1
2
实际上的问题是,1、联立求解微分方程 (尤其是积分问题 )非常困难。
2、大量的问题中，不需要了解每一个质点的运 动,仅需要研究质点系整体的运动情况。
动力学普遍定理概述对 质点 动力学问题,建立质点运动微分方程求解。
对 质点系 动力学问题,理论上讲,n个质点列出 3n个微分方程,联立求解它们即可。
从本章起,将要讲述解答动力学问题的其它方法,而首先要讨论的是 动力学普遍定理 (包括动量定理,动量矩定理,动能定理及由此推导出来的其它一些定理 )。
3
它们以简明的数学形式，明确的物理意义,表明两种量 —— 一种是运动特征量 (动量、动量矩、动能等 )，一种是力的作用量 (冲量、力 矩、功等 ) —— 之间的关系，从不同侧面对物体的机械运动进行深入的研究。在一定条件下，用这些定理来解答动力学问题非常方便简捷 。
本节及下一节中研究 质点和质点系的动量定理,建立了 动量的改变与力的冲量之间的关系,并研究质点系动量定理的另一重要形式 —— 质心运动定理 。
§ 8-1动量定理
4
1.质点的动量,质点的质量与速度的乘积,
动量是度量物体机械运动强弱程度的一个物理量 。
例,枪弹：速度大，质量小； 船：速度小，质量大 。
① 矢量，瞬时量，方向与 相同。②单位,kg?m/s。
vmk?
v
2.质点系的动量,质点系中所有各质点的动量的矢量和。
i i i CK k m v M v
质点系的质量与其质心速度的乘积就等于质点系的动量。
一、动量动量沿直角坐标轴的分解式：
kKjKiK
kvmjvmivmK
zyx
iziiyiixi
5
〔 例１ 〕 曲柄连杆机构的曲柄 OA以匀
转动，设 OA=AB=l,曲柄 OA及连杆
AB都是匀质杆,质量各为 m,滑块 B的质量也为 m。 求 当? = 45o时系统的动量。
lvm C 21,1?
llvm ABC 2525,2
lvm C 2,3?
mlmvc o smvs i nmvK CCCx 22321
mls i nmvc o smvK CCy 22121
解,曲柄 OA：
滑块 B：
连杆 AB,（ I为速度瞬心,）
ABlPC ;252I
10
1
10
3 s i n,c os
6
)ji(mljKiKK yx 2122
K 的大小,?mlKKK yx 21022
方向：
c os (,)
c os (,)
x
y
K
Ki
K
K
Kj
K
7
2．力 是变矢量：（包括大小和方向的变化）
元冲量,
冲量,
F
)( 12 ttFS
dtFSd?
2
1
t
t
dtFS
1．力 是常矢量：F
二．冲量力与其作用时间的乘积称为力的冲量,冲量表示力在其作用时间内对物体作用的累积效应的度量。例如，推动车子时，
较大的力作用较短的时间，与较小的力作用较长的时间，可得到同样的总效应。
8
3．合力的冲量,等于各分力冲量的矢量和．
i
t
t
t
t
t
t
SdtFdtFdtRS 2
1
2
1
2
1
② 单位,m / skg sm / skg sN 2 与动量单位同．
① 矢量，累积量。
2 2 2
1 1 1
,,
t t t
x x y y z z
t t t
S F d t S F d t S F d t
9
三,动量定理
1．质点的动量定理
FvmdtdFdt vdmam )(?
质点的动量对时间的导数等于作用于质点的力即：在某一时间间隔内，动量的增量等于力在该时间内的冲量。
SddtFvmd)(
SdtFvmvm
t
t
2
1
12
— 质点的动量定理
① 微分形式,
（动量的微分等于力的元冲量）
② 积分形式,
由微分形式：
积分：
10
③ 投影形式：
2．质点系的动量定理
e
i
i
iii FF)vm(dt
d
)F(FF)vm(dtd iieiiiii 0 而
eiF
dt
Kd 质点系的动量定理对整个质点系：
对质点系内任一质点 Mi，
内力 外力
X)mv(dtd x 2
1
12
t
txxx
XdtSmvmv
对 x,y轴同样有。
① 微分形式,
④ 质点的动量守恒若,则 常矢量，质点作惯性运动若,则 常量，质点沿 x 轴的运动是惯性运动
0?F
0?xF
vm
xmvX
11
质点系动量对时间的导数等于作用在质点系上所有外力的矢量和。
质点系动量的微分等于作用在质点系上所有外力元冲量的矢量和。
在某一时间间隔内，质点系动量的改变量等于作用在质点系上的所有外力在同一时间间隔内的冲量的矢量和．
由微分形式：
② 积分形式,
eiSKK 12
eeiid K F d t d S
12
③ 投影形式：
eix XdtdK
eiy YdtdK
eiz ZdtdK
2
1
12
t
t
e
i
e
xx dtXSixKK
2
1
12
t
t
e
i
e
yy dtYSiyKK
2
1
12
t
t
e
i
e
zz dtZSizKK
内力不能改变整个质点系的动量，只有外力才能改变质点系的动量 （如：力大无穷的大力士不能举起自己，在车箱内无论用多大的力推车箱，车箱的运动都不会改变）,但内力可以改变质点系中质点的动量 （如炮弹爆炸后弹片的运动）。
由定理知：
13
在自然界中，大到天体，小到分子、原子等基本微粒间的相互作用，都遵守动量守恒定理，它是自然界中最重要最普遍的客观规律之一。
例如：枪、炮的“后坐”，火箭、喷气飞机的反推，螺旋桨的反推等。
④ 质点系的动量守恒若 则 常矢量。
若 则 常量。
,0)( eiF
,0)( eixF
ii vmK
ixix vmK
e
i
e
i
X
F
14
[*例 2] 质量为 M的大三角形柱体,放于光滑水平面上,斜面上另放一质量为 m的小三角形柱体,求小三角形柱体滑到底时,大三角形柱体的位移。
0)( axmvvM
解,选 两物体组成的 系统为研究对象。
受力分析,
由水平方向动量守恒及初始静止 ；则
0)()( vvmvM rx
)( bamM mSmM mS rx
rv
ra vvv
v设大三角块速度,
小三角块相对大三角块速度为,
则小三角块运动分析,
m mMSSm mMvv rxrx
,0)( exF?xK水平方向 常量。Xie
15
运动分析，设经过?ｔ 时间后，流体 AB
运动到位置 ab，
[例 3] 流体流过弯管时,在截面 A和 B处的平均流速分别为求流体对弯管产生的动压力 (附加动压力 )。 设流体不可压缩，流量 Q(m3/s)为常量,密度为? (kg/m3）。
),m /s(,21 vv
])([])[( 12 aBAaBbaBABab KKKKKKK
12
12
)()(
vtQvtQKKK
KK
AaBb
aBaB
解,取截面 A与 B之间的流体作为研究的质点系。 受力分析如图示。
由质点系动量定理；得
RPPWvvQtKdtKd t 21120 )( lim
16
)vv(QN xxx 12
)vv(QN yyy 12
RPPWvvQtKdtKd t 21120 )(lim
)()( 1221 vvQPPWR
即静反力 （附加）动反力
)vv(QN 12（附加）动反力：
计算 时，常采用投影形式''RN
与 相反的力就是管壁上受到的流体作用的附加动压力．''RN
例如：水从水枪中以 v1=60m/s的速度沿水平方向射向固定叶片上，已知水柱的横截面积 s=10cm2，水的密度 ρ=103kg/m3，
17
不计水柱自重，求叶片所受的力。
解 （ 1）研究对象：水柱
（ 2）受力图
（ 3）求水柱所受约束反力水柱横截面积不变，水流量：
1221 vv,svsvQ
N..,,)vc osv(sv)vv(QR xxx 767 1730 102112
N...)s i nv(sv)vv(QR yyy 1 8 0 0030 02112
水柱对叶片的压力与,大小相等、方向相反。
xR yR
18
[例 4]小车重 G1=2kN，车上的箱中装砂，箱、砂共重 G2=1kN；
车与箱以 3.5km/h的速度在光滑直线道路上前进。现有一重
G3=0.5k N的重物铅直落入箱中。①求此后小车的速度；②若设重物落入箱中后箱在小车上滑动 0.2s才与车面相对静止，求车面与箱底间的平均摩擦力。
解,①求重物落入后车的速度以重物、车、箱、砂为研究对象
1N 2N
xxei KKX 12,0?
0
21
1 vg
GGK
x
设重物落入后车、箱共同速度为 v,则：
19
vg GGGK x 3212
0
21321 v
g
GGv
g
GGG于是：
s/m.h/km...vGGG GGv 83030
321
21
② 求箱底与车面间的摩擦力以小车为研究对象：
小车在 0.2s内速度由 v0→ v，由有,SKK eixxx 12
FtvgGvgG 011 kNgt vvGF 14.0...)( 01
注意：速度单位应用 m/s
20
M rmm rmr ii
i
ii
C
M
zmz
M
ymy
M
xmx ii
CiiCiiC
,,
§ 8-2 质心运动定理一,质点系的质量中心（简称质心）
质点系的质心是表征质点系质量分布情况的一个重要概念。
设有 n个质点组成的质点系，取固定点 O，则由矢径确定的点称为质点系的质心。
M=∑mi—— 质点系的总质量以 O点为原点建立直角坐标系，则质心坐标：
21
① 质点系运动时,xi,yi,zi是变量，因而 xC,yC,zC一般也是变量；
② 在重力场中，质心与重心是重合的（将 mi=Wi /g代入上式即得重心坐标公式），但质心的概念比重心更广泛，在非重力场，重心无意义，但质心存在。
M rmr iiC由 有, iiC rmrM
Cii vMvmK
两边对时间 t求导, iiC vmvM
22
将 代入到质点系动量定理：
CvMK
)()( e
iC FvMdt
d
若质点系质量不变,则 或
)( e
iC FaM )( eiC FrM
上式称为 质心运动定理（或质心运动微分方程）。 质点系的质量与质心加速度的乘积，等于作用于质点系上所有外力的矢量和（外力系的主矢）。
1,投影形式：
① 直角坐标轴,,,eiCeiCeiC ZzMYyMXxM
② 自然轴, 0,,
2 e
ibeinCeiC FF
vMF
dt
dvM
二,质心运动定理
23
2,质心运动定理是动量定理的另一种表现形式。任何一个质点系质心的运动与一个质点的运动相同，这质点的质量等于质点系的总质量，
这质点的受的力等于质点系所受外力。
c
ccx
cx xdt
xd
dt
dva
2
2
dt
dva c
c?
2
cn
c
va?
3.由定理知：
（ 1）质点系的内力不能改变质心的运动,只有外力才能改变质心的运动 。如：①汽车在绝对光滑的路面上，运动的汽车不能停止，静止的汽车不能运动；②炮弹爆炸成若干碎片，
到第一块弹片落地之前，其质心的运动仍作与爆炸前一样的抛物线运动；③跳水运动员、体操运动员无论在空中如何滚翻、转体，其质心运动的轨迹总是一条确定的抛物线。
24
（ 2） 内力 虽不能改变质心的运动，但 可以改变质点系中质点的运动,如前例中的汽车、炮弹、运动员。
（ 3）应用质心运动定理不需考虑内力，使问题简便。
4.质心运动定理 解决的问题
（ 1） 已知 质点系质心的 运动,求 作用在质点系上的 外力 ；
（ 2） 已知 作用在质点系上的 外力，求 质点系质心的 运动
（运动方程、速度、加速度）
意义：质点系的复杂运动可以看成是随质心的运动与相对质心的转动，应用质心运动定理求解质心的运动。
25
5,质心运动守恒定理
（ 1） 若,则 常量即：如果作用在质点系上的外力的矢量和恒等于零，则质心作惯性运动。
0 eiF cc v,a 0
（ 2） 若 ∑Xie≡0，则 acx=0,vcx=常量即：如果作用在质点系上的外力在某一轴上投影的代数和恒等于零，则质心速度在该轴上的投影保持不变（质心沿该轴作惯性运动）
又若 vcx=常量 =0，则 xc=常量,即质心在该轴的坐标保持不变。
例如：人和船静止于水面上，若不计水的阻力，则人在船上走，船会向相反的方向运动。
26
解,（ 1）研究对象：压实机
（质点系）
[例 5] 图示压实机,机壳、机座共重 P；始终处于对称位置的两偏心锤均重 G，偏心距 e,以匀 ω相向转动 。求压实机给地面的压力。
（ 2）受力图
（ 3）建立图示坐标系，
并设 h,H，则
F N x
y
h
H
GP
teHGhPy
c 2
)c o s(2
GPNyg GP c 22
（ 4）建立质心运动微分方程
27
F N x
y
h
H
GPNtGP Geg GP 2c os222
2
即：
tgGeGPN c os22
2
压实机给地面的压力 NN'
讨论：
① 压力包括：
静反力 P+2G
（附加）动反力 tg
Ge c os2 2
动反力为周期力，它引起振动。要消除振动，就要消除偏心。
② 此题也可用动量定理求解。
28
[例 6]图示振捣器，机身 A质量 M，偏心块 B
质量 m，偏心距 e,B以匀 ω绕铅直轴 z’ 转动
，求机身的在水平面内的运动。
解,（ 1）研究对象：机身、偏心块组成的质点系。设开始时系统静止。
（ 2）受力图
0)c o s( 11 mM texmxMx C?
N
c o n s txc o n s tvX ccxei,0,0?
c o n s tyc o n s tvY ccyei,0,0?
质心运动守恒，故以质心 c为原点建坐标系，则 xc=0,yc=0
x
y
c
设 c1点（代表机身）坐标,x1,y1，则
0)s i n( 11 mM teymyMy C?
29
由此得,te
mM
mx?c os
1
temM my?s i n1
机身沿 x,y两个方向座简谐振动，振幅,圆频率
ω,c1点的轨迹是一个圆心在 c点半径为 的圆。
mM
me
mM
me
30
[例 7] 曲柄滑道机构，已知 F,M,OA=l,ω（常量），均质曲柄 OA重 G1、滑块 A重 G2,滑道重 G3,接触处光滑，求点 O处的反力。
解,方法一：用质心运动定理求解
（ 1）研究对象：整体
① 受力图
② 建立图示坐标系
，设 C3到 A点 的水平距离为 a，则
a
321
321 )cos(coscos2
GGG
atlGtlGtlG
x C
321
332
1
2
GGG
aG)GGG(tcosl
OX OY
1N
2N
31
③ 建立质心运动微分方程求 并代入上式（常量
a求导后为零），得
a
FX)GGG(tc o sgl O 3212 2
OX OY
1N
2N
FXxg GGG OC321
Cx?
)GGG(tc o sglFX O 3212 2
能不能求出 YO？
（ 2）以曲柄 OA（带滑块）为研究对象（步骤同前）
32
21
2
1
21
21 22
GG
)GG(ts i nl
GG
ts i nlGts i nlG
y C?
由质心运动定理：
2121 GGYyg
GG
OC
求 并代入上式，得Cy?
21021
2
2 GGY)G
G(
g
ts i nl
)GG(g ts i nlGGY 21
2
210 2
33
方法二：用动量定理求解
（ 1）研究对象：整体
① 受力图
② 建立图示坐标系
，计算动量：
OX OY
1N
2N
1v ev
2v rv
3v
lv,lv 21 2
以 A点为动点，滑道为动系，则
ts i nlvv e3
xxxixix vg
Gv
g
Gv
g
GvmK
3
3
2
2
1
1
ts i nlgGts i nlgGts i nlgG 321 2
34
)GGG(ts i ngl 3212
③ 由动量定理
FX)]GGG(ts i ngl[dtd O 3212
)]GGG(tc o sglFX O 321
2
2
（ 2）以曲柄 OA（带滑块）为研究对象，可求 YO
eix XdtdK
35
解 （ 1） 研究对象：起重船、起重杆和重物组成的质点系。
[例 8] 起重船,船重 P1=200kN,匀质起重杆 OA重 P2=10kN,长
l=8m，重物重 P3=20kN 。 设开始时系统静止,OA与铅直夹角
1=60o,水的阻力不计,求 OA与铅直成角?2 =30o时船的位移。
受力如图示，,且初始时系统静止，
0)( exFXie
∴ xC =const，或 xC 2= xC 1
（ 2）建立图示坐标，设 a,b，则：
x
y
a
b 321
13121
1
)s i n()s i n2(
PPP
laPlaPbP
x C
36
)s i n( s i n)(2 2 21
321
32
l
PPP
PPx
)30s i n60( s i n8)20102 00(2 20210
m 318.0 计算结果为负值，表明船的位移水平向左。
设当 OA从 α1→α 2时，船向右移动△ x,则
321
23221
2
)s i n()s i n
2
()(
PPP
lxaPlxaPxbP
x C
由 xC 2= xC 1,得,
37
2
实际上的问题是,1、联立求解微分方程 (尤其是积分问题 )非常困难。
2、大量的问题中，不需要了解每一个质点的运 动,仅需要研究质点系整体的运动情况。
动力学普遍定理概述对 质点 动力学问题,建立质点运动微分方程求解。
对 质点系 动力学问题,理论上讲,n个质点列出 3n个微分方程,联立求解它们即可。
从本章起,将要讲述解答动力学问题的其它方法,而首先要讨论的是 动力学普遍定理 (包括动量定理,动量矩定理,动能定理及由此推导出来的其它一些定理 )。
3
它们以简明的数学形式，明确的物理意义,表明两种量 —— 一种是运动特征量 (动量、动量矩、动能等 )，一种是力的作用量 (冲量、力 矩、功等 ) —— 之间的关系，从不同侧面对物体的机械运动进行深入的研究。在一定条件下，用这些定理来解答动力学问题非常方便简捷 。
本节及下一节中研究 质点和质点系的动量定理,建立了 动量的改变与力的冲量之间的关系,并研究质点系动量定理的另一重要形式 —— 质心运动定理 。
§ 8-1动量定理
4
1.质点的动量,质点的质量与速度的乘积,
动量是度量物体机械运动强弱程度的一个物理量 。
例,枪弹：速度大，质量小； 船：速度小，质量大 。
① 矢量，瞬时量，方向与 相同。②单位,kg?m/s。
vmk?
v
2.质点系的动量,质点系中所有各质点的动量的矢量和。
i i i CK k m v M v
质点系的质量与其质心速度的乘积就等于质点系的动量。
一、动量动量沿直角坐标轴的分解式：
kKjKiK
kvmjvmivmK
zyx
iziiyiixi
5
〔 例１ 〕 曲柄连杆机构的曲柄 OA以匀
转动，设 OA=AB=l,曲柄 OA及连杆
AB都是匀质杆,质量各为 m,滑块 B的质量也为 m。 求 当? = 45o时系统的动量。
lvm C 21,1?
llvm ABC 2525,2
lvm C 2,3?
mlmvc o smvs i nmvK CCCx 22321
mls i nmvc o smvK CCy 22121
解,曲柄 OA：
滑块 B：
连杆 AB,（ I为速度瞬心,）
ABlPC ;252I
10
1
10
3 s i n,c os
6
)ji(mljKiKK yx 2122
K 的大小,?mlKKK yx 21022
方向：
c os (,)
c os (,)
x
y
K
Ki
K
K
Kj
K
7
2．力 是变矢量：（包括大小和方向的变化）
元冲量,
冲量,
F
)( 12 ttFS
dtFSd?
2
1
t
t
dtFS
1．力 是常矢量：F
二．冲量力与其作用时间的乘积称为力的冲量,冲量表示力在其作用时间内对物体作用的累积效应的度量。例如，推动车子时，
较大的力作用较短的时间，与较小的力作用较长的时间，可得到同样的总效应。
8
3．合力的冲量,等于各分力冲量的矢量和．
i
t
t
t
t
t
t
SdtFdtFdtRS 2
1
2
1
2
1
② 单位,m / skg sm / skg sN 2 与动量单位同．
① 矢量，累积量。
2 2 2
1 1 1
,,
t t t
x x y y z z
t t t
S F d t S F d t S F d t
9
三,动量定理
1．质点的动量定理
FvmdtdFdt vdmam )(?
质点的动量对时间的导数等于作用于质点的力即：在某一时间间隔内，动量的增量等于力在该时间内的冲量。
SddtFvmd)(
SdtFvmvm
t
t
2
1
12
— 质点的动量定理
① 微分形式,
（动量的微分等于力的元冲量）
② 积分形式,
由微分形式：
积分：
10
③ 投影形式：
2．质点系的动量定理
e
i
i
iii FF)vm(dt
d
)F(FF)vm(dtd iieiiiii 0 而
eiF
dt
Kd 质点系的动量定理对整个质点系：
对质点系内任一质点 Mi，
内力 外力
X)mv(dtd x 2
1
12
t
txxx
XdtSmvmv
对 x,y轴同样有。
① 微分形式,
④ 质点的动量守恒若,则 常矢量，质点作惯性运动若,则 常量，质点沿 x 轴的运动是惯性运动
0?F
0?xF
vm
xmvX
11
质点系动量对时间的导数等于作用在质点系上所有外力的矢量和。
质点系动量的微分等于作用在质点系上所有外力元冲量的矢量和。
在某一时间间隔内，质点系动量的改变量等于作用在质点系上的所有外力在同一时间间隔内的冲量的矢量和．
由微分形式：
② 积分形式,
eiSKK 12
eeiid K F d t d S
12
③ 投影形式：
eix XdtdK
eiy YdtdK
eiz ZdtdK
2
1
12
t
t
e
i
e
xx dtXSixKK
2
1
12
t
t
e
i
e
yy dtYSiyKK
2
1
12
t
t
e
i
e
zz dtZSizKK
内力不能改变整个质点系的动量，只有外力才能改变质点系的动量 （如：力大无穷的大力士不能举起自己，在车箱内无论用多大的力推车箱，车箱的运动都不会改变）,但内力可以改变质点系中质点的动量 （如炮弹爆炸后弹片的运动）。
由定理知：
13
在自然界中，大到天体，小到分子、原子等基本微粒间的相互作用，都遵守动量守恒定理，它是自然界中最重要最普遍的客观规律之一。
例如：枪、炮的“后坐”，火箭、喷气飞机的反推，螺旋桨的反推等。
④ 质点系的动量守恒若 则 常矢量。
若 则 常量。
,0)( eiF
,0)( eixF
ii vmK
ixix vmK
e
i
e
i
X
F
14
[*例 2] 质量为 M的大三角形柱体,放于光滑水平面上,斜面上另放一质量为 m的小三角形柱体,求小三角形柱体滑到底时,大三角形柱体的位移。
0)( axmvvM
解,选 两物体组成的 系统为研究对象。
受力分析,
由水平方向动量守恒及初始静止 ；则
0)()( vvmvM rx
)( bamM mSmM mS rx
rv
ra vvv
v设大三角块速度,
小三角块相对大三角块速度为,
则小三角块运动分析,
m mMSSm mMvv rxrx
,0)( exF?xK水平方向 常量。Xie
15
运动分析，设经过?ｔ 时间后，流体 AB
运动到位置 ab，
[例 3] 流体流过弯管时,在截面 A和 B处的平均流速分别为求流体对弯管产生的动压力 (附加动压力 )。 设流体不可压缩，流量 Q(m3/s)为常量,密度为? (kg/m3）。
),m /s(,21 vv
])([])[( 12 aBAaBbaBABab KKKKKKK
12
12
)()(
vtQvtQKKK
KK
AaBb
aBaB
解,取截面 A与 B之间的流体作为研究的质点系。 受力分析如图示。
由质点系动量定理；得
RPPWvvQtKdtKd t 21120 )( lim
16
)vv(QN xxx 12
)vv(QN yyy 12
RPPWvvQtKdtKd t 21120 )(lim
)()( 1221 vvQPPWR
即静反力 （附加）动反力
)vv(QN 12（附加）动反力：
计算 时，常采用投影形式''RN
与 相反的力就是管壁上受到的流体作用的附加动压力．''RN
例如：水从水枪中以 v1=60m/s的速度沿水平方向射向固定叶片上，已知水柱的横截面积 s=10cm2，水的密度 ρ=103kg/m3，
17
不计水柱自重，求叶片所受的力。
解 （ 1）研究对象：水柱
（ 2）受力图
（ 3）求水柱所受约束反力水柱横截面积不变，水流量：
1221 vv,svsvQ
N..,,)vc osv(sv)vv(QR xxx 767 1730 102112
N...)s i nv(sv)vv(QR yyy 1 8 0 0030 02112
水柱对叶片的压力与,大小相等、方向相反。
xR yR
18
[例 4]小车重 G1=2kN，车上的箱中装砂，箱、砂共重 G2=1kN；
车与箱以 3.5km/h的速度在光滑直线道路上前进。现有一重
G3=0.5k N的重物铅直落入箱中。①求此后小车的速度；②若设重物落入箱中后箱在小车上滑动 0.2s才与车面相对静止，求车面与箱底间的平均摩擦力。
解,①求重物落入后车的速度以重物、车、箱、砂为研究对象
1N 2N
xxei KKX 12,0?
0
21
1 vg
GGK
x
设重物落入后车、箱共同速度为 v,则：
19
vg GGGK x 3212
0
21321 v
g
GGv
g
GGG于是：
s/m.h/km...vGGG GGv 83030
321
21
② 求箱底与车面间的摩擦力以小车为研究对象：
小车在 0.2s内速度由 v0→ v，由有,SKK eixxx 12
FtvgGvgG 011 kNgt vvGF 14.0...)( 01
注意：速度单位应用 m/s
20
M rmm rmr ii
i
ii
C
M
zmz
M
ymy
M
xmx ii
CiiCiiC
,,
§ 8-2 质心运动定理一,质点系的质量中心（简称质心）
质点系的质心是表征质点系质量分布情况的一个重要概念。
设有 n个质点组成的质点系，取固定点 O，则由矢径确定的点称为质点系的质心。
M=∑mi—— 质点系的总质量以 O点为原点建立直角坐标系，则质心坐标：
21
① 质点系运动时,xi,yi,zi是变量，因而 xC,yC,zC一般也是变量；
② 在重力场中，质心与重心是重合的（将 mi=Wi /g代入上式即得重心坐标公式），但质心的概念比重心更广泛，在非重力场，重心无意义，但质心存在。
M rmr iiC由 有, iiC rmrM
Cii vMvmK
两边对时间 t求导, iiC vmvM
22
将 代入到质点系动量定理：
CvMK
)()( e
iC FvMdt
d
若质点系质量不变,则 或
)( e
iC FaM )( eiC FrM
上式称为 质心运动定理（或质心运动微分方程）。 质点系的质量与质心加速度的乘积，等于作用于质点系上所有外力的矢量和（外力系的主矢）。
1,投影形式：
① 直角坐标轴,,,eiCeiCeiC ZzMYyMXxM
② 自然轴, 0,,
2 e
ibeinCeiC FF
vMF
dt
dvM
二,质心运动定理
23
2,质心运动定理是动量定理的另一种表现形式。任何一个质点系质心的运动与一个质点的运动相同，这质点的质量等于质点系的总质量，
这质点的受的力等于质点系所受外力。
c
ccx
cx xdt
xd
dt
dva
2
2
dt
dva c
c?
2
cn
c
va?
3.由定理知：
（ 1）质点系的内力不能改变质心的运动,只有外力才能改变质心的运动 。如：①汽车在绝对光滑的路面上，运动的汽车不能停止，静止的汽车不能运动；②炮弹爆炸成若干碎片，
到第一块弹片落地之前，其质心的运动仍作与爆炸前一样的抛物线运动；③跳水运动员、体操运动员无论在空中如何滚翻、转体，其质心运动的轨迹总是一条确定的抛物线。
24
（ 2） 内力 虽不能改变质心的运动，但 可以改变质点系中质点的运动,如前例中的汽车、炮弹、运动员。
（ 3）应用质心运动定理不需考虑内力，使问题简便。
4.质心运动定理 解决的问题
（ 1） 已知 质点系质心的 运动,求 作用在质点系上的 外力 ；
（ 2） 已知 作用在质点系上的 外力，求 质点系质心的 运动
（运动方程、速度、加速度）
意义：质点系的复杂运动可以看成是随质心的运动与相对质心的转动，应用质心运动定理求解质心的运动。
25
5,质心运动守恒定理
（ 1） 若,则 常量即：如果作用在质点系上的外力的矢量和恒等于零，则质心作惯性运动。
0 eiF cc v,a 0
（ 2） 若 ∑Xie≡0，则 acx=0,vcx=常量即：如果作用在质点系上的外力在某一轴上投影的代数和恒等于零，则质心速度在该轴上的投影保持不变（质心沿该轴作惯性运动）
又若 vcx=常量 =0，则 xc=常量,即质心在该轴的坐标保持不变。
例如：人和船静止于水面上，若不计水的阻力，则人在船上走，船会向相反的方向运动。
26
解,（ 1）研究对象：压实机
（质点系）
[例 5] 图示压实机,机壳、机座共重 P；始终处于对称位置的两偏心锤均重 G，偏心距 e,以匀 ω相向转动 。求压实机给地面的压力。
（ 2）受力图
（ 3）建立图示坐标系，
并设 h,H，则
F N x
y
h
H
GP
teHGhPy
c 2
)c o s(2
GPNyg GP c 22
（ 4）建立质心运动微分方程
27
F N x
y
h
H
GPNtGP Geg GP 2c os222
2
即：
tgGeGPN c os22
2
压实机给地面的压力 NN'
讨论：
① 压力包括：
静反力 P+2G
（附加）动反力 tg
Ge c os2 2
动反力为周期力，它引起振动。要消除振动，就要消除偏心。
② 此题也可用动量定理求解。
28
[例 6]图示振捣器，机身 A质量 M，偏心块 B
质量 m，偏心距 e,B以匀 ω绕铅直轴 z’ 转动
，求机身的在水平面内的运动。
解,（ 1）研究对象：机身、偏心块组成的质点系。设开始时系统静止。
（ 2）受力图
0)c o s( 11 mM texmxMx C?
N
c o n s txc o n s tvX ccxei,0,0?
c o n s tyc o n s tvY ccyei,0,0?
质心运动守恒，故以质心 c为原点建坐标系，则 xc=0,yc=0
x
y
c
设 c1点（代表机身）坐标,x1,y1，则
0)s i n( 11 mM teymyMy C?
29
由此得,te
mM
mx?c os
1
temM my?s i n1
机身沿 x,y两个方向座简谐振动，振幅,圆频率
ω,c1点的轨迹是一个圆心在 c点半径为 的圆。
mM
me
mM
me
30
[例 7] 曲柄滑道机构，已知 F,M,OA=l,ω（常量），均质曲柄 OA重 G1、滑块 A重 G2,滑道重 G3,接触处光滑，求点 O处的反力。
解,方法一：用质心运动定理求解
（ 1）研究对象：整体
① 受力图
② 建立图示坐标系
，设 C3到 A点 的水平距离为 a，则
a
321
321 )cos(coscos2
GGG
atlGtlGtlG
x C
321
332
1
2
GGG
aG)GGG(tcosl
OX OY
1N
2N
31
③ 建立质心运动微分方程求 并代入上式（常量
a求导后为零），得
a
FX)GGG(tc o sgl O 3212 2
OX OY
1N
2N
FXxg GGG OC321
Cx?
)GGG(tc o sglFX O 3212 2
能不能求出 YO？
（ 2）以曲柄 OA（带滑块）为研究对象（步骤同前）
32
21
2
1
21
21 22
GG
)GG(ts i nl
GG
ts i nlGts i nlG
y C?
由质心运动定理：
2121 GGYyg
GG
OC
求 并代入上式，得Cy?
21021
2
2 GGY)G
G(
g
ts i nl
)GG(g ts i nlGGY 21
2
210 2
33
方法二：用动量定理求解
（ 1）研究对象：整体
① 受力图
② 建立图示坐标系
，计算动量：
OX OY
1N
2N
1v ev
2v rv
3v
lv,lv 21 2
以 A点为动点，滑道为动系，则
ts i nlvv e3
xxxixix vg
Gv
g
Gv
g
GvmK
3
3
2
2
1
1
ts i nlgGts i nlgGts i nlgG 321 2
34
)GGG(ts i ngl 3212
③ 由动量定理
FX)]GGG(ts i ngl[dtd O 3212
)]GGG(tc o sglFX O 321
2
2
（ 2）以曲柄 OA（带滑块）为研究对象，可求 YO
eix XdtdK
35
解 （ 1） 研究对象：起重船、起重杆和重物组成的质点系。
[例 8] 起重船,船重 P1=200kN,匀质起重杆 OA重 P2=10kN,长
l=8m，重物重 P3=20kN 。 设开始时系统静止,OA与铅直夹角
1=60o,水的阻力不计,求 OA与铅直成角?2 =30o时船的位移。
受力如图示，,且初始时系统静止，
0)( exFXie
∴ xC =const，或 xC 2= xC 1
（ 2）建立图示坐标，设 a,b，则：
x
y
a
b 321
13121
1
)s i n()s i n2(
PPP
laPlaPbP
x C
36
)s i n( s i n)(2 2 21
321
32
l
PPP
PPx
)30s i n60( s i n8)20102 00(2 20210
m 318.0 计算结果为负值，表明船的位移水平向左。
设当 OA从 α1→α 2时，船向右移动△ x,则
321
23221
2
)s i n()s i n
2
()(
PPP
lxaPlxaPxbP
x C
由 xC 2= xC 1,得,
37
