第四章 刚体的转动习题课一、基本要求
1、掌握角位移、角速度和角加速度等物理量以及角量与线量的关系。
2、理解力矩、转动惯量、角动量等物理概念，了解转动惯量计算的基本思路。
3、掌握转动定律、功能原理、角动量定理和角动量守恒定律并能正确应用。
二、基本内容
1、描述刚体转动的物理量
2、刚体定轴转动定律角位移?d
角速度
dt
d?
与线量的关系
rv?
r?
2 r
n?
角加速度
dt
d?
)
dt
vd
mamF(
dt
d
JJM
s inrFM
FrM力矩方向：右手法则
dmrJ 2
转动惯量：
3、刚体转动的功能原理
2
1
2
2 2
1
2
1
JJdMW
)mvmvrdFW( 2122
2
1
2
1
2ii rmJ
当时
0?M 常量JL
4、刚体定轴转动角动量原理力矩的功
dMW
刚体定轴转动动能
2
2
1
J
1212 JJLLM d t )PPdtF( 12
dt
dL
M? )
dt
Pd
F(
或
)P,F( 常矢量 0
三、讨论方法 Ⅰ
1、质量为,长为 的细棒，
可绕 转动。由水平位置自由下落。求下落到竖直位置时的角速度。
m l
o
由
dt
d
JJM
d
d
dt
d
Jc o s
l
mg?
2
0
2
0 2
dJdc o s
l
mg 求出?
l
o
gm?
方法 Ⅱ
方法 Ⅲ
分别判断三种方法的正误
2
2
1
2
J
l
mg
求出?
2
2
1
2 c
mv
l
mg 求出 cv
又
2
l
v c
求出?
2、判断角动量是否守恒
（ 2）对定滑轮轴的角动量两半径不同圆轮,1轮转动,2轮静止今将两轮子靠拢，轮被带动而转动
（ 1）圆锥摆（对 轴）
小球质量为
oo?
m
重物、人质量均为,定滑轮质量不计，人向上爬行
m
（ 3）对轴,(或 )的角动量
1o 2o
o?
o
v?
m
1o 2o
√
√
X
小结：刚体定轴转动中几个应注意的问题。
（ 1）刚体运动规律区别于质点运动规律，切莫混为一谈！
（ 2）注意,转轴,
（ 3）系统中质点、刚体同时存在，应分别讨论四：计算解：分析受力：图示质点
1m
11111 amcosgms ingmT质点
2m 2222 amTgm
1m
2m
r,J
1m
NF
1T
gm1rF?
RF
2T?
P?
1T?
2m
2T
gm2
1、斜面倾角为,质量分别为 和 物体经细绳联接，
绕过一定滑轮。定滑轮转动惯量为,半径为 。求下落的加速度（设 与斜面的摩擦因数为 ）
1m 2m
J r
1m
2m
滑轮（刚体）
解得讨论：是否有其它计算方法？
JrTrT 22
)TT,TT( 1122
联系量?raa
21
221
212
21
r
Jmm
c osgms i ngmgm
aa
1m
NF
1T
gm1rF?
RF
2T?
P?
1T?
2m
2T
gm2
功能关系！
解：分析系统机械能守恒 (为什么？ )
2、光滑斜面倾角,一弹簧
(k)一端固定，另一端系一绳绕过一定滑轮与物体 相连。
滑轮转动惯量为,半径为 。设开始时弹簧处于原长，将物体由静止沿斜面下滑，
求 下滑 时物体的速度为多大。
m
J R
m l
222
2
1
2
1
2
1
mvJkls i nm g l
则有
Rv?且有
m
m
l
R,J
k
解得
2
2
2
1
2
1
2
1
R
J
m
kls inm gl
v
3、一行星质量为,半径为,今有一飞船在相距行星为 时，飞船相对行星静止，同时发射一速度为 质量为 的仪器，发射角为,使仪器恰好略着行星表面着陆。求角 应为多大？着陆滑行的初速多大？（设 飞船质量）
1m R
Rr 40?
0v
2m
2m
2m
0r
0v?
v?
R
1m
解：分析
（ 1）不计其它作用力，仪器只处在行星的中心力场中，
则由仪器和行星组成的系统对行星中心的角动量守恒。
所以得 恒矢量 vmr
vRms inrvm 2002 （ 1）
又有
21 EE?
2m
0r
0v?
v?
R
1m
（ 2）系统仅有保守力作用，
故机械能守恒。
R
mm
Gvm
r
mm
Gvm 2122
0
212
02 2
1
2
1
（ 2）
解得 21
2
0
1
2
3
1
4
1
Rv
Gm
s in?
2
1
2
0
1
0 2
3
1
Rv
Gm
vv
4、长为,质量为 的匀质杆，一端悬挂，可通过点转动。今使杆水平静止的落下，在铅直位置与质量为 的物体作完全非弹性碰撞后,沿摩擦因数 的水平面滑动。求 滑动的距离。
l 1m
o
2m
2m
2m
l,m1
2m
l,m1
2m
解：处理这类碰撞问题与过去质点运动相似但又有区别，
将分阶段进行讨论由角动量守恒 （为什么？动量守恒吗？）
由机械能守恒得 21
2
1
2
J
l
gm?
l
g3
（ 1）杆自由下落到将和 碰撞2m
（ 2）杆和物体 碰撞过程2m
22 lmJJ
222121
3
13
3
1 lmlm
l
glm
21
1
3
3
mm
l
g
m
（ 3）物体 沿水平面运动直到静止
2m
由质点的动能定理得
gsmvm 222
2
1
lv
21
2
1
32
3
mm
lms
l,m1
2m
解,(1)子弹与棒相碰撞动量守恒？角动量守恒？
5、在摩擦因数为 的水平桌面上，一棒长为,质量为的细杆可绕一端转动，今一子弹质量为,速度为 垂直射入杆另一端后，穿出的速率为,求（ 1）棒获得的角速度 （ 2）杆转多长时间后停止
l 1m
2m v
2v
由子弹与棒组成的系统的角动量
(对 o轴 )守恒得
0
2
122 3
1
2
lmlvmvlm
1m
l
2v
2m
v?
o
0?
(2)棒从转动到停止过程
（为什么会停止转动）
受摩擦力矩
g x d x
l
m
xgdmdMM
ll
0 10 1
lm
vm
1
2
0 2
3
glmM 1
2
1
由角动量原理
00 JJM d t
t
gmvmt
1
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x
x
1dmdxo
1、掌握角位移、角速度和角加速度等物理量以及角量与线量的关系。
2、理解力矩、转动惯量、角动量等物理概念，了解转动惯量计算的基本思路。
3、掌握转动定律、功能原理、角动量定理和角动量守恒定律并能正确应用。
二、基本内容
1、描述刚体转动的物理量
2、刚体定轴转动定律角位移?d
角速度
dt
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与线量的关系
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角加速度
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FrM力矩方向：右手法则
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转动惯量：
3、刚体转动的功能原理
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当时
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4、刚体定轴转动角动量原理力矩的功
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刚体定轴转动动能
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或
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三、讨论方法 Ⅰ
1、质量为,长为 的细棒，
可绕 转动。由水平位置自由下落。求下落到竖直位置时的角速度。
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由
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方法 Ⅱ
方法 Ⅲ
分别判断三种方法的正误
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2
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2 c
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mg 求出 cv
又
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求出?
2、判断角动量是否守恒
（ 2）对定滑轮轴的角动量两半径不同圆轮,1轮转动,2轮静止今将两轮子靠拢，轮被带动而转动
（ 1）圆锥摆（对 轴）
小球质量为
oo?
m
重物、人质量均为,定滑轮质量不计，人向上爬行
m
（ 3）对轴,(或 )的角动量
1o 2o
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1o 2o
√
√
X
小结：刚体定轴转动中几个应注意的问题。
（ 1）刚体运动规律区别于质点运动规律，切莫混为一谈！
（ 2）注意,转轴,
（ 3）系统中质点、刚体同时存在，应分别讨论四：计算解：分析受力：图示质点
1m
11111 amcosgms ingmT质点
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1、斜面倾角为,质量分别为 和 物体经细绳联接，
绕过一定滑轮。定滑轮转动惯量为,半径为 。求下落的加速度（设 与斜面的摩擦因数为 ）
1m 2m
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1m
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滑轮（刚体）
解得讨论：是否有其它计算方法？
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功能关系！
解：分析系统机械能守恒 (为什么？ )
2、光滑斜面倾角,一弹簧
(k)一端固定，另一端系一绳绕过一定滑轮与物体 相连。
滑轮转动惯量为,半径为 。设开始时弹簧处于原长，将物体由静止沿斜面下滑，
求 下滑 时物体的速度为多大。
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3、一行星质量为,半径为,今有一飞船在相距行星为 时，飞船相对行星静止，同时发射一速度为 质量为 的仪器，发射角为,使仪器恰好略着行星表面着陆。求角 应为多大？着陆滑行的初速多大？（设 飞船质量）
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解：分析
（ 1）不计其它作用力，仪器只处在行星的中心力场中，
则由仪器和行星组成的系统对行星中心的角动量守恒。
所以得 恒矢量 vmr
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又有
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（ 2）系统仅有保守力作用，
故机械能守恒。
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4、长为,质量为 的匀质杆，一端悬挂，可通过点转动。今使杆水平静止的落下，在铅直位置与质量为 的物体作完全非弹性碰撞后,沿摩擦因数 的水平面滑动。求 滑动的距离。
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解：处理这类碰撞问题与过去质点运动相似但又有区别，
将分阶段进行讨论由角动量守恒 （为什么？动量守恒吗？）
由机械能守恒得 21
2
1
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（ 1）杆自由下落到将和 碰撞2m
（ 2）杆和物体 碰撞过程2m
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（ 3）物体 沿水平面运动直到静止
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由质点的动能定理得
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2m
解,(1)子弹与棒相碰撞动量守恒？角动量守恒？
5、在摩擦因数为 的水平桌面上，一棒长为,质量为的细杆可绕一端转动，今一子弹质量为,速度为 垂直射入杆另一端后，穿出的速率为,求（ 1）棒获得的角速度 （ 2）杆转多长时间后停止
l 1m
2m v
2v
由子弹与棒组成的系统的角动量
(对 o轴 )守恒得
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(2)棒从转动到停止过程
（为什么会停止转动）
受摩擦力矩
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由角动量原理
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