习题课
（质点运动学和牛顿定律）
一、基本要求：
(1) 掌握描述质点运动状态和状态变化的物理量及其意义。
)a,v,r,r(
(2) 掌握运动学两类问题的计算。
理解相对运动。(5)
掌握牛顿定律及其应用。(4)
理解切向加速度合法向加速度的概念。(3)
二、基本内容描述质点运动学的基本物理量。
1、
(1) 位置矢量 r?
直角坐标系
kzjyixr位移(2)
12 rrr
直角坐标系
kzzjyyixxr 121212
(3) 速度 v?
直角坐标系
kdtdzjdtdyidtdxdt rdv
方向：路径的切线方向
(4) 加速度
a?
k
dt
zdj
dt
ydi
dt
xd
dt
vda
2
2
2
2
2
2
注意：
(1) r s?与 的区别。
r 与 r r? 的区别。
(2) 运动方程 的意义。?
tr?
r
r?1r?
2r?
S?
y
x
z
o
与 (或 )
描写质点运动状态的物理量
(3)
vmpv?r?
已知运动求运动方程 — 积分(2)
(1) 已知运动方程求运动 — 微分运动学两类问题的计算。2、
3,切向加速度与法向加速度。
（速度大小的变化）
（速度方向的变化）
tt edt
dva
nn e
va
2
nn erwa 2?或
（一般用分量式进行计算）
牛顿定律及其应用4、
牛顿第二定律是核心（ 1）
amF
微分形式
2
2
dt
rd
mF
dt
vdmF 或
（ 2） 不同的 作用下，质点运动的研究。
vF,rF,tF
F?
等三、讨论题
1、一质点以半径为速圆周运动，以圆心为坐标原点，质点运动半个周期内，
其位矢大小的增量?r
r
R 作匀其位移大小
r?
质点作圆周运动
Rr 2 0r答案：
因此，一般情况下
dt
dr
dt
rdv
B
A
r
r
r?
质点从 A运动到 B
rrr
2、已知质点运动方程速度和加速度，
jtyitxr 求质点的
2
2
dt
rda?
dt
drv?22 yxr
则：由得 求得判断其是否正确。 答案,不正确正确计算是：
dt
dyv
y?dt
dxv
x?
22
dt
dy
dt
dx
v
2
2
22
2
2
dt
yd
dt
xd
a
3、试判断下列说法是否正确。
（ 1）一物体具有加速度，但速度可能为零。
（ 2）运动物体加速度越大，物体的速度也越大。
（ 3）物体在直线上运动前进时，如果物体向前的加速度减小，物体前进的速度也就减小了。
（ 4）物体加速度的值很大，而物体速度可以不变。
（ 5）物体作曲线运动时必有加速度。
√
√
√
X
X
4、下列图形中，正确反映质点在曲线运动轨迹上作减速运动的图形是哪一幅。
答案,(c)
(a)
a?
v?
(c)a?
v?
(b)
a?
v?
(d) a?
v?
四、计算题
1、已知质点运动方程
8,3.0 St?
mt.tx 2521510
计算 秒时的位置，速度和加速度
222 5 sm
dt
xda1515 smt
dt
dxv?
这是已知运动方程求运动一类的问题解：
0 10 15 -5
3 32.5 0 -5
8 -30 -25 -5
stmx1smv2sma
讨论：
图线，各图之间的联系
tatv,tx 和（ 1）作出
61.0t
0521510 2 t.t
应取何值？
t?
0?x（ 2）计算当时 由得秒和 秒问：
66.t?
t
t
t
t
a
v
x
0
0
0
2、已知质点曲线运动方程求质点任一时刻的切向加速度和法向加
jtit
dt
rdv 2112
解,同前
jtitr 232 123121
速度。
即 tv x?
12 tv y
122 tvvv yx
jti
dt
vda 2112
1?xa
2112 ta y 12
22
t
ta
则由定义知
1
dt
dva
t
2v
a n
12
122
t
aaa tn
2v
a n
另一方法：由函数式求出任一点处曲率半径 再由 求得结果。
3、已知光滑水平面上有一半圆形轨道。当质量为初速为 物体进入轨道时，
从另一端滑出时速度的大小。
m
0v
物体与轨道的摩擦因数为 求物体沿轨道解：
与物体运动速度反向沿轨道切线方向。
物体在轨道上滑动时受到摩擦力作用
rF
方向
A
B
0v
tt amF
dt
dvmF
N
R
mvF
N
2
ds
dvmv
ds
ds
dt
dvm
dt
dvm
R
mv 2
ds
Rv
dv Rv
v
00
R
Rv
vln
0
evv
0
A
B
NF
rF
v?
（俯视图）
4、图示一轻质绳索绕在圆柱上，绳索绕柱上的张角为 。
绳与柱间的静摩擦因数为,
求绳索处于滑动的边缘时的张力 与 间的关系。
TBFTAF
解,在绳索 AB上去一小段讨论受力与运动情况受力分析：图示
（略去绳质量）
列方程：取 oxy坐标系
y
x
NF
2?d
d
o?
o
F
FdF
fF?
2?d
TAF
TBF?
AB
o
由牛顿定律得：
022 fFdc o sFdc o sdFF
02s in2s in NFdFddFF
d 很小
2212
dds in,dc o s
Nf FF
dFd?
略去 得
TA
TB
F
F
d
F
dF?
0
eFF TATB 或 e
F
F
TA
TB
y
x
NF
2?d
d
o?
o
F
FdF
fF?
2?d
结果讨论：若绳索在圆柱上绕 5圈，即 则 10?
00 0390,
F
F
TA
TB?
5、质量为,倾角为 的直角三角形木块，处于静止状态，今将一质量为 的物体从 顶端自由下滑，若不计摩擦，求木块与物体的加速度。
m
M?
M
M
M
m
m
解：
受力分析：如图研究对象,和M m
相对地面向右运动（ ）
（ 相对地面运动如图）
运动情况：
1a
相对 沿斜面运动（ ）
同时又随 向右运动
M
Mm 2a?
M
m
取 oxy坐标，分别列出 和的牛顿第二定律方程列出方程：
m
M
1a?
2a?
mg
NF
m
1a?
M
Mg
RF
'
NF
ox
y
沿水平向右
1a
沿斜面方向
2a
g
s inmM
c o ss inma
21
g
s i nmM
s i nmMa
22?
解得：
M
1s in MaF N
0c o sNR FMgF
(4)
(3)
m
12 c o ss in aamF N
s inc o s 2mamgF N (2)
(1)
1a?
2a?
mg
NF
m
1a?
M
Mg
RF
NF?
讨论,（ 1）若求 相对地面的加速度,则
m
a?
地地 MMmm aaa
即：
21 aaa
（质点运动学和牛顿定律）
一、基本要求：
(1) 掌握描述质点运动状态和状态变化的物理量及其意义。
)a,v,r,r(
(2) 掌握运动学两类问题的计算。
理解相对运动。(5)
掌握牛顿定律及其应用。(4)
理解切向加速度合法向加速度的概念。(3)
二、基本内容描述质点运动学的基本物理量。
1、
(1) 位置矢量 r?
直角坐标系
kzjyixr位移(2)
12 rrr
直角坐标系
kzzjyyixxr 121212
(3) 速度 v?
直角坐标系
kdtdzjdtdyidtdxdt rdv
方向：路径的切线方向
(4) 加速度
a?
k
dt
zdj
dt
ydi
dt
xd
dt
vda
2
2
2
2
2
2
注意：
(1) r s?与 的区别。
r 与 r r? 的区别。
(2) 运动方程 的意义。?
tr?
r
r?1r?
2r?
S?
y
x
z
o
与 (或 )
描写质点运动状态的物理量
(3)
vmpv?r?
已知运动求运动方程 — 积分(2)
(1) 已知运动方程求运动 — 微分运动学两类问题的计算。2、
3,切向加速度与法向加速度。
（速度大小的变化）
（速度方向的变化）
tt edt
dva
nn e
va
2
nn erwa 2?或
（一般用分量式进行计算）
牛顿定律及其应用4、
牛顿第二定律是核心（ 1）
amF
微分形式
2
2
dt
rd
mF
dt
vdmF 或
（ 2） 不同的 作用下，质点运动的研究。
vF,rF,tF
F?
等三、讨论题
1、一质点以半径为速圆周运动，以圆心为坐标原点，质点运动半个周期内，
其位矢大小的增量?r
r
R 作匀其位移大小
r?
质点作圆周运动
Rr 2 0r答案：
因此，一般情况下
dt
dr
dt
rdv
B
A
r
r
r?
质点从 A运动到 B
rrr
2、已知质点运动方程速度和加速度，
jtyitxr 求质点的
2
2
dt
rda?
dt
drv?22 yxr
则：由得 求得判断其是否正确。 答案,不正确正确计算是：
dt
dyv
y?dt
dxv
x?
22
dt
dy
dt
dx
v
2
2
22
2
2
dt
yd
dt
xd
a
3、试判断下列说法是否正确。
（ 1）一物体具有加速度，但速度可能为零。
（ 2）运动物体加速度越大，物体的速度也越大。
（ 3）物体在直线上运动前进时，如果物体向前的加速度减小，物体前进的速度也就减小了。
（ 4）物体加速度的值很大，而物体速度可以不变。
（ 5）物体作曲线运动时必有加速度。
√
√
√
X
X
4、下列图形中，正确反映质点在曲线运动轨迹上作减速运动的图形是哪一幅。
答案,(c)
(a)
a?
v?
(c)a?
v?
(b)
a?
v?
(d) a?
v?
四、计算题
1、已知质点运动方程
8,3.0 St?
mt.tx 2521510
计算 秒时的位置，速度和加速度
222 5 sm
dt
xda1515 smt
dt
dxv?
这是已知运动方程求运动一类的问题解：
0 10 15 -5
3 32.5 0 -5
8 -30 -25 -5
stmx1smv2sma
讨论：
图线，各图之间的联系
tatv,tx 和（ 1）作出
61.0t
0521510 2 t.t
应取何值？
t?
0?x（ 2）计算当时 由得秒和 秒问：
66.t?
t
t
t
t
a
v
x
0
0
0
2、已知质点曲线运动方程求质点任一时刻的切向加速度和法向加
jtit
dt
rdv 2112
解,同前
jtitr 232 123121
速度。
即 tv x?
12 tv y
122 tvvv yx
jti
dt
vda 2112
1?xa
2112 ta y 12
22
t
ta
则由定义知
1
dt
dva
t
2v
a n
12
122
t
aaa tn
2v
a n
另一方法：由函数式求出任一点处曲率半径 再由 求得结果。
3、已知光滑水平面上有一半圆形轨道。当质量为初速为 物体进入轨道时，
从另一端滑出时速度的大小。
m
0v
物体与轨道的摩擦因数为 求物体沿轨道解：
与物体运动速度反向沿轨道切线方向。
物体在轨道上滑动时受到摩擦力作用
rF
方向
A
B
0v
tt amF
dt
dvmF
N
R
mvF
N
2
ds
dvmv
ds
ds
dt
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dt
dvm
R
mv 2
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Rv
dv Rv
v
00
R
Rv
vln
0
evv
0
A
B
NF
rF
v?
（俯视图）
4、图示一轻质绳索绕在圆柱上，绳索绕柱上的张角为 。
绳与柱间的静摩擦因数为,
求绳索处于滑动的边缘时的张力 与 间的关系。
TBFTAF
解,在绳索 AB上去一小段讨论受力与运动情况受力分析：图示
（略去绳质量）
列方程：取 oxy坐标系
y
x
NF
2?d
d
o?
o
F
FdF
fF?
2?d
TAF
TBF?
AB
o
由牛顿定律得：
022 fFdc o sFdc o sdFF
02s in2s in NFdFddFF
d 很小
2212
dds in,dc o s
Nf FF
dFd?
略去 得
TA
TB
F
F
d
F
dF?
0
eFF TATB 或 e
F
F
TA
TB
y
x
NF
2?d
d
o?
o
F
FdF
fF?
2?d
结果讨论：若绳索在圆柱上绕 5圈，即 则 10?
00 0390,
F
F
TA
TB?
5、质量为,倾角为 的直角三角形木块，处于静止状态，今将一质量为 的物体从 顶端自由下滑，若不计摩擦，求木块与物体的加速度。
m
M?
M
M
M
m
m
解：
受力分析：如图研究对象,和M m
相对地面向右运动（ ）
（ 相对地面运动如图）
运动情况：
1a
相对 沿斜面运动（ ）
同时又随 向右运动
M
Mm 2a?
M
m
取 oxy坐标，分别列出 和的牛顿第二定律方程列出方程：
m
M
1a?
2a?
mg
NF
m
1a?
M
Mg
RF
'
NF
ox
y
沿水平向右
1a
沿斜面方向
2a
g
s inmM
c o ss inma
21
g
s i nmM
s i nmMa
22?
解得：
M
1s in MaF N
0c o sNR FMgF
(4)
(3)
m
12 c o ss in aamF N
s inc o s 2mamgF N (2)
(1)
1a?
2a?
mg
NF
m
1a?
M
Mg
RF
NF?
讨论,（ 1）若求 相对地面的加速度,则
m
a?
地地 MMmm aaa
即：
21 aaa
