运动：直线运动,
牵连运动：平动；
)( OAlv a 方向?
)( ),( 2 OAOlaOAla naa 指向沿方向
铅直方向 rr av
.,待求量水平方向 ee av
[*例 1] 曲柄滑杆机构请看动画
48
小车的速度,
evv?
根据速度合成定理 作出速度平行四边形,如图示
rea vvv
)(c osc os llvv ae 2 245?
将上式向 x轴投影：
enaa aaa s i nc o s
4545 2 s i nco s lla e
，方向如图示
l)(22 2小车的加速度,
eaa?
根据牵连平动的加速度合成定理
renaa aaaa
作出速度矢量图如图示 。
49
[*例 2] 摇杆机构,已知 h,θ,BC的,求,OA杆的?,? 。
解,动点,BC上的销钉 D ; 动系,固结于 OA。
绝对运动：直线运动，
相对运动：直线运动，,沿 OA 线牵连运动：定轴转动，
aavv aa,
, rr av
OODaOAODa nee 指向?;?,2
OAODv e,?
s i ns i n,c o sc o s vvvvvv arae
hv
hvODv
e
2c o s )
c o s/(c o s/
（ ）
（ 1）求?：根据 作出速度平行四边形,如图示。
rea vvv
a,v
50
s i nv
h
c osv
va
,
h
c osv
)
h
c osv
(
c os
h
a
rc
n
e
2
32
2
2
22
—— （ *）
将（ *）式向? 轴 投影：
cea aaac o s
coss i ncos2cos 22 ahvaaa ace
22
2
2 c o s2s i nc o s
h
a
h
v
OD
a e （ ）
（ 2）求?
由 牵连运动为转动的加速度合成定理
cr
n
eea aaaaa
51
[*例 3] 曲柄滑块机构，
解 （ 1） 以 O1A,BCD对象,动点,O1A上 A点 ; 动系,BCD。
绝对运动：圆周运动 ;
相对运动：直线运动 ;
牵连运动：平动 ;,水平方向
AOrv a 11,
BCv r / /?,?
ev
已知,h;
图示瞬时 ;
求,该瞬时 杆的?2 。
EOAO 21 //
EO2
,,,11rAO?
52
根据作出速度平行四边形 rea vvv
（ 2）以 BCD,O2E为对象动点,BCD上 F点动系：固结于 O2E上，
绝对运动：直线运动，
相对运动：直线运动，
牵连运动：定轴转动,
)(s i n1rv Fa
)( / /?,2 EOv Fr?
)(?,2 EOv Fe
s i ns i n 1rvv ae
根据 作出速度平行四边形
FrFeFa vvv
211 s i ns i ns i ns i n rrvv FaFe
s i n/,222 hFOFOv eF又
3121
2
2 s i n
s i ns i n
h
r
hrFO
v eF ）（
53
解,取凸轮上 C点为动点，
动系固结于 OA杆上，
绝对运动,直线运动，
相对运动,直线运动，
牵连运动,定轴转动，
aavv aa,
OAav rr //,方位
OCv e 方位?,
已知,凸轮半径为 R，图示瞬时 O,C
在一条铅直线上 ; 已知 ;
求,该瞬时 OA杆的角速度和角加速度。
av,,?
分析,由于接触点在两个物体上的位置均是变化的，因此不宜选接触点为动点。
[例 4] 凸轮机构;?2 OCOCa ne 方向, OCa e 方位 OC?
请看动画
54
s i ns i n/ ;,0 RvR vOCvvvvv eaer
）(
作出速度平行四边形,知根据
rea vvv
作出加速度矢量图
02,s i n)s i n(s i n 22 rcne vaRvRvRa
投影至?轴, s i nc o sc o s neea aaa
tgneae aaa
2
222 s i ns i n
s i n/
/s i n
R
v
R
a
R
Rva
OC
a e
转向由上式符号决定,>0则,<0 则根据
Crneea aaaaa
55
（请看动画）
[例 5] 刨床机构已知,主动轮 O转速 n=30 r/min
OA=150mm,图示瞬时,OA?OO1
求,O1D 杆的?1,?1
和滑块 B的 。
BB av,
56
其中
m / s 15.03015.0 nOAv a
r ad / s
5515.0
503.0
m / s 503.0s i n
1
1
AO
v
vv
e
ae
）(
解 （ 1）轮 O,O1D为研究对象动点：轮 O上 A点，动系,O1D
根据 作速度平行四边形 。
rea vvv
m / s 506.0c o s
)
5
5s i n,
5
52( c o s
ar vv
57
作加速度矢量图
rCa vaa 12 2 15.0
222 m/s 5 518.0506.0525 5215.0ea
22211 r ad / s 256
515.0
1
5
518.0/ AOa
e
）(
（ 2）以滑块 B及 O1D为研究对象动点,销钉 B; 动系,O1D。
根据
Crneea aaaaa
—— （ *）
将（ *）式向 η轴投影：
Cea aaaco s
58
根据
BrBeBa vvv
作速度矢量图 。
,m / s 506.011 BOv eB
m / s 503.0t a n
m / s 15.0c o s/
eBrB
eBaBB
vv
vvv
2222 m / s 15.05 52/)5 506.05 536.0( aBB aa
作加速度矢量图
2 2
11 m / s5
536.0 BOa
eB其中
221 m / s
5
5060 5030
522
,.va rBcB
cBrBneBeBaB aaaaa依
cBeBaB aaco sa投至 x 轴：
（ ← ）
59
例 6：销钉 M能在杆 DBE的竖直槽中滑动，同时又能在杆 OA的槽中运动。已知 v=1m/s（常量）,ω=1rad/s （常量），求
θ=450,l=1m时点 M的绝对速度和加速度。
解,1.求速度 va
（ 1）以点 M和杆 DBE为研究对象。以点 M为动点,DBE为动系：
大小、方向未知
ve1=v=1m/s，方向,→
vr1=？，方位：铅直，指向假设:
:
:
1
1
r
e
a
v
v
v
60
)1(.,,,,,,,,,c o s 1 vvv ea
)2.,,,,,(.,,,,,,,,,s i n 1ra vv
得依 11 rea vvv
（ 2）以点 M和 杆 OA为研究对象
。以点 M为动点,OA为动系：
:
:
:
2
2
r
e
a
v
v
v
得依 22 rea vvv
)4....(s i nc o ss i n 22 rea vvv
)3.,,,(c o ss i nc o s 22 rea vvv
大小、方向未知
ve2=OM·ω=1m/s，方向如图
vr2=？，方位,OM，指向假设联立（ 1）～（ 4）解得
61
vr1=0.414m/s,vr2=0.414m/s，
va=1.08m/s,α=22.20
2.求加速度 aa
（ 1）以点 M和杆 DBE为研究对象
。以点 M为动点,DBE为动系：
大小、方向未知
ae1=0
ar1=？，方位：铅直，指向假设:
:
:
1
1
r
e
a
a
a
a
)1(.,,,,,,,,,0c o saa 得依 11 rea aaa
（ 2）以点 M和 杆 OA为研究对象。以点 M为动点,OA为动系：
62
大小、方向未知
ae2=MO·ω2=1m/s,方向,M→O
ar2=？，方位,MO，指向假设
ac=2 ωvr2=0.828m/s2:
:
:
:
2
2
c
r
e
a
a
a
a
a
得依 crea aaaa 22
)2.,,,,,,,,(s i nc o sc o sc o s 22 crea aaaa
)3.,,,,,,,,(c o ss i ns i ns i n 22 crea aaaa
联立（ 1）～（ 3），得：
当 β=900时,aa=-1.17m/s2，说明其实际指向向下。
当 β=2700时,aa=1.17m/s2，说明其实际指向向下。
63
2
前一章我们研究点和刚体的运动，一般都是以地面为参考体的。然而在实际问题中，还常常要在相对于地面运动着的参考系上观察和研究物体的运动。例如，从行驶的汽车上观看飞机的运动等，坐在行驶的火车内看下雨的雨点是向后斜落的等。
为什么在不同的坐标系或参考体上观察物体的运动会有不同的结果呢？ 我们说事物都是相互联系着的。下面我们就将研究参考体与观察物体运动之间的联系。为了便于研究，下面先来介绍有关的概念。
第五章 点的复合运动
（或称点的合成运动）
3
§ 5-1 绝对运动、相对运动、牵连运动一．坐标系：
1.静坐标系（静系）,固结于地面上的坐标系。
2.动坐标系（动系）,固结于相对于地面运动物体上的坐标系。
铅直下降
4
三．三种运动、速度、加速度。
１．绝对运动,动点相对于静系的运动。
２．相对运动,动点相对于动系的运动。
例如,M点相对于飞机机身的运动。
３．牵连运动,动系相对于静系的运动例如：直升飞机相对于地面的运动。
动点相对于静系的速度与加速度称为 绝对速度 与 绝对加速度动点相对于动系的速度和加速度称为 相对速度 与 相对加速度牵连运动中,牵连点的速度和加速度称为 牵连速度 与 牵连加速度
aa
ev ea
rv ra
av
牵连点,在某瞬时，动系上与动点相重合的点。
点的运动刚体的运动二．动点,所研究的点（运动着的点）。
② 不是随便一点，而是在该瞬时动系上与动点重合的那一点。
注意：① 是动系上某点的速度、加速度；ee a,v
5
下面举例说明以上各概念：
动点：
动系：
静系：
AB杆上 A点固结于凸轮 Ｏ '上固结在地面上四．动点、动系的选择原则：
（ 1）动点相对动系要有运动（即动点、动系不能在一个物体上）
（ 2）动点相对运动轨迹要明显
（ 3）动系的运动要简单（已知或可求）
一般：动点必须是始终与动系接触的那一点，如杆的端点、
销钉、滑块、套筒等机构的连接点。特殊情况为圆心。
6
相对运动,
牵连运动,
曲线（圆弧）
直线平动绝对运动,直线
7
evrvav
绝对速度,相对速度,牵连速度,
8
绝对加速度：
相对加速度：
牵连加速度：
aa
ea
ra
9
动点：圆盘上的销钉 A
动系：摆杆 O'A
静系：机架绝对运动：曲线（圆周）
相对运动：直线牵连运动：定轴转动动点,A1（在 O'A1 摆杆上 )
动系：圆盘静系：机架绝对运动：曲线（圆弧）
相对运动：曲线牵连运动：定轴转动
10
若动点 A在偏心轮上时动点,A(在 AB杆上 ) A（在偏心轮上）
动系：偏心轮 AB杆静系：地面 地面绝对运动：直线 圆周（红色虚线）
相对运动：圆周（曲线） 曲线（未知）
牵连运动：定轴转动 平动
[注 ] 要指明动点应在哪个物体上,但不能选在动系上。
11
§ 5-２点的速度合成定理速度合成定理将建立动点的绝对速度，相对速度和牵连速度之间的关系。
t→ t+△ t
M → M′
也可看成：
M → M1 → M′
M1M′MM′ — 绝对轨迹 — 相对轨迹
M M′ M1M′— 绝对位移 — 相对位移 M M1— 牵连位移
12
1MM
＝'MM ＋ '
1MM由图：
将两边同除以△ t，并取△ t →0 时的极限：
t
MM
t
MM
tMM ttt
1
0
1
00 limlimlim
13
rea vvv
av
ev
rv
即在任一瞬时动点的绝对速度等于其牵连速度与相对速度的矢量和，这就是点的速度合成定理。
14
① 点的速度合成定理是瞬时矢量式，共包括大小?方向 六个元素，已知任意四个元素，就能求出其他两个。
② 在速度平行四边形中,一定夹在 与 之间。
③ 无论牵连运动为何种运动，此定理都成立。
av ev rv
[*例 1] 桥式吊车 已知：
小车水平运行，速度为 v1，
物块 A相对小车垂直上升的速度为 v2。求物块 A的运行速度。
15
作出速度平四边形 如图示，则物块Ａ的速度大小和方向为
2
2
2
1
22 vvvvvv
reaA
1
21tg
v
v
由速度合成定理：
rea vvv
解,选取 动点,物块 A
动系,小车静系,地面相对运动,直线 ;
相对速度 vr =v2 方向?
牵连运动,平动 ;
牵连速度 ve=v1 方向?
绝对运动,曲线 ;
绝对速度 va的大小,方向待求
16
解题步骤：
（ 1）选取动点、动系动系可以用文字说明（如本题），也可以在所选物体上画出 x′o ′ y ′，静系可以不叙述。
（ 2）分析三种运动
（ 3）分析三种速度
（ 4）由 作速度平行四边形注意,要位于 与 之间
（ 5）由速度平行四边形求解
rea vvv
av ev rv
17
2
2
2
2
21
111
22
2
22
222
1
,
s i n,s i n
lr
r
lr
r
lrAO
v
AOv
lr
r
vv
lr
r
e
e
ae
又 （ ）
[例 2] 曲柄摆杆机构已知,OA= r,?,OO1=l 图示瞬时 OA?OO1
求,摆杆 O1B角速度?1
由速度合成定理 作出 速度平行四边形 如图示。rea vvv
解,动点：套筒 A，动系：固结在摆杆
O1B上。
绝对速度 va = r? 方向? OA与 ω一致相对速度 vr =? 方位,O1B
牵连速度 ve =? 方位?O1B
18
由速度合成定理,
作出速度平行四边形 如图示。
解,动点 取直杆上 A点,动系 固结于圆盘，
静系 固结于基座。
（翻页请看动画）
)(3 32 3 3230 0 evetgvv ABea
[*例 3] 圆盘凸轮机构已知,OC＝ e,,?（匀角速度）
图示瞬时,OC?CA 且 O,A,B三点共线。
求,从动杆 AB的速度。
eR 3?
rea vvv
绝对速度 va =? 待求，方位 AB
相对速度 vr =? 未知，方位?CA
牵连速度 ve =OA=2e?,方向? OA如图
19
20
分析,相接触的两个物体的接触点位置都随时间而变化，
因此两物体的接触点都不宜选为动点，否则相对运动的分析就会很困难。这种情况下，需选择满足上述两条原则的非接触点为动点。
[*例４ ] 已知,凸轮半径 r,图示时 杆 OA靠在凸轮上。
求：杆 OA的角速度。;30,v
21
解,取凸轮上 C点为 动点,
动系 固结于 OA杆上,
静系 固结于基座。
绝对运动,直线运动,
绝对速度,
相对运动,直线运动,
相对速度,
牵连运动,定轴转动,牵连速度,
,方向vv a
OCOCv e 方位待求,,方位,rv OA
如图示。根据速度合成定理,
rea vvv
作出速度平行四边形
r
vv
rr
v e
6
3
3
3
2
1
2
vvv ae 33tg
（ ）
,2s i n rrOCv e又
22
§ 5-3 点的加速度合成定理
rea vvv
由于 牵连运动为平动,故由速度合成定理
'',OeOe aavv
'''''' r kdtdzjdtdyidtdxv而
kdtdzjdtdyidtdxvv Oa '''
对 t求导,''''''
2
2
2
2
2
2 k
dt
zdj
dt
ydi
dt
xd
dt
vd
dt
vda Oa
a
设有一动点 M按一定规律沿着固连于动系 O'x'y'z' 的曲线 AB
运动,而曲线 AB同时又随同动系 O'x'y'z' 相对静系 Oxyz平动。
一、牵连运动为平动时点的加速度合成定理
23
0',0',0' dtzddtyddtid
(其中 为动系坐标的单位矢量，因为动系为平动，故它们的方向不变，是常矢量，所以 ）
',',' kji
rea aaa
— 牵连运动为平动时点的加速度合成定理即当牵连运动为平动时，动点的绝对加速度等于牵连加速度与相对加速度的矢量和。
'''''',222222'' kdt zdjdt ydidt xdaaadtvd reOO又
naaa
nrrneenaa aaaaaa
∴ 一般式可写为：
24
解,取杆 AB上的 A点为 动点,
动系 固连在凸轮上。
[例 5] 已知：凸轮半径求,? =60o时,顶杆 AB的加速度。
oo avR,,
请看动画
25
由,
rea vvv 作速度平行四边形如图示：
0o0er v3
2
60s i n
v
s i n
vv
（ 1）求 rv,va =?,方位,AB ；av
,ve=v0,方向,→ 。ev
,vr =?,方位?CA;rv
26
（ 2）求 aAB aa?
,aa=?,方 位,AB，指向：假设
arτ=? 方位?CA
方向,A→ C
,ae=a0,方向,→
R
v
R
va rn
r 3
4 202
aa
ea
:ar
指向：假设注意：不同于速度，加速度的指向一般为假设加速度图要与速度图分开画
27
因 牵连运动为平动,故有
nrea aaaa
r
将上式向 n轴投影，得
nrea aaa c o ss in
60s i n/)3460c o s(s i n/)c o s(
2
00
R
vaaaa n
rea
得 )
3
8(
3
3 20
0 R
vaaa
aAB
[注意 ]加速度矢量方程的投影是等式两端的投影，与静平衡方程的投影关系不同
n
28
上一节我们证明了牵连运动为平动时的点的加速度合成定理，那么当牵连运动为转动时，上述的加速度合成定理是否还适用呢？下面我们来分析一特例。
二、牵连运动为转动时点的加速度合成定理设一圆盘以匀角速度? 绕定轴 Ｏ 顺时针转动，盘上圆槽内有一点 M以大小不变的速度 vr 沿槽作圆周运动，那么 M点相对于静系的绝对加速度应是多少呢？
1.牵连运动为转动时的加速度合成定理与牵连运动为平动时有何不同？
29
R
vav r
rr
2
, 常数有相对运动 为匀速圆周运动，
（方向如图）
由速度合成定理可得出常数 rrea vRvvv?
选点 M为动点，动系固结与圆盘上,
则 M点的 牵连运动 为匀速转动
RaRv ee 2, （方向如图）
即 绝对运动 也为匀速圆周运动，所以方向指向圆心 Ｏ 点
rrerrraa vaavR
vR
R
)vR(
R
va 222222
30
分析上式,还多出一项 2? vr 。
可见,当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度 并不等于牵连加速度 和相对加速度 的矢量和。 那么他们之间的关系是什么呢？ 2? vr 又是怎样出现的呢？它是什么呢？ 下面我们就来讨论这些问题，推证牵连运动为转动时点的加速度合成定理。
ea ra
aa
,,/ 22?RaRva err
2.牵连运动为转动时的加速度合成定理
31
2.牵连运动为转动时的加速度合成定理
(1)动系,O’x’y’z’；静系,Oxyz，
动系以 ω,ε绕 z轴转动，动点 M相对于动系沿 AB运动。
① 动点的相对速度及相对加速度
'''''' kdtdzjdtdyidtdxv r
'''''' 2
2
2
2
2
2
kdt zdjdt ydidt xda r
② 动系绕 z轴转动，动系上与动点重合的点的速度、加速度即牵连速度、牵连加速度：由公式（ 4-2-13）（ 4-2-14）
eee vrarv ','
32
(2)由速度合成定理 得
rea vvv
dt
vd
dt
vd
dt
vda rea
a —— （ *）
dt
rdr
dt
d
dt
rd
dt
vd e '')'(
dt
oordr )'('
avrdt
rdr ''
rere vavvr '
rv 是牵连速度受相对运动的影响而对时间的变化率
33
)''''''( kdtdzjdtdyidtdxdtddtvd r
dt
kd
dt
dz
dt
jd
dt
dy
dt
id
dt
dx
k
dt
zd
j
dt
yd
i
dt
xd
''''''
'
'
'
'
'
'
2
2
2
2
2
2
dt
kd
dt
dz
dt
jd
dt
dy
dt
id
dt
dxa
r
''''''
是 矢端的速度，所以 可以看成是矢径 的端点速度，由于 随同动系绕 z轴转动，因此 端点的速度可按式
（ 4-2-13）得
dt
rd
dt
kd 'r
'k'k
'k
34
'' kdtkd '','' jdt jdidt id同理
rrr
r vak
dt
dzj
dt
dyi
dt
dxa
dt
vd )''''''(
是相对速度受牵连运动的影响而对时间的变化率rv
于是，由（ *）：
crea aaaa则
rrea vaaa2
科氏加速度令 rC va?2
35
所以，当牵连运动为转动时,加速度合成定理 为
crea aaaa
当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度等于它的牵连加速度，相对加速度和科氏加速度三者的矢量和。
rc va2
cnrrneenaa aaaaaaa一般式
3.科氏加速度这是由于牵连运动为转动时，牵连运动会改变相对速度的方向而引起相对速度的变化，相对运动会改变牵连点而引起牵连速度的变化。
—— 牵连运动（即动系）
的角速度
36
大小, s i nva rc 2?方向：按右手法则确定
rcro vav 290 ），时（当
01800 croo av// ），时（或当
4,存在的实例ca
在北半球,沿经线 (南北 )流动的河流的右岸易被冲刷 (如苏联的伏尔加河 ),铁路的右轨磨损厉害，在南半球则相反。
rv
对于平面机构,aC=2ωvr,方向：
将 绕动系 ω方向转 900即得
37
解,动点,AB杆上 A点；
动系,凸轮 ; 静系,地面。
（ 1）求 vAB
[例 6] 已知：凸轮机构以匀? 绕 O轴转动，
图示瞬时 OA= r,A点曲率半径?,? 已知。
求：该瞬时顶杆 AB的速度和加速度。
av,va=?,方位,AB
ev,ve=? r,方向?OA,?
rv,vr=? 方向?n
38
nrvaa rnrr,,c os//,2222 方向
，指向：假设方位,AB?aa aa,,?
n?a r 方位?;OA:raaaa neeτee,,0,2 方向?
相反。指向与方位
22,2
n,n:
,cos/rvaa rcc
)(tg tg rvvv eaAB
c o s/ c o s/ rvv er
根据
rea vvv
作出速度平行四边形
（ 2）求 aAB
指向：假设
39
由 牵连运动为转动时的加速度合成定理
cnrrea aaaaa
作出 加速度矢量图 如图示
cnrea aaaa c o sc o s
c o s/)s e c2/s e cc o s( 22222 rrraa aAB
)s e c2/s e c1( 232 rr
向 n 轴投影：
40
)v//a c 22 ( 0
[练习 ] 矩形板 ABCD以匀角速度? 绕固定轴 z 转动，点 M1和点 M2分别沿板的对角线
BD和边线 CD运动，在图示位置时相对于板的速度分别为 和,计算点 M1,M2的科氏加速度大小,并图示方向。
1v 2v
点 M2 的科氏加速度
s i nva c 11 2?
解,点 M1的科氏加速度垂直板面向里?。
1ca
41
解,rc va 22?
rcr vav 22 2
rea vvv
根据 做出速度平行四边形
)c o s (s i n),s i n (c o s 11 rvvrvv arae
11
2
2 c o s
s i n)s i n (
c o s
s i n)s i n (?
rrAO
v e
rc o s )s i n (va rc 212 222 方向：与 相同。
ev
[练习 ] 曲柄摆杆机构已知,O1A＝ r,?,?,?1;
取 O1A杆上 A点为动点，动系固结 O2B
上，试计算动点 A的科氏加速度。
42
rea vvv
rea aaa
点的合成运动习题课一．概念及公式
1,一点、二系、三运动
2,速度合成定理
3,加速度合成定理牵连运动为平动时牵连运动为转动时 )2( rCCrea vaaaaa
43
二．解题步骤
1,选择动点、动系、静系。
2,分析三种运动：绝对运动、相对运动和牵连运动。
3,作速度分析,画出速度平行四边形,求出有关未知量 (速度,
角速度）。
4,作加速度分析，画出加速度矢量图，求出有关的加速度、
角加速度未知量。
44
二．解题技巧
1,恰当地选择动点,动系和静系,应满足选择原则,，具体地有：
两个不相关的动点，求二者的相对速度。
根据题意,选择其中之一为动点,动系为固结于另一点的平动坐标系。
运动刚体上有一动点，点作复杂运动。
该点取为动点，动系固结于运动刚体上。
机构传动,传动特点是在一个刚体上存在一个不变的接触点,
相对于另一个刚体运动。
导杆滑块机构：典型方法是动系固结于导杆，取滑块为动点。
凸轮挺杆机构：典型方法是动系固结与凸轮，取挺杆上与凸轮接触点为动点。
45
特殊问题,特点是相接触两个物体的接触点位置都随时间而变化,此时,这两个物体的接触点都不宜选为动点，应选择满足前述的选择原则的非接触点为动点。
2,速度问题,一般采用几何法求解简便,即作出速度平行四边形；
加速度问题,往往超过三个矢量,一般采用解析（投影）法求解，投影轴的选取依解题简便的要求而定。
46
四．注意问题
1,牵连速度及加速度是牵连点的速度及加速度。
2,牵连转动时作加速度分析不要丢掉,正确分析和计算 。
3,加速度矢量方程的投影是等式两端的投影，与静平衡方程的投影式不同。
4,圆周运动时，
非圆周运动时,(? 为曲率半径 )
Ca
RRva n 22 /
22 / va n
Ca
47
已知,OA＝ l,,?,?;求,
= 45o 时小车的速度与加速度．
解,动点：套筒 A;
动系：固结在滑杆上（平动） ;
静系：固结在机架上。
绝对运动：圆周运动,
相对运动：直线运动,
牵连运动：平动；
)( OAlv a 方向?
)( ),( 2 OAOlaOAla naa 指向沿方向
铅直方向 rr av
.,待求量水平方向 ee av
[*例 1] 曲柄滑杆机构请看动画
48
小车的速度,
evv?
根据速度合成定理 作出速度平行四边形,如图示
rea vvv
)(c osc os llvv ae 2 245?
将上式向 x轴投影：
enaa aaa s i nc o s
4545 2 s i nco s lla e
，方向如图示
l)(22 2小车的加速度,
eaa?
根据牵连平动的加速度合成定理
renaa aaaa
作出速度矢量图如图示 。
49
[*例 2] 摇杆机构,已知 h,θ,BC的,求,OA杆的?,? 。
解,动点,BC上的销钉 D ; 动系,固结于 OA。
绝对运动：直线运动，
相对运动：直线运动，,沿 OA 线牵连运动：定轴转动，
aavv aa,
, rr av
OODaOAODa nee 指向?;?,2
OAODv e,?
s i ns i n,c o sc o s vvvvvv arae
hv
hvODv
e
2c o s )
c o s/(c o s/
（ ）
（ 1）求?：根据 作出速度平行四边形,如图示。
rea vvv
a,v
50
s i nv
h
c osv
va
,
h
c osv
)
h
c osv
(
c os
h
a
rc
n
e
2
32
2
2
22
—— （ *）
将（ *）式向? 轴 投影：
cea aaac o s
coss i ncos2cos 22 ahvaaa ace
22
2
2 c o s2s i nc o s
h
a
h
v
OD
a e （ ）
（ 2）求?
由 牵连运动为转动的加速度合成定理
cr
n
eea aaaaa
51
[*例 3] 曲柄滑块机构，
解 （ 1） 以 O1A,BCD对象,动点,O1A上 A点 ; 动系,BCD。
绝对运动：圆周运动 ;
相对运动：直线运动 ;
牵连运动：平动 ;,水平方向
AOrv a 11,
BCv r / /?,?
ev
已知,h;
图示瞬时 ;
求,该瞬时 杆的?2 。
EOAO 21 //
EO2
,,,11rAO?
52
根据作出速度平行四边形 rea vvv
（ 2）以 BCD,O2E为对象动点,BCD上 F点动系：固结于 O2E上，
绝对运动：直线运动，
相对运动：直线运动，
牵连运动：定轴转动,
)(s i n1rv Fa
)( / /?,2 EOv Fr?
)(?,2 EOv Fe
s i ns i n 1rvv ae
根据 作出速度平行四边形
FrFeFa vvv
211 s i ns i ns i ns i n rrvv FaFe
s i n/,222 hFOFOv eF又
3121
2
2 s i n
s i ns i n
h
r
hrFO
v eF ）（
53
解,取凸轮上 C点为动点，
动系固结于 OA杆上，
绝对运动,直线运动，
相对运动,直线运动，
牵连运动,定轴转动，
aavv aa,
OAav rr //,方位
OCv e 方位?,
已知,凸轮半径为 R，图示瞬时 O,C
在一条铅直线上 ; 已知 ;
求,该瞬时 OA杆的角速度和角加速度。
av,,?
分析,由于接触点在两个物体上的位置均是变化的，因此不宜选接触点为动点。
[例 4] 凸轮机构;?2 OCOCa ne 方向, OCa e 方位 OC?
请看动画
54
s i ns i n/ ;,0 RvR vOCvvvvv eaer
）(
作出速度平行四边形,知根据
rea vvv
作出加速度矢量图
02,s i n)s i n(s i n 22 rcne vaRvRvRa
投影至?轴, s i nc o sc o s neea aaa
tgneae aaa
2
222 s i ns i n
s i n/
/s i n
R
v
R
a
R
Rva
OC
a e
转向由上式符号决定,>0则,<0 则根据
Crneea aaaaa
55
（请看动画）
[例 5] 刨床机构已知,主动轮 O转速 n=30 r/min
OA=150mm,图示瞬时,OA?OO1
求,O1D 杆的?1,?1
和滑块 B的 。
BB av,
56
其中
m / s 15.03015.0 nOAv a
r ad / s
5515.0
503.0
m / s 503.0s i n
1
1
AO
v
vv
e
ae
）(
解 （ 1）轮 O,O1D为研究对象动点：轮 O上 A点，动系,O1D
根据 作速度平行四边形 。
rea vvv
m / s 506.0c o s
)
5
5s i n,
5
52( c o s
ar vv
57
作加速度矢量图
rCa vaa 12 2 15.0
222 m/s 5 518.0506.0525 5215.0ea
22211 r ad / s 256
515.0
1
5
518.0/ AOa
e
）(
（ 2）以滑块 B及 O1D为研究对象动点,销钉 B; 动系,O1D。
根据
Crneea aaaaa
—— （ *）
将（ *）式向 η轴投影：
Cea aaaco s
58
根据
BrBeBa vvv
作速度矢量图 。
,m / s 506.011 BOv eB
m / s 503.0t a n
m / s 15.0c o s/
eBrB
eBaBB
vv
vvv
2222 m / s 15.05 52/)5 506.05 536.0( aBB aa
作加速度矢量图
2 2
11 m / s5
536.0 BOa
eB其中
221 m / s
5
5060 5030
522
,.va rBcB
cBrBneBeBaB aaaaa依
cBeBaB aaco sa投至 x 轴：
（ ← ）
59
例 6：销钉 M能在杆 DBE的竖直槽中滑动，同时又能在杆 OA的槽中运动。已知 v=1m/s（常量）,ω=1rad/s （常量），求
θ=450,l=1m时点 M的绝对速度和加速度。
解,1.求速度 va
（ 1）以点 M和杆 DBE为研究对象。以点 M为动点,DBE为动系：
大小、方向未知
ve1=v=1m/s，方向,→
vr1=？，方位：铅直，指向假设:
:
:
1
1
r
e
a
v
v
v
60
)1(.,,,,,,,,,c o s 1 vvv ea
)2.,,,,,(.,,,,,,,,,s i n 1ra vv
得依 11 rea vvv
（ 2）以点 M和 杆 OA为研究对象
。以点 M为动点,OA为动系：
:
:
:
2
2
r
e
a
v
v
v
得依 22 rea vvv
)4....(s i nc o ss i n 22 rea vvv
)3.,,,(c o ss i nc o s 22 rea vvv
大小、方向未知
ve2=OM·ω=1m/s，方向如图
vr2=？，方位,OM，指向假设联立（ 1）～（ 4）解得
61
vr1=0.414m/s,vr2=0.414m/s，
va=1.08m/s,α=22.20
2.求加速度 aa
（ 1）以点 M和杆 DBE为研究对象
。以点 M为动点,DBE为动系：
大小、方向未知
ae1=0
ar1=？，方位：铅直，指向假设:
:
:
1
1
r
e
a
a
a
a
)1(.,,,,,,,,,0c o saa 得依 11 rea aaa
（ 2）以点 M和 杆 OA为研究对象。以点 M为动点,OA为动系：
62
大小、方向未知
ae2=MO·ω2=1m/s,方向,M→O
ar2=？，方位,MO，指向假设
ac=2 ωvr2=0.828m/s2:
:
:
:
2
2
c
r
e
a
a
a
a
a
得依 crea aaaa 22
)2.,,,,,,,,(s i nc o sc o sc o s 22 crea aaaa
)3.,,,,,,,,(c o ss i ns i ns i n 22 crea aaaa
联立（ 1）～（ 3），得：
当 β=900时,aa=-1.17m/s2，说明其实际指向向下。
当 β=2700时,aa=1.17m/s2，说明其实际指向向下。
63
