第十二章电 磁 感 应
1、实验演示电磁感应现象及其基本定律一、
（ 1）电磁感应现象
（ 2）发电机现象小结：
2、电磁感应现象穿过一个闭合导体回路所包围面积的磁通量发生变化时，
回路中就有电流的现象。
（感应电流、感应电动势）
3、电磁感应定律磁通量发生变化是引起电磁感应的必要条件。
关键：
dt
d
i
dt
d
dt
d
Ni
或
N （磁链）
回路中感应电动势正比于磁通量对时间的变化率的负值。
式中,-”号表示了感应电动势的方向，具体方法如下：
（ 1）任选一绕行方向为闭合回路的正方向，
由右手法则，定出回路平面单位法向矢量
ne
（ 2）确定穿过回路的通量 及其?
dt
d?
ne?
i
i
N S
（ 3）由 确定 的正负
dt
d
i
i?
（ 4）若,则 的方向与绕若,则 的方向与绕行方向相反
0?i?
i?
i?
0?i?
行方向一致
4、楞次定律确定感应电流的方法闭合回路中感应电流方向总是使它所激发的磁场抵偿（反抗）引起感应电流的磁通量的变化。 ne?
i
i
N S
讨论
（ 1）由楞次定律和右手法则可判断感应电流的方向
（ 2）定律中,抵偿,,反抗,,补偿,而不是抵消（ 3）楞次定律是能量守恒定律的一种表现
5、感应电流、感应电量
dt
d
R
I i 1
2111 2
1
2
1
R
d
R
I d tq
t
t
)(
dt
dqI?
讨论磁通量的计算式为便于区分和研究
（ 1）动生电动势：由于导体或导体回路在稳定磁场中运动引起的
c o sB d ssdB
磁通量发生变化，引起感应电动势的原因是多种（ ）?,,SB
（ 2）感生电动势：导体或导体回路不动，
由于磁感应强度变化引起的二、动生电动势
1、洛仑兹力是产生动生电动势的非静电力导线长,在均匀磁场 中，以 运动，且 （图示），则导线中电子受力
lop? B v?
Bv
(方向图示 )
BveF m
Bv
e
FE m
k
(方向图示 )
v?
mF
kE
i?在该非静电力作用下，
导线两端积累正、负电荷，
在稳定时的非静电场
)( qFE kk
B?
v?
p
o
2、动生电动势的计算由电动势定义得
ldBvldE p
oop ki
由已知条件得 (方向图示 )v B ldlvBl
oi
ldBvi
方向：楞次定律； 等Bv
dtdi 方向：楞次定律动生电动势的表达式（ 1）
电磁感应定律（ 2）
B?
v?
i?
i?
p
o
解：设 时，线圈平面法线的 与 相同，当 时刻时 与夹角为
0?t
ne
B?
t ne? B?
t
tN B SN B SN c o sc o s
tN B S
dt
d
i s in?
例题 1,均匀磁场中，一面积为 的 匝线圈绕 轴以角速度 匀速转动。求线圈中感应电动势
S N oo?
o
o?
ne
B?
讨论
（ 1）交流发电机的原理
（ 2）本题同样可以用动生电动势表达式计算，显然较为复杂写成 t
mi s in NB Sm?
例题 2、长为 的铜棒在均匀磁场 中，以角速度 绕一端转动，求感应电动势
L
B
p
L
o
B
p
l
dl
o
B
解：在棒上取一段线元,
离 端距离为,则其速度为所以线元的电动势
dl
o l
lv?
v B d lldBvd i
2
00 2
1 LBld lBdlvB LL
i
电动势方向由 指向,
即
o p
op VV? 讨论：本题同样可以用电磁感应定律 求得
dtdi
例题 3、图示，金属杆长,与长直载流（电流为 ）导线位于同一平面，金属杆以匀速率运动，求杆中的感应电动势
l
I
v
解：取图示坐标,在杆上取元线段,其离导线距为,则 上的动生电动势
ox
dx
x dx
dxvBldBvd xi
a
lavIdx
x
Ivd la
aii
ln
22
00
电动势方向：沿着 轴方向，即x?
CD VV?
dx
v
I
xxo
a
Dc
v?F?
R
N
M
B?
例题 4、图示导线框平面与 垂直，质量为,长为 的导线棒 。在 时，以 运动，
求棒的速率与时间的函数关系
B?
m l
MN 0?t
0v
解：当棒以速度 运动时，
棒上的动生电动势为方向由 指向,线框电流
v?
lv Bi
M N
R
B lv
R
I i
棒上作用的安培力。
。由安培定律得方向图示R vlBIB lF 22
由牛顿第二定律得
dt
dv
m
R
vlB
22
dt
mR
lB
v
dv tv
v
0
22
0
t
mR
lB
v
v 22
0
ln
t
mR
lB
evv
22
0
v?F?
R
N
M
B?
三、感生电动势
1、麦克斯韦假设注：
（ 1）感生电场提供感生电动势的非静电力的原因 — 变化磁场变化磁场非静电力变化磁场在其周围激发非静电场 （感生电场或涡旋电场）
kE
感生电场
kE
感生电动势
i?
（ 2）静电场与感生电场比较静电荷静电场电场线不闭合变化磁场感生电场电场线闭合非保守场（涡旋场）保守场
（非静电场）
2、感生电动势的计算
（ 1）感生电动势的表达式
s
ki sdBdt
d
ldE?
或写成
ss
i sdt
B
sdB
t
（ 2）电磁感应定律
dt
d
i
例题 1、长直载流导线与矩形线框置于同一平面（图示）当载流导线通以电流 时，
求矩形框中感应电动势的大小
tII?c o s0?
dxI
xxo
a
2l
1l
ds
t
B
sd
t
B
ss
i
在图示 处的dxlds
2?
x
IB
2
0?
解：取图示坐标轴由感生电动势表达式得
ox
dxl
xt
Ila
ai 2
0
2
1
a
lal
t
I 120
ln
2
t
a
lalI
s inln
2
1200?
a
laIldxl
x
IsdB la
a
120
2
0 ln
22
1
讨论,本题同样可用电磁感应定律求得，即当导线中电流为 时 dt
d
i
I
a
laIl
dt
d
dt
d
i
120 ln
2?
t
a
lalI?
s inln
2
1200?
例题 2、半径为,高为 的铝圆盘，其电导率为 。置于磁场 中，磁场方向垂直盘面，
若 为一常数，
r h
B?
kdtdB?
求盘内的感应电流
B?
hr
R dr
解：在圆盘中取一半径为,宽为,高为 的细圆环，则圆环中感生电动势
r
dr h
s
ki sddt
Bd
ldE
电动势大小为 2rkds
dt
dB
s
i
圆环的电阻为 hdr rdR 21 slR?1
圆环中电流
r drkhdI
2
B?
hr
R dr
四、自感与互感
1、自感电动势、自感自感现象：当一个回路中电流发生变化时，在自身回路中，磁通量发生变化，从而引起感应电动势的现象（自感电动势）
所以，圆盘中电流为电流沿逆时针流动
hRkr d rkhdII
R 2
0 4
1
2
磁场 变化的原因是多方面的，最常见的产生磁场 的电流 的变化所引起
B?
B? I
（ 1）自感电动势的计算设回路中通有电流,则穿过自身回路面积的磁通量写成
I
I
LI
-自感：与回路形状、大小、匝数和周围介质的磁导率有关（与电流无关）
L
所以自感电动势
dt
dIL
dt
d
L
（ 2）自感的计算
dt
dI
L
I
L L
,
具体方法设回路通以电流 I
计算B? 由式得
IL
设回路通以电流 I
当电流变化时计算
L?
由式得
dt
dI
L L
其穿过螺线管的磁通量为例题 1、一长密绕直螺线管，长为,横截面为,线圈总匝数,管中介质磁导率,求其自感
l s
N?
解：设螺线管通以电流,则管内I
I
l
NnIB
Is
l
NNN B sN
Vns
l
N
I
NL 22
例题 2、图示两同轴圆筒形导体，
长为,其半径分别为 和,
通过它们的电流均为,但相反流动，若两筒间充满磁导率为 的磁介质，
求其自感
l 1R 2R
I
1R2R
I I
r
dr
解：两圆筒间
r
IB
2
通过两筒间一长为,
宽为 的面积元的磁通量
l
dr
B ld rsdBd
通过两圆筒之间的磁通量
2、互感电动势，互感互感现象：两个邻近的载流线圈 1和 2，
当其中一个线圈中电流发生变化时，在另一个线圈中引起感应电动势的现象（互感电动势）
ld r
r
IB ld rd R
R
R
R
2
1
2
1 2?
1
2ln
2 R
RIl
自感为
1
2ln
2 R
Rl
I
L
（ 1）互感电动势的计算
121 I 12121 IM
同样,在 1线圈中的磁通量
2I
212 I 21212 IM
式中 和 称为互感，与两个线圈的形状、大小、匝数、相对位置和周围磁介质有关，且 。当线圈中电流变化时
21M 12M
MMM 1221
dt
dIM
dt
d 121
21
dt
dIM
dt
d 212
12
设线圈 1和 2通以电流 和,
在线圈 2中的磁通量
1I 2I
1I
1I 2I
1 2
（ 2）互感的计算通过大螺线管的磁通量为例题 1、两同轴长直密绕螺线管，长均为,半径分别为和,匝数分别为 和,计算它们的互感
（设中间为真空）
l 1r
2r 2N
1N
解：设在小螺线管中通以电流,则其在管内磁场 1
I
1101
1
01 InIl
NB
21121021110211221 rlInnrInNsBN
1N
2N
21210
1
21
21 rlnnIM
同样可以设在 螺线管中通以电流,其在管内磁场
2N
2I 2202 InB
通过 螺线管的磁通量为
1N
21220112112 rInNsBN
21210
2
12
12 rlnnIM
2112 MM
21121021110211221 rlInnrInNsBN
1N
2N
其穿过线圈的磁通量 o dx xx
d l
b
例题 2、磁导率为 的无限大磁介质中，有一无限长直导线，
与一宽长分别为 和 的矩形线圈在同一平面内（图示）求它们的互感
b l
解：设在长直导线上通以电流,则其磁场（取图示坐标 ）
I
ox
x
IB
2
d
bdIlld x
x
IsdB bd
d
ln
22?
讨论 d
bdl
I
M ln
2?
0?M
因为由无限长载流直导线所激发磁场的对称性，以及闭合回路以直导线为对称，则通过闭合回路磁通量为零，所以 0?M
（ 2）由于,因此计算它们的互感时，要选择最简便的途径
MMM 2112
（ 1）图示情况下的互感为多少？
五、磁场的能量磁场与电场一样，都具有能量场建立过程中，外界作功转化为场的能量静电场：外力克服静电场力作功转化为静电场的能量磁场：电源克服感应电动势所作的功转化为磁场的能量
1、磁场的能量考察具有一个线圈的电路（如图）；自
RI
dt
dIL由感 电阻 和电源,接通电源：
电流,线圈中磁场逐渐建立
R?
II?0：
L
两边乘以 Idt
dtRIL I d II d t 2
tt
dtRILII d t
0
22
0 2
1?
其中电源反抗自感电动势所作的功
2
2
1 LIA?
即自感线圈的磁场能量
2
2
1 LIW
m?
L
R
注：该式从特例中导出，但普遍适用于各类磁场若自感线圈是一体积为 的长直螺线管。则有
V
VnL 2 nIB
和代入上式得
V
B
n
B
VnLIw m
22
22
2
1
2
1
2
1
得单位体积磁场的能量 -磁场能量密度
2
2
2
1
2
1
2
1
HBH
B
w m?
2、磁场能量的计算解：由安培环路定理可求得两圆筒之间
（ 1）
（ -电场能量）
dVwW mm
dVwW ee
（ 2）自感线圈 （电容器 ）
2
2
1 LIW
m? C
QW
e
2
2
1?
例题、同轴电缆磁场能的计算。
已知内外半径分别为 和,分布在两圆筒导体表面的电流大小相等、方向相反，筒间充满磁导率为 的磁介质
1R 2R
的磁场
r
IH
2
r
I
B
2
1R2R
I I
r
dr
l
可见圆筒中的磁场不均匀，
在圆筒中取一高为,半径为,宽为 的薄圆筒形体积
drr
l
ldrrdV2
磁场计算式得
V Vmm dVHdVwW 22
1
V
mm dVwW
)21( 2Hw m
V
R
R r
r d rlIdV
r
I 2
1
22
2
22
2 2
8
1
8
1
2
22
ln
44
2
1 R
RlI
r
drlI R
R?
单位长度磁场
1
2
2
2
ln
4 R
RI
W m
讨论
（ 1）能量法计算自感因为
2
2
1 LIW
m?
1
2
2 ln2
2
R
Rl
I
W
L m
（与前计算结果相同！）
由上知
2
14
2 R
Rm r
drlIW
将 代入
1R
r
k
12
1
2
1
2
1
2
4
44
2
1
2
1
RR
R
lkI
dr
R
lkI
r
dr
R
r
k
lI
W
R
R
R
R
m
（ 2）若两圆筒中的磁介质不均匀，则其磁能为多少？
)(
1R
rk
六、位移电流对称性问题的提出既然变化的磁场能产生电场，
那么变化的电场会不会产生磁场呢？
已知稳恒电流的磁场中有
1、位移电流
s
L
sdjIldH?
式中 是穿过以闭合曲线 为边界的任意曲面 的传导电流
I
s
L
对非稳定电流情况下（以电容器充电为例）又如何？
传导电流不连续，在电容器极板间中断，
安培环路定理不再成立！
在电容器极板附近取一闭合回路,并以 为边界作两个曲面 和,
（图示）则有
L L 1s 2s
1s
对
IldH
L
对
2s 0
L
ldH
1s
2s
I I
L
请观察电容器极板间的电场变化情况 有D
电位移通量 DS
D
可见
S
dt
dS
dt
dD
dt
d D I
dt
dq?
CI CI
DE
DE
若设位移电流位移电流密度
dt
dI D
d
dt
Ddj
d
)( SIj
CI C
I
则电容器中保持了电流的连续性！
位移电流方向的讨论：见图！
CI C
I
dt
Dd?
dt
Dd?
2、麦克斯韦的位移电流假设
（ 2）变化的电场等效的也是一种“电流”，也产生磁场
（ 1）电场中某一点位移电流密度 等于该点电位移矢量对时间的变化率；通过电场中某一截面位移电流 等于通过该截面电位移通量 对时间变化率，即
Dj
dI D?
dt
dI
t
Dj D
dd
,
结论：变化电场激发磁场
3、全电流定律所以安培环路定理推广为
— 全电流
dCS III
一般来说，电路中同时存在和 CI
dI
dt
d
IIldH DCS
L
或
Sd
t
D
jldH
S C
全电路安培环路定理：沿任意闭合回路的环流等于此闭合回路所包围的全电流
H?
关于位移电流的几点说明
（ 1）位移电流指电位移通量的变化率，与传导电流有本质的区别
（ 2）位移电流不仅在电介质中，导体中，
甚至在真空中都可产生
（ 3）传导电流和位移电流在激发磁场方面是等效的，因此都称为电流
（ 4）位移电流与微波炉的工作原理
pED 0?
t
p
t
E
t
Dj
d?
0?
解,（ 1）两极板间位移电流例题,半径 的圆形平板空气电容器，对电容器充电，
使极板上电荷随时间变化率，
即充电传导电流
cmR 0.3?
AdtdqI C 5.2
求（ 1）两极板间 （ 2）两极板间距轴 的点 处磁感强度d
I
cmr 0.2? p
AI
dt
dqS
dt
d
dt
dI
C
D
d 5.2
（ 2）电容器中无传导电流，则
p
L
R
CI CIr
dIldH
由磁场的对称性，作半径为的圆形回路，则
r
rHldH?2
而
d
d
d IR
rr
R
II
2
2
2
2
dd IR
rI
R
r
r
HB 202
2
0
0 22?
T51011.1
由安培环路定理得 H
p
L
R
CI CIr
七、麦克斯韦电磁场方程的积分形式
1、目标把电磁场的规律综合起来，从而系统完整地描述电磁场的普遍规律
2、静电场 稳恒磁场 的规律
CS
L
IsdjldH
qdVsdD
V
S
0
L
ldE
0
S
sdB
3、麦克斯韦电磁场方程组积分形式综合变化电磁场的规律得到
S
L
sd
t
D
jldH?
)( CS
L
IsdjldH
qdVsdD
V
S
)( qdVsdD
VS
SL sdtBldE?
)0(L ldE
0 S sdB )0(
S sdB
4、说明
（ 1）形式上相同的表达式，其意义上截然不同（适用一般电磁场）
（ 2）反映了电磁场是一个整体
（ 3）方程组简洁、全面、完整的反映了电磁场的基本规律和性质
“只有上帝才能创造出这样完美的诗句！”
[电磁感应现象的应用 ]
1、实验演示电磁感应现象及其基本定律一、
（ 1）电磁感应现象
（ 2）发电机现象小结：
2、电磁感应现象穿过一个闭合导体回路所包围面积的磁通量发生变化时，
回路中就有电流的现象。
（感应电流、感应电动势）
3、电磁感应定律磁通量发生变化是引起电磁感应的必要条件。
关键：
dt
d
i
dt
d
dt
d
Ni
或
N （磁链）
回路中感应电动势正比于磁通量对时间的变化率的负值。
式中,-”号表示了感应电动势的方向，具体方法如下：
（ 1）任选一绕行方向为闭合回路的正方向，
由右手法则，定出回路平面单位法向矢量
ne
（ 2）确定穿过回路的通量 及其?
dt
d?
ne?
i
i
N S
（ 3）由 确定 的正负
dt
d
i
i?
（ 4）若,则 的方向与绕若,则 的方向与绕行方向相反
0?i?
i?
i?
0?i?
行方向一致
4、楞次定律确定感应电流的方法闭合回路中感应电流方向总是使它所激发的磁场抵偿（反抗）引起感应电流的磁通量的变化。 ne?
i
i
N S
讨论
（ 1）由楞次定律和右手法则可判断感应电流的方向
（ 2）定律中,抵偿,,反抗,,补偿,而不是抵消（ 3）楞次定律是能量守恒定律的一种表现
5、感应电流、感应电量
dt
d
R
I i 1
2111 2
1
2
1
R
d
R
I d tq
t
t
)(
dt
dqI?
讨论磁通量的计算式为便于区分和研究
（ 1）动生电动势：由于导体或导体回路在稳定磁场中运动引起的
c o sB d ssdB
磁通量发生变化，引起感应电动势的原因是多种（ ）?,,SB
（ 2）感生电动势：导体或导体回路不动，
由于磁感应强度变化引起的二、动生电动势
1、洛仑兹力是产生动生电动势的非静电力导线长,在均匀磁场 中，以 运动，且 （图示），则导线中电子受力
lop? B v?
Bv
(方向图示 )
BveF m
Bv
e
FE m
k
(方向图示 )
v?
mF
kE
i?在该非静电力作用下，
导线两端积累正、负电荷，
在稳定时的非静电场
)( qFE kk
B?
v?
p
o
2、动生电动势的计算由电动势定义得
ldBvldE p
oop ki
由已知条件得 (方向图示 )v B ldlvBl
oi
ldBvi
方向：楞次定律； 等Bv
dtdi 方向：楞次定律动生电动势的表达式（ 1）
电磁感应定律（ 2）
B?
v?
i?
i?
p
o
解：设 时，线圈平面法线的 与 相同，当 时刻时 与夹角为
0?t
ne
B?
t ne? B?
t
tN B SN B SN c o sc o s
tN B S
dt
d
i s in?
例题 1,均匀磁场中，一面积为 的 匝线圈绕 轴以角速度 匀速转动。求线圈中感应电动势
S N oo?
o
o?
ne
B?
讨论
（ 1）交流发电机的原理
（ 2）本题同样可以用动生电动势表达式计算，显然较为复杂写成 t
mi s in NB Sm?
例题 2、长为 的铜棒在均匀磁场 中，以角速度 绕一端转动，求感应电动势
L
B
p
L
o
B
p
l
dl
o
B
解：在棒上取一段线元,
离 端距离为,则其速度为所以线元的电动势
dl
o l
lv?
v B d lldBvd i
2
00 2
1 LBld lBdlvB LL
i
电动势方向由 指向,
即
o p
op VV? 讨论：本题同样可以用电磁感应定律 求得
dtdi
例题 3、图示，金属杆长,与长直载流（电流为 ）导线位于同一平面，金属杆以匀速率运动，求杆中的感应电动势
l
I
v
解：取图示坐标,在杆上取元线段,其离导线距为,则 上的动生电动势
ox
dx
x dx
dxvBldBvd xi
a
lavIdx
x
Ivd la
aii
ln
22
00
电动势方向：沿着 轴方向，即x?
CD VV?
dx
v
I
xxo
a
Dc
v?F?
R
N
M
B?
例题 4、图示导线框平面与 垂直，质量为,长为 的导线棒 。在 时，以 运动，
求棒的速率与时间的函数关系
B?
m l
MN 0?t
0v
解：当棒以速度 运动时，
棒上的动生电动势为方向由 指向,线框电流
v?
lv Bi
M N
R
B lv
R
I i
棒上作用的安培力。
。由安培定律得方向图示R vlBIB lF 22
由牛顿第二定律得
dt
dv
m
R
vlB
22
dt
mR
lB
v
dv tv
v
0
22
0
t
mR
lB
v
v 22
0
ln
t
mR
lB
evv
22
0
v?F?
R
N
M
B?
三、感生电动势
1、麦克斯韦假设注：
（ 1）感生电场提供感生电动势的非静电力的原因 — 变化磁场变化磁场非静电力变化磁场在其周围激发非静电场 （感生电场或涡旋电场）
kE
感生电场
kE
感生电动势
i?
（ 2）静电场与感生电场比较静电荷静电场电场线不闭合变化磁场感生电场电场线闭合非保守场（涡旋场）保守场
（非静电场）
2、感生电动势的计算
（ 1）感生电动势的表达式
s
ki sdBdt
d
ldE?
或写成
ss
i sdt
B
sdB
t
（ 2）电磁感应定律
dt
d
i
例题 1、长直载流导线与矩形线框置于同一平面（图示）当载流导线通以电流 时，
求矩形框中感应电动势的大小
tII?c o s0?
dxI
xxo
a
2l
1l
ds
t
B
sd
t
B
ss
i
在图示 处的dxlds
2?
x
IB
2
0?
解：取图示坐标轴由感生电动势表达式得
ox
dxl
xt
Ila
ai 2
0
2
1
a
lal
t
I 120
ln
2
t
a
lalI
s inln
2
1200?
a
laIldxl
x
IsdB la
a
120
2
0 ln
22
1
讨论,本题同样可用电磁感应定律求得，即当导线中电流为 时 dt
d
i
I
a
laIl
dt
d
dt
d
i
120 ln
2?
t
a
lalI?
s inln
2
1200?
例题 2、半径为,高为 的铝圆盘，其电导率为 。置于磁场 中，磁场方向垂直盘面，
若 为一常数，
r h
B?
kdtdB?
求盘内的感应电流
B?
hr
R dr
解：在圆盘中取一半径为,宽为,高为 的细圆环，则圆环中感生电动势
r
dr h
s
ki sddt
Bd
ldE
电动势大小为 2rkds
dt
dB
s
i
圆环的电阻为 hdr rdR 21 slR?1
圆环中电流
r drkhdI
2
B?
hr
R dr
四、自感与互感
1、自感电动势、自感自感现象：当一个回路中电流发生变化时，在自身回路中，磁通量发生变化，从而引起感应电动势的现象（自感电动势）
所以，圆盘中电流为电流沿逆时针流动
hRkr d rkhdII
R 2
0 4
1
2
磁场 变化的原因是多方面的，最常见的产生磁场 的电流 的变化所引起
B?
B? I
（ 1）自感电动势的计算设回路中通有电流,则穿过自身回路面积的磁通量写成
I
I
LI
-自感：与回路形状、大小、匝数和周围介质的磁导率有关（与电流无关）
L
所以自感电动势
dt
dIL
dt
d
L
（ 2）自感的计算
dt
dI
L
I
L L
,
具体方法设回路通以电流 I
计算B? 由式得
IL
设回路通以电流 I
当电流变化时计算
L?
由式得
dt
dI
L L
其穿过螺线管的磁通量为例题 1、一长密绕直螺线管，长为,横截面为,线圈总匝数,管中介质磁导率,求其自感
l s
N?
解：设螺线管通以电流,则管内I
I
l
NnIB
Is
l
NNN B sN
Vns
l
N
I
NL 22
例题 2、图示两同轴圆筒形导体，
长为,其半径分别为 和,
通过它们的电流均为,但相反流动，若两筒间充满磁导率为 的磁介质，
求其自感
l 1R 2R
I
1R2R
I I
r
dr
解：两圆筒间
r
IB
2
通过两筒间一长为,
宽为 的面积元的磁通量
l
dr
B ld rsdBd
通过两圆筒之间的磁通量
2、互感电动势，互感互感现象：两个邻近的载流线圈 1和 2，
当其中一个线圈中电流发生变化时，在另一个线圈中引起感应电动势的现象（互感电动势）
ld r
r
IB ld rd R
R
R
R
2
1
2
1 2?
1
2ln
2 R
RIl
自感为
1
2ln
2 R
Rl
I
L
（ 1）互感电动势的计算
121 I 12121 IM
同样,在 1线圈中的磁通量
2I
212 I 21212 IM
式中 和 称为互感，与两个线圈的形状、大小、匝数、相对位置和周围磁介质有关，且 。当线圈中电流变化时
21M 12M
MMM 1221
dt
dIM
dt
d 121
21
dt
dIM
dt
d 212
12
设线圈 1和 2通以电流 和,
在线圈 2中的磁通量
1I 2I
1I
1I 2I
1 2
（ 2）互感的计算通过大螺线管的磁通量为例题 1、两同轴长直密绕螺线管，长均为,半径分别为和,匝数分别为 和,计算它们的互感
（设中间为真空）
l 1r
2r 2N
1N
解：设在小螺线管中通以电流,则其在管内磁场 1
I
1101
1
01 InIl
NB
21121021110211221 rlInnrInNsBN
1N
2N
21210
1
21
21 rlnnIM
同样可以设在 螺线管中通以电流,其在管内磁场
2N
2I 2202 InB
通过 螺线管的磁通量为
1N
21220112112 rInNsBN
21210
2
12
12 rlnnIM
2112 MM
21121021110211221 rlInnrInNsBN
1N
2N
其穿过线圈的磁通量 o dx xx
d l
b
例题 2、磁导率为 的无限大磁介质中，有一无限长直导线，
与一宽长分别为 和 的矩形线圈在同一平面内（图示）求它们的互感
b l
解：设在长直导线上通以电流,则其磁场（取图示坐标 ）
I
ox
x
IB
2
d
bdIlld x
x
IsdB bd
d
ln
22?
讨论 d
bdl
I
M ln
2?
0?M
因为由无限长载流直导线所激发磁场的对称性，以及闭合回路以直导线为对称，则通过闭合回路磁通量为零，所以 0?M
（ 2）由于,因此计算它们的互感时，要选择最简便的途径
MMM 2112
（ 1）图示情况下的互感为多少？
五、磁场的能量磁场与电场一样，都具有能量场建立过程中，外界作功转化为场的能量静电场：外力克服静电场力作功转化为静电场的能量磁场：电源克服感应电动势所作的功转化为磁场的能量
1、磁场的能量考察具有一个线圈的电路（如图）；自
RI
dt
dIL由感 电阻 和电源,接通电源：
电流,线圈中磁场逐渐建立
R?
II?0：
L
两边乘以 Idt
dtRIL I d II d t 2
tt
dtRILII d t
0
22
0 2
1?
其中电源反抗自感电动势所作的功
2
2
1 LIA?
即自感线圈的磁场能量
2
2
1 LIW
m?
L
R
注：该式从特例中导出，但普遍适用于各类磁场若自感线圈是一体积为 的长直螺线管。则有
V
VnL 2 nIB
和代入上式得
V
B
n
B
VnLIw m
22
22
2
1
2
1
2
1
得单位体积磁场的能量 -磁场能量密度
2
2
2
1
2
1
2
1
HBH
B
w m?
2、磁场能量的计算解：由安培环路定理可求得两圆筒之间
（ 1）
（ -电场能量）
dVwW mm
dVwW ee
（ 2）自感线圈 （电容器 ）
2
2
1 LIW
m? C
QW
e
2
2
1?
例题、同轴电缆磁场能的计算。
已知内外半径分别为 和,分布在两圆筒导体表面的电流大小相等、方向相反，筒间充满磁导率为 的磁介质
1R 2R
的磁场
r
IH
2
r
I
B
2
1R2R
I I
r
dr
l
可见圆筒中的磁场不均匀，
在圆筒中取一高为,半径为,宽为 的薄圆筒形体积
drr
l
ldrrdV2
磁场计算式得
V Vmm dVHdVwW 22
1
V
mm dVwW
)21( 2Hw m
V
R
R r
r d rlIdV
r
I 2
1
22
2
22
2 2
8
1
8
1
2
22
ln
44
2
1 R
RlI
r
drlI R
R?
单位长度磁场
1
2
2
2
ln
4 R
RI
W m
讨论
（ 1）能量法计算自感因为
2
2
1 LIW
m?
1
2
2 ln2
2
R
Rl
I
W
L m
（与前计算结果相同！）
由上知
2
14
2 R
Rm r
drlIW
将 代入
1R
r
k
12
1
2
1
2
1
2
4
44
2
1
2
1
RR
R
lkI
dr
R
lkI
r
dr
R
r
k
lI
W
R
R
R
R
m
（ 2）若两圆筒中的磁介质不均匀，则其磁能为多少？
)(
1R
rk
六、位移电流对称性问题的提出既然变化的磁场能产生电场，
那么变化的电场会不会产生磁场呢？
已知稳恒电流的磁场中有
1、位移电流
s
L
sdjIldH?
式中 是穿过以闭合曲线 为边界的任意曲面 的传导电流
I
s
L
对非稳定电流情况下（以电容器充电为例）又如何？
传导电流不连续，在电容器极板间中断，
安培环路定理不再成立！
在电容器极板附近取一闭合回路,并以 为边界作两个曲面 和,
（图示）则有
L L 1s 2s
1s
对
IldH
L
对
2s 0
L
ldH
1s
2s
I I
L
请观察电容器极板间的电场变化情况 有D
电位移通量 DS
D
可见
S
dt
dS
dt
dD
dt
d D I
dt
dq?
CI CI
DE
DE
若设位移电流位移电流密度
dt
dI D
d
dt
Ddj
d
)( SIj
CI C
I
则电容器中保持了电流的连续性！
位移电流方向的讨论：见图！
CI C
I
dt
Dd?
dt
Dd?
2、麦克斯韦的位移电流假设
（ 2）变化的电场等效的也是一种“电流”，也产生磁场
（ 1）电场中某一点位移电流密度 等于该点电位移矢量对时间的变化率；通过电场中某一截面位移电流 等于通过该截面电位移通量 对时间变化率，即
Dj
dI D?
dt
dI
t
Dj D
dd
,
结论：变化电场激发磁场
3、全电流定律所以安培环路定理推广为
— 全电流
dCS III
一般来说，电路中同时存在和 CI
dI
dt
d
IIldH DCS
L
或
Sd
t
D
jldH
S C
全电路安培环路定理：沿任意闭合回路的环流等于此闭合回路所包围的全电流
H?
关于位移电流的几点说明
（ 1）位移电流指电位移通量的变化率，与传导电流有本质的区别
（ 2）位移电流不仅在电介质中，导体中，
甚至在真空中都可产生
（ 3）传导电流和位移电流在激发磁场方面是等效的，因此都称为电流
（ 4）位移电流与微波炉的工作原理
pED 0?
t
p
t
E
t
Dj
d?
0?
解,（ 1）两极板间位移电流例题,半径 的圆形平板空气电容器，对电容器充电，
使极板上电荷随时间变化率，
即充电传导电流
cmR 0.3?
AdtdqI C 5.2
求（ 1）两极板间 （ 2）两极板间距轴 的点 处磁感强度d
I
cmr 0.2? p
AI
dt
dqS
dt
d
dt
dI
C
D
d 5.2
（ 2）电容器中无传导电流，则
p
L
R
CI CIr
dIldH
由磁场的对称性，作半径为的圆形回路，则
r
rHldH?2
而
d
d
d IR
rr
R
II
2
2
2
2
dd IR
rI
R
r
r
HB 202
2
0
0 22?
T51011.1
由安培环路定理得 H
p
L
R
CI CIr
七、麦克斯韦电磁场方程的积分形式
1、目标把电磁场的规律综合起来，从而系统完整地描述电磁场的普遍规律
2、静电场 稳恒磁场 的规律
CS
L
IsdjldH
qdVsdD
V
S
0
L
ldE
0
S
sdB
3、麦克斯韦电磁场方程组积分形式综合变化电磁场的规律得到
S
L
sd
t
D
jldH?
)( CS
L
IsdjldH
qdVsdD
V
S
)( qdVsdD
VS
SL sdtBldE?
)0(L ldE
0 S sdB )0(
S sdB
4、说明
（ 1）形式上相同的表达式，其意义上截然不同（适用一般电磁场）
（ 2）反映了电磁场是一个整体
（ 3）方程组简洁、全面、完整的反映了电磁场的基本规律和性质
“只有上帝才能创造出这样完美的诗句！”
[电磁感应现象的应用 ]
