1
2
本章研究拉格朗日第二类方程（简称拉格朗日方程）。
他是研究动力学问题的又一有力手段，在解决非自由质点系的动力学问题时，显得十分简捷、规范。
3
§ 11-1 广义力 以广义力表示的质点系的平衡条件设有 n个质点 组成的质点系，具有 k个自由度,可由 k个广义坐标 q1,q2,...,qk 确定其位置。 在非定常约束下,质点系中 任一质点 Mi的矢径一、广义力
),2,1( ),,,( 21 nitqqqrr kii
Mi的虚位移 （固定时间 t）：
k
j
j
j
i
k
k
iii
i
niq
q
r
q
q
r
q
q
r
q
q
r
r
1
2
2
1
1
),2,1(
...
4
设作用在 Mi上的主动力为 Fi，则作用于质点系上所有主动力的 元功之和,
j
j
in
i i
k
jj
k
j j
in
i ii
n
i i
qqrFqqrFrFW )(
11111?
j
i
n
i ij q
rFQ
1
令 —— 对应于广义坐标 qj 的广义力
j
k
j j
qQW
1
则：
广义力的量纲取决于广义坐标的量纲,qj：长度,Qj：力；
qj：角度,Qj：力矩；广义力的数目 =广义坐标的数目。
二、广义力的计算方法
1、解析式
5
)(
1 j
i
i
j
i
i
j
i
i
n
i
j q
zZ
q
yY
q
xXQ
kzjyixrkZjYiXF iiiiiiii,?
xi,yi,zi均是广义坐标 q1,q2,...,qk及时间 t的函数。
)()(
11
kqzjqyiqxkZjYiXqrFQ
j
i
j
i
j
i
iii
n
ij
in
i ij?
2、实际应用时,由
kkj
k
j j
qQqQqQqQW
...2211
1
由于各广义坐标彼此独立，所以在 求 某个广义力 Qj时
，仅使对应的广义坐标 qj变分? qj，而其余的广义坐标则保持不变。即,令? qj≠0,? qi=0（ i=1,2,...n,i ≠ j）,
6
3、若 作用于质点系的 主动力都是有势力,质点系在任一位置的势能 V=V（ q1,q2,...,qk）
由式（ 8-7-8）
这样就将具有 k个自由度的质点系变为一个自由度的质点系
，所有主动力的元功之和：
jjj qQW
),...,2,1( kjqWQ
j
j
j
i
i
i
i
i
i z
VZ
y
VY
x
VX
,,
代入解析式得：
)(
1 j
i
ij
i
ij
i
i
n
i
j q
z
z
V
q
y
y
V
q
x
x
VQ
7
可见：在保守系统中，广义力等于质点系的势能函数对相应广义坐标的偏导数并冠以负号。
),...,2,1( kjqVQ
j
j
三、以广义力表示的质点系的平衡条件当质点系平衡时，由虚位移原理：
0
1
WrF in
i i
0
1
j
k
j j
qQ?或：
由于 δqj彼此独立，所以
),...,2,1(0 kjQ j
即：具有理想约束的质点系，在给定位置平衡的必要与充分条件是，系统的所有广义力都等于零。
8
例 1：两均质杆，均长 2l，均重 P，用铰链连接，跨过半径为 r
的光滑圆柱体上，并位于同一铅直面内，求杆的平衡位置。
解,由于两杆等长等重，平衡时他们的位置必对称，这样系统就只有一个自由度。以 θ为广义坐标,C1,C2距 O点的垂直距离,?
c oss i n l
rh
以过 O点的水平面为零势面，则
)c oss i n(22 lrPPhV
系统的平衡条件为,0VQ
9
由此解出 θ。
0)s i ns i nc o s(2 2 lrP即：
0t a nt a n 23 rrl改写为：
10
例 2：图示系统,A重 2P,B重 P。不计滑轮重及 O,E处摩擦，
求平衡时 C的重量 W及 A与水平面之间的摩擦系数 f。
解,系统具有 2自由度。
以 sA,sB为广义坐标
（ 1）当 sA改变 δsA而 δsB=0（
B不动），此时 δsC= δsA /2
ACAA sWFsWsFW )2
1(
WFsWQ
A
A
A 2
1
11
（ 2）当 sB改变 δsB而 δsA=0，
此时 δsC= δsB /2
BCBB sWPsWsPW )2
1(
WPsWQ
B
B
B 2
1
系统平衡时有 QA= QB=0
由 QB= 0 得 W=2P
由 QA= 0 得 F=W/2=P
2
1
2 P
Ff
12
应用动力学普遍定理求解复杂的非自由质点系的动力学问题并不方便，由于约束的限制，各质点的坐标不独立，解题时必须用约束方程消去多余的坐标变分。如果先考虑约束条件，
采用广义坐标表示动力学普遍方程，就可得到与广义坐标数目相同的一组独立的微分方程，从而使复杂的动力学问题变得简单，这就是著名的拉格郎日方程。
§ 11-2 拉格郎日方程一、拉格郎日方程
13
设有 n个质点组成的质点系，具有 k个自由度，可由 k个广义坐标 q1,q2,...,qk 确定其位置。在非定常约束下，质点系中任一质点 Mi的矢径
( a ) ),2,1( ),,,( 21 nitqqqrr kii
Mi的虚位移（固定时间 t）：
)( ),2,1(
...
1
2
2
1
1
bniq
q
r
q
q
r
q
q
r
q
q
r
r
k
j
j
j
i
k
k
iii
i
代入质点系动力学普遍方程：
)1310(0)(
1
n
i iiii
ramF?
14
)1310(0)(
1
n
i iiii
ramF?
)(
11
dqQrF k
j jj
n
i ii
n
i
n
i iiiii
cramrF
1 1
)( 0得：
第一项：主动力在质点系的虚位移的元功之和：
第二项：惯性力在质点系的虚位移的元功之和：
)(0
)(
1 1
1 11
eq
q
r
am
q
q
r
amram
j
j
i
k
j
n
i
ii
n
i
j
k
j
j
i
ii
n
i
iii
15
)()( fqrdtdvmqrvmdtdqram
j
i
ii
j
i
ii
j
i
ii?
为简化上式,需要用到以下两个关系式：
① Mi点的速度,由 (a)式
)(
...
1
2
2
1
1
g
t
r
q
q
r
t
r
q
q
r
q
q
r
q
q
r
dt
rd
v
i
k
j
j
j
i
i
k
k
iiii
i
广义速度—式中,jq?
j
i
ii
j
i
ii
j
i
ii q
r
dt
dvm
q
ram
q
rvm
dt
d
)(?
16
t
r
q
r i
j
i
,
由（ a）知 只是广义坐标和时间的函数，与广义速度无关，故将上式对 求偏导：jq?
)( hqvqr
j
i
j
i
② 将（ g）对任一广义坐标 ql 求偏导：
)()()(
2
1
2
1
iqt rqqq rtrqqqrqqv
l
i
j
k
j jl
ii
l
j
j
i
k
j ll
i
将（ a）式先对 ql求偏导再对 t求导：
17
)(
)()(
)(.,,)()()(
2
1
2
1
2
2
1
1
j
qt
r
q
qq
r
q
r
t
q
q
r
q
dt
dt
q
r
tdt
dq
q
r
qdt
dq
q
r
qq
r
dt
d
l
i
j
k
j lj
i
l
i
j
l
i
k
j j
l
i
l
i
l
i
l
i
比较（ i）（ j）得
)(
l
i
l
i
q
r
dt
d
q
v
18
将下标 l换成 j得：
)()( kqvqrdtd
j
i
j
i
将（ h）（ k） 代入（ f）得：
)(
)
2
1
()
2
1
(
)(
22
l
q
vm
q
vm
dt
d
q
v
vm
q
v
vm
dt
d
q
r
am
j
ii
j
ii
j
i
ii
j
i
ii
j
i
ii
19
于是（ e）式为
)(][
]
)
2
1
()
2
1
(
[
]
)
2
1
()
2
1
(
[
)(
1
2
1
2
1
1
22
1 1
1 11
mq
q
T
q
T
dt
d
q
q
vm
q
vm
dt
d
q
q
vm
q
vm
dt
d
q
q
r
amram
j
jj
k
j
j
j
ii
n
i
j
ii
n
i
k
j
j
j
ii
j
ii
k
j
n
i
j
j
i
i
k
j
n
i
iii
n
i
i
20
将（ d）（ m）代入（ c）得：
),1,2,( kjQqTqTdtd j
jj
0 )(
11
jjj
k
jj
k
j j
qqTqTdtdqQ
0 )
1
jjj
k
j j
qqTqTdtdQ（或：
由于 δqj彼此独立，所以：
这就是拉格朗日第二类动力学方程，简称 拉格朗日方程，
或 拉氏方程 。
21
（ 2）有势力、非有势力都适用
（ 4）不含约束力。
),,()1( tqqTT jj
j
j
j q
WQ
)3(
如果作用于质点系的力是有势力，则：
j
j q
VQ
二、保守系统的拉格朗日方程而拉氏方程为：
22
jjj q
V
q
T
q
T
dt
d
由于 V=V（ q1,q2,...,qk），不含广义速度，所以
0,0
jj q
V
dt
d
q
V
jjjj q
V
q
V
dt
d
q
T
q
T
dt
d
上式为：
0 )()(
jj q
VT
q
VT
dt
d
或：
令 L=T-V—— 拉格朗日函数
),1,2,( 0 )( kjqLqLdtd
jj
保守系统的拉格朗日方程。
23
应用拉氏方程解题的步骤：
1,判定质点系的自由度 k，选取适宜的广义坐标。必须注意：
不能遗漏独立的坐标，也不能有多余的（不独立）坐标。
2,计算质点系的动能 T，表示为广义速度和广义坐标的函数。
3,计算广义力,计算公式为,),1,2,( kjQ
j
)(
1 j
i
i
j
i
i
j
i
i
n
i
j q
zZ
q
yY
q
xXQ
或
j
j
j q
WQ
)(?
若主动力为有势力，须将势能 V表示为广义坐标的函数。
4,建立拉氏方程并加以整理，得出 k个二阶常微分方程。
5,求出上述一组微分方程的积分。
24
[例 3] 图示行星齿轮 机构位于水平面内 。 均质杆 OA：重 P，
可绕 O点转动； 均质小齿轮：重 Q,半径 r,沿 半径为 R的固定大齿轮滚动。系统初始静止,系杆 OA位于图示 OA0位置。 已知杆 OA受大小不变力偶 M作用后,求杆 OA的运动方程 。
所受约束皆为完整、理想、定常的，
取 OA杆转角?为广义坐标 。
r
rR
r
v
rRv
A
A
A
)(
解,图示机构只有 一个自由度
25
22
2
2
2
22222
222
)(
92
12
1
)(
2
1
2
1
)(
2
1
)(
3
1
2
1
2
1
2
1
2
1
rR
g
QP
r
rR
r
g
Q
rR
g
Q
rR
g
P
Jv
g
Q
JT
AAAO
0 ; )(
92
6
1; )(
92
6
1
2
2
T
rR
g
QPT
dt
d
rR
g
QPT
M
W
Q
MW
26
由拉氏方程：
g
))(92(
6
0 )(
92
6
1
2
2
rRQP
M
M rR
g
QP
积分，得：
2122))(92(
3 CtCgt
rRQP
M
2
2))(92(
3 gt
rRQP
M
故：
代入初始条件,t =0 时,得 0 0,0
2100 C C
QTTdtd
27
[例 4]图示系统，物块 C质量为 m1,均质轮 A,B质量均为 m2，
半径均为 R,A作纯滚动，求系统的运动微分方程。
解,系统具有一自由度，保守系统。以物块 C的平衡位置为原点，取 x为广义坐标：
22
2
22
1 2
1
2
1
2
1
2
1
BBAAA JvmJxmT
22
2
2
2
22
2
2
1 )(2
1
2
1)
2(2
1)
2(2
1
2
1
2
1
R
xRmxm
R
xRmxm
2
21 )78(16
1 xmm
以平衡位置为重力势能零点，弹簧原长处为弹性势能零点，则
28
gxmxkV st 12)2(21
静止平衡时弹簧的伸长—st?
gmk st 12静止平衡时有：
gxmxkxmmVTL st 12221 )2(21)78(16 1
xmmxL )78(81 21 xmmxLdtd )78(81 21
kxgmxkxL st 4121)2( 1
代入到拉氏方程 得,0 xLxLdtd? 02)78(
21 kxxmm
29
[例 5] 与刚度为 k 的弹簧相连的 滑块 A，质量为 m1,可在 光滑水平面 上滑动。滑块 A上又连一 单摆，摆长 l,摆锤质量为
m2,试列出该系统的运动微分方程。
解,系统为 保守二自由度系统 。 取 x,?为广义坐标,x
轴 原点位于弹簧自然长度位置,? 逆时针转向为正。
c o s2
)s i n(
)c o s(
222
2
22
lxlx
l
lxv B
30
c os
2
1
)(
2
1
)c os2(
2
1
2
1
2
1
2
1
2
22
2
2
21
222
2
2
1
2
2
2
1
lxmlmxmm
lxlxmxmvmxmT B
以弹簧原长为弹性势能零点，滑块 A所在平面为重力势能零点，
则,?c o s
2
1
2
2 glmkxV
kx
x
L
lmxmm
x
L
glmkxlxmlmxmm
VTL
,cos)(
cos
2
1
cos
2
1
)(
2
1
221
2
2
2
22
2
2
21
31
s i nc os)(
s i ns i n,c os
s i nc os)(
22
2
2
222
2
2
2
2221
lxmlxmlm
L
dt
d
glmlxm
L
lxmlm
L
lmlmxmm
x
L
dt
d
kx
x
Llmxmm
x
L
,c o s)(
221
由拉氏方程,0)(
0)(
LL
dt
d
x
L
x
L
dt
d
并化简得：
0s i n cos
0s i ncos)( 22221
glx
kxlmlmxmm
32
0s i n co s
0s i nco s)( 22221
glx
kxlmlmxmm
系统的运动微分方程。
0
0)( 22221
glx
kxlmlmxmm
上式为系统在平衡位置 (x =0,? =0)附近微幅运动的微分方程。
若系统在平衡位置附近作微幅运动，此时? <<1o,
cos? 1,sin，略去二阶以上无穷小量，则
33
§ 11-3 拉格朗日方程的积分对于保守系统，可以得到拉格朗日方程的某些统一形式的首次积分，从而使得保守系统动力学问题的求解过程进一步简化。
保守系统拉格朗日方程的首次积分包括：能量积分、循环积分。
一、能量积分设系统所受的主动力是有势力，且拉格朗日函数 L = T - U
中不显含 t,则
34
j
j
k
j j
j
k
j j
j
k
j j
j
k
j j
q
q
L
q
L
dt
d
q
q
L
dt
d
q
q
L
q
q
L
dt
dL
)()(
11
11
0)(
1
LqqLdtd jk
j j
)(
1
常数CLqqL jk
j j
广义能量积分。
保守系统的拉格朗日函数不显含时间 t 时，保守系统的 广义能量守恒 。可以证明，当系统约束为定常时，上式为
0
35
系统的广义能量积分式就是系统的机械能守恒方程式。
)( )(2
1
常数CUTUTTLqq L jk
j j
二、循环积分如果拉格朗日函数 L中不显含某一广义坐标 qr,则该坐标称为保守系统的 循环坐标或可遗坐标 。
当 为系统的循环坐标时，必有)( krq r?
0
rq
L
于是拉氏方程成为
0)(
rr q
LqLdtd?
36
)( )( krCqL
r
常数?
积分得,循环积分因 L = T - V，而 V中不显含,故上式可写成
)( )( 常数CPqTVTqqL r
rrr
rq?
Pr称为广义动量，因此循环积分也可称为系统的广义动量积分。
保守系统对应于循环坐标的广义动量守恒。
一个系统的能量积分只可能有一个；而循环积分可能不止一个，有几个循环坐标，便有几个相应的循环积分。
能量积分和循环积分都是由保守系统拉格朗日方程积分一次得到的，它们都是比拉格朗日方程低一阶的微分方程。
37
[例 3] 楔形体重 P，斜面倾角?，置于光滑水平面上。均质圆柱体重 Q，半径为 r,在楔形体的斜面上只滚不滑。初始系统静止，且圆柱体位于斜面最高点。试求,(1)系统的运动微分方程； (2)楔形体的加速度； (3)系统的能量积分与循环积分。解,研究楔形体与圆柱体组成的系统。系统受理想、完整、
定常约束，具有两个自由度。
取广义坐标为 x,s ；各坐标原点均在初始位置。
38
系统的动能,
)( c o s
4
3
2
1
)(
2
1
2
1)c o s2(
2
1
2
1
22
22222
asx
g
Q
s
g
Q
x
g
QP
r
sr
g
Q
sxsx
g
Q
x
g
PT
系统的势能,
取水平面为重力势能零点。
)( )c oss i n(31 brshQPhV
拉格朗日函数：
)( )co ss i n
3
1 co s
4
3
2
1 22 crsQ ( hPhsx
g
Qs
g
Qx
g
QP
VTL
39
代入保守系统拉氏方程，并适当化简，得到系统的运动微分方程。
s i n2co s23
0co s)(
gxs
sQxQP
（ d）
解得楔形体的加速度为
gQQP Qx 2s in23 2s in
拉格朗日函数 L中不显含 t,故系统存在能量积分。
40
1
22 )co ss i n(
3
1
co s
4
3
2
1
CrshQPhsx
g
Q
s
g
Q
x
g
QP
Lq
q
L
j
j
当 t =0时，,x = s = 0,代入上式中，得0 sx
)c o s(311?rhQPhC
)( 0s i nc o s4321 22 f sQ sxgQs gQxg QP
41
由于拉格朗日函数 L中不显含广义坐标 x，故 x 为系统循环坐标，故有循环积分：
2c o s Csg
Qx
g
QP
x
T
x
LP
x
t = 0时,故上式中 C2 = 0,可得0 sx
)( 0c o s)( gsQxQP
（ f ),( g ) 式即为系统的能量积分和循环积分。 ( f ) 式实际上是系统的机械能守恒方程。 ( g )式实质上是系统的动量在 x方向守恒。
42
结论与讨论
达朗贝尔原理、虚位移原理与拉格朗日方程
43
达朗贝尔原理在形式上将质点系动力学问题化为静力学平衡问题。
虚位移原理给出了质点系平衡的充分与必要条件。
通过达朗贝尔原理可以将虚位移原理推广应用于质点系的动力学问题，得到达朗贝尔－
拉格朗日方程，即第一类拉格朗日方程，又称为动力学普遍方程，用于求解具有理想约束的非自由质点系的动力学第二类问题，即已知主动力求运动。
结论与讨论
44
第一类拉格朗日方程，即达朗贝尔－拉格朗日方程，又称为动力学普遍方程。
( F a ) δ r 0 ( 1,2,,)i i i i
i
m i n
达朗贝尔－拉格朗日方程适用于具有理想约束或双面约束的系统。
达朗贝尔－拉格朗日方程既适用于具有定常约束的系统，也适用于具有非定常约束的系统。
达朗贝尔－拉格朗日方程既适用于具有完整约束的系统，也适用于具有非完整约束的系统。
达朗贝尔－拉格朗日方程既适用于具有有势力的系统，也适用于具有无势力的系统。
结论与讨论
45
第二类拉格朗日方程：仅用动能、势能以及广义主动力等少数几个标量便可描述复杂质点系的运动。但只能用于具有完整约束的系统。
基本形式主动力有势形式结论与讨论
( ) ( 1,2,,)k
kk
d T T Q k N
d t q q
( ) 0 ( 1,2,,)
kk
d L L kN
d t q q
46
结论与讨论
（ 1）循环积分（广义动量守恒）
（ 2）能量积分（广义能量守恒）
j
jj
j
LT
p c o n s t
qq
p
广 义 动 量
T V E
47
2
本章研究拉格朗日第二类方程（简称拉格朗日方程）。
他是研究动力学问题的又一有力手段，在解决非自由质点系的动力学问题时，显得十分简捷、规范。
3
§ 11-1 广义力 以广义力表示的质点系的平衡条件设有 n个质点 组成的质点系，具有 k个自由度,可由 k个广义坐标 q1,q2,...,qk 确定其位置。 在非定常约束下,质点系中 任一质点 Mi的矢径一、广义力
),2,1( ),,,( 21 nitqqqrr kii
Mi的虚位移 （固定时间 t）：
k
j
j
j
i
k
k
iii
i
niq
q
r
q
q
r
q
q
r
q
q
r
r
1
2
2
1
1
),2,1(
...
4
设作用在 Mi上的主动力为 Fi，则作用于质点系上所有主动力的 元功之和,
j
j
in
i i
k
jj
k
j j
in
i ii
n
i i
qqrFqqrFrFW )(
11111?
j
i
n
i ij q
rFQ
1
令 —— 对应于广义坐标 qj 的广义力
j
k
j j
qQW
1
则：
广义力的量纲取决于广义坐标的量纲,qj：长度,Qj：力；
qj：角度,Qj：力矩；广义力的数目 =广义坐标的数目。
二、广义力的计算方法
1、解析式
5
)(
1 j
i
i
j
i
i
j
i
i
n
i
j q
zZ
q
yY
q
xXQ
kzjyixrkZjYiXF iiiiiiii,?
xi,yi,zi均是广义坐标 q1,q2,...,qk及时间 t的函数。
)()(
11
kqzjqyiqxkZjYiXqrFQ
j
i
j
i
j
i
iii
n
ij
in
i ij?
2、实际应用时,由
kkj
k
j j
qQqQqQqQW
...2211
1
由于各广义坐标彼此独立，所以在 求 某个广义力 Qj时
，仅使对应的广义坐标 qj变分? qj，而其余的广义坐标则保持不变。即,令? qj≠0,? qi=0（ i=1,2,...n,i ≠ j）,
6
3、若 作用于质点系的 主动力都是有势力,质点系在任一位置的势能 V=V（ q1,q2,...,qk）
由式（ 8-7-8）
这样就将具有 k个自由度的质点系变为一个自由度的质点系
，所有主动力的元功之和：
jjj qQW
),...,2,1( kjqWQ
j
j
j
i
i
i
i
i
i z
VZ
y
VY
x
VX
,,
代入解析式得：
)(
1 j
i
ij
i
ij
i
i
n
i
j q
z
z
V
q
y
y
V
q
x
x
VQ
7
可见：在保守系统中，广义力等于质点系的势能函数对相应广义坐标的偏导数并冠以负号。
),...,2,1( kjqVQ
j
j
三、以广义力表示的质点系的平衡条件当质点系平衡时，由虚位移原理：
0
1
WrF in
i i
0
1
j
k
j j
qQ?或：
由于 δqj彼此独立，所以
),...,2,1(0 kjQ j
即：具有理想约束的质点系，在给定位置平衡的必要与充分条件是，系统的所有广义力都等于零。
8
例 1：两均质杆，均长 2l，均重 P，用铰链连接，跨过半径为 r
的光滑圆柱体上，并位于同一铅直面内，求杆的平衡位置。
解,由于两杆等长等重，平衡时他们的位置必对称，这样系统就只有一个自由度。以 θ为广义坐标,C1,C2距 O点的垂直距离,?
c oss i n l
rh
以过 O点的水平面为零势面，则
)c oss i n(22 lrPPhV
系统的平衡条件为,0VQ
9
由此解出 θ。
0)s i ns i nc o s(2 2 lrP即：
0t a nt a n 23 rrl改写为：
10
例 2：图示系统,A重 2P,B重 P。不计滑轮重及 O,E处摩擦，
求平衡时 C的重量 W及 A与水平面之间的摩擦系数 f。
解,系统具有 2自由度。
以 sA,sB为广义坐标
（ 1）当 sA改变 δsA而 δsB=0（
B不动），此时 δsC= δsA /2
ACAA sWFsWsFW )2
1(
WFsWQ
A
A
A 2
1
11
（ 2）当 sB改变 δsB而 δsA=0，
此时 δsC= δsB /2
BCBB sWPsWsPW )2
1(
WPsWQ
B
B
B 2
1
系统平衡时有 QA= QB=0
由 QB= 0 得 W=2P
由 QA= 0 得 F=W/2=P
2
1
2 P
Ff
12
应用动力学普遍定理求解复杂的非自由质点系的动力学问题并不方便，由于约束的限制，各质点的坐标不独立，解题时必须用约束方程消去多余的坐标变分。如果先考虑约束条件，
采用广义坐标表示动力学普遍方程，就可得到与广义坐标数目相同的一组独立的微分方程，从而使复杂的动力学问题变得简单，这就是著名的拉格郎日方程。
§ 11-2 拉格郎日方程一、拉格郎日方程
13
设有 n个质点组成的质点系，具有 k个自由度，可由 k个广义坐标 q1,q2,...,qk 确定其位置。在非定常约束下，质点系中任一质点 Mi的矢径
( a ) ),2,1( ),,,( 21 nitqqqrr kii
Mi的虚位移（固定时间 t）：
)( ),2,1(
...
1
2
2
1
1
bniq
q
r
q
q
r
q
q
r
q
q
r
r
k
j
j
j
i
k
k
iii
i
代入质点系动力学普遍方程：
)1310(0)(
1
n
i iiii
ramF?
14
)1310(0)(
1
n
i iiii
ramF?
)(
11
dqQrF k
j jj
n
i ii
n
i
n
i iiiii
cramrF
1 1
)( 0得：
第一项：主动力在质点系的虚位移的元功之和：
第二项：惯性力在质点系的虚位移的元功之和：
)(0
)(
1 1
1 11
eq
q
r
am
q
q
r
amram
j
j
i
k
j
n
i
ii
n
i
j
k
j
j
i
ii
n
i
iii
15
)()( fqrdtdvmqrvmdtdqram
j
i
ii
j
i
ii
j
i
ii?
为简化上式,需要用到以下两个关系式：
① Mi点的速度,由 (a)式
)(
...
1
2
2
1
1
g
t
r
q
q
r
t
r
q
q
r
q
q
r
q
q
r
dt
rd
v
i
k
j
j
j
i
i
k
k
iiii
i
广义速度—式中,jq?
j
i
ii
j
i
ii
j
i
ii q
r
dt
dvm
q
ram
q
rvm
dt
d
)(?
16
t
r
q
r i
j
i
,
由（ a）知 只是广义坐标和时间的函数，与广义速度无关，故将上式对 求偏导：jq?
)( hqvqr
j
i
j
i
② 将（ g）对任一广义坐标 ql 求偏导：
)()()(
2
1
2
1
iqt rqqq rtrqqqrqqv
l
i
j
k
j jl
ii
l
j
j
i
k
j ll
i
将（ a）式先对 ql求偏导再对 t求导：
17
)(
)()(
)(.,,)()()(
2
1
2
1
2
2
1
1
j
qt
r
q
r
q
r
t
q
q
r
q
dt
dt
q
r
tdt
dq
q
r
qdt
dq
q
r
r
dt
d
l
i
j
k
j lj
i
l
i
j
l
i
k
j j
l
i
l
i
l
i
l
i
比较（ i）（ j）得
)(
l
i
l
i
q
r
dt
d
q
v
18
将下标 l换成 j得：
)()( kqvqrdtd
j
i
j
i
将（ h）（ k） 代入（ f）得：
)(
)
2
1
()
2
1
(
)(
22
l
q
vm
q
vm
dt
d
q
v
vm
q
v
vm
dt
d
q
r
am
j
ii
j
ii
j
i
ii
j
i
ii
j
i
ii
19
于是（ e）式为
)(][
]
)
2
1
()
2
1
(
[
]
)
2
1
()
2
1
(
[
)(
1
2
1
2
1
1
22
1 1
1 11
mq
q
T
q
T
dt
d
q
q
vm
q
vm
dt
d
q
q
vm
q
vm
dt
d
q
q
r
amram
j
jj
k
j
j
j
ii
n
i
j
ii
n
i
k
j
j
j
ii
j
ii
k
j
n
i
j
j
i
i
k
j
n
i
iii
n
i
i
20
将（ d）（ m）代入（ c）得：
),1,2,( kjQqTqTdtd j
jj
0 )(
11
jjj
k
jj
k
j j
qqTqTdtdqQ
0 )
1
jjj
k
j j
qqTqTdtdQ（或：
由于 δqj彼此独立，所以：
这就是拉格朗日第二类动力学方程，简称 拉格朗日方程，
或 拉氏方程 。
21
（ 2）有势力、非有势力都适用
（ 4）不含约束力。
),,()1( tqqTT jj
j
j
j q
WQ
)3(
如果作用于质点系的力是有势力，则：
j
j q
VQ
二、保守系统的拉格朗日方程而拉氏方程为：
22
jjj q
V
q
T
q
T
dt
d
由于 V=V（ q1,q2,...,qk），不含广义速度，所以
0,0
jj q
V
dt
d
q
V
jjjj q
V
q
V
dt
d
q
T
q
T
dt
d
上式为：
0 )()(
jj q
VT
q
VT
dt
d
或：
令 L=T-V—— 拉格朗日函数
),1,2,( 0 )( kjqLqLdtd
jj
保守系统的拉格朗日方程。
23
应用拉氏方程解题的步骤：
1,判定质点系的自由度 k，选取适宜的广义坐标。必须注意：
不能遗漏独立的坐标，也不能有多余的（不独立）坐标。
2,计算质点系的动能 T，表示为广义速度和广义坐标的函数。
3,计算广义力,计算公式为,),1,2,( kjQ
j
)(
1 j
i
i
j
i
i
j
i
i
n
i
j q
zZ
q
yY
q
xXQ
或
j
j
j q
WQ
)(?
若主动力为有势力，须将势能 V表示为广义坐标的函数。
4,建立拉氏方程并加以整理，得出 k个二阶常微分方程。
5,求出上述一组微分方程的积分。
24
[例 3] 图示行星齿轮 机构位于水平面内 。 均质杆 OA：重 P，
可绕 O点转动； 均质小齿轮：重 Q,半径 r,沿 半径为 R的固定大齿轮滚动。系统初始静止,系杆 OA位于图示 OA0位置。 已知杆 OA受大小不变力偶 M作用后,求杆 OA的运动方程 。
所受约束皆为完整、理想、定常的，
取 OA杆转角?为广义坐标 。
r
rR
r
v
rRv
A
A
A
)(
解,图示机构只有 一个自由度
25
22
2
2
2
22222
222
)(
92
12
1
)(
2
1
2
1
)(
2
1
)(
3
1
2
1
2
1
2
1
2
1
rR
g
QP
r
rR
r
g
Q
rR
g
Q
rR
g
P
Jv
g
Q
JT
AAAO
0 ; )(
92
6
1; )(
92
6
1
2
2
T
rR
g
QPT
dt
d
rR
g
QPT
M
W
Q
MW
26
由拉氏方程：
g
))(92(
6
0 )(
92
6
1
2
2
rRQP
M
M rR
g
QP
积分，得：
2122))(92(
3 CtCgt
rRQP
M
2
2))(92(
3 gt
rRQP
M
故：
代入初始条件,t =0 时,得 0 0,0
2100 C C
QTTdtd
27
[例 4]图示系统，物块 C质量为 m1,均质轮 A,B质量均为 m2，
半径均为 R,A作纯滚动，求系统的运动微分方程。
解,系统具有一自由度，保守系统。以物块 C的平衡位置为原点，取 x为广义坐标：
22
2
22
1 2
1
2
1
2
1
2
1
BBAAA JvmJxmT
22
2
2
2
22
2
2
1 )(2
1
2
1)
2(2
1)
2(2
1
2
1
2
1
R
xRmxm
R
xRmxm
2
21 )78(16
1 xmm
以平衡位置为重力势能零点，弹簧原长处为弹性势能零点，则
28
gxmxkV st 12)2(21
静止平衡时弹簧的伸长—st?
gmk st 12静止平衡时有：
gxmxkxmmVTL st 12221 )2(21)78(16 1
xmmxL )78(81 21 xmmxLdtd )78(81 21
kxgmxkxL st 4121)2( 1
代入到拉氏方程 得,0 xLxLdtd? 02)78(
21 kxxmm
29
[例 5] 与刚度为 k 的弹簧相连的 滑块 A，质量为 m1,可在 光滑水平面 上滑动。滑块 A上又连一 单摆，摆长 l,摆锤质量为
m2,试列出该系统的运动微分方程。
解,系统为 保守二自由度系统 。 取 x,?为广义坐标,x
轴 原点位于弹簧自然长度位置,? 逆时针转向为正。
c o s2
)s i n(
)c o s(
222
2
22
lxlx
l
lxv B
30
c os
2
1
)(
2
1
)c os2(
2
1
2
1
2
1
2
1
2
22
2
2
21
222
2
2
1
2
2
2
1
lxmlmxmm
lxlxmxmvmxmT B
以弹簧原长为弹性势能零点，滑块 A所在平面为重力势能零点，
则,?c o s
2
1
2
2 glmkxV
kx
x
L
lmxmm
x
L
glmkxlxmlmxmm
VTL
,cos)(
cos
2
1
cos
2
1
)(
2
1
221
2
2
2
22
2
2
21
31
s i nc os)(
s i ns i n,c os
s i nc os)(
22
2
2
222
2
2
2
2221
lxmlxmlm
L
dt
d
glmlxm
L
lxmlm
L
lmlmxmm
x
L
dt
d
kx
x
Llmxmm
x
L
,c o s)(
221
由拉氏方程,0)(
0)(
LL
dt
d
x
L
x
L
dt
d
并化简得：
0s i n cos
0s i ncos)( 22221
glx
kxlmlmxmm
32
0s i n co s
0s i nco s)( 22221
glx
kxlmlmxmm
系统的运动微分方程。
0
0)( 22221
glx
kxlmlmxmm
上式为系统在平衡位置 (x =0,? =0)附近微幅运动的微分方程。
若系统在平衡位置附近作微幅运动，此时? <<1o,
cos? 1,sin，略去二阶以上无穷小量，则
33
§ 11-3 拉格朗日方程的积分对于保守系统，可以得到拉格朗日方程的某些统一形式的首次积分，从而使得保守系统动力学问题的求解过程进一步简化。
保守系统拉格朗日方程的首次积分包括：能量积分、循环积分。
一、能量积分设系统所受的主动力是有势力，且拉格朗日函数 L = T - U
中不显含 t,则
34
j
j
k
j j
j
k
j j
j
k
j j
j
k
j j
q
q
L
q
L
dt
d
q
q
L
dt
d
q
q
L
q
q
L
dt
dL
)()(
11
11
0)(
1
LqqLdtd jk
j j
)(
1
常数CLqqL jk
j j
广义能量积分。
保守系统的拉格朗日函数不显含时间 t 时，保守系统的 广义能量守恒 。可以证明，当系统约束为定常时，上式为
0
35
系统的广义能量积分式就是系统的机械能守恒方程式。
)( )(2
1
常数CUTUTTLqq L jk
j j
二、循环积分如果拉格朗日函数 L中不显含某一广义坐标 qr,则该坐标称为保守系统的 循环坐标或可遗坐标 。
当 为系统的循环坐标时，必有)( krq r?
0
rq
L
于是拉氏方程成为
0)(
rr q
LqLdtd?
36
)( )( krCqL
r
常数?
积分得,循环积分因 L = T - V，而 V中不显含,故上式可写成
)( )( 常数CPqTVTqqL r
rrr
rq?
Pr称为广义动量，因此循环积分也可称为系统的广义动量积分。
保守系统对应于循环坐标的广义动量守恒。
一个系统的能量积分只可能有一个；而循环积分可能不止一个，有几个循环坐标，便有几个相应的循环积分。
能量积分和循环积分都是由保守系统拉格朗日方程积分一次得到的，它们都是比拉格朗日方程低一阶的微分方程。
37
[例 3] 楔形体重 P，斜面倾角?，置于光滑水平面上。均质圆柱体重 Q，半径为 r,在楔形体的斜面上只滚不滑。初始系统静止，且圆柱体位于斜面最高点。试求,(1)系统的运动微分方程； (2)楔形体的加速度； (3)系统的能量积分与循环积分。解,研究楔形体与圆柱体组成的系统。系统受理想、完整、
定常约束，具有两个自由度。
取广义坐标为 x,s ；各坐标原点均在初始位置。
38
系统的动能,
)( c o s
4
3
2
1
)(
2
1
2
1)c o s2(
2
1
2
1
22
22222
asx
g
Q
s
g
Q
x
g
QP
r
sr
g
Q
sxsx
g
Q
x
g
PT
系统的势能,
取水平面为重力势能零点。
)( )c oss i n(31 brshQPhV
拉格朗日函数：
)( )co ss i n
3
1 co s
4
3
2
1 22 crsQ ( hPhsx
g
Qs
g
Qx
g
QP
VTL
39
代入保守系统拉氏方程，并适当化简，得到系统的运动微分方程。
s i n2co s23
0co s)(
gxs
sQxQP
（ d）
解得楔形体的加速度为
gQQP Qx 2s in23 2s in
拉格朗日函数 L中不显含 t,故系统存在能量积分。
40
1
22 )co ss i n(
3
1
co s
4
3
2
1
CrshQPhsx
g
Q
s
g
Q
x
g
QP
Lq
q
L
j
j
当 t =0时，,x = s = 0,代入上式中，得0 sx
)c o s(311?rhQPhC
)( 0s i nc o s4321 22 f sQ sxgQs gQxg QP
41
由于拉格朗日函数 L中不显含广义坐标 x，故 x 为系统循环坐标，故有循环积分：
2c o s Csg
Qx
g
QP
x
T
x
LP
x
t = 0时,故上式中 C2 = 0,可得0 sx
)( 0c o s)( gsQxQP
（ f ),( g ) 式即为系统的能量积分和循环积分。 ( f ) 式实际上是系统的机械能守恒方程。 ( g )式实质上是系统的动量在 x方向守恒。
42
结论与讨论
达朗贝尔原理、虚位移原理与拉格朗日方程
43
达朗贝尔原理在形式上将质点系动力学问题化为静力学平衡问题。
虚位移原理给出了质点系平衡的充分与必要条件。
通过达朗贝尔原理可以将虚位移原理推广应用于质点系的动力学问题，得到达朗贝尔－
拉格朗日方程，即第一类拉格朗日方程，又称为动力学普遍方程，用于求解具有理想约束的非自由质点系的动力学第二类问题，即已知主动力求运动。
结论与讨论
44
第一类拉格朗日方程，即达朗贝尔－拉格朗日方程，又称为动力学普遍方程。
( F a ) δ r 0 ( 1,2,,)i i i i
i
m i n
达朗贝尔－拉格朗日方程适用于具有理想约束或双面约束的系统。
达朗贝尔－拉格朗日方程既适用于具有定常约束的系统，也适用于具有非定常约束的系统。
达朗贝尔－拉格朗日方程既适用于具有完整约束的系统，也适用于具有非完整约束的系统。
达朗贝尔－拉格朗日方程既适用于具有有势力的系统，也适用于具有无势力的系统。
结论与讨论
45
第二类拉格朗日方程：仅用动能、势能以及广义主动力等少数几个标量便可描述复杂质点系的运动。但只能用于具有完整约束的系统。
基本形式主动力有势形式结论与讨论
( ) ( 1,2,,)k
kk
d T T Q k N
d t q q
( ) 0 ( 1,2,,)
kk
d L L kN
d t q q
46
结论与讨论
（ 1）循环积分（广义动量守恒）
（ 2）能量积分（广义能量守恒）
j
jj
j
LT
p c o n s t
p
广 义 动 量
T V E
47
