静电场中的导体和电介质一、基本内容
1 导体静电感应
（ 3）导体是等势体；
（ 4）导体电荷分布在外表面，孤立导体的电荷面密度沿表面分布与各处曲率有关。
（ 1）导体内部电场强度为零；
)0( 0 EEE
（ 2）导体表面电场强度垂直导体表面；
neE
0?
电荷面密度）该点附近处导体表面的(
2 电容和电容器
（ 2）计算方法及几种典型电容器的电容
（ 1）定义
U
QC?
平板电容器
d
sC
d
sC r 00
同心球形电容器
AB
BAr
RR
RRC
04
同轴圆柱形电容器
A
B
r
R
R
l
C
ln
2 0
（ 3）电容器串，并联及其特性。
3 静电场中的电介质
（ 1）电介质的极化现象 ),(
V
pP
（ 2）电介质中的电场强度 )( 0 EEE
（ 3）基本规律
EExP
QQ
P
r
rr
00
00
)1(
)
1
1(,)
1
1(
4 静电场的能量
i
r
QsdD
EDEPD
0
00
（ 1）
EDEww d vW 2121,2
（ 2）电容器能量
2
2
2
1
2
1
2
1 CUQU
C
QW
1 掌握导体静电平衡条件及性质，并会用于分析实际问题
2 正确计算有电介质和导体存在时的电场，理解有介质时的高斯定理
4 掌握电容器的各类问题计算
3 了解电介质极化机理，理解之间的关系 DEP
,,,
5 理解静电场能量的计算二、基本要求三 讨论
1 图示一均匀带电 半径 的导体球，在导体内部一 点,球表面附近一点 的电场强度为多少？若移来一导体,则此时 的电场强度又为多大？
q?
R
A B
BA,
Q?
由静电平衡知
2
00 4
0
R
Q
E
E
B
A
B
Q?
Ao
引入带电体,由静电平衡
0
0
B
A
E
E
q
B
Q?
Ao q
2 在一半径为 的导体球外，有一电量为的点电荷,与球心距离为,求导体球的电势为多少？（应用导体静电平衡条件和性质进行分析）。
R q?
q )( Rrr?且今计算球心 处的电势（即为导体球电势）o
由静电感应知，导体球总带电代数和为零 。电荷分布在导体球表面，导体为一等势体。
0iq
r
q
R
q
R
q
r
q
VV
0
00
0
0
4
44
4
球
o
R
q?
r
'q? 'q?
四 计算
1,一平行板电容器,两板间充满各向同性均匀电介质,已知相对介电常量为,若极板上的自由电荷面密度为,则介质中电位移的大小 D=,电场强度的大小 E=,
r?
)/( 0 r
2,面积为 的平板电容器，两极板距离为
，在电容器中插入了相对电容率为,厚为 的电介质，求电容器的电容。
s d
r?
d?
d d?
r?
解：按计算电容的一般方法，先设电容器一极板带电为,则由高斯定理可求得空气和电介质中的电场强度分别为,
Q
s
QE
s
QE
r 00
0,
两极板间电势差
)(
)(
0
0
r
AB
d
dd
s
Q
dEddEU
由电容定义
)1(
0
rr
r
AB dd
s
U
QC
3 计算电量为,半径为 的均匀分布带电球体的静电场能量。
Q R
解,当电荷均匀分布在球体内时，球内外均存在电场，其电场强度为
)0(
4 301
Rr
R
QrE
)(
4 202
Rr
r
Q
E
所以电场能量
R
R
R
R
dVEdVE
dVwdVwW
2
20
2
10
0
2
0
1
2
1
2
1
如何取?dV
R
Q
R
Q
R
Q
drr
r
Q
drr
R
Qr
W
R
R
0
2
0
2
0
2
22
2
0
0
22
3
0
0
0
20
3
840
4)
4
(
2
1
4)
4
(
2
1
4,和 两空气电容器串联以后接电源充电,在电源保持联接的情况下,在 中插入一电介质板,则板的电荷 ;
板的电荷,
1C 2C
2C
2C
1C
增加增加
1c
2c
插入一电介质板前插入一电介质板后
21 C
Q
C
Q
'
''
21 C
Q
C
Q
所以
1
'
'
'
'
'
'
11
11
'/
/
21
2
2
12
21
21
2
2
21
21
CC
C
C
CC
CC
CC
C
C
CC
CC
Q
Q
QQ '
22 ' CC
5,图示且,求将电荷 从 沿半圆 移到点电场力做功,
cqcq Dc 88 100.3,100.3
mDBADAC 2100.4
cq 80 100.2 A AB B
A
Dq0qcq?
C D B
6,设有一电荷面密度为 的均匀带电大平面，在它附近平行地放置一块原来不带电，有一定厚度的金属板，不计边缘效应,（ 1）求此金属板两面的电荷分布；（ 2）
把金属板接地，金属板两面的电荷又将如何分布？
解题分析 在带电体旁的导体会感应带电，
感应电荷的分布应满足静电平衡条件，同时，
电荷总量应守恒，由此可确定题的解答,
0 ( 0)
解,不计边缘效应，则金属板两相对表面均匀带电，设其上的电荷面密度分别为和,如图 1所示,因金属板原来不带电，
由电荷守恒定律有
①
设 P点为厚板内任意一点，
根据场强叠加原理及导体的静电平衡条件，可得 P点的场强应满足
②
1?
2?
12 0
0222
0
2
0
1
0
0
PE
σ0 σ1 σ2
图 1
P
E1
E0
E2
由①,②两式可解得
（ 2）把金属板接地后，板与地成为一个导体,达到静电平衡后两者的电势必须相等，
因而金属板右表面不能带电,可以反证如下：
设板的右表面带电，则必有电场线从金属板的正电荷发出终止于地面（或由地面发出终止于金属板的负电荷），这样，板与地之间一定存在电势差，这与静电平衡时导体的性质相矛盾，因而不可能,
2,2
0
2
0
1
设接地后，板的左表面的电荷面密度为,
按与 (1)中相同的解法，根据电场强度叠加原理和导体静电平衡条件，求得金属板内任一点处的电场强度满足
，因此,
即金属板接地后不仅 (1)中板右表面的正电荷被来自地面的负电荷中和，而且板的左表面的负电荷也增加了一倍，这时电场全部集中在带电平面与金属板之间,如图 2所示,
0
22 00
0
0
图 2
σ0 σ= -σ0
7,一电容器的两个金属极板都是矩形大平板，
平板的两相邻边长分别为 a,b，两平板之间有一微小的角度 θ,近端距离为 h，如图所示,求此电容器的电容,
h θ
a
dxx
b
解题分析 此电容器为非典型电容器，可将平板分成为若干细条，每对细条构成一微平板电容器，各微电容器的电容并联便是整个电容器的电容,
解,在平板上取与近端相距 x，宽度为 dx的细条，上下一对细条构成的微电容器可看成平板电容器，故其电容
xh
xbC
dd 0
由电容器并联的等效电容公式，得题设电容器的电容为
}1ln (dd 00 0 habxh xbCC aC
当 θ 很小时，,有1
h
a?
)
2
1(
])(
2
1
[
0
20
h
a
h
ab
h
a
h
ab
C
8,已知大气电场方向沿地球半径指向地心，测定地球表面的平均场强为 V/m； 距离地面 1400m处的平均场强为 V/m.试求地球所带电量及该厚度的大气层内平均电荷密度,
1501?E
202?E
解题分析 本题是已知电场强度的分布求一定区域的电荷电荷分布,应用高斯定理容易求解,
解,包围地球表面作高斯面，因场强方向与高斯面的外法线方向相反，电通量为负，因此，由高斯定理有
C108.6
)104.6π(41 5 01085.8
π4d
5
2612
2
11001
1
REQ S SE
同理，在离地面 1400m处作与地球同心的球面，
由高斯定理有,式中,
而 正是该大气层所带电荷总量,因为,有
22202 π4 REQ hRR 12
)（ 12 QQ?
1Rh
)(π4π4 122102112 EERhRQQ
故平均电荷密度为
121212
0 108.01 4 0 0
1 5 0201085.8
h
EE C/m3,
1 导体静电感应
（ 3）导体是等势体；
（ 4）导体电荷分布在外表面，孤立导体的电荷面密度沿表面分布与各处曲率有关。
（ 1）导体内部电场强度为零；
)0( 0 EEE
（ 2）导体表面电场强度垂直导体表面；
neE
0?
电荷面密度）该点附近处导体表面的(
2 电容和电容器
（ 2）计算方法及几种典型电容器的电容
（ 1）定义
U
QC?
平板电容器
d
sC
d
sC r 00
同心球形电容器
AB
BAr
RR
RRC
04
同轴圆柱形电容器
A
B
r
R
R
l
C
ln
2 0
（ 3）电容器串，并联及其特性。
3 静电场中的电介质
（ 1）电介质的极化现象 ),(
V
pP
（ 2）电介质中的电场强度 )( 0 EEE
（ 3）基本规律
EExP
P
r
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00
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1
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（ 1）
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（ 2）电容器能量
2
2
2
1
2
1
2
1 CUQU
C
QW
1 掌握导体静电平衡条件及性质，并会用于分析实际问题
2 正确计算有电介质和导体存在时的电场，理解有介质时的高斯定理
4 掌握电容器的各类问题计算
3 了解电介质极化机理，理解之间的关系 DEP
,,,
5 理解静电场能量的计算二、基本要求三 讨论
1 图示一均匀带电 半径 的导体球，在导体内部一 点,球表面附近一点 的电场强度为多少？若移来一导体,则此时 的电场强度又为多大？
q?
R
A B
BA,
Q?
由静电平衡知
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0
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引入带电体,由静电平衡
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2 在一半径为 的导体球外，有一电量为的点电荷,与球心距离为,求导体球的电势为多少？（应用导体静电平衡条件和性质进行分析）。
R q?
q )( Rrr?且今计算球心 处的电势（即为导体球电势）o
由静电感应知，导体球总带电代数和为零 。电荷分布在导体球表面，导体为一等势体。
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0
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四 计算
1,一平行板电容器,两板间充满各向同性均匀电介质,已知相对介电常量为,若极板上的自由电荷面密度为,则介质中电位移的大小 D=,电场强度的大小 E=,
r?
)/( 0 r
2,面积为 的平板电容器，两极板距离为
，在电容器中插入了相对电容率为,厚为 的电介质，求电容器的电容。
s d
r?
d?
d d?
r?
解：按计算电容的一般方法，先设电容器一极板带电为,则由高斯定理可求得空气和电介质中的电场强度分别为,
Q
s
QE
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QE
r 00
0,
两极板间电势差
)(
)(
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r
AB
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由电容定义
)1(
0
rr
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U
QC
3 计算电量为,半径为 的均匀分布带电球体的静电场能量。
Q R
解,当电荷均匀分布在球体内时，球内外均存在电场，其电场强度为
)0(
4 301
Rr
R
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)(
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Rr
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所以电场能量
R
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1
4,和 两空气电容器串联以后接电源充电,在电源保持联接的情况下,在 中插入一电介质板,则板的电荷 ;
板的电荷,
1C 2C
2C
2C
1C
增加增加
1c
2c
插入一电介质板前插入一电介质板后
21 C
Q
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''
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所以
1
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Q
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QQ '
22 ' CC
5,图示且,求将电荷 从 沿半圆 移到点电场力做功,
cqcq Dc 88 100.3,100.3
mDBADAC 2100.4
cq 80 100.2 A AB B
A
Dq0qcq?
C D B
6,设有一电荷面密度为 的均匀带电大平面，在它附近平行地放置一块原来不带电，有一定厚度的金属板，不计边缘效应,（ 1）求此金属板两面的电荷分布；（ 2）
把金属板接地，金属板两面的电荷又将如何分布？
解题分析 在带电体旁的导体会感应带电，
感应电荷的分布应满足静电平衡条件，同时，
电荷总量应守恒，由此可确定题的解答,
0 ( 0)
解,不计边缘效应，则金属板两相对表面均匀带电，设其上的电荷面密度分别为和,如图 1所示,因金属板原来不带电，
由电荷守恒定律有
①
设 P点为厚板内任意一点，
根据场强叠加原理及导体的静电平衡条件，可得 P点的场强应满足
②
1?
2?
12 0
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0
2
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PE
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图 1
P
E1
E0
E2
由①,②两式可解得
（ 2）把金属板接地后，板与地成为一个导体,达到静电平衡后两者的电势必须相等，
因而金属板右表面不能带电,可以反证如下：
设板的右表面带电，则必有电场线从金属板的正电荷发出终止于地面（或由地面发出终止于金属板的负电荷），这样，板与地之间一定存在电势差，这与静电平衡时导体的性质相矛盾，因而不可能,
2,2
0
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0
1
设接地后，板的左表面的电荷面密度为,
按与 (1)中相同的解法，根据电场强度叠加原理和导体静电平衡条件，求得金属板内任一点处的电场强度满足
，因此,
即金属板接地后不仅 (1)中板右表面的正电荷被来自地面的负电荷中和，而且板的左表面的负电荷也增加了一倍，这时电场全部集中在带电平面与金属板之间,如图 2所示,
0
22 00
0
0
图 2
σ0 σ= -σ0
7,一电容器的两个金属极板都是矩形大平板，
平板的两相邻边长分别为 a,b，两平板之间有一微小的角度 θ,近端距离为 h，如图所示,求此电容器的电容,
h θ
a
dxx
b
解题分析 此电容器为非典型电容器，可将平板分成为若干细条，每对细条构成一微平板电容器，各微电容器的电容并联便是整个电容器的电容,
解,在平板上取与近端相距 x，宽度为 dx的细条，上下一对细条构成的微电容器可看成平板电容器，故其电容
xh
xbC
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由电容器并联的等效电容公式，得题设电容器的电容为
}1ln (dd 00 0 habxh xbCC aC
当 θ 很小时，,有1
h
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2
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2
1
[
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C
8,已知大气电场方向沿地球半径指向地心，测定地球表面的平均场强为 V/m； 距离地面 1400m处的平均场强为 V/m.试求地球所带电量及该厚度的大气层内平均电荷密度,
1501?E
202?E
解题分析 本题是已知电场强度的分布求一定区域的电荷电荷分布,应用高斯定理容易求解,
解,包围地球表面作高斯面，因场强方向与高斯面的外法线方向相反，电通量为负，因此，由高斯定理有
C108.6
)104.6π(41 5 01085.8
π4d
5
2612
2
11001
1
REQ S SE
同理，在离地面 1400m处作与地球同心的球面，
由高斯定理有,式中,
而 正是该大气层所带电荷总量,因为,有
22202 π4 REQ hRR 12
)（ 12 QQ?
1Rh
)(π4π4 122102112 EERhRQQ
故平均电荷密度为
121212
0 108.01 4 0 0
1 5 0201085.8
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EE C/m3,
