第三章守 恒 定 律牛顿第二定律力与运动的力作用于物体，维持一定的时间、空间，物体运动情况如何？
引言力与物体运动的过程关系牛顿第二定律的积分形式瞬时关系式,amF
微分形式：
2
2
dt
rd
m
dt
vd
mF
一、动量定律，动量守恒定律
1、质点的动量定律牛顿第二定律的积分形式由
dt
vmd
dt
vd
mamF
)(
设
vmp
2
1
2
1
p
p
t
t
pddtF
pppdtF
t
t
12
2
1
vmp v?动量,（方向,）
冲量是力对时间的积累作用力对时间的冲量质点动量定律,
讨论：
（ 1）牛顿第二定律的一种积分形式
（方向,）
2
1
t
t
dtFI
p
质点在 至 时间内，外力作用在质点上的冲量等于质点在同一时间内动量的增量。
1t 2t
（ 3）冲力，平均冲力
（ 2）直角坐标系中，定理分量式量值大，变化快，作用时间短的变力冲力,
12
2
1
xx
t
t
xx ppdtFI
12
2
1
yy
t
t
yy ppdtFI
12
2
1
zz
t
t
zz ppdtFI
平均冲力：
12
2
1
tt
F dt
F
t
t
2、质点系动量定理质点系，外力，内力设 n 个质点组成的质点系，
其中第 个质点受外力为,内力为,由第二定律得 外iF
内iF
i
F
F
o
1t 2t
t
im
iv?
外iF
内iF
几个概念对所有质点求和
n
i
n
i
iin
i
ii
dt
vmd
FF
1
1
1
内外因内力成对出现，则
n
i
iF
1
0内
dt
pd
FF iii
内外 iii vmp
n
i
ii
n
i
ii
n
i
i
t
t
vmvmdtF
1
0
11
2
1
外；等式两边积分
n
i
ii
n
i
ii
t
t
i vmvmdtF
1
0
1
2
1
合可写成
0PPI
质点系动量定律：作用于系统的合外力的冲量等于系统总动量的增量。
讨论：
(1)系统的内力不能改变系统的总动量。
定理中不出现系统的内力，因此研究某些力学问题甚为方便。
（ 2）质点系动量定律可写成即作用于质点系的合外力（微分形式）等于质点系的总动量随时间的变化率。
或
pddtF i合
dt
pd
F i
合
3、质点系动量守恒定律：
若
0?合iF?
则
n
i
ii vmP
1
恒矢量
（ 1）合外力为零或不受外力作用系统总动量保持不变。
动量守恒定律：
当系统合外力为零时，系统的总动量保持不变。
讨论：
（ 2）合外力不为零，但合力在某方向分量为零，则系统在该方向上的动量守恒。
（ 3）系统的内力远大于外力，可忽略外力，系统动量可视为守恒。
取图示坐标系，则例题 1、质量为,速率为的钢球，以与钢板法线呈 角的方向撞击钢板，并以相同的速率和角度弹回。设球与钢板碰撞时间为,求钢板受到的平均冲力。
m v
t?
x
y
o
v?
v?
解：由质点动量定律，得钢球
12
2
1
vmvmdtFI
t
t
c o s212 mvmvmvI xxx
012 yyy mvmvI
imvIc o s2
钢球平均冲力为 i
t
mv
t
dtF
F
t
t?
c os2
2
1
钢板受平均冲力为
i
t
mvFF
c o s2
本例题可以用矢量方法直接求得，
图示矢量三角形，得
)( 12 vmvmI
y
o
v?
v?
x
imvvmvmIc o s212
例题 2、在光滑平面上一质量为 速度为的物体，突然炸裂成质量为 和两块物体。设 且,求 的速度 。
0m 0v?
01 3
1 mm?
02 3
2 mm?
01 vv
01 2 vv
2m
2v
y
o
x
2vm
1vm?
2vm
12 vmvm
同样可用矢量方法直接求出（图示）
解,分析：合外力为零，动量守恒。
取 oxy坐标系，得分量式
221100 vmvmvm
c o s
3
2
2000 vmvm?
s in0 2211 vmvm
解得
02 8.1 vv?
1433,
3
2 0tg
0m 1m
2m
o x
y
2v?
1v
0v
11vm?
22vm?
00vm?
1022 vmvmvm
例题 3、质量为 的人手中拿着一质量为 的物体。此人用与水平面成 角的速率 向前跳去，当他到达最高点时，他将物体以相对于人为 的水平速率向后抛出，问由于抛出物体，他跳跃的距离增加了多少？
M
m
0v
u
解,分析在最高位臵时，系统水平方向的 动量守恒以地面为参考系，
取图示坐标
0v
u
x
y
o
0v
cosv0u
x
y
o
x
x?
muMvvMmc o s0
设人向后抛出物体后水平速率为,则 （哪一式是正确的？）v
uvmMvvMm 00 c o s?
uvmMvvMmc o s0
u
mM
mvv
c o s0
u
mM
mv
tvx
ugmM
mv
g
v
v
s i ns i n 00则例题 4、系统内质量移动的问题
（变质量问题）
飞行中喷出燃气等运动，由于质量的改变，
牛顿第二定律不再适用，而质点系动量定理对这类问题的研究提供了方便如柔软绳子落到桌面上，火箭火箭的运动,火箭是依靠其内部燃烧室中产生的气体来获得向前的推力的。
设火箭在 时刻的质量为,速度为t m? v?
时间内，有燃气 以相对火箭速度 喷出，速度增加到
t? dm
u
vdv
设系统合外力为,
则由动量定理得
F?
时刻
m? v?
t
时刻
dmm
vdv
dm
u? tt
vmuvdvdmvdvdmmpddtF
dmuvdmdtF
dt
dmu
dt
vdmF
dt
mdu
dt
vdm
v
v
m
m m
mduvd
0 0
0
0 ln m
muvv
dt
md
dt
dm其中
0?F?设火箭高空飞行时 则
m
m
uvv
00 ln
选取 的方向为正向
v?
式中 称为质量比为起始时刻火箭的质量为时刻 火箭的质量
0m0?t
m? t
N
m
m?
0
采用多级火箭，提高火箭速度讨论：
uv?
m
mv
0ln
设 0
0?v 11 ln Nuv?
212 ln Nuvv
nn NuNuNuv lnlnln 21
nNNNu?21ln
火箭发射镜头摘录四、功在直角坐标系中
1、功 复习,sFWc o s
质点在变力作用下，沿曲线路径 BA?
rdFrdFdWc o s
drFrdFdWW B
A
B
A
B
A
c o s
kFjFiFF zyx
kdzjdyidxrd
dzFdyFdxFrdFW zyxB
A
F?
rd?
A
B
s
F? F?
（ 3）功是过程量：功总是和质点的某个运动过程相联系功的性质
（ 1）功是力对空间的积累作用，
是标量
（ 2）合力的功等于各分力的功的代数和
rdFrdFrdFW 21合
21 WWW
r
cosF
o
1r 2rdr
重力作功，只与运动物体起点、终点的位臵有关，与路径无关
2、重力、引力、弹性力的功
（ 1）重力作功
（ 2）万有引力作功物体 沿路径 过程中重力的功
m BA?
2
1
y
y
B
A
B
A
m g d yrdgmdWW
12 m g ym g yW y
x
o
2y
1y
dy dr
gm?
A
B
drFrdFdWW?c o s
图示物体 在另一物体 固定不动）的引力作用下，沿路径 过程中引力的功
m 'm
BA?
rde
r
mmGrdFW
r
B
A
B
A
2
'
式中
（请注意 ！）
drc o srderde rr
drrd
dr
r
mmGdr
r
mmGW B
A
r
r
B
A
22 ''
AB r
mm
G
r
mm
GW
''
'm
B
A
Br
Ar r?
rdr
rd?
m?
rdr
r? rd
rd?
万有引力做功只与物体起点、
终点位臵有关，而与经历的路径无关
（ 3）弹性力作功设弹簧原长为坐标原点,物体由 运动到 的过程中弹性力作功
o A
B
2
1
x
x
B
A
k x d xrdFW?
2
1
2
2 2
1
2
1 kxkxW o
1x
2x
A B
x
力作功的大小只与物体始末位臵有关，而与所经历的路径无关，这类力称为保守力弹性力作功也是与物体起点、终点位臵有关，而与经历的路径无关
3、保守力如：重力，弹性力，万有引力，静电力 …,
因此，保守力有
0rdFW
4、势能
（ 1）势能引入保守力的功可以用两项之差的形式表示，每项都是与相互作用物体的位臵有关，因此引入一个与物体位臵有关的能量。
引力势能
r
MmGE
p
重力势能
m g hE p?
弹性势能
2
2
1 kxE
p?
势能值的相对性与势能差的绝对值。
势能是属于存在保守内力的系统的，
具有保守力才能引入势能的概念。
势能是状态的函数。
（ 2）势能的讨论因此可以得到保守力的功与势能的关系式
ppp EEEW 12
由势能曲线或势能函数可以研究分析物体间的保守力和物体的运动情况
（ 3）势能曲线：势能随物体间相对位臵变化的曲线
m ghE p?
pE
o h
2
2
1 kxE
p?
pE
o x
r
MmGE
p
pE
o
r
pEW pdEdW
rdFdW
F?由此可分析 的大小和方向五、功能关系合外力对质点所作的功，等于质点动能的增量。
1、质点动能定理由牛顿第二定律 rdc o sFrdFdW
A
B
F?
1v
2v
rd?
dt
dvmmac o sF
m v d vrd
dt
dvmdW
12
2
1
2
1
2
2 2
1
2
1
kk
v
v
EEmvmvm v d vdWW
（ 2）动能定理反映了过程量与状态量动能的关系讨论：
（ 1）动能定理是牛顿第二定律的另一种积分形式
2、质点系动能定理系统内有 个质点，作用于各质点的力作功分别为,各质点初动能 改变为
n
nWW,W?21
2010 kk E,E?
21 kk E,E
作用在质点系的力所作的功，等于质点系的动能增量
1011 kk EEW
2022 kk EEW
n
i
k
n
i
k
n
i
i ii EEW
111
0
作用于系统的力由内力和外力，则
n
i
k
n
i
k
n
i
i ii EEWWW
111
0内外作用于质点系的外力和非保守内力所作的功，等于系统的机械能的增量。
3、质点系的功能原理系统的内力有保守内力和非保守内力，则内非内保内 WWW
前面讨论知
n
i
p
n
i
p EEW i
11
0内保将质点动能定理写成
n
i
p
n
i
k
n
i
p
n
i
k iiii EEEEWW
1111
00内非外
0EEWW 内非外
4、机械能守恒定律
0 内非外 WW若 则 0EE?
5、能量守恒定律一半径为 的四分之一圆弧垂直固定与地面上，质量为的小物体从最高点 由静止下滑至 点处的速度为,求摩擦力所作的功例题 1、
B
m
D Dv?
R B
D
m
R
解：方法一：
应用牛顿第二定律，由功的定义求解
gm? t
e?
ne?
NF
rF?
B
D
m
R
Dv?
C
在 点处物体受力如图，
取自然坐标系得切向分量式
C
dt
dvmmaFmg
trc o s
dt
dvmc o smgF
r
rdc o smgrd
dt
dvmrdFdW
rr
Rdc o smgm v d v
所以
DBr dWW
200 0
dc o sm g Rm v d v
v
m g Rmv D 2
2
1
0
2
1 2
Drp mvWW m g RW p?
m g RmvW Dr 2
2
1
方法二：应用质点动能定理求解支持力 不作功，则
NF
gm? te?
ne?
NF
rF?
B
D
m
R
Dv?
C
方法三：应用功能原理求解系统：物体圆轨道，地球
0?外W rWW?内非取 点处为重力势能零点，由功能原理得D
m g RmvW Dr 2
2
1
讨论：试比较上述三种方法
B
D
m
R
第一宇宙速度：由地面处发射使物体环绕地球运动，所需的最小速度。
例题 2,宇宙速度的计算设于地球表面处 发射速度为 的物体，到达距地面高度为 处，以速度 绕地球作匀速圆周运动，系统机械能守恒 （为什么？）
ER
1v
h v
h
m
Em
ER
hRR EE
设地球质量为
Em
hR
mmGmv
R
mmGmv
E
E
E
E
221
2
1
2
1
又由第二定律，得
2
2
hR
mGm
hR
v
m
E
E
E?
解得
hR
Gm
R
Gm
v
E
E
E
E
2
1
2
E
E
R
mGmmg?
hR
R
gRv
E
E
E 21
则物体脱离地球引力时，引力势能为零，
所以由机械能守恒得当 (或 ）hR
E 0?h
13
1 1097
sm.gRv
E
第二宇宙速度 (逃逸速度 )：使物体脱离地球引力范围所需的最小速度
0
2
1 2
2
E
E
kp R
mmGmvEE
13
2 102.112
2?
smgR
R
Gm
v E
E
E
m
Em
2v
则任何物体都不可能从该星球中逃逸出来。
黑洞的讨论对任一星球，若要脱离其引力范围的最小速度。
若 （光速）Cv?
为该星球质量为星球半径r
GM
v
2
M
r
例题 3,完全弹性碰撞，完全非弹性碰撞取 ox轴，沿 x轴方向动量守恒解：
机械能守恒定律有 2211202101 vmvmvmvm
2
22
2
11
2
202
2
101 2
1
2
1
2
1
2
1 vmvmvmvm
设质量为,速度为和 的弹性小球，沿直线运动，求两球完全弹性碰撞后的速度 和
21 m,m 10v?
20v
1v
2v
10v
20v
1v
2v
1m 2m
1m 2m
讨论解得
21
2021021
1
2
mm
vmvmmv
21
1012012
2
2
mm
vmvmmv
（ 1） 且
，则
020?v12 mm
0,2101 vvv
10v
020?v
（ 2） 且
，则
020?v12 mm
102101 2 vv,vv
（ 3） 12 mm? 102201 vv,vv
020?v
10v
10v
解：本题可分为三个运动过程，
每一过程运用相应的规律。
泥球，圆盘，弹簧和地球为系统本题选择：
例题 4、一轻质弹簧 挂一质量为 的圆盘时，伸长,一个质量为 的油质球从离盘 高处由静止下落到盘上，然后与盘一起向下运动，求向下运动的最大距离 。
k
M 1l
m h
M
m
m
M
1l
2l
h
A
B
明确各个过程：
与 共同向下运动Mm
自由下落m 与 碰撞M
m g hmv?2
2
1 ghv 2?
（ 1） 自由下落有m
（ 2） 与 相碰撞，系统动量守恒 （为什么？）
m M
VMmmv
M
m
m
M
1l
2l
h
A
B
选重力势能零点：最底点 (B)
选弹性势能零点：弹簧自然长度处 (A)
（ 3） 和 共同向下运动，运动过程机械能守恒 (为什么？ )
Mm
有
2
12
2
2
1
2
1 klglMmVMm
22121 llk
1
1 l
MgkklMg,?
解得
gMm
kh
k
mg
l
2
112
M
m
m
M
1l
2l
h
A
B
小结：应用守恒定律解题时的思路与用牛顿定律解题不同
（ 1）无需具体分析系统中间过程的受力细节。
（ 2）守恒定律形式中只涉及到系统的始末状态物理量。
（ 3）解题步骤大致是,选系统，明过程，审条件，列守恒，解方程 。
引言力与物体运动的过程关系牛顿第二定律的积分形式瞬时关系式,amF
微分形式：
2
2
dt
rd
m
dt
vd
mF
一、动量定律，动量守恒定律
1、质点的动量定律牛顿第二定律的积分形式由
dt
vmd
dt
vd
mamF
)(
设
vmp
2
1
2
1
p
p
t
t
pddtF
pppdtF
t
t
12
2
1
vmp v?动量,（方向,）
冲量是力对时间的积累作用力对时间的冲量质点动量定律,
讨论：
（ 1）牛顿第二定律的一种积分形式
（方向,）
2
1
t
t
dtFI
p
质点在 至 时间内，外力作用在质点上的冲量等于质点在同一时间内动量的增量。
1t 2t
（ 3）冲力，平均冲力
（ 2）直角坐标系中，定理分量式量值大，变化快，作用时间短的变力冲力,
12
2
1
xx
t
t
xx ppdtFI
12
2
1
yy
t
t
yy ppdtFI
12
2
1
zz
t
t
zz ppdtFI
平均冲力：
12
2
1
tt
F dt
F
t
t
2、质点系动量定理质点系，外力，内力设 n 个质点组成的质点系，
其中第 个质点受外力为,内力为,由第二定律得 外iF
内iF
i
F
F
o
1t 2t
t
im
iv?
外iF
内iF
几个概念对所有质点求和
n
i
n
i
iin
i
ii
dt
vmd
FF
1
1
1
内外因内力成对出现，则
n
i
iF
1
0内
dt
pd
FF iii
内外 iii vmp
n
i
ii
n
i
ii
n
i
i
t
t
vmvmdtF
1
0
11
2
1
外；等式两边积分
n
i
ii
n
i
ii
t
t
i vmvmdtF
1
0
1
2
1
合可写成
0PPI
质点系动量定律：作用于系统的合外力的冲量等于系统总动量的增量。
讨论：
(1)系统的内力不能改变系统的总动量。
定理中不出现系统的内力，因此研究某些力学问题甚为方便。
（ 2）质点系动量定律可写成即作用于质点系的合外力（微分形式）等于质点系的总动量随时间的变化率。
或
pddtF i合
dt
pd
F i
合
3、质点系动量守恒定律：
若
0?合iF?
则
n
i
ii vmP
1
恒矢量
（ 1）合外力为零或不受外力作用系统总动量保持不变。
动量守恒定律：
当系统合外力为零时，系统的总动量保持不变。
讨论：
（ 2）合外力不为零，但合力在某方向分量为零，则系统在该方向上的动量守恒。
（ 3）系统的内力远大于外力，可忽略外力，系统动量可视为守恒。
取图示坐标系，则例题 1、质量为,速率为的钢球，以与钢板法线呈 角的方向撞击钢板，并以相同的速率和角度弹回。设球与钢板碰撞时间为,求钢板受到的平均冲力。
m v
t?
x
y
o
v?
v?
解：由质点动量定律，得钢球
12
2
1
vmvmdtFI
t
t
c o s212 mvmvmvI xxx
012 yyy mvmvI
imvIc o s2
钢球平均冲力为 i
t
mv
t
dtF
F
t
t?
c os2
2
1
钢板受平均冲力为
i
t
mvFF
c o s2
本例题可以用矢量方法直接求得，
图示矢量三角形，得
)( 12 vmvmI
y
o
v?
v?
x
imvvmvmIc o s212
例题 2、在光滑平面上一质量为 速度为的物体，突然炸裂成质量为 和两块物体。设 且,求 的速度 。
0m 0v?
01 3
1 mm?
02 3
2 mm?
01 vv
01 2 vv
2m
2v
y
o
x
2vm
1vm?
2vm
12 vmvm
同样可用矢量方法直接求出（图示）
解,分析：合外力为零，动量守恒。
取 oxy坐标系，得分量式
221100 vmvmvm
c o s
3
2
2000 vmvm?
s in0 2211 vmvm
解得
02 8.1 vv?
1433,
3
2 0tg
0m 1m
2m
o x
y
2v?
1v
0v
11vm?
22vm?
00vm?
1022 vmvmvm
例题 3、质量为 的人手中拿着一质量为 的物体。此人用与水平面成 角的速率 向前跳去，当他到达最高点时，他将物体以相对于人为 的水平速率向后抛出，问由于抛出物体，他跳跃的距离增加了多少？
M
m
0v
u
解,分析在最高位臵时，系统水平方向的 动量守恒以地面为参考系，
取图示坐标
0v
u
x
y
o
0v
cosv0u
x
y
o
x
x?
muMvvMmc o s0
设人向后抛出物体后水平速率为,则 （哪一式是正确的？）v
uvmMvvMm 00 c o s?
uvmMvvMmc o s0
u
mM
mvv
c o s0
u
mM
mv
tvx
ugmM
mv
g
v
v
s i ns i n 00则例题 4、系统内质量移动的问题
（变质量问题）
飞行中喷出燃气等运动，由于质量的改变，
牛顿第二定律不再适用，而质点系动量定理对这类问题的研究提供了方便如柔软绳子落到桌面上，火箭火箭的运动,火箭是依靠其内部燃烧室中产生的气体来获得向前的推力的。
设火箭在 时刻的质量为,速度为t m? v?
时间内，有燃气 以相对火箭速度 喷出，速度增加到
t? dm
u
vdv
设系统合外力为,
则由动量定理得
F?
时刻
m? v?
t
时刻
dmm
vdv
dm
u? tt
vmuvdvdmvdvdmmpddtF
dmuvdmdtF
dt
dmu
dt
vdmF
dt
mdu
dt
vdm
v
v
m
m m
mduvd
0 0
0
0 ln m
muvv
dt
md
dt
dm其中
0?F?设火箭高空飞行时 则
m
m
uvv
00 ln
选取 的方向为正向
v?
式中 称为质量比为起始时刻火箭的质量为时刻 火箭的质量
0m0?t
m? t
N
m
m?
0
采用多级火箭，提高火箭速度讨论：
uv?
m
mv
0ln
设 0
0?v 11 ln Nuv?
212 ln Nuvv
nn NuNuNuv lnlnln 21
nNNNu?21ln
火箭发射镜头摘录四、功在直角坐标系中
1、功 复习,sFWc o s
质点在变力作用下，沿曲线路径 BA?
rdFrdFdWc o s
drFrdFdWW B
A
B
A
B
A
c o s
kFjFiFF zyx
kdzjdyidxrd
dzFdyFdxFrdFW zyxB
A
F?
rd?
A
B
s
F? F?
（ 3）功是过程量：功总是和质点的某个运动过程相联系功的性质
（ 1）功是力对空间的积累作用，
是标量
（ 2）合力的功等于各分力的功的代数和
rdFrdFrdFW 21合
21 WWW
r
cosF
o
1r 2rdr
重力作功，只与运动物体起点、终点的位臵有关，与路径无关
2、重力、引力、弹性力的功
（ 1）重力作功
（ 2）万有引力作功物体 沿路径 过程中重力的功
m BA?
2
1
y
y
B
A
B
A
m g d yrdgmdWW
12 m g ym g yW y
x
o
2y
1y
dy dr
gm?
A
B
drFrdFdWW?c o s
图示物体 在另一物体 固定不动）的引力作用下，沿路径 过程中引力的功
m 'm
BA?
rde
r
mmGrdFW
r
B
A
B
A
2
'
式中
（请注意 ！）
drc o srderde rr
drrd
dr
r
mmGdr
r
mmGW B
A
r
r
B
A
22 ''
AB r
mm
G
r
mm
GW
''
'm
B
A
Br
Ar r?
rdr
rd?
m?
rdr
r? rd
rd?
万有引力做功只与物体起点、
终点位臵有关，而与经历的路径无关
（ 3）弹性力作功设弹簧原长为坐标原点,物体由 运动到 的过程中弹性力作功
o A
B
2
1
x
x
B
A
k x d xrdFW?
2
1
2
2 2
1
2
1 kxkxW o
1x
2x
A B
x
力作功的大小只与物体始末位臵有关，而与所经历的路径无关，这类力称为保守力弹性力作功也是与物体起点、终点位臵有关，而与经历的路径无关
3、保守力如：重力，弹性力，万有引力，静电力 …,
因此，保守力有
0rdFW
4、势能
（ 1）势能引入保守力的功可以用两项之差的形式表示，每项都是与相互作用物体的位臵有关，因此引入一个与物体位臵有关的能量。
引力势能
r
MmGE
p
重力势能
m g hE p?
弹性势能
2
2
1 kxE
p?
势能值的相对性与势能差的绝对值。
势能是属于存在保守内力的系统的，
具有保守力才能引入势能的概念。
势能是状态的函数。
（ 2）势能的讨论因此可以得到保守力的功与势能的关系式
ppp EEEW 12
由势能曲线或势能函数可以研究分析物体间的保守力和物体的运动情况
（ 3）势能曲线：势能随物体间相对位臵变化的曲线
m ghE p?
pE
o h
2
2
1 kxE
p?
pE
o x
r
MmGE
p
pE
o
r
pEW pdEdW
rdFdW
F?由此可分析 的大小和方向五、功能关系合外力对质点所作的功，等于质点动能的增量。
1、质点动能定理由牛顿第二定律 rdc o sFrdFdW
A
B
F?
1v
2v
rd?
dt
dvmmac o sF
m v d vrd
dt
dvmdW
12
2
1
2
1
2
2 2
1
2
1
kk
v
v
EEmvmvm v d vdWW
（ 2）动能定理反映了过程量与状态量动能的关系讨论：
（ 1）动能定理是牛顿第二定律的另一种积分形式
2、质点系动能定理系统内有 个质点，作用于各质点的力作功分别为,各质点初动能 改变为
n
nWW,W?21
2010 kk E,E?
21 kk E,E
作用在质点系的力所作的功，等于质点系的动能增量
1011 kk EEW
2022 kk EEW
n
i
k
n
i
k
n
i
i ii EEW
111
0
作用于系统的力由内力和外力，则
n
i
k
n
i
k
n
i
i ii EEWWW
111
0内外作用于质点系的外力和非保守内力所作的功，等于系统的机械能的增量。
3、质点系的功能原理系统的内力有保守内力和非保守内力，则内非内保内 WWW
前面讨论知
n
i
p
n
i
p EEW i
11
0内保将质点动能定理写成
n
i
p
n
i
k
n
i
p
n
i
k iiii EEEEWW
1111
00内非外
0EEWW 内非外
4、机械能守恒定律
0 内非外 WW若 则 0EE?
5、能量守恒定律一半径为 的四分之一圆弧垂直固定与地面上，质量为的小物体从最高点 由静止下滑至 点处的速度为,求摩擦力所作的功例题 1、
B
m
D Dv?
R B
D
m
R
解：方法一：
应用牛顿第二定律，由功的定义求解
gm? t
e?
ne?
NF
rF?
B
D
m
R
Dv?
C
在 点处物体受力如图，
取自然坐标系得切向分量式
C
dt
dvmmaFmg
trc o s
dt
dvmc o smgF
r
rdc o smgrd
dt
dvmrdFdW
rr
Rdc o smgm v d v
所以
DBr dWW
200 0
dc o sm g Rm v d v
v
m g Rmv D 2
2
1
0
2
1 2
Drp mvWW m g RW p?
m g RmvW Dr 2
2
1
方法二：应用质点动能定理求解支持力 不作功，则
NF
gm? te?
ne?
NF
rF?
B
D
m
R
Dv?
C
方法三：应用功能原理求解系统：物体圆轨道，地球
0?外W rWW?内非取 点处为重力势能零点，由功能原理得D
m g RmvW Dr 2
2
1
讨论：试比较上述三种方法
B
D
m
R
第一宇宙速度：由地面处发射使物体环绕地球运动，所需的最小速度。
例题 2,宇宙速度的计算设于地球表面处 发射速度为 的物体，到达距地面高度为 处，以速度 绕地球作匀速圆周运动，系统机械能守恒 （为什么？）
ER
1v
h v
h
m
Em
ER
hRR EE
设地球质量为
Em
hR
mmGmv
R
mmGmv
E
E
E
E
221
2
1
2
1
又由第二定律，得
2
2
hR
mGm
hR
v
m
E
E
E?
解得
hR
Gm
R
Gm
v
E
E
E
E
2
1
2
E
E
R
mGmmg?
hR
R
gRv
E
E
E 21
则物体脱离地球引力时，引力势能为零，
所以由机械能守恒得当 (或 ）hR
E 0?h
13
1 1097
sm.gRv
E
第二宇宙速度 (逃逸速度 )：使物体脱离地球引力范围所需的最小速度
0
2
1 2
2
E
E
kp R
mmGmvEE
13
2 102.112
2?
smgR
R
Gm
v E
E
E
m
Em
2v
则任何物体都不可能从该星球中逃逸出来。
黑洞的讨论对任一星球，若要脱离其引力范围的最小速度。
若 （光速）Cv?
为该星球质量为星球半径r
GM
v
2
M
r
例题 3,完全弹性碰撞，完全非弹性碰撞取 ox轴，沿 x轴方向动量守恒解：
机械能守恒定律有 2211202101 vmvmvmvm
2
22
2
11
2
202
2
101 2
1
2
1
2
1
2
1 vmvmvmvm
设质量为,速度为和 的弹性小球，沿直线运动，求两球完全弹性碰撞后的速度 和
21 m,m 10v?
20v
1v
2v
10v
20v
1v
2v
1m 2m
1m 2m
讨论解得
21
2021021
1
2
mm
vmvmmv
21
1012012
2
2
mm
vmvmmv
（ 1） 且
，则
020?v12 mm
0,2101 vvv
10v
020?v
（ 2） 且
，则
020?v12 mm
102101 2 vv,vv
（ 3） 12 mm? 102201 vv,vv
020?v
10v
10v
解：本题可分为三个运动过程，
每一过程运用相应的规律。
泥球，圆盘，弹簧和地球为系统本题选择：
例题 4、一轻质弹簧 挂一质量为 的圆盘时，伸长,一个质量为 的油质球从离盘 高处由静止下落到盘上，然后与盘一起向下运动，求向下运动的最大距离 。
k
M 1l
m h
M
m
m
M
1l
2l
h
A
B
明确各个过程：
与 共同向下运动Mm
自由下落m 与 碰撞M
m g hmv?2
2
1 ghv 2?
（ 1） 自由下落有m
（ 2） 与 相碰撞，系统动量守恒 （为什么？）
m M
VMmmv
M
m
m
M
1l
2l
h
A
B
选重力势能零点：最底点 (B)
选弹性势能零点：弹簧自然长度处 (A)
（ 3） 和 共同向下运动，运动过程机械能守恒 (为什么？ )
Mm
有
2
12
2
2
1
2
1 klglMmVMm
22121 llk
1
1 l
MgkklMg,?
解得
gMm
kh
k
mg
l
2
112
M
m
m
M
1l
2l
h
A
B
小结：应用守恒定律解题时的思路与用牛顿定律解题不同
（ 1）无需具体分析系统中间过程的受力细节。
（ 2）守恒定律形式中只涉及到系统的始末状态物理量。
（ 3）解题步骤大致是,选系统，明过程，审条件，列守恒，解方程 。
