1
[例 ]
由于研究对象是刚体,所以运动中要考虑其本身形状和尺寸大小是指刚体的平行移动和转动一、刚体的平行移动 (平动 )
基本运动
§ 4-2 刚体的基本运动
2
OB作定轴转动
CD作平动 AB,凸轮均作平动
3
)0()( dtrdvdtrdrrdtddtrdv ABAAABABB?
由 A,B 两点的运动方程式,而( t )rr( t ),rr BBAA ABAB rrr
A2
A
2
ABA2
2
2
B
2
B
a
dt
rd
)rr(
dt
d
dt
rd
a
:同理
AB在运动中方向和大小始终不变，即 co n s tr AB?
（一） 刚体平动的 定义,
刚体运动，其体内任意直线始终与其初始位置平行 。
4
（二） 刚体平动的 特点：
① 各点轨迹形状完全相同且相互平行。
② 在同一瞬时各点具有相同的速度、加速度。
注意,平动直线平动曲线平动平动 ≠直线运动
5
二,刚体的定轴转动
（一） 刚体定轴转动的 定义刚体运动时，如果体内或其扩展部分有一直线始终保持不动，则这种运动称为刚体绕固定轴转动。固定不动的直线称为转轴 。
（二）转动方程
---转角,单位弧度 (rad)
=f(t)---转动方程方向规定,从 z 轴正向看去,
逆时针为正 顺时针为负
6
（三） 定轴转动的 角速度和角加速度
1.角速度 ω：
)s/r ad(dtdtt 代数量，单位：定义 ΔΔlim,0Δ
工程中常用转速 n
单位：转 /分 (r / min)
n与?的关系为,
30
n
60
n2
7
2.角加速度,
设当 t 时刻为?,t +△ t 时刻为?+△?，则
与?方向一致为加速转动,?与?方向相反为减速转动
3.匀速转动和匀变速转动
=常数 — 匀速转动? =常数 — 匀变速转动 。
2
2
1
2
0
2
2
0
0
tt
t
与点的运动相类似。
2
2
0t dt
d
dt
d
tlim （代数量，单位,rad/s
2）
0
t0
8
,? 对整个刚体而言 (各点都一样 )；
v,a 对刚体中某个点而言 (各点不一样 )。
(即角量与线量的关系 )
三、转动刚体内各点的速度和加速度
（一）各点的速度刚体绕定轴转动时，体内除转轴以外的各点都在与转轴垂直的平面内作圆周运动。
研究任一点 M：
R— 转动半径
9
Rs?M点的运动方程：
速度大小, R)R(dtddtdsv
方向,⊥ 转动半径与 ω一致
（二）各点的加速度
RdtdR)R(dtddtdva
2
22
n RR
)R(va
4222
n Raaa
22 tg?
R
R
a
a
n
M
10
① 同一瞬时刚体内各点的速度、加速度的大小都与该点到转轴的距离成正比。
②刚体内各点的速度都与该点的转动半径垂直；同一瞬时各点的全加速度与该点转动半径夹角相同。
（三）转动刚体内各点的速度、加速度的分布规律
11
工程中,常用一系列互相啮合的齿轮来实现变速,它们的基本原理是什么呢?
四,轮系传动
（一）齿轮传动内啮合外啮合
12
DDCC
DCDC
rr
vv,vv
C
D
C
D
D
C
D
C
CD Z
Z
r
r
n
ni
由于两轮接触处没有相对滑动：
Z—— 齿轮的齿数
i—— 传动比：主动轮与从动轮角速度（或转速）比当两轮转向相同时为正，相反时为负
13
（三）链轮系,设有,A,B,C,D,E,F,G,H 轮系,则总传动比为：
HGGFFEEDDCCBBA
m
H
G
G
F
F
E
E
D
D
C
C
B
B
Am
H
A
HA
iiiiiii
i
,,,,,,,
11
,
)1()1(
其中 m代表外啮合的个数；负号表示最后一个轮转向与第一个轮转向相反。
（二）皮带轮系传动
BA vv (而不是 方向不同 )? BA vv?
BBAA rr 皮带传动
A
B
B
AAB rri
14
五,角速度和角加速度的矢量表示点的速度和加速度的矢量表示
（一） 角速度和角加速度的矢量表示
k方向如图
kkdtddtd
按右手定则规定
,的方向。?
15
（二） 刚体内任一点的速度和加速度的矢积表示
|r|s i nrRv
rv
dt rdrdtddt
rd
dt vda
)(?
vr
n
2o aR90s i nv|v|
aRs i nr|r|
ra va n
相同的方向与而 rv
方向分别相同与与又 navar,
16
三,例题
[*例 2]列车在 R=300m的曲线上匀变速行驶。轨道上曲线部分长
l=200m，当列车开始走上曲线时的速度 v0=30km/h，而将要离开曲线轨道时的速度是 v1＝ 48km/h。
求列车走上曲线与将要离开曲线时的加速度？
17
a解,由于是匀变速运动，则 常量。
由公式 而由已知savv
2202,m2 0 0 ls
m / s
3
40
3 6 0 0
1 0 0 048,m / s
3
25
3 6 0 0
1 0 0 030
m / s27.0
2 0 029
6 2 51 6 0 0
2
10
2
2
0
2
1
vv
s
vv
a?
列车走上曲线时，
全加速度列车将要离开曲线时，
全加速度
22
2
0
02 m / s23.03 0 0
)3/25(,m / s27.0
R
vaa
n?
'
0
1022020 2949tg,m / s356.0
n
n a
aaaa?
22
2
1
12 m / s5 9 3.03 0 0
)3/40(,m / s27.0
R
vaa
n?
'
1
1122121 3424tg,m / s652.0
n
n a
aaaa?
18
〔 *例 3〕 已知如图，求 时正好射到 A点且用力最小。,
0 v?
分析：只有在 A点,vy＝ 0且为最大高度时，用力才最小。
gtvdtdyv ys i n0
解,由
2
0
0
2
1s in
c o s
gttvy
tvx
由于在 A点时,vy=0，所以上升到最大高度 A点时所用时间为：
g
vt?s in0?
19
将上式代入 ①和②，得：
g
vy
g
vx
AA 2
s i n,
2
2s i n 22020
tg
2
1
2s i n
s i n
5
5.1 2
2
2s i n
2
s i n
2
0
22
0
g
v
g
v
A
A
x
y
31,6.05 5.12tg
将?31 代入③,得
11162s i n 58.922s i n220Agxv
m / s5.100 v
20
〔 例 4〕 已知：重物 A的 2m/s1?
Aa
（常数）初瞬时速度 m/s5.1
0?v
方向如图示。,m5.0?R? m30,r?
① 滑轮 3s内的转数；
2r a d / s 25.0 1 Ra C
r a d / s35.0 5.1,m / s5.1 0000 Rvvv CC?
）常数（
（ ）
,m /s1 2 AC aa?
因为绳子不可以伸长，所以有转）(86.22,r a d1832213321 220 ntt
21
② 重物 B在 3s内的行程
m4.5183.0rs
m / s7.293.0?rv B
），
r a d / s 9323 0 t
（
③ 重物 B在 ｔ ＝ 3s时的速度
22
t = 0 时，
2220
2
m / s5.435.0
,m / s1
Ra
aa
n
C
AC
5.12,2 2 2.0
5.4
1tg
m / s 61.45.41)()( 22222
n
C
C
n
CCC
a
a
aaa
t=3s 时,222 m /s5.4095.0,m /s1 2 Raaa nCAC
41.1,0 2 4 7.051.40 1 t g,m / s51.405.401 222Ca
④ 滑轮边上 C点在初瞬时的加速度
⑤ 滑轮边上 C点在 ｔ ＝ 3s时的加速度
23
[*例 5] 已知：圆轮 O由静止开始作等加速转动,OM＝ 0.4m，
在 某瞬时测得 30,m / s 40 2?
Ma
求,①转动方程 ;
② t＝ 5s时,Ｍ 点的速度和向心加速度的大小。
s i n MaRa
2r a d / s 50
4.0
30s i n40s i n
R
a
R
a M
解,①
22200 25502121,0 tttt
225 t转动方程
M
24
②
ttRvtt M 20504.0,50 0
22
2 m/ s25000
4.0
100
R
va Mn
M
当 ｔ ＝ 5s时,m / s100520Mv M
25
〔 例 6〕 试画出图中刚体上 Ｍ?Ｎ 两点在图示位置时的速度和加速度。 ),(
2121 ABOOBOAO
26
〔 *例 7〕 已知如图，从 O点以任一角度抛出一质点，试证明质点最早到达直线Ｌ的抛角为 。
2?
（与上升的最大高度无关，只要求时间对抛射角度的变化率）
到达高度为 h 时,t 与 的关系有下式确定
0?
②200 21s i n gttvh
200 21s i n gttvy ①
解,选 坐标系，则xoy
O
27
00000
221)s i nc o s(0 d dttgd dttv
欲使最早到达，必须满足
0
0
ddt
③
将 ① 对 求导数0?
000000
s i nc o s0 d dttgd dtvtv
将 （最早到达的条件） 代入,得
0
0
ddt ;0co s 00tv
又 0co s,0
00tv 2
证毕。
表示出在某一角度下时间会最短。（极值）
28
[例 ]
由于研究对象是刚体,所以运动中要考虑其本身形状和尺寸大小是指刚体的平行移动和转动一、刚体的平行移动 (平动 )
基本运动
§ 4-2 刚体的基本运动
2
OB作定轴转动
CD作平动 AB,凸轮均作平动
3
)0()( dtrdvdtrdrrdtddtrdv ABAAABABB?
由 A,B 两点的运动方程式,而( t )rr( t ),rr BBAA ABAB rrr
A2
A
2
ABA2
2
2
B
2
B
a
dt
rd
)rr(
dt
d
dt
rd
a
:同理
AB在运动中方向和大小始终不变，即 co n s tr AB?
（一） 刚体平动的 定义,
刚体运动，其体内任意直线始终与其初始位置平行 。
4
（二） 刚体平动的 特点：
① 各点轨迹形状完全相同且相互平行。
② 在同一瞬时各点具有相同的速度、加速度。
注意,平动直线平动曲线平动平动 ≠直线运动
5
二,刚体的定轴转动
（一） 刚体定轴转动的 定义刚体运动时，如果体内或其扩展部分有一直线始终保持不动，则这种运动称为刚体绕固定轴转动。固定不动的直线称为转轴 。
（二）转动方程
---转角,单位弧度 (rad)
=f(t)---转动方程方向规定,从 z 轴正向看去,
逆时针为正 顺时针为负
6
（三） 定轴转动的 角速度和角加速度
1.角速度 ω：
)s/r ad(dtdtt 代数量，单位：定义 ΔΔlim,0Δ
工程中常用转速 n
单位：转 /分 (r / min)
n与?的关系为,
30
n
60
n2
7
2.角加速度,
设当 t 时刻为?,t +△ t 时刻为?+△?，则
与?方向一致为加速转动,?与?方向相反为减速转动
3.匀速转动和匀变速转动
=常数 — 匀速转动? =常数 — 匀变速转动 。
2
2
1
2
0
2
2
0
0
tt
t
与点的运动相类似。
2
2
0t dt
d
dt
d
tlim （代数量，单位,rad/s
2）
0
t0
8
,? 对整个刚体而言 (各点都一样 )；
v,a 对刚体中某个点而言 (各点不一样 )。
(即角量与线量的关系 )
三、转动刚体内各点的速度和加速度
（一）各点的速度刚体绕定轴转动时，体内除转轴以外的各点都在与转轴垂直的平面内作圆周运动。
研究任一点 M：
R— 转动半径
9
Rs?M点的运动方程：
速度大小, R)R(dtddtdsv
方向,⊥ 转动半径与 ω一致
（二）各点的加速度
RdtdR)R(dtddtdva
2
22
n RR
)R(va
4222
n Raaa
22 tg?
R
R
a
a
n
M
10
① 同一瞬时刚体内各点的速度、加速度的大小都与该点到转轴的距离成正比。
②刚体内各点的速度都与该点的转动半径垂直；同一瞬时各点的全加速度与该点转动半径夹角相同。
（三）转动刚体内各点的速度、加速度的分布规律
11
工程中,常用一系列互相啮合的齿轮来实现变速,它们的基本原理是什么呢?
四,轮系传动
（一）齿轮传动内啮合外啮合
12
DDCC
DCDC
rr
vv,vv
C
D
C
D
D
C
D
C
CD Z
Z
r
r
n
ni
由于两轮接触处没有相对滑动：
Z—— 齿轮的齿数
i—— 传动比：主动轮与从动轮角速度（或转速）比当两轮转向相同时为正，相反时为负
13
（三）链轮系,设有,A,B,C,D,E,F,G,H 轮系,则总传动比为：
HGGFFEEDDCCBBA
m
H
G
G
F
F
E
E
D
D
C
C
B
B
Am
H
A
HA
iiiiiii
i
,,,,,,,
11
,
)1()1(
其中 m代表外啮合的个数；负号表示最后一个轮转向与第一个轮转向相反。
（二）皮带轮系传动
BA vv (而不是 方向不同 )? BA vv?
BBAA rr 皮带传动
A
B
B
AAB rri
14
五,角速度和角加速度的矢量表示点的速度和加速度的矢量表示
（一） 角速度和角加速度的矢量表示
k方向如图
kkdtddtd
按右手定则规定
,的方向。?
15
（二） 刚体内任一点的速度和加速度的矢积表示
|r|s i nrRv
rv
dt rdrdtddt
rd
dt vda
)(?
vr
n
2o aR90s i nv|v|
aRs i nr|r|
ra va n
相同的方向与而 rv
方向分别相同与与又 navar,
16
三,例题
[*例 2]列车在 R=300m的曲线上匀变速行驶。轨道上曲线部分长
l=200m，当列车开始走上曲线时的速度 v0=30km/h，而将要离开曲线轨道时的速度是 v1＝ 48km/h。
求列车走上曲线与将要离开曲线时的加速度？
17
a解,由于是匀变速运动，则 常量。
由公式 而由已知savv
2202,m2 0 0 ls
m / s
3
40
3 6 0 0
1 0 0 048,m / s
3
25
3 6 0 0
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2 0 029
6 2 51 6 0 0
2
10
2
2
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1
vv
s
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a?
列车走上曲线时，
全加速度列车将要离开曲线时，
全加速度
22
2
0
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)3/25(,m / s27.0
R
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'
0
1022020 2949tg,m / s356.0
n
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)3/40(,m / s27.0
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1
1122121 3424tg,m / s652.0
n
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18
〔 *例 3〕 已知如图，求 时正好射到 A点且用力最小。,
0 v?
分析：只有在 A点,vy＝ 0且为最大高度时，用力才最小。
gtvdtdyv ys i n0
解,由
2
0
0
2
1s in
c o s
gttvy
tvx
由于在 A点时,vy=0，所以上升到最大高度 A点时所用时间为：
g
vt?s in0?
19
将上式代入 ①和②，得：
g
vy
g
vx
AA 2
s i n,
2
2s i n 22020
tg
2
1
2s i n
s i n
5
5.1 2
2
2s i n
2
s i n
2
0
22
0
g
v
g
v
A
A
x
y
31,6.05 5.12tg
将?31 代入③,得
11162s i n 58.922s i n220Agxv
m / s5.100 v
20
〔 例 4〕 已知：重物 A的 2m/s1?
Aa
（常数）初瞬时速度 m/s5.1
0?v
方向如图示。,m5.0?R? m30,r?
① 滑轮 3s内的转数；
2r a d / s 25.0 1 Ra C
r a d / s35.0 5.1,m / s5.1 0000 Rvvv CC?
）常数（
（ ）
,m /s1 2 AC aa?
因为绳子不可以伸长，所以有转）(86.22,r a d1832213321 220 ntt
21
② 重物 B在 3s内的行程
m4.5183.0rs
m / s7.293.0?rv B
），
r a d / s 9323 0 t
（
③ 重物 B在 ｔ ＝ 3s时的速度
22
t = 0 时，
2220
2
m / s5.435.0
,m / s1
Ra
aa
n
C
AC
5.12,2 2 2.0
5.4
1tg
m / s 61.45.41)()( 22222
n
C
C
n
CCC
a
a
aaa
t=3s 时,222 m /s5.4095.0,m /s1 2 Raaa nCAC
41.1,0 2 4 7.051.40 1 t g,m / s51.405.401 222Ca
④ 滑轮边上 C点在初瞬时的加速度
⑤ 滑轮边上 C点在 ｔ ＝ 3s时的加速度
23
[*例 5] 已知：圆轮 O由静止开始作等加速转动,OM＝ 0.4m，
在 某瞬时测得 30,m / s 40 2?
Ma
求,①转动方程 ;
② t＝ 5s时,Ｍ 点的速度和向心加速度的大小。
s i n MaRa
2r a d / s 50
4.0
30s i n40s i n
R
a
R
a M
解,①
22200 25502121,0 tttt
225 t转动方程
M
24
②
ttRvtt M 20504.0,50 0
22
2 m/ s25000
4.0
100
R
va Mn
M
当 ｔ ＝ 5s时,m / s100520Mv M
25
〔 例 6〕 试画出图中刚体上 Ｍ?Ｎ 两点在图示位置时的速度和加速度。 ),(
2121 ABOOBOAO
26
〔 *例 7〕 已知如图，从 O点以任一角度抛出一质点，试证明质点最早到达直线Ｌ的抛角为 。
2?
（与上升的最大高度无关，只要求时间对抛射角度的变化率）
到达高度为 h 时,t 与 的关系有下式确定
0?
②200 21s i n gttvh
200 21s i n gttvy ①
解,选 坐标系，则xoy
O
27
00000
221)s i nc o s(0 d dttgd dttv
欲使最早到达，必须满足
0
0
ddt
③
将 ① 对 求导数0?
000000
s i nc o s0 d dttgd dtvtv
将 （最早到达的条件） 代入,得
0
0
ddt ;0co s 00tv
又 0co s,0
00tv 2
证毕。
表示出在某一角度下时间会最短。（极值）
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