1
2
在静力学中，我们从静力学公理出发，通过力系的简化，
得出刚体的平衡条件，用来研究刚体及刚体系统的平衡问题。
在这一章里，我们将介绍普遍适用于研究任意质点系的平衡问题的一个原理，它从位移和功的概念出发，得出任意质点系的平衡条件。该原理叫做 虚位移原理 。它是研究平衡问题的最一般的原理，不仅如此，将它与达兰贝尔原理相结合，
就可得到一个解答动力学问题的动力学普遍方程。
3
§ 10-1 基本概念一、约束及约束方程约束：限制质点或质点系运动的条件。
约束方程：表示约束的限制条件的数学方程。
平面单摆
222 lyx
例如,
曲柄连杆机构
222 ryx AA
0,)()( 222 BABAB ylyyxx
4
根据约束的形式和性质，可将约束划分为不同的类型，通常按如下分类：
二、约束的分类
1、几何约束和运动约束限制质点或质点系在空间几何位置的条件称为 几何约束 。
如前述的平面单摆和曲柄连杆机构例子中的限制条件都是几何约束。
不仅限制质点（系）的位置而且限制其速度，这种约束条件称为 运动约束 。
例如,车轮沿直线轨道作纯滚动时。
5
几何约束：
运动约束：
)0(
0
rx
rv
ry
A
A
A
当约束条件与时间有关，并随时间变化时称为 非定常约束 。
约束条件不随时间改变的约束为 定常约束 。
前面的例子中约束条件皆不随时间变化，它们都是定常约束。
2、定常约束和非定常约束例如,重物 M由一条穿过固定圆环的细绳系住。初始时摆长 l0,匀速 v拉动绳子。
x2+y2=( l0 -vt )2 约束方程中显含时间 t
6
如果在约束方程中含有坐标对时间的导数（例如运动约束）
而且不能经过积分运算消除，从而不能将约束方程积分为有限形式，这类约束称为 非完整约束 。一般地，非完整约束方程只能以微分形式表达。
3、完整约束和非完整约束如果约束方程中不含有坐标对时间的导数，或者约束方程中虽含有坐标对时间的导数，但可以经过积分运算化为有限形式，则这类约束称为 完整约束 。
7
在两个相对的方向上同时对质点或质点系进行运动限制的约束称为 双面约束 。只能限制质点或质点系单一方向运动的约束称为 单面约束 。
例如,车轮沿直线轨道作纯滚动,是微分方程，但经过积分可得到 （常数），该约束仍为完整约束。
0 rx A
Crx A
4、单面约束和双面约束几何约束必定是完整约束，但完整约束未必是几何约束。
非完整约束一定是运动约束，但运动约束未必是非完整约束。
刚杆
x2+y2=l2
绳
x2+y2? l2
8
双面约束的约束方程为等式，单面约束的约束方程为不等式。
我们只讨论质点或质点系受定常、双面、完整约束的情况，
其约束方程的一般形式为（ s为质点系所受的约束数目,n为质点系的质点个数）
),,2,1( 0),,;;,,( 111 sjzyxzyxf nnnj
二、自由度和广义坐标
1.自由度确定一个自由质点在空间的位置需要三个独立坐标（ x,y，
z），确定 n 个自由质点在空间的位置需要 3n个独立坐标；确定一个自由质点在平面的位置需要两个独立坐标（ x,y）（约束方程 z=0）。
9
确定质点系位置的独立坐标数 约束方程
4 zA=0,zB=0
3 除前述外，还有：
（ xB-xA） 2+（ yB-yA） 2=l2
1 除前述外，还有：
xA2+ yA2=a2
(xB –c)2+ yB2=b2
10
定义,确定一个受完整约束的质点系在空间的位置所需的独立坐标的数目,称为该质点系的自由度的数目，简称为 自由度,
用 k表示，则：
由此可知：质点系受到约束，决定质点系位置的独立坐标就减少，每增加一个约束，就增加一个约束方程，独立坐标就减少一个。
一般地，由 n个质点组成的 非自由质点系，受 s个完整约束
，其独立坐标数为 k=3n-s 。只要给定 k个坐标，质点系的位置就可完全确定，其余 s个坐标由约束方程决定。因此：
对空间,k=3n-s n——质点数对平面,k=2n-s s——约束方程数
11
2.广义坐标广义坐标的选择不是唯一的。广义坐标可以取线位移（ x,
y,z,s 等）也可以取角位移（如?,?,?,? 等）。 在完整约束情况下，广义坐标的数目 =自由度数目。
通常,n 与 s 很大而 k 很小。为了确定质点系的位置，用适当选择的 k 个相互独立的参数，要比用 3n个直角坐标和 s个约束方程方便得多。
① 定义,确定质点系位置的独立参数，
称为 广义坐标 。
例如双锤摆用两个广义坐标?,ψ
表示。
12
例如,曲柄连杆机构中，可取曲柄 OA的转角?为广义坐标，则：
0,s i nc o s
s i n,c o s
222
BB
AA
yrlrx
ryrx
广义坐标选定后，质点系中每一质点的直角坐标都可表示为广义坐标的函数。
② 广义坐标函数
13
例如,双锤摆。设只在铅直平面内摆动。
22
12
2
12
22
1
2
1
)()(
byyxx
ayx
约束方程：
两个自由度取广义坐标?,?
c osc os,s i ns i n
c os,s i n
22
11
baybax
ayax
14
一般地，设有由 n个质点组成的质点系，具有 k个自由度,取 q1,q2,……,qk为其广义坐标,质点系内各质点的坐标及矢径可表为广义坐标的函数。
),,,(
),,,(
),,,(
),,,(
21
21
21
21
kii
kii
kii
kii
qqqrr
qqqzz
qqqyy
qqqxx
),,2,1( ni
15
1.定义,质点或质点系为 约束允许 的任何的 微小位移,称为质点或质点系的 虚位移 。
虚位移可以是线位移，也可以是角位移。通常用变分符号?表示虚位移。
三,虚位移一般地,若质点可能有的运动轨迹是一曲线，则虚位移与轨迹相切。
16
虚位移与真正运动时发生的实位移不同 。
①实位移是在一定的力作用下和给定的初条件下运动而实际发生的；虚位移是在约束容许的条件下可能发生的。质点静止时没有实位移但有虚位移。
②实位移具有确定的方向，可能是微小值，也可能是有限值；虚位移则是微小位移，视约束情况可能有几种不同的方向。
③实位移是在一定的时间内发生的；虚位移只是纯几何的概念，完全与时间无关。
在定常约束下，微小的实位移必然是虚位移之一 。而在非定常约束下，
微小实位移不再是虚位移之一。
实位移—虚位移，— rdr?
17
质点系中各质点的虚位移之间存在着一定的关系,确定这些关系通常有两种方法：
① 几何法 。本章研究的是定常约束，在定常约束下微小实位移实虚位移中的一个。由运动学知，质点的位移与速度成正比，因此 可以用运动学中分析速度的方法分析各点虚位移之间的关系 。
2.各点虚位移之间的关系
18
② 解析法 。质点系中各质点的坐标可表示为广义坐标的函数
（ q1,q2,……,qk），广义坐标分别有变分,各质点的虚位移 在直角坐标上的投影可以表示为
kqqq,,,21?
ir?
k
k
iii
i
k
k
iii
i
k
k
iii
i
q
q
z
q
q
z
q
q
z
z
q
q
y
q
q
y
q
q
y
y
q
q
x
q
q
x
q
q
x
x
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
),2,1( ni
19
[例 1] 分析图示机构在图示位置时，点 C,A与 B的虚位移。
(已知 OC=BC= a,OA=l )
解,此为一个自由度系统，取 OA杆与 x 轴夹角?为广义坐标。
1、几何法
s i n2s i n2
s i n2
arr
a
a
IB
IC
r
r
lr
a
l
r
l
a
r
r
ar
CB
B
C
CA
A
C
C
注意：几何法要在图上标出各点虚位移！
给 OA杆一虚位移 δ?，则
20
取?为广义坐标，将点的坐标表示成?的函数，得
0,c o s2
s i n,c o s
s i n,c o s
BB
AA
CC
yax
lylx
ayax
2、解析法 (OC=BC= a,OA=l )
对?求变分，得各点虚位移在相应坐标轴上的投影：
0,s i n2
c o s,s i n
c o s,s i n
BB
AA
CC
yax
lylx
ayax
注意：解析法要用固定坐标！
21
如果约束反力在质点系的任何虚位移中的所有的元功之和等于零，则称这种约束为 理想约束。
质点系受有理想约束的条件：
0 ii rNW
四,理想约束力在质点发生的虚位移上所作的功称为 虚元功,记为 δW,
zZyYxXW
rFW
22
理想约束的典型例子如下：
0'
'
rNrNW
NN
N
2、光滑铰链
0
rNW
rN
N
1、光滑支承面
23
0
0
W
r
3、刚体在粗糙面上的纯滚动
4、无重刚杆 5、不可伸长的柔索
BABA NNrr,c osc os
0c osc os
BBAA
BBAA
rNrN
rNrN
24
§ 10-2 虚位移原理一、虚位移原理具有定常理想约束的质点系在给定位置静止平衡的必要与充分条件是：作用于质点系的所有主动力在任何虚位移上所作的元功之和等于零。即
0ii rF?
25
证明,(1) 必要性：即质点系处于平衡时，必有 0
ii rF?
∵ 质点系处于平衡 ∴ 任一质点 Mi也平衡。
0 ii NF
对质点 Mi 的任一虚位移,有
ir?
0)( iii rNF?
0)( iii rNF?
0 iiii rNrF
由于是理想约束
0ii rF?
0ii rN?
所以对整个质点系：
26
(2) 充分性：即当质点系满足,质点系一定平衡。
若,假设质点系不平衡，则至少有一个质点（设为第 i个质点）不平衡，则有
0ii rF?
0ii rF?
在 方向上产生实位移,取,则
iR ird ii rdr
0)( iiiii rRrNF
0)( iii rNF?对质点系,(理想约束下,) 0ii rN?
0 ii rF? 与前述条件矛盾故 时质点系必处于平衡。 0
ii rF?
0 iii RNF
27
二、虚位移原理的应用
1,系统在给定位置平衡时，求主动力之间的关系；
2,求系统在已知主动力作用下的平衡位置；
3,求系统在已知主动力作用下平衡时的约束反力；
4,求平衡构架内二力杆的内力。
② 解析式 0)(
iiiiii zZyYxX
① 虚位移原理还可写成,∑Fiδri cosαi=0
i——Fi与?ri之间的夹角； Xi,Yi,Zi 及 δxi,δyi,
δzi——主动力 Fi及 δri在 x,y,x轴上的投影。
上三式均称为静力学普遍方程,实际应用时,用①②两式 。
28
例 1 椭圆规机构，连杆 AB长 l，杆重及各处摩擦不计，求在图示位置平衡时，主动力 P和 Q之间的关系。
解,研究整个机构。系统受理想完整定常约束。
29
1、几何法,使 A发生虚位移,
B的虚位移,则由虚位移原理，
得：
Ar?
Br?
0)tg ArQ(P
由 的任意性，得Ar tgQP?
0 BA rQrP
tg
c o ss i n
AB
BA
rr
rr而
30
2、解析法 系统为单自由度，
取?为广义坐标。
c os,s i n
s i n,c os
lylx
lylx
AB
AB
由于 任意，故 tgQP?
,0 BA xQyP
0)s i nc o s( lQP
由虚位移原理：
31
解,此系统具有两个自由度，取角?
及?为广义坐标。
例 2 均质杆 OA及 AB在 A点铰接，两杆各长 2a和 2b，各重
P1及 P2,B点作用有水平力 F,求平衡时的角?及? 。
（教材例 10-4）
y
32
应用虚位移原理：
)( 021 axFyPyP BDC
代入 (a)式，得：
0)c os2s i n()c os2s i n2s i n( 221 bFbPaFaPaP
解法一：解析法
c o s2c o s2,s i n2s i n2
s i ns i n2
,c o sc o s2
s i n,c o s
baxbax
bay
bay
ayay
BB
D
D
CC
而
33
由于 是彼此独立的，所以：,
0c os2s i n
0c os2s i n2s i n
2
21
bFbP
aFaPaP
221
2 t g,
2
2tg
P
F
PP
F?
由此解得：
0)c o s2s i n()c o s2s i n2s i n( 221 bFbPaFaPaP
34
0s inc os 2 DB rPrF
而 brbr
DB,2
代入上式，得
22
22tg
P
F
bP
bF?
解法二：几何法先使? 保持不变，而使? 获得变分,得到系统的一组虚位移，如图所示。
35
再使? 保持不变，而使? 获得变分,得到系统的另一组虚位移，如图所示。
BDA rrr
0s i ns i nc o s 21 DCB rPrPrF
而
arrr
ar
ADB
C
2
,
代入上式后，得：
22tg
21 PP
F
0)s i n2s i n2c os( 21 aPaPaF
图示中：
36
例 3 多跨静定梁，
求支座 B处反力。
解,将支座 B 除去，代入相应的约束反力 。
BR
.,,,,,( * )0211 mrPrRrP CBB
由虚位移原理：
96
11
8
11
12
11
12
1
6
,
8
11
,
2
1
1
B
C
B
E
B
B
C
B
r
r
r
r
r
r
r
r
r
而
37
mPPR B 961181121 21
BB
C
B
B rmr
rP
r
rPR
2
1
1
注意,用虚位移原理求约束反力,每次只能解除一个约束
，代之以相应的约束反力，并视为主动力。要求多个约束反力，依次一个一个解除约束。
由（ *）得：
38
例 4 直杆 AB通过滑套 D带动杆 CD在铅直滑道上滑动。 已知?=0o时，弹簧为原长，
弹簧 k=5(kN/m)，求 在任意位置（? 角）
平衡时,加在 AB杆上的力偶矩 M=？
解,本题是已知系统平衡，求作用于系统上主动力之间关系。
一个自由度，以?为广义坐标。
39
以系统为研究对象：去掉弹簧代之以弹性力。
)N( 1s ec15 00 ）（
弹性力：
xkFF
由虚位移原理,0 rrFM
)()1( s ec3.0)cos/3.06.0()3.06.0[ mx （
在任意位置弹簧变形：
方法一：几何法给 AB一虚位移，则：
s e c3.0er
由点的复合运动：
t ans e c3.0t an er rr
40
)mN( c o s )c o s1(s i n4 5 0 3
0)t ans e c3.0FM即：（
0
0t a ns e c3.0FM
...?M
方法二：解析法
2s ec3.0,t an3.0
0,3.0
DD
DD
yy
xmx
由虚位移原理：
MyFxFM DD 0)s i n()c o s(
注意：① M dq的正负？② F’呢？
41
例 5 两均质杆 A1B1与 A2B2各长 l1,l2，各重 P1,P2，放在如图位置，接触处均光滑。求平衡时的?1,?2关系。（教材习题
10-7）
解：系统为一自由度
（ 1）解析法建立如图坐标，则
11
1
1
1
1
1
co s
2
,s i n
2
l
y
l
y
22
2
22
2
2 c o s2,s i n2
lyly
42
co n s tll 2211 c o sc o s
由虚位移原理：
02211 yPyP
0s i ns i n 222111 ll变分：
.,,( *)0cos
2
cos
2
22
2
2
11
1
1
l
P
l
P即：
1
22
11
2 s i n
s i n
l
l
代入（ *）得：
43
0)s i ns i nco s2co s2( 1
22
11
2
2
21
1
1
l
llPlP
0)(,01
1
1
2
2
2
1 c o s
s i n
c o s
s i n
PP 平衡时
2
1
2
1
t a n
t a n
P
P?
或
（ 2）几何法给 B点一虚位移 δrB，各点虚位移如图
44
由虚位移原理：
.,,,,,( *)
0c osc os 222111 rPrP
1
1
11
1
11
111
s i n2
s i n
2/
B
B
r
r
l
l
BI
CI
r
r
2
2
22
2
22
222
s i n2s i n
2/
B
B
rr
l
l
BI
CI
r
r
将代入 δr1,δr2 （ *）得,.....
45
教材习题 10-12（ b），习题集 17-8
46
教材习题 10-13，习题集 17-7
47
作业答案,P=25N
48
以不解除约束的理想约束系统为研究对象，系统至少有一个自由度。若系统存在非理想约束，如弹簧力、摩擦力等，可把它们计入主动力，则系统又是理想约束系统，可选为研究对象。
若要求解约束反力，需解除相应的约束，代之以约束反力，
并计入主动力。应逐步解除约束，每一次研究对象只解除一个约束，将一个约束反力计入主动力，增加一个自由度。
应用虚位移原理求解质点系平衡问题的步骤和要点：
1、正确选取研究对象：
49
2、正确进行受力分析,
画出主动力的受力图，包括计入主动力的弹簧力、摩擦力和待求的约束反力。
3、正确进行虚位移分析，确定虚位移之间的关系 。
4、应用虚位移原理建立方程。
5、解虚功方程求出未知数。
50;,,,,iiiii aNFmM设质点系受理想约束，任取一质点：质点根据达兰贝尔原理，加上惯性力，则：
0 Jiii FNF
§ 10-3 动力学普遍方程
0 Jiii FNF对整个质点系：
给质点系任一虚位移，应用虚位移原理，有：
0)( iJiii rFNF?
对理想约束，有 0ii rN?
0)( iJii rFF? 0)( iii ramF?或：
51
① 解析式：
0])()()[( iiiiiiiiiiii zzmZyymYxxmX
即,受理想约束的质点系，在运动的任一瞬时，作用于质点系的主动力与惯性力在任意虚位移上所作的元功之和为零。
——动力学普遍方程，又称达兰贝尔 —拉格朗日方程。
② 不考虑内力。
③ 解题时,一般不必按上式建立方程,只需画上主动力，再虚加惯性力及惯性力偶，然后同解静力学问题一样用虚位移原理求解。
52
动力学普遍方程 适用于具有理想约束或双面约束的系统。
动力学普遍方程 既适用于具有定常约束的系统，也适用于具有非定常约束的系统。
动力学普遍方程 既适用于具有完整约束的系统，也适用于具有非完整约束的系统。
动力学普遍方程 既适用于具有有势力的系统，也适用于具有无势力的系统。
53
动力学普遍方程 主要应用于求解动力学第二类问题，即：已知主动力求系统的运动规律。
应用 动力学普遍方程 求解系统运动规律时，重要的是正确分析运动，并在系统上施加惯性力。
由于 动力学普遍方程 中不包含约束力，因此，
不需要解除约束，也不需要将系统拆开。
应用 动力学普遍方程,需要正确分析主动力和惯性力作用点的虚位移，并正确计算相应的虚功。
动力学普遍方程的应用
54
例 6 三棱柱 B沿三棱柱 A的光滑斜面滑动，三棱柱 A置于光滑水平面上,A和 B的质量分别为 M和 m，斜面倾角为?。
试求三棱柱 A的加速度。
解,研究两三棱柱组成的系统。该系统受理想约束，
具有两个自由度。
mgQMgP
maFmaF
FFF
MaF
r
J
Br
J
Be
J
Br
J
Be
J
B
J
A
,
,
给 A向左的虚位移 δrA,B相对 A的虚位移 δrBr
ABeBrBeB rrrrr,
55
由动力学普遍方程：
0)s i nc o s(
)c o s(
Br
J
Br
J
Be
Be
J
Br
J
BeA
J
A
rFQF
rFFrF
因为 为互不相关的 独立虚位移，所以rBA rr,
0s i nc os
0c os
r
r
mamgma
mamaMa
解得：
gmMma )s in(2 2s in 2
0)s i nc o s(
)c o s(
Brr
Ar
rmamgma
rmamaMa
即：
56
例 题 7 已知,m,R,f,? 。
求：圆盘纯滚时质心的加速度。
C
mg
ε
aC
FIR
MIC
x
解,1、分析运动，施加惯性力
2、本系统有一个自由度，
令其有一虚位移?x。
IR CF m a?
I C CMJ
3、应用动力学普遍方程
s in 0I R I C xm g x - F x M R
s in32 ga C?
21,
2CCJ m R a R
其中：
例 题 8 离心调速器已知,m1－ 球 A,B 的质量；
m2－ 重锤 C 的质量；
l－ 杆件的长度；
－ O1 y1轴的旋转角速度。
求,?－? 的关系。
BA
C
l
l
l
l
O1 x1
y1
解,不考虑摩擦力，这一系统的约束为理想约束；系统具有一个自由度。取广义坐标 q =?
1、分析运动、确定惯性力球 A,B绕 y轴等速转动；重锤静止不动。
球 A,B的惯性力为
2II s inABF F m l
FIBFIA
m1g
m2g
m1g
58
BA
C
l
l
l
l
O1 x1
y1
FIBFIA
m1g
m2g
m1g?rCI I 112
δ δ δ
δ δ 0
A A B B A
BC
F x F x m g y
m g y m g y
rB?rA
2、令系统有一虚位移。 A,B,C三处的虚位移分别为?rA,?rB,?rC 。
3、应用动力学普遍方程根据几何关系，有
s i n
c os
s i n
c os
2 c os
A
A
B
B
C
xl
yl
xl
yl
yl
c os
sin
c os
sin
2 sin
A
A
B
B
C
xl
yl
xl
yl
yl
59
BA
C
l
l
l
l
O1 x1
y1
FIBFIA
m1g
m2g
m1g?rC
I I 1
12
δ δ δ
δ δ 0
A A B B A
BC
F x F x m g y
m g y m g y
rB?rA
3、应用动力学普遍方程
s in2
s in
c os
s in
c os
ly
ly
lx
ly
lx
C
B
B
A
A
0s i n2s i n2c o ss i n2 2121 glmglmllm
2 12
1
()
c os
m m g
ml
60
xO
y
C2
D
求,1、三棱柱后退的加速度 a1；
2、圆轮质心 C2相对于 三棱柱加速度 ar。
C1
A
C B?
例题 8 质量为 m1的 三棱柱 ABC
通过滚轮搁置在光滑的水平面上。
质量为 m2、半径为 R的均质圆轮沿三棱柱的斜面 AB无滑动地滚下。
解,1、分析运动三棱柱作平动，加速度为 a1。
圆轮作平面运动，质心的牵连加速度为 ae= a1 ； 质心的相对加速度为 ar； 圆轮的角加速度为?2。
a1
ae
ar
ε2
61
xO
y
C2
D
C1
A
C B?a1
m1g
m2 gFI1
FI 2 e
FI 2 r
MI2
ae
ar
解,2、施加惯性力
I1 1 1F m a?
I2 e 2 1F m a?
I2 r 2 rF m a?
I2 2 2MJ
2
22
1
2J m R?
解,3、确定虚位移考察三棱柱和圆盘组成的系统，系统具有两个自由度。
第一组 δ 0 δ 0x，
第二组
δ 0 δ 0x，二自由度系统具有两组虚位移：
x
62
xO
y
C2
D
C1
A
C B?
m1g
m2 gFI1
FI 2 e
FI 2 r
MI2
解,4、应用动力学普遍方程
2 I 2 e I 2 r 2 2s i n δ c o s δ δ δ 0m g R F R F R J－
0)23c o s(1s in r1 aag
δ 0 δ 0x，令：
I1 1 1F m a?
I2 e 2 1F m a?
I2 r 2 rF m a?
I 2 2 2αMJ?
2
22
1
2J m R?
r2aR
63
xO
y
C2
D
C1
A
C B?
m1g
m2 gFI1
FI 2 e
FI 2 r
MI2解,4、应用动力学普遍方程
c os
)(
2
121
m
amma
r
令：
δ 0 δ 0x，
I 1 I 2 e I 2 r( ) c o s 0F F x F x
x
I1 1 1F m a?
I2 e 2 1F m a?
I2 r 2 rF m a?
I2 2 2MJ
2
22
1
2J m R?
r2aR
64
解,5、求解联立方程
2
221
21
r
2
221
2
1
c os2)3(
)(s i n2
c os2)3(
s i n 2
mmm
mmg
a
mmm
gm
a
－
－
c os
)(
2
121
m
amma
r
0)23c o s(1s in r1 aag
65
2
在静力学中，我们从静力学公理出发，通过力系的简化，
得出刚体的平衡条件，用来研究刚体及刚体系统的平衡问题。
在这一章里，我们将介绍普遍适用于研究任意质点系的平衡问题的一个原理，它从位移和功的概念出发，得出任意质点系的平衡条件。该原理叫做 虚位移原理 。它是研究平衡问题的最一般的原理，不仅如此，将它与达兰贝尔原理相结合，
就可得到一个解答动力学问题的动力学普遍方程。
3
§ 10-1 基本概念一、约束及约束方程约束：限制质点或质点系运动的条件。
约束方程：表示约束的限制条件的数学方程。
平面单摆
222 lyx
例如,
曲柄连杆机构
222 ryx AA
0,)()( 222 BABAB ylyyxx
4
根据约束的形式和性质，可将约束划分为不同的类型，通常按如下分类：
二、约束的分类
1、几何约束和运动约束限制质点或质点系在空间几何位置的条件称为 几何约束 。
如前述的平面单摆和曲柄连杆机构例子中的限制条件都是几何约束。
不仅限制质点（系）的位置而且限制其速度，这种约束条件称为 运动约束 。
例如,车轮沿直线轨道作纯滚动时。
5
几何约束：
运动约束：
)0(
0
rx
rv
ry
A
A
A
当约束条件与时间有关，并随时间变化时称为 非定常约束 。
约束条件不随时间改变的约束为 定常约束 。
前面的例子中约束条件皆不随时间变化，它们都是定常约束。
2、定常约束和非定常约束例如,重物 M由一条穿过固定圆环的细绳系住。初始时摆长 l0,匀速 v拉动绳子。
x2+y2=( l0 -vt )2 约束方程中显含时间 t
6
如果在约束方程中含有坐标对时间的导数（例如运动约束）
而且不能经过积分运算消除，从而不能将约束方程积分为有限形式，这类约束称为 非完整约束 。一般地，非完整约束方程只能以微分形式表达。
3、完整约束和非完整约束如果约束方程中不含有坐标对时间的导数，或者约束方程中虽含有坐标对时间的导数，但可以经过积分运算化为有限形式，则这类约束称为 完整约束 。
7
在两个相对的方向上同时对质点或质点系进行运动限制的约束称为 双面约束 。只能限制质点或质点系单一方向运动的约束称为 单面约束 。
例如,车轮沿直线轨道作纯滚动,是微分方程，但经过积分可得到 （常数），该约束仍为完整约束。
0 rx A
Crx A
4、单面约束和双面约束几何约束必定是完整约束，但完整约束未必是几何约束。
非完整约束一定是运动约束，但运动约束未必是非完整约束。
刚杆
x2+y2=l2
绳
x2+y2? l2
8
双面约束的约束方程为等式，单面约束的约束方程为不等式。
我们只讨论质点或质点系受定常、双面、完整约束的情况，
其约束方程的一般形式为（ s为质点系所受的约束数目,n为质点系的质点个数）
),,2,1( 0),,;;,,( 111 sjzyxzyxf nnnj
二、自由度和广义坐标
1.自由度确定一个自由质点在空间的位置需要三个独立坐标（ x,y，
z），确定 n 个自由质点在空间的位置需要 3n个独立坐标；确定一个自由质点在平面的位置需要两个独立坐标（ x,y）（约束方程 z=0）。
9
确定质点系位置的独立坐标数 约束方程
4 zA=0,zB=0
3 除前述外，还有：
（ xB-xA） 2+（ yB-yA） 2=l2
1 除前述外，还有：
xA2+ yA2=a2
(xB –c)2+ yB2=b2
10
定义,确定一个受完整约束的质点系在空间的位置所需的独立坐标的数目,称为该质点系的自由度的数目，简称为 自由度,
用 k表示，则：
由此可知：质点系受到约束，决定质点系位置的独立坐标就减少，每增加一个约束，就增加一个约束方程，独立坐标就减少一个。
一般地，由 n个质点组成的 非自由质点系，受 s个完整约束
，其独立坐标数为 k=3n-s 。只要给定 k个坐标，质点系的位置就可完全确定，其余 s个坐标由约束方程决定。因此：
对空间,k=3n-s n——质点数对平面,k=2n-s s——约束方程数
11
2.广义坐标广义坐标的选择不是唯一的。广义坐标可以取线位移（ x,
y,z,s 等）也可以取角位移（如?,?,?,? 等）。 在完整约束情况下，广义坐标的数目 =自由度数目。
通常,n 与 s 很大而 k 很小。为了确定质点系的位置，用适当选择的 k 个相互独立的参数，要比用 3n个直角坐标和 s个约束方程方便得多。
① 定义,确定质点系位置的独立参数，
称为 广义坐标 。
例如双锤摆用两个广义坐标?,ψ
表示。
12
例如,曲柄连杆机构中，可取曲柄 OA的转角?为广义坐标，则：
0,s i nc o s
s i n,c o s
222
BB
AA
yrlrx
ryrx
广义坐标选定后，质点系中每一质点的直角坐标都可表示为广义坐标的函数。
② 广义坐标函数
13
例如,双锤摆。设只在铅直平面内摆动。
22
12
2
12
22
1
2
1
)()(
byyxx
ayx
约束方程：
两个自由度取广义坐标?,?
c osc os,s i ns i n
c os,s i n
22
11
baybax
ayax
14
一般地，设有由 n个质点组成的质点系，具有 k个自由度,取 q1,q2,……,qk为其广义坐标,质点系内各质点的坐标及矢径可表为广义坐标的函数。
),,,(
),,,(
),,,(
),,,(
21
21
21
21
kii
kii
kii
kii
qqqrr
qqqzz
qqqyy
qqqxx
),,2,1( ni
15
1.定义,质点或质点系为 约束允许 的任何的 微小位移,称为质点或质点系的 虚位移 。
虚位移可以是线位移，也可以是角位移。通常用变分符号?表示虚位移。
三,虚位移一般地,若质点可能有的运动轨迹是一曲线，则虚位移与轨迹相切。
16
虚位移与真正运动时发生的实位移不同 。
①实位移是在一定的力作用下和给定的初条件下运动而实际发生的；虚位移是在约束容许的条件下可能发生的。质点静止时没有实位移但有虚位移。
②实位移具有确定的方向，可能是微小值，也可能是有限值；虚位移则是微小位移，视约束情况可能有几种不同的方向。
③实位移是在一定的时间内发生的；虚位移只是纯几何的概念，完全与时间无关。
在定常约束下，微小的实位移必然是虚位移之一 。而在非定常约束下，
微小实位移不再是虚位移之一。
实位移—虚位移，— rdr?
17
质点系中各质点的虚位移之间存在着一定的关系,确定这些关系通常有两种方法：
① 几何法 。本章研究的是定常约束，在定常约束下微小实位移实虚位移中的一个。由运动学知，质点的位移与速度成正比，因此 可以用运动学中分析速度的方法分析各点虚位移之间的关系 。
2.各点虚位移之间的关系
18
② 解析法 。质点系中各质点的坐标可表示为广义坐标的函数
（ q1,q2,……,qk），广义坐标分别有变分,各质点的虚位移 在直角坐标上的投影可以表示为
kqqq,,,21?
ir?
k
k
iii
i
k
k
iii
i
k
k
iii
i
q
q
z
q
q
z
q
q
z
z
q
q
y
q
q
y
q
q
y
y
q
q
x
q
q
x
q
q
x
x
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
),2,1( ni
19
[例 1] 分析图示机构在图示位置时，点 C,A与 B的虚位移。
(已知 OC=BC= a,OA=l )
解,此为一个自由度系统，取 OA杆与 x 轴夹角?为广义坐标。
1、几何法
s i n2s i n2
s i n2
arr
a
a
IB
IC
r
r
lr
a
l
r
l
a
r
r
ar
CB
B
C
CA
A
C
C
注意：几何法要在图上标出各点虚位移！
给 OA杆一虚位移 δ?，则
20
取?为广义坐标，将点的坐标表示成?的函数，得
0,c o s2
s i n,c o s
s i n,c o s
BB
AA
CC
yax
lylx
ayax
2、解析法 (OC=BC= a,OA=l )
对?求变分，得各点虚位移在相应坐标轴上的投影：
0,s i n2
c o s,s i n
c o s,s i n
BB
AA
CC
yax
lylx
ayax
注意：解析法要用固定坐标！
21
如果约束反力在质点系的任何虚位移中的所有的元功之和等于零，则称这种约束为 理想约束。
质点系受有理想约束的条件：
0 ii rNW
四,理想约束力在质点发生的虚位移上所作的功称为 虚元功,记为 δW,
zZyYxXW
rFW
22
理想约束的典型例子如下：
0'
'
rNrNW
NN
N
2、光滑铰链
0
rNW
rN
N
1、光滑支承面
23
0
0
W
r
3、刚体在粗糙面上的纯滚动
4、无重刚杆 5、不可伸长的柔索
BABA NNrr,c osc os
0c osc os
BBAA
BBAA
rNrN
rNrN
24
§ 10-2 虚位移原理一、虚位移原理具有定常理想约束的质点系在给定位置静止平衡的必要与充分条件是：作用于质点系的所有主动力在任何虚位移上所作的元功之和等于零。即
0ii rF?
25
证明,(1) 必要性：即质点系处于平衡时，必有 0
ii rF?
∵ 质点系处于平衡 ∴ 任一质点 Mi也平衡。
0 ii NF
对质点 Mi 的任一虚位移,有
ir?
0)( iii rNF?
0)( iii rNF?
0 iiii rNrF
由于是理想约束
0ii rF?
0ii rN?
所以对整个质点系：
26
(2) 充分性：即当质点系满足,质点系一定平衡。
若,假设质点系不平衡，则至少有一个质点（设为第 i个质点）不平衡，则有
0ii rF?
0ii rF?
在 方向上产生实位移,取,则
iR ird ii rdr
0)( iiiii rRrNF
0)( iii rNF?对质点系,(理想约束下,) 0ii rN?
0 ii rF? 与前述条件矛盾故 时质点系必处于平衡。 0
ii rF?
0 iii RNF
27
二、虚位移原理的应用
1,系统在给定位置平衡时，求主动力之间的关系；
2,求系统在已知主动力作用下的平衡位置；
3,求系统在已知主动力作用下平衡时的约束反力；
4,求平衡构架内二力杆的内力。
② 解析式 0)(
iiiiii zZyYxX
① 虚位移原理还可写成,∑Fiδri cosαi=0
i——Fi与?ri之间的夹角； Xi,Yi,Zi 及 δxi,δyi,
δzi——主动力 Fi及 δri在 x,y,x轴上的投影。
上三式均称为静力学普遍方程,实际应用时,用①②两式 。
28
例 1 椭圆规机构，连杆 AB长 l，杆重及各处摩擦不计，求在图示位置平衡时，主动力 P和 Q之间的关系。
解,研究整个机构。系统受理想完整定常约束。
29
1、几何法,使 A发生虚位移,
B的虚位移,则由虚位移原理，
得：
Ar?
Br?
0)tg ArQ(P
由 的任意性，得Ar tgQP?
0 BA rQrP
tg
c o ss i n
AB
BA
rr
rr而
30
2、解析法 系统为单自由度，
取?为广义坐标。
c os,s i n
s i n,c os
lylx
lylx
AB
AB
由于 任意，故 tgQP?
,0 BA xQyP
0)s i nc o s( lQP
由虚位移原理：
31
解,此系统具有两个自由度，取角?
及?为广义坐标。
例 2 均质杆 OA及 AB在 A点铰接，两杆各长 2a和 2b，各重
P1及 P2,B点作用有水平力 F,求平衡时的角?及? 。
（教材例 10-4）
y
32
应用虚位移原理：
)( 021 axFyPyP BDC
代入 (a)式，得：
0)c os2s i n()c os2s i n2s i n( 221 bFbPaFaPaP
解法一：解析法
c o s2c o s2,s i n2s i n2
s i ns i n2
,c o sc o s2
s i n,c o s
baxbax
bay
bay
ayay
BB
D
D
CC
而
33
由于 是彼此独立的，所以：,
0c os2s i n
0c os2s i n2s i n
2
21
bFbP
aFaPaP
221
2 t g,
2
2tg
P
F
PP
F?
由此解得：
0)c o s2s i n()c o s2s i n2s i n( 221 bFbPaFaPaP
34
0s inc os 2 DB rPrF
而 brbr
DB,2
代入上式，得
22
22tg
P
F
bP
bF?
解法二：几何法先使? 保持不变，而使? 获得变分,得到系统的一组虚位移，如图所示。
35
再使? 保持不变，而使? 获得变分,得到系统的另一组虚位移，如图所示。
BDA rrr
0s i ns i nc o s 21 DCB rPrPrF
而
arrr
ar
ADB
C
2
,
代入上式后，得：
22tg
21 PP
F
0)s i n2s i n2c os( 21 aPaPaF
图示中：
36
例 3 多跨静定梁，
求支座 B处反力。
解,将支座 B 除去，代入相应的约束反力 。
BR
.,,,,,( * )0211 mrPrRrP CBB
由虚位移原理：
96
11
8
11
12
11
12
1
6
,
8
11
,
2
1
1
B
C
B
E
B
B
C
B
r
r
r
r
r
r
r
r
r
而
37
mPPR B 961181121 21
BB
C
B
B rmr
rP
r
rPR
2
1
1
注意,用虚位移原理求约束反力,每次只能解除一个约束
，代之以相应的约束反力，并视为主动力。要求多个约束反力，依次一个一个解除约束。
由（ *）得：
38
例 4 直杆 AB通过滑套 D带动杆 CD在铅直滑道上滑动。 已知?=0o时，弹簧为原长，
弹簧 k=5(kN/m)，求 在任意位置（? 角）
平衡时,加在 AB杆上的力偶矩 M=？
解,本题是已知系统平衡，求作用于系统上主动力之间关系。
一个自由度，以?为广义坐标。
39
以系统为研究对象：去掉弹簧代之以弹性力。
)N( 1s ec15 00 ）（
弹性力：
xkFF
由虚位移原理,0 rrFM
)()1( s ec3.0)cos/3.06.0()3.06.0[ mx （
在任意位置弹簧变形：
方法一：几何法给 AB一虚位移，则：
s e c3.0er
由点的复合运动：
t ans e c3.0t an er rr
40
)mN( c o s )c o s1(s i n4 5 0 3
0)t ans e c3.0FM即：（
0
0t a ns e c3.0FM
...?M
方法二：解析法
2s ec3.0,t an3.0
0,3.0
DD
DD
yy
xmx
由虚位移原理：
MyFxFM DD 0)s i n()c o s(
注意：① M dq的正负？② F’呢？
41
例 5 两均质杆 A1B1与 A2B2各长 l1,l2，各重 P1,P2，放在如图位置，接触处均光滑。求平衡时的?1,?2关系。（教材习题
10-7）
解：系统为一自由度
（ 1）解析法建立如图坐标，则
11
1
1
1
1
1
co s
2
,s i n
2
l
y
l
y
22
2
22
2
2 c o s2,s i n2
lyly
42
co n s tll 2211 c o sc o s
由虚位移原理：
02211 yPyP
0s i ns i n 222111 ll变分：
.,,( *)0cos
2
cos
2
22
2
2
11
1
1
l
P
l
P即：
1
22
11
2 s i n
s i n
l
l
代入（ *）得：
43
0)s i ns i nco s2co s2( 1
22
11
2
2
21
1
1
l
llPlP
0)(,01
1
1
2
2
2
1 c o s
s i n
c o s
s i n
PP 平衡时
2
1
2
1
t a n
t a n
P
P?
或
（ 2）几何法给 B点一虚位移 δrB，各点虚位移如图
44
由虚位移原理：
.,,,,,( *)
0c osc os 222111 rPrP
1
1
11
1
11
111
s i n2
s i n
2/
B
B
r
r
l
l
BI
CI
r
r
2
2
22
2
22
222
s i n2s i n
2/
B
B
rr
l
l
BI
CI
r
r
将代入 δr1,δr2 （ *）得,.....
45
教材习题 10-12（ b），习题集 17-8
46
教材习题 10-13，习题集 17-7
47
作业答案,P=25N
48
以不解除约束的理想约束系统为研究对象，系统至少有一个自由度。若系统存在非理想约束，如弹簧力、摩擦力等，可把它们计入主动力，则系统又是理想约束系统，可选为研究对象。
若要求解约束反力，需解除相应的约束，代之以约束反力，
并计入主动力。应逐步解除约束，每一次研究对象只解除一个约束，将一个约束反力计入主动力，增加一个自由度。
应用虚位移原理求解质点系平衡问题的步骤和要点：
1、正确选取研究对象：
49
2、正确进行受力分析,
画出主动力的受力图，包括计入主动力的弹簧力、摩擦力和待求的约束反力。
3、正确进行虚位移分析，确定虚位移之间的关系 。
4、应用虚位移原理建立方程。
5、解虚功方程求出未知数。
50;,,,,iiiii aNFmM设质点系受理想约束，任取一质点：质点根据达兰贝尔原理，加上惯性力，则：
0 Jiii FNF
§ 10-3 动力学普遍方程
0 Jiii FNF对整个质点系：
给质点系任一虚位移，应用虚位移原理，有：
0)( iJiii rFNF?
对理想约束，有 0ii rN?
0)( iJii rFF? 0)( iii ramF?或：
51
① 解析式：
0])()()[( iiiiiiiiiiii zzmZyymYxxmX
即,受理想约束的质点系，在运动的任一瞬时，作用于质点系的主动力与惯性力在任意虚位移上所作的元功之和为零。
——动力学普遍方程，又称达兰贝尔 —拉格朗日方程。
② 不考虑内力。
③ 解题时,一般不必按上式建立方程,只需画上主动力，再虚加惯性力及惯性力偶，然后同解静力学问题一样用虚位移原理求解。
52
动力学普遍方程 适用于具有理想约束或双面约束的系统。
动力学普遍方程 既适用于具有定常约束的系统，也适用于具有非定常约束的系统。
动力学普遍方程 既适用于具有完整约束的系统，也适用于具有非完整约束的系统。
动力学普遍方程 既适用于具有有势力的系统，也适用于具有无势力的系统。
53
动力学普遍方程 主要应用于求解动力学第二类问题，即：已知主动力求系统的运动规律。
应用 动力学普遍方程 求解系统运动规律时，重要的是正确分析运动，并在系统上施加惯性力。
由于 动力学普遍方程 中不包含约束力，因此，
不需要解除约束，也不需要将系统拆开。
应用 动力学普遍方程,需要正确分析主动力和惯性力作用点的虚位移，并正确计算相应的虚功。
动力学普遍方程的应用
54
例 6 三棱柱 B沿三棱柱 A的光滑斜面滑动，三棱柱 A置于光滑水平面上,A和 B的质量分别为 M和 m，斜面倾角为?。
试求三棱柱 A的加速度。
解,研究两三棱柱组成的系统。该系统受理想约束，
具有两个自由度。
mgQMgP
maFmaF
FFF
MaF
r
J
Br
J
Be
J
Br
J
Be
J
B
J
A
,
,
给 A向左的虚位移 δrA,B相对 A的虚位移 δrBr
ABeBrBeB rrrrr,
55
由动力学普遍方程：
0)s i nc o s(
)c o s(
Br
J
Br
J
Be
Be
J
Br
J
BeA
J
A
rFQF
rFFrF
因为 为互不相关的 独立虚位移，所以rBA rr,
0s i nc os
0c os
r
r
mamgma
mamaMa
解得：
gmMma )s in(2 2s in 2
0)s i nc o s(
)c o s(
Brr
Ar
rmamgma
rmamaMa
即：
56
例 题 7 已知,m,R,f,? 。
求：圆盘纯滚时质心的加速度。
C
mg
ε
aC
FIR
MIC
x
解,1、分析运动，施加惯性力
2、本系统有一个自由度，
令其有一虚位移?x。
IR CF m a?
I C CMJ
3、应用动力学普遍方程
s in 0I R I C xm g x - F x M R
s in32 ga C?
21,
2CCJ m R a R
其中：
例 题 8 离心调速器已知,m1－ 球 A,B 的质量；
m2－ 重锤 C 的质量；
l－ 杆件的长度；
－ O1 y1轴的旋转角速度。
求,?－? 的关系。
BA
C
l
l
l
l
O1 x1
y1
解,不考虑摩擦力，这一系统的约束为理想约束；系统具有一个自由度。取广义坐标 q =?
1、分析运动、确定惯性力球 A,B绕 y轴等速转动；重锤静止不动。
球 A,B的惯性力为
2II s inABF F m l
FIBFIA
m1g
m2g
m1g
58
BA
C
l
l
l
l
O1 x1
y1
FIBFIA
m1g
m2g
m1g?rCI I 112
δ δ δ
δ δ 0
A A B B A
BC
F x F x m g y
m g y m g y
rB?rA
2、令系统有一虚位移。 A,B,C三处的虚位移分别为?rA,?rB,?rC 。
3、应用动力学普遍方程根据几何关系，有
s i n
c os
s i n
c os
2 c os
A
A
B
B
C
xl
yl
xl
yl
yl
c os
sin
c os
sin
2 sin
A
A
B
B
C
xl
yl
xl
yl
yl
59
BA
C
l
l
l
l
O1 x1
y1
FIBFIA
m1g
m2g
m1g?rC
I I 1
12
δ δ δ
δ δ 0
A A B B A
BC
F x F x m g y
m g y m g y
rB?rA
3、应用动力学普遍方程
s in2
s in
c os
s in
c os
ly
ly
lx
ly
lx
C
B
B
A
A
0s i n2s i n2c o ss i n2 2121 glmglmllm
2 12
1
()
c os
m m g
ml
60
xO
y
C2
D
求,1、三棱柱后退的加速度 a1；
2、圆轮质心 C2相对于 三棱柱加速度 ar。
C1
A
C B?
例题 8 质量为 m1的 三棱柱 ABC
通过滚轮搁置在光滑的水平面上。
质量为 m2、半径为 R的均质圆轮沿三棱柱的斜面 AB无滑动地滚下。
解,1、分析运动三棱柱作平动，加速度为 a1。
圆轮作平面运动，质心的牵连加速度为 ae= a1 ； 质心的相对加速度为 ar； 圆轮的角加速度为?2。
a1
ae
ar
ε2
61
xO
y
C2
D
C1
A
C B?a1
m1g
m2 gFI1
FI 2 e
FI 2 r
MI2
ae
ar
解,2、施加惯性力
I1 1 1F m a?
I2 e 2 1F m a?
I2 r 2 rF m a?
I2 2 2MJ
2
22
1
2J m R?
解,3、确定虚位移考察三棱柱和圆盘组成的系统，系统具有两个自由度。
第一组 δ 0 δ 0x，
第二组
δ 0 δ 0x，二自由度系统具有两组虚位移：
x
62
xO
y
C2
D
C1
A
C B?
m1g
m2 gFI1
FI 2 e
FI 2 r
MI2
解,4、应用动力学普遍方程
2 I 2 e I 2 r 2 2s i n δ c o s δ δ δ 0m g R F R F R J－
0)23c o s(1s in r1 aag
δ 0 δ 0x，令：
I1 1 1F m a?
I2 e 2 1F m a?
I2 r 2 rF m a?
I 2 2 2αMJ?
2
22
1
2J m R?
r2aR
63
xO
y
C2
D
C1
A
C B?
m1g
m2 gFI1
FI 2 e
FI 2 r
MI2解,4、应用动力学普遍方程
c os
)(
2
121
m
amma
r
令：
δ 0 δ 0x，
I 1 I 2 e I 2 r( ) c o s 0F F x F x
x
I1 1 1F m a?
I2 e 2 1F m a?
I2 r 2 rF m a?
I2 2 2MJ
2
22
1
2J m R?
r2aR
64
解,5、求解联立方程
2
221
21
r
2
221
2
1
c os2)3(
)(s i n2
c os2)3(
s i n 2
mmm
mmg
a
mmm
gm
a
－
－
c os
)(
2
121
m
amma
r
0)23c o s(1s in r1 aag
65
