1
2
振动是日常生活和工程实际中常见的现象。
例如：钟摆的往复摆动,汽车行驶时的颠簸，电动机、机床等工作时的振动，以及地震时引起的建筑物的振动等。
利,振动给料机 弊,磨损，减少寿命，影响强度振动筛 引起噪声，影响劳动条件振动沉拔桩机等 消耗能量，降低精度等。
3,研究振动的目的,消除或减小有害的振动，充分利用振动为人类服务。
2,振动的利弊,
1,所谓 振动就是系统在平衡位置附近作往复运动。
3
4,振动的分类,单自由度系统的振动按振动系统的自由度分类 多自由度系统的振动弹性体的振动按振动产生的原因分类,
自由振动,无阻尼的自由振动有阻尼的自由振动（衰减振动）
强迫振动,无阻尼的强迫振动有阻尼的强迫振动自激振动
4
实际中的振动往往很复杂，为了便于研究，需简化为 力学模型。
质量 — 弹簧系统振体
5
运动过程中，使物体回到平衡位置的力称为 恢复力
6
§ 12-1 单自由度系统无阻尼自由振动一、振动的微分方程,
只需用一个独立坐标就可确定振体的位置，这种系统称为 单自由度系统 。物体受到初干扰后，仅在恢复力作用下的振动称为 无阻尼自由振动图示质量 —— 弹簧系统,以平衡位置为坐标原点,则
xmFmg
)( stxkF
st
st
kmg?
变形：
振体静止平衡时弹簧的—
7
kxxkmgFmgxm st )(
m
k
n?
2?令
02 xx n则：
这就是质量 —— 弹簧系统无阻尼自由振动的微分方程。
)/(
0
2
2
lgn
n
对于其他类型，同理可得。如单摆：
8
复摆,)/(
0
2
2
Jm g an
n
对于任何一个单自由度系统，以 q 为广义坐标 （从平衡位置开始量取 ）,则自由振动的微分方程的标准形式：
02 qq n
解 为,)s in ( tAq
n
)c o s ( tAq nn?
9
0
0
2
2
02
0 a r c t g,q
qqqA n
n?
设 t = 0 时,代入上两式得：
00,qqqq
或：
tCtCq nn s inc o s 21
C1,C2由初始条件决定为
nq CqC?/,02 01
tqtqq n
n
n s inc o s
0
0
10
ωn—— 圆频率,振体在 2?秒内振动的次数。 ωn=2πf
ωn,f 都称为系统的固有频率或自然频率
A—— 振体离开平衡位置的最大位移，称为 振幅
n t +?—— 相位,决定振体在某瞬时 t 的位置
—— 初相位,决定振体运动的起始位置
n
T2?T —— 周期,每振动一次所经历的时间
f —— 频率,每秒钟振动的次数，单位,HZ,f = 1 / T
11
无阻尼自由振动的特点,
(2) 振幅 A和初相位? 取决于运动的初始条件 (初位移和初速度 )；
(1) 振动规律为 简谐振动 ；
(3)周期 T 和固有频率 ωn 仅决定于系统本身的固有参数 (m,k,J)。
四、其它
1,如果系统在振动方向上受到某个常力的作用，该 常力只影响静平衡点 O的位置，而不影响系统的振动规律,如振动频率、振幅和相位等。
12
2,弹簧并联系统和弹簧串联系统的等效刚度
21
21
21
21
2
2
1
1
,)(
,
kkk
kk
mg
kkmg
FFmg
k
F
k
F
eq
stst
st
并联
21
21
eq
21
2121
21
k
)
11
(
)
11
(
kk
kk
kk
mg
k
mg
kk
mg
k
mg
k
mg
eq
st
ststst
串联并联串联
13
二,求系统固有频率的方法
st?
—— 弹簧在全部重力作用下的静变形对于质量 —— 弹簧这类系统，当振体静止平衡时，有：
stkmg
st
n
g
于是：
无阻尼自由振动系统为保守系统，机械能守恒。
当振体运动到距静平衡位置最远时，速度为零，即系统动能等于零，势能达到最大值（取系统的静平衡位置为零势能点）。
14
当振体运动到静平衡位置时，系统的势能为零，动能达到最大值。
m g AAkV stst ])[(21 22m a x
2
m a x 2
1 kAVmgk
st
222
m a xm a x 2
1
2
1
nmAxmT
如：
)s i n ( tAx n设
m
kkAmAVT
nn 2
1
2
1 222
m a xm a x 得由由 Tmax=Vmax求?n的方法称为能量法。
15
1,振动微分方程的标准形式
2,静变形法：
3,能量法,
综上所述，求系统固有频率的方法有：
02 qq n
st
n
g
st?
：集中质量在全部重力作用下的静变形
n?由 Tmax=Vmax,求出能量法是从机械能守恒定律出发，对于计算较复杂的振动系统的固有频率，用能量法来求更为简便。
16
例 1 图示系统。设轮子无侧向摆动，
且轮子与绳子间无滑动，不计绳子和弹簧的质量,轮子是均质的，半径为 R，质量为 M，重物质量 m,试列出系统微幅振动微分方程,求 出其 固有频率 。
17
解,以 x 为广义坐标，静平衡位置为坐标原点。
02)(
,0)(
RkgRmM
Fm
st
I
gk mMst 2?
在任意位置 x 时：
kxgmMxkF st 22)2(
静平衡时：
18
应用动量矩定理 x：
k x RRFgRmMFm
xRmM
R
x
MRRxMRxmH
I
I
42)()(
)
2
3
(
2
1 2
由,有 )( Fm
dt
dH
II k x RxRmM 4)23(
振动微分方程：
固有频率：
mM
k
x
mM
kx
n 23
8
0
23
8
19
解 2,用机械能守恒定律 以 x为广义坐标（取静平衡位置为原点）
2
22
2
2
)
2
3(
2
1
2
1)(
22
1
2
1
xmM
xm
R
xMRxMT
以平衡位置为计算势能的零位置，
并注意轮心位移 x时，弹簧伸长 2x
gxmMxkkx
gxmMxkV
st
stst
)(22
)(])2[(
2
2
22
因平衡时
gxmMxk st )(2
22 k xV
20
由 T+V= 有：const
c o n s tkxxmM 22 2)23(21?
mM
k
x
mM
k
x
n 23
8
0
23
8
对时间 t 求导，再消去,得x?
21
例 2 鼓轮：质量 M，对轮心回转半径?,在水平面上 只滚不滑，大轮半径 R，小轮半径 r,弹簧刚度,重物 E质量为 m,不计轮 D和弹簧质量，且绳索不可伸长。 求系统微振动的固有频率。
21,kk
解,取静平衡位置 O为坐标原点,取 C偏离平衡位置 x为广义坐标 。系统的最大动能为：
22
)
)(
)(
( )(
2
1
])) [ ((
2
1
21
2
m a x21
m a x
22
m a x21m a x
Rkk
rRmg
xkk
x
R
rR
mgxkkV
st
stst
2
m a x
222
2
2
m a x
2m a x22
m a xm a x
] [
2
1
)(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
xr)m ( R)RM(
R
x
R
rR
m
R
x
MxMT
以平衡位置为重力及弹性势能零位置，则：
23
设 则有 )s in ( nAx
nAxAx m axm ax,?
)(21 2 )()( 221m a x222
222
m a x AkkVAR
rRmRMT
n
根据 Tmax=Vmax,解得
222
2
21
)()(
)(
rRmRM
Rkk
n
24
§ 12-2 单自由度系统的有阻尼自由振动一、阻尼的概念,
阻尼,振动过程中，系统所受的阻力。
粘性阻尼,在很多情况下，振体速度不大时，介质粘性引起的阻尼力与速度的一次方成正比，这种阻尼称为粘性阻尼。
vR
投影式,xR x
μ—— 粘性阻尼系数，简称 阻尼系数 。
自由振动是简谐运动，振幅不随时间而变。但实际中振动的振幅几乎都是随时间逐渐减小的（也称为 衰减振动 ），
这是因为有阻尼。
25
二、振动微分方程及其解,
质量 — 弹簧系统存在粘性阻尼,xkxxm
有阻尼自由振动微分方程的 标准形式 。
02 2,22n xxnx mnmk n则令
26
其通解分三种情况讨论：
1、小阻尼情形 mkn n 2 )(
)s i n ( tAex dnt
22 nnd — 有阻尼自由振动的圆频率则时设,,,0 00 xxxxt
00
22
01
22
2
002
0 tg ;
)(
nxx
nx
n
nxxxA n
n?
27
衰减振动的特点：
(1) 振动周期变大，
频率减小。
mk
n
n
T
n
nd
2
22
221
—— 阻尼比当 时，可以认为
nn TTnd 1
28
(2) 振幅按几何级数衰减对数减幅系数,11ln nTe nT
1
)1(
1 nT
int
Titn
i
i e
Ae
eA
A
A?
相邻两次振幅之比振幅,int
i AeA
)( 2222 21 tn tnnt nn eCeCex
)( nn2、大阻尼阻尼情形积分常数由 C1,C2由运动的初始条件决定。
29
物体的运动随时间的增长而无限地趋向平衡位置，不再具备振动的特性。
所示规律已不是周期性的了，随时间的增长,x 0，
不具备振动特性。
3、临界阻尼情形临界阻尼系数
)( nn
mkc 2
)( 21 tCCex nt
（ C1,C2由运动的初始条件决定）
综上所述,系统受粘滞阻尼作用时，只有在 n＜ ωn的情况下才发生振动，振动的周期较无阻尼时略长，而振幅则按几何级数递减。
30
例 3 质量弹簧系统,W=150N,?st=1cm,A1=0.8cm,
A21=0.16cm。 求阻尼系数 μ 。
201
20
21
2
3
1
2
1
21 )( nTe
A
A
A
A
A
A
A
A
解：
201 )(
8.0
16.0 nTe
221
22020)
8.0
16.0l n (
nnnT n
sr adg
st
n /3.3101.0
8.9
得 n=0.4（ 1/s）
mNsnmmn /2.128.915 04.0222由
31
§ 12-3 单自由度系统的受迫振动自由振动由于有阻尼的存在而逐渐衰减，但实际有很多振动并不衰减，这时因为受到 干扰力 的作用。干扰力时对系统起着激振作用的力，它不依赖于系统的运动而给系统不断地输入能量，使其持速振动。比如：转子的偏心、
支撑点或悬挂点的运动等。
系统在干扰力的作用下的振动称为受迫振动或 强迫振动 。
干扰力的种类很多，我们只讨论 简谐变化 的干扰力：
tHS?si n?
H— 力幅,干扰力的最大值；?— 干扰力的圆频率
32
一、有阻尼情形
tHSxRkxF xxx s i n,,
tHxkxxm s i n
m
Hh
mnm
k
n ; 2 ;
2令
thxxnx n s i n2 2
这就是有阻尼强迫振动微分方程的标准形式：二阶常系数非齐次微分方程。其解为：
21 xxx
1、振动微分方程及其解
33
x1是对应齐次方程 的通解 )02( 2 xxnx
n
小阻尼：
)s i n ( 221 tAex nnt
（ A,? 积分常数，取决于初始条件）
x2 是特解,)s i n (2 tBx 代入原方程并整理
22
22222
2
tg
4)(
n
n
n
n
h
B
— 受迫振动的振幅
— 强迫振动相位滞后干扰力相位角振动微分方程的全解为
34
)s i n ()s i n ( 22 tBtAex nnt
衰减振动 受迫振动
（ 1） n＜ ωn时
（ 2） n=ωn时
（ 3） n＞ ωn时
)s i n ()( 21 tBtCCex nt
)s i n ()( 222221 tBeCeCex tnn tnnnt
上述三式的第一部分很快就消失了。第一部分消失之前的运动称为 暂态响应,第一部分消失之后的运动称为 稳态响应。受迫振动指的是稳态响应,其运动方程为：
)s i n (2 tBxx
35
2、有阻尼受迫振动的特点：
（ 1）振动规律,为简谐振动，不随阻尼而衰减。
)s i n ( tBx
（ 2）与运动的初始条件无关。
（ 3）频率等于干扰力的频率，不受阻尼影响。
二、无阻尼情形当 n=0时，振动微分方程,thxx n s i n2
对应齐次方程的解,)s i n (1 tAx n
特解,)s i n (2 tBx
当 n=0时，有前述,0,22
n
hB
36
方程全解：
n
n
—— 阻尼比
tBtAxxx n s i n)s i n (21
三、幅 —— 频曲线 共振现象将受迫振动的振幅改写为：
2222
0
)(4])(1[
1
nn
BB
k
H
mk
mHhB
n
//20?式中,—— 静偏离,在干扰力力幅作用下，振体偏离平衡位置的距离
37
于是,22220 )(4])(1[
1
nn
B
B
λ—— 放大系数或动力系数对于不同的阻尼比?，
可得一系列放大系数 λ随频率比 ω/ωn的变化曲线，称为振幅 —— 频率曲线，简称幅
—— 频曲线。
38
0,1
/,1/)1(
BB
n nn
为何值无论时时时 0,7 0,1/)3( n
阻尼对振幅影响显著。一定时，阻尼增大，振幅显著下降。 22 2,0
)(
n
d
d
n
n
得由
— 共振频率
2
0
m a x 12
BB此时
0,0
/,1/)2(
B
n nn
为何值无论时
39
n
BBB n
22
00
m a x
有阻尼强迫振动相位总比干扰力滞后一相位角 β，称为 相位差 。
22 )(1
2
)(1
2
tg
n
n
n
nn
n
一般 ξ较小，可以认为当 ω=ωn时系统发生共振,此时四、相 —— 频曲线
（ 4） n/ωn=0，即无阻尼情况，当 ω=ωn时系统发生共振，
B→∞ 。
40
(1) β在 0～? 内变化。
(2) 单调上升。
(3) 当 ω/ωn→0 时,β →0 。
(4) 当 ω/ωn≈1（共振区）时,β变化剧烈,ω/ωn=1时无论阻尼大小,β=π/2 。
(5) 当 ω/ωn > > 1时,β=π。强迫振动与干扰力反相。
对于不同的阻尼比?=n/ωn，可得一系列相位差 β随频率比
ω/ωn的变化曲线，称为相位差
—— 频率曲线，简称相 —— 频曲线。
41
例 4 已知物体重 P=3500N，
k=20000N/m,干扰力 H=100N,f=2.5Hz,
μ=1600N·s/m,求 B,β,强迫振动方程。
解,
r ad / s 58.103500 8.92 0 0 0 022 Pkgmk eqn?
m 105.2200002 1002 30 kHkHB
eq
485.1
58.10
5.222; 212.0
58.10
24.2
r a d/ s 24.2
8.9/35002
1600
2
nnn
fn
m
n
42
mm 84.15.2736.0
736.0
485.1212.04)485.11(
1
)()(4])(1[
1
0
222
2222
BB
n
nnn
)847.05s i n (84.1
)r ad( 847.0)522.0(ar ct g
)(1
2
ar ct g
2
tx
n
n
nn
43
§ 12-4 临界转速? 减振与隔振的概念一、转子的临界转速引起转子剧烈振动的特定转速称为 临界转速 。这种现象是由共振引起的，在轴的设计中对高速轴应进行该项验算。
单圆盘转子,
圆盘：质量 m,质心 C点；转轴过盘的几何中心 A点,AC= e,盘和轴共同以匀角速度? 转动。 当?<?n（?n为圆盘转轴所组成的系统横向振动的固有频率）时,OC=
x+e (x为轴中点 A的弯曲变形）。
44
kxexm 2)(? （ k为转轴相当刚度系数）
11 2
2
2?
n
e
m
k
ex
xn,时当
临界角速度：
临界转速：
cc
nc
n
m
k
30?
45
,运转时当 n 质心 C位于 O,A之间 OC= x- e
2
2 )(11?
n
e
m
k
ex
exx nn,;,,时当时当
当转速? 非常高时，圆盘质心 C与两支点的连线相接近，
圆盘接近于绕质心 C旋转，于是转动平稳。
为确保安全，轴的工作转速一定要避开它的临界转速。
46
二、减振与隔振的概念剧烈的振动不但影响机器本身的正常工作，还会影响周围的仪器设备的正常工作。减小振动的危害的根本措施是合理设计，尽量减小振动，避免在共振区内工作。
许多引发振动的因素防不胜防，或难以避免，这时，可以采用减振或隔振的措施。
减振,在振体上安装各种减振器，使振体的振动减弱。例如，
利用各种阻尼减振器消耗能量达到减振目的。
47
隔振,将需要隔离的仪器、设备安装在适当的隔振器（弹性装置）上，使大部分振动被隔振器所吸收。
隔振 主动隔振：将振源与基础隔离开。
被动隔振：将需防振动的仪器、设备单独与振源隔离开。
48
2
振动是日常生活和工程实际中常见的现象。
例如：钟摆的往复摆动,汽车行驶时的颠簸，电动机、机床等工作时的振动，以及地震时引起的建筑物的振动等。
利,振动给料机 弊,磨损，减少寿命，影响强度振动筛 引起噪声，影响劳动条件振动沉拔桩机等 消耗能量，降低精度等。
3,研究振动的目的,消除或减小有害的振动，充分利用振动为人类服务。
2,振动的利弊,
1,所谓 振动就是系统在平衡位置附近作往复运动。
3
4,振动的分类,单自由度系统的振动按振动系统的自由度分类 多自由度系统的振动弹性体的振动按振动产生的原因分类,
自由振动,无阻尼的自由振动有阻尼的自由振动（衰减振动）
强迫振动,无阻尼的强迫振动有阻尼的强迫振动自激振动
4
实际中的振动往往很复杂，为了便于研究，需简化为 力学模型。
质量 — 弹簧系统振体
5
运动过程中，使物体回到平衡位置的力称为 恢复力
6
§ 12-1 单自由度系统无阻尼自由振动一、振动的微分方程,
只需用一个独立坐标就可确定振体的位置，这种系统称为 单自由度系统 。物体受到初干扰后，仅在恢复力作用下的振动称为 无阻尼自由振动图示质量 —— 弹簧系统,以平衡位置为坐标原点,则
xmFmg
)( stxkF
st
st
kmg?
变形：
振体静止平衡时弹簧的—
7
kxxkmgFmgxm st )(
m
k
n?
2?令
02 xx n则：
这就是质量 —— 弹簧系统无阻尼自由振动的微分方程。
)/(
0
2
2
lgn
n
对于其他类型，同理可得。如单摆：
8
复摆,)/(
0
2
2
Jm g an
n
对于任何一个单自由度系统，以 q 为广义坐标 （从平衡位置开始量取 ）,则自由振动的微分方程的标准形式：
02 qq n
解 为,)s in ( tAq
n
)c o s ( tAq nn?
9
0
0
2
2
02
0 a r c t g,q
qqqA n
n?
设 t = 0 时,代入上两式得：
00,qqqq
或：
tCtCq nn s inc o s 21
C1,C2由初始条件决定为
nq CqC?/,02 01
tqtqq n
n
n s inc o s
0
0
10
ωn—— 圆频率,振体在 2?秒内振动的次数。 ωn=2πf
ωn,f 都称为系统的固有频率或自然频率
A—— 振体离开平衡位置的最大位移，称为 振幅
n t +?—— 相位,决定振体在某瞬时 t 的位置
—— 初相位,决定振体运动的起始位置
n
T2?T —— 周期,每振动一次所经历的时间
f —— 频率,每秒钟振动的次数，单位,HZ,f = 1 / T
11
无阻尼自由振动的特点,
(2) 振幅 A和初相位? 取决于运动的初始条件 (初位移和初速度 )；
(1) 振动规律为 简谐振动 ；
(3)周期 T 和固有频率 ωn 仅决定于系统本身的固有参数 (m,k,J)。
四、其它
1,如果系统在振动方向上受到某个常力的作用，该 常力只影响静平衡点 O的位置，而不影响系统的振动规律,如振动频率、振幅和相位等。
12
2,弹簧并联系统和弹簧串联系统的等效刚度
21
21
21
21
2
2
1
1
,)(
,
kkk
kk
mg
kkmg
FFmg
k
F
k
F
eq
stst
st
并联
21
21
eq
21
2121
21
k
)
11
(
)
11
(
kk
kk
kk
mg
k
mg
kk
mg
k
mg
k
mg
eq
st
ststst
串联并联串联
13
二,求系统固有频率的方法
st?
—— 弹簧在全部重力作用下的静变形对于质量 —— 弹簧这类系统，当振体静止平衡时，有：
stkmg
st
n
g
于是：
无阻尼自由振动系统为保守系统，机械能守恒。
当振体运动到距静平衡位置最远时，速度为零，即系统动能等于零，势能达到最大值（取系统的静平衡位置为零势能点）。
14
当振体运动到静平衡位置时，系统的势能为零，动能达到最大值。
m g AAkV stst ])[(21 22m a x
2
m a x 2
1 kAVmgk
st
222
m a xm a x 2
1
2
1
nmAxmT
如：
)s i n ( tAx n设
m
kkAmAVT
nn 2
1
2
1 222
m a xm a x 得由由 Tmax=Vmax求?n的方法称为能量法。
15
1,振动微分方程的标准形式
2,静变形法：
3,能量法,
综上所述，求系统固有频率的方法有：
02 qq n
st
n
g
st?
：集中质量在全部重力作用下的静变形
n?由 Tmax=Vmax,求出能量法是从机械能守恒定律出发，对于计算较复杂的振动系统的固有频率，用能量法来求更为简便。
16
例 1 图示系统。设轮子无侧向摆动，
且轮子与绳子间无滑动，不计绳子和弹簧的质量,轮子是均质的，半径为 R，质量为 M，重物质量 m,试列出系统微幅振动微分方程,求 出其 固有频率 。
17
解,以 x 为广义坐标，静平衡位置为坐标原点。
02)(
,0)(
RkgRmM
Fm
st
I
gk mMst 2?
在任意位置 x 时：
kxgmMxkF st 22)2(
静平衡时：
18
应用动量矩定理 x：
k x RRFgRmMFm
xRmM
R
x
MRRxMRxmH
I
I
42)()(
)
2
3
(
2
1 2
由,有 )( Fm
dt
dH
II k x RxRmM 4)23(
振动微分方程：
固有频率：
mM
k
x
mM
kx
n 23
8
0
23
8
19
解 2,用机械能守恒定律 以 x为广义坐标（取静平衡位置为原点）
2
22
2
2
)
2
3(
2
1
2
1)(
22
1
2
1
xmM
xm
R
xMRxMT
以平衡位置为计算势能的零位置，
并注意轮心位移 x时，弹簧伸长 2x
gxmMxkkx
gxmMxkV
st
stst
)(22
)(])2[(
2
2
22
因平衡时
gxmMxk st )(2
22 k xV
20
由 T+V= 有：const
c o n s tkxxmM 22 2)23(21?
mM
k
x
mM
k
x
n 23
8
0
23
8
对时间 t 求导，再消去,得x?
21
例 2 鼓轮：质量 M，对轮心回转半径?,在水平面上 只滚不滑，大轮半径 R，小轮半径 r,弹簧刚度,重物 E质量为 m,不计轮 D和弹簧质量，且绳索不可伸长。 求系统微振动的固有频率。
21,kk
解,取静平衡位置 O为坐标原点,取 C偏离平衡位置 x为广义坐标 。系统的最大动能为：
22
)
)(
)(
( )(
2
1
])) [ ((
2
1
21
2
m a x21
m a x
22
m a x21m a x
Rkk
rRmg
xkk
x
R
rR
mgxkkV
st
stst
2
m a x
222
2
2
m a x
2m a x22
m a xm a x
] [
2
1
)(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
xr)m ( R)RM(
R
x
R
rR
m
R
x
MxMT
以平衡位置为重力及弹性势能零位置，则：
23
设 则有 )s in ( nAx
nAxAx m axm ax,?
)(21 2 )()( 221m a x222
222
m a x AkkVAR
rRmRMT
n
根据 Tmax=Vmax,解得
222
2
21
)()(
)(
rRmRM
Rkk
n
24
§ 12-2 单自由度系统的有阻尼自由振动一、阻尼的概念,
阻尼,振动过程中，系统所受的阻力。
粘性阻尼,在很多情况下，振体速度不大时，介质粘性引起的阻尼力与速度的一次方成正比，这种阻尼称为粘性阻尼。
vR
投影式,xR x
μ—— 粘性阻尼系数，简称 阻尼系数 。
自由振动是简谐运动，振幅不随时间而变。但实际中振动的振幅几乎都是随时间逐渐减小的（也称为 衰减振动 ），
这是因为有阻尼。
25
二、振动微分方程及其解,
质量 — 弹簧系统存在粘性阻尼,xkxxm
有阻尼自由振动微分方程的 标准形式 。
02 2,22n xxnx mnmk n则令
26
其通解分三种情况讨论：
1、小阻尼情形 mkn n 2 )(
)s i n ( tAex dnt
22 nnd — 有阻尼自由振动的圆频率则时设,,,0 00 xxxxt
00
22
01
22
2
002
0 tg ;
)(
nxx
nx
n
nxxxA n
n?
27
衰减振动的特点：
(1) 振动周期变大，
频率减小。
mk
n
n
T
n
nd
2
22
221
—— 阻尼比当 时，可以认为
nn TTnd 1
28
(2) 振幅按几何级数衰减对数减幅系数,11ln nTe nT
1
)1(
1 nT
int
Titn
i
i e
Ae
eA
A
A?
相邻两次振幅之比振幅,int
i AeA
)( 2222 21 tn tnnt nn eCeCex
)( nn2、大阻尼阻尼情形积分常数由 C1,C2由运动的初始条件决定。
29
物体的运动随时间的增长而无限地趋向平衡位置，不再具备振动的特性。
所示规律已不是周期性的了，随时间的增长,x 0，
不具备振动特性。
3、临界阻尼情形临界阻尼系数
)( nn
mkc 2
)( 21 tCCex nt
（ C1,C2由运动的初始条件决定）
综上所述,系统受粘滞阻尼作用时，只有在 n＜ ωn的情况下才发生振动，振动的周期较无阻尼时略长，而振幅则按几何级数递减。
30
例 3 质量弹簧系统,W=150N,?st=1cm,A1=0.8cm,
A21=0.16cm。 求阻尼系数 μ 。
201
20
21
2
3
1
2
1
21 )( nTe
A
A
A
A
A
A
A
A
解：
201 )(
8.0
16.0 nTe
221
22020)
8.0
16.0l n (
nnnT n
sr adg
st
n /3.3101.0
8.9
得 n=0.4（ 1/s）
mNsnmmn /2.128.915 04.0222由
31
§ 12-3 单自由度系统的受迫振动自由振动由于有阻尼的存在而逐渐衰减，但实际有很多振动并不衰减，这时因为受到 干扰力 的作用。干扰力时对系统起着激振作用的力，它不依赖于系统的运动而给系统不断地输入能量，使其持速振动。比如：转子的偏心、
支撑点或悬挂点的运动等。
系统在干扰力的作用下的振动称为受迫振动或 强迫振动 。
干扰力的种类很多，我们只讨论 简谐变化 的干扰力：
tHS?si n?
H— 力幅,干扰力的最大值；?— 干扰力的圆频率
32
一、有阻尼情形
tHSxRkxF xxx s i n,,
tHxkxxm s i n
m
Hh
mnm
k
n ; 2 ;
2令
thxxnx n s i n2 2
这就是有阻尼强迫振动微分方程的标准形式：二阶常系数非齐次微分方程。其解为：
21 xxx
1、振动微分方程及其解
33
x1是对应齐次方程 的通解 )02( 2 xxnx
n
小阻尼：
)s i n ( 221 tAex nnt
（ A,? 积分常数，取决于初始条件）
x2 是特解,)s i n (2 tBx 代入原方程并整理
22
22222
2
tg
4)(
n
n
n
n
h
B
— 受迫振动的振幅
— 强迫振动相位滞后干扰力相位角振动微分方程的全解为
34
)s i n ()s i n ( 22 tBtAex nnt
衰减振动 受迫振动
（ 1） n＜ ωn时
（ 2） n=ωn时
（ 3） n＞ ωn时
)s i n ()( 21 tBtCCex nt
)s i n ()( 222221 tBeCeCex tnn tnnnt
上述三式的第一部分很快就消失了。第一部分消失之前的运动称为 暂态响应,第一部分消失之后的运动称为 稳态响应。受迫振动指的是稳态响应,其运动方程为：
)s i n (2 tBxx
35
2、有阻尼受迫振动的特点：
（ 1）振动规律,为简谐振动，不随阻尼而衰减。
)s i n ( tBx
（ 2）与运动的初始条件无关。
（ 3）频率等于干扰力的频率，不受阻尼影响。
二、无阻尼情形当 n=0时，振动微分方程,thxx n s i n2
对应齐次方程的解,)s i n (1 tAx n
特解,)s i n (2 tBx
当 n=0时，有前述,0,22
n
hB
36
方程全解：
n
n
—— 阻尼比
tBtAxxx n s i n)s i n (21
三、幅 —— 频曲线 共振现象将受迫振动的振幅改写为：
2222
0
)(4])(1[
1
nn
BB
k
H
mk
mHhB
n
//20?式中,—— 静偏离,在干扰力力幅作用下，振体偏离平衡位置的距离
37
于是,22220 )(4])(1[
1
nn
B
B
λ—— 放大系数或动力系数对于不同的阻尼比?，
可得一系列放大系数 λ随频率比 ω/ωn的变化曲线，称为振幅 —— 频率曲线，简称幅
—— 频曲线。
38
0,1
/,1/)1(
BB
n nn
为何值无论时时时 0,7 0,1/)3( n
阻尼对振幅影响显著。一定时，阻尼增大，振幅显著下降。 22 2,0
)(
n
d
d
n
n
得由
— 共振频率
2
0
m a x 12
BB此时
0,0
/,1/)2(
B
n nn
为何值无论时
39
n
BBB n
22
00
m a x
有阻尼强迫振动相位总比干扰力滞后一相位角 β，称为 相位差 。
22 )(1
2
)(1
2
tg
n
n
n
nn
n
一般 ξ较小，可以认为当 ω=ωn时系统发生共振,此时四、相 —— 频曲线
（ 4） n/ωn=0，即无阻尼情况，当 ω=ωn时系统发生共振，
B→∞ 。
40
(1) β在 0～? 内变化。
(2) 单调上升。
(3) 当 ω/ωn→0 时,β →0 。
(4) 当 ω/ωn≈1（共振区）时,β变化剧烈,ω/ωn=1时无论阻尼大小,β=π/2 。
(5) 当 ω/ωn > > 1时,β=π。强迫振动与干扰力反相。
对于不同的阻尼比?=n/ωn，可得一系列相位差 β随频率比
ω/ωn的变化曲线，称为相位差
—— 频率曲线，简称相 —— 频曲线。
41
例 4 已知物体重 P=3500N，
k=20000N/m,干扰力 H=100N,f=2.5Hz,
μ=1600N·s/m,求 B,β,强迫振动方程。
解,
r ad / s 58.103500 8.92 0 0 0 022 Pkgmk eqn?
m 105.2200002 1002 30 kHkHB
eq
485.1
58.10
5.222; 212.0
58.10
24.2
r a d/ s 24.2
8.9/35002
1600
2
nnn
fn
m
n
42
mm 84.15.2736.0
736.0
485.1212.04)485.11(
1
)()(4])(1[
1
0
222
2222
BB
n
nnn
)847.05s i n (84.1
)r ad( 847.0)522.0(ar ct g
)(1
2
ar ct g
2
tx
n
n
nn
43
§ 12-4 临界转速? 减振与隔振的概念一、转子的临界转速引起转子剧烈振动的特定转速称为 临界转速 。这种现象是由共振引起的，在轴的设计中对高速轴应进行该项验算。
单圆盘转子,
圆盘：质量 m,质心 C点；转轴过盘的几何中心 A点,AC= e,盘和轴共同以匀角速度? 转动。 当?<?n（?n为圆盘转轴所组成的系统横向振动的固有频率）时,OC=
x+e (x为轴中点 A的弯曲变形）。
44
kxexm 2)(? （ k为转轴相当刚度系数）
11 2
2
2?
n
e
m
k
ex
xn,时当
临界角速度：
临界转速：
cc
nc
n
m
k
30?
45
,运转时当 n 质心 C位于 O,A之间 OC= x- e
2
2 )(11?
n
e
m
k
ex
exx nn,;,,时当时当
当转速? 非常高时，圆盘质心 C与两支点的连线相接近，
圆盘接近于绕质心 C旋转，于是转动平稳。
为确保安全，轴的工作转速一定要避开它的临界转速。
46
二、减振与隔振的概念剧烈的振动不但影响机器本身的正常工作，还会影响周围的仪器设备的正常工作。减小振动的危害的根本措施是合理设计，尽量减小振动，避免在共振区内工作。
许多引发振动的因素防不胜防，或难以避免，这时，可以采用减振或隔振的措施。
减振,在振体上安装各种减振器，使振体的振动减弱。例如，
利用各种阻尼减振器消耗能量达到减振目的。
47
隔振,将需要隔离的仪器、设备安装在适当的隔振器（弹性装置）上，使大部分振动被隔振器所吸收。
隔振 主动隔振：将振源与基础隔离开。
被动隔振：将需防振动的仪器、设备单独与振源隔离开。
48
