第八章静电场中的导体和电介质前言
1.真空中静电场与有导体，电介质存在时的静电场比较
2.静电场中导体与电介质的研究
（ 1）导体和电介质在静电场中引起物理现象
（ 2）这些现象对原电场的影响
（ 3）有导体和电介质存在时，静电场的计算一,静电场中的导体
1,现象在外电场作用下，导体中电荷重新分布的现象 ----静电感应现象静电场中的导体导体静电平衡状态：导体内没有电荷作定向运动
(2)导体表面处电场强度方向与导体表面垂直
（ 3） 导体是一等势体
(1)导体内部任一点的电场强度为零，即
)(0 0 EEEE 内内 其中
0E
0E?
0?内E?
0E
E?
导体导体静电平衡条件静电场中的导体
2、导体静电平衡时的性质
（ 1）电荷分布在导体的表面
（ 2）孤立导体的面电荷分布与表面曲率成正比
（ 3）导体表面外侧的电场强度
neE
0?
为该处表面的电荷面密度?
静电场中的导体说明：
在导体表面上取一圆形面积元,以 为底面作图示扁形的圆柱形高斯面，
由高斯定理得
s?s?
0
0
s
sE
q
sdE
i
0?E
s?E
en
静电场中的导体式中 是与该点相对应处的电荷面密度?
0?
pE
0?
pEp p?
静电场中的导体即 得导体表面电荷面密度与其邻近处的关系
neE
0?
写成矢量式为方向垂直于该表面
0?
E
3 静电屏蔽
（ 1）空腔导体屏蔽外电场：
空腔导体内部物体不受外电场的影响
（ 2）接地的导体空腔使外部空间不受腔内电场的影响静电场中的导体
0E
4 两个实例静电场中的导体
（ 1）尖端放电与避雷针
（ 2）屏蔽室
5 有导体存在时电场的计算提示：
（ 1）静电场中引入导体后，由于电荷和电场分布的相互影响，问题更为复杂；
（ 2）理解导体静电平衡条件和性质，并能正确应用是关键；
（ 3）再联系前一章的静电场普遍规律，
去解决具体问题。
静电场中的导体例题 1 半径为 的导体球均匀带电,另外一同心导体球壳均匀带电其半径分别为 和 求电场强度和电势的分布
1R
2R 3R
q?
Q?
3R
2R
1R
q?
q?
Qq?
1 2 3
4
解：导体上电荷分布是,球壳内表面带电,外表面带电 。
q?
Qq?
静电场中的导体根据静电平衡条件和静电场的基本规律得电场分布
)(
4
)(0
)(
4
)0(0
342
40
4
3323
222
20
2
111
Rr
r
Qq
E
RrRE
RrR
r
q
E
RrE
静电场中的导体
3R
2R
1R
q?
q?
Qq?
1 2
3 4
球体的电势方法一：
302010
2
40
2
20
43
21
444
44 3
2
1
3
3
2
2
1
1
1
1
1
R
Qq
R
q
R
q
dr
r
Qq
dr
r
q
rdErdE
rdErdE
ldEU
R
R
R
R
r
R
R
R
R
Rr
r
静电场中的导体
3R
2R
1R
q?
q?
Qq?
1 2 3
4
方法二,根据电势叠加原理，球体电势是由三个带电球壳在 处的电势的叠加
1r
302010
1
444
321
R
Qq
R
q
R
q
UUUU
RRR
仿以上两种方法，同学们可自行计算得如下结果
302020 444
2 R
Qq
R
q
r
q
U r
静电场中的导体
3R
2R
1R
q?
q?
Qq?
1 2 3
4
304
3 R
Qq
U r
404
4 r
Qq
U r
静电场中的导体二 导体的电容
1 孤立导体的电容 C
导体的电容导体带电量 Q与导体电势 V 之比
V
Q
C?
（ 1） 电容的单位,法拉,微法拉皮法
)(F )( F?
)( pF
pFFF 126 10101
（ 2）电容是表达导体电学性质的物理量，
与导体是否带电无关
2 电容器,由两个带有等值异号电荷的导体所组成的系统电容器的电容
U
Q
VV
Q
C?
12两导体中任一导体带电 与两导体间电势差 之比
Q
UVV 21
2V 1V
Q? Q?
A
B
导体的电容
3 几种常见电容器的计算基本计算方法假设电容器带电 电容器中电场的分布 电容器两极板间电势差 由定 计算
U UQC?
Q
（ 1） 平板电容器,两板面积为 的金属平行板，相距为,中间为真空
BA,s
d
导体的电容设 带电为 （表面电荷密度为 ），则两板间的电场 BA,
Q?
0?
E
Q Q?
d
s
d
s
U
Q
C 0
0
由定义式：
（ 2）圆柱形电容器,长为,半径为 和的同轴 导体圆柱面构成，且
l AR
BR BRl
设内外圆柱面带电为,则单位长度带电为 Q?
l
Q
电容器两极板间电势差
0?
d
EdldEU
AB
导体的电容
lAB
AR
BR
所以电容器内电场大小为
)(
2 0 BA
RrR
r
E
圆柱间电势差
A
B
R
R
R
R
ldEU
B
A
ln
2
0
A
B
R
R
l
V
Q
C
ln
2 0
导体的电容讨论：
AB RRd
即,当两圆柱面之间的间隙远小于圆柱体半径 时，圆柱形电容器可当作平板电容器
)( ARd
d
s
d
lR
R
R
l
C
R
d
R
dR
R
R
A
A
B
AA
A
A
B
000
2
ln
2
lnln
当 时dR
A
导体的电容
lAB
AR
BR
)(
4 2120
RrR
r
Q
E
两球间电势差
)
11
(
4
4
210
2
2
0
1
2
1
RR
Q
dr
r
Q
rdEU
R
R
R
R
（ 3） 球形电容：半径为和 的同心金属球壳组成。
假设内球带 外球带,
则电容器内电场大小
1R
2R
Q? Q?
导体的电容
o
1R
2R
)(4
12
21
0 RR
RR
U
Q
C
(4)两根半径 的平行长直导线组成的电容器,两导线中心之间距离为
R
d
设 单位长度带电单位长度带电 图示坐标得导线间电场大小
A
B
)
11
(
2 0 xdx
E
导体的电容
x
xd?
R2
x
d
则两导线间电势差
R
d
R
Rd
dx
xdx
rdEU
Rd
R
Rd
R
lnln
)
11
(
2
00
0
单位长度上的电容
R
dU
C
ln
0
导体的电容
4 电容器主要性能实用中有各类电容器,
但就其性能而言,主要指两个方面,即电容器的电容量 C和电容器的耐压值 (击穿电压,击穿场强 ).
导体的电容
5 电容器的连接
(1)并联各电容器上分配的电量与其电容成正比
nn CCCqqq,::::,2121
各电容器两极板间的电势差相等
nUUUU21
电容器组的带电量为各电容器带电量之和
nqqqQ21
电容器组的电容
nCCCC21
特点
1C
2C
3C
Q? Q?
C
导体的电容
(2)串联特点各电容器所带电量相等
nqqqQ21电容器组的总电势差为各电容器电势差之和
nUUUU21各电容器上分配的电势差与其电容量成反比
n
n CCCUUU
1::1:1:::
21
21
电容器组总电容的倒数等于各个电容的倒数之和
nCCCC
1111
21
1C 2C nC
Q? Q?
C
U
导体的电容例题,两个电容器 和 分别标明把它们串联起来的等值电容为多大?如果两端加上 电势差,电容器组是否会被击穿?
1C 2C
VPFVPF 900,300500,200 和
V1000
(2)电容串联时,分配在各电容器上电势差与其电容值成反比解,(1)串联后等值电容为
21
111
CCC
PF
CC
CCC 1 2 0
3 0 02 0 0
3 0 02 0 0
21
21?
导体的电容
VUVU
VUU
400,600
1000
21
21
得又?
静电场中的电介质
1
2
2
1
C
C
U
U?
可见,大于电容器 的耐压值，故击穿。这时 电压全部加在 上，故也随之被击穿 !
1U 1
C
V1000 2C
2C
1C
三 静电场中的电介质
(限于讨论各向同性的均匀介质 )
1 电介质的微观结构和分类
(1)电介质内正负电荷处于束缚状态,在外电场作用下,束缚电荷只作微观的相对位移 (2)分子正负电荷中心讨论电介质分子中电荷在外电场作用下受力时，可以将电介质分子中所有正电荷集中在一个点上，将所有负电荷集中在一个点计算代表电介质分子中所有正,负电荷的两个点电荷称为分子正负电荷中心,因此一个分子在外电场中可等效为一个电偶极子,
静电场中的电介质
(3)电介质分类有极分子 ∶ 分子正负电荷中心不重合，分子电矩不为零。
_2o
H?H
OH 2有极分子无极分子 ∶ 分子正负电荷中心重合，分子电矩为零。
2 电介质的极化静电场中的电介质
)( 4CH甲烷分子无极分子
H
H
H
H
有极分子的极化无极分子的极化小结,
(1)电介质极化现象 ∶ 在外电场作用下，介质表面产生极化 (束缚 )电荷的现象。
(2)不论是有极分子还是无极分子的极化，微观机理虽然不相同，但在宏观上表现相同。
(3)电介质内的电场强度。
EEE 0
静电场中的电介质实验证明电介质内电场 仅为真空电场的 倍，
即
E?
r?
1
r
E
E
0?
为大于 1的纯数，称为电介质的相对电容率同时引入 称为电介质电容率
r?
0 r?
3 电介质极化的描述
(1)电极化强度矢量 描写电介质极化程度的物理量
p?
静电场中的电介质在极化电介质内，取一小体积元 内的分子电矩矢量和 不为零,则
VV,
iP?
V
P
P i
(2) 极化电荷面密度 与 的关系 P?
以充满电介质的平板电容器为例极化介质表面出现极化电荷,在电介质中取一长为,底面积为 的柱体)(q l s? l p
s?
静电场中的电介质柱体内所有分子电矩的矢量和的大小为即：在平板电容器中,
均匀电介质其电极化强度的大小等于极化产生的极化电荷面密度,
sl
ls
V
P
P
lsP
i
i
)(
静电场中的电介质
l p
s?
(3)电介质的电场强度 与电极化强度 的关系
E?
P?
电极化强度最终决定于 (合 )
电场
)( 0 EEEE
可以证明对各向同性电介质有
EP 0
介质的电极化率，对均匀电介质 是一个恒量。
静电场中的电介质注：反映电介质极化的物理量,和 是彼此相互制约的循环关系。
)(,qP E?
在外电场 的作用下，电介质极化，要计算电介质中的（合）电场,就要知道附加电场,而与 有关，而 又决定于（合）电场,
于是出现了,,这几个物理量的循环制约关系。
)( 00 qE?
E?
)(qE P
E?
E?
P?
)(qE
P?
)(qE
静电场中的电介质例题：平板电容器中充满相对电容率 的电介质，
若电容器极板的自由电荷面密度为,
求：（ 1）自由电荷的电场强度，（ 2）
电介质中的电场强度，（ 3）极化电荷的电场强度,（ 4）极化电荷电荷密度
4?r?
)101.9( 2600 mc
E
0
0
0E
E?
E
静电场中的电介质解,（ 1）自由电荷产生的电场强度大小为
16
0
0
0 1002.1
mVE
（ 2）电介质中的电场强度大小由前面讨论知
16
0
0
1025.0
mV
E
E
rr
)
(
00
0
00
E
EEEEEE
可求得若知得或由
静电场中的电介质
（ 3）极化电荷的电场强度
16
0
0
1077.0
mV
EEE
EEE
（ 4）如何找出 与 的关系呢？
0
rr
EEE
0
0
0
0
0
'?
静电场中的电介质
（或先求出 再有 为什么？）
0?
E
26
0
1082.6
)1(
mC
r
r
又因为
')1(
)1(
0
0
EP
P
r
r
r
比较 得
EP 0
1 r
静电场中的电介质小结：由上例导出的和 各物理量的关系式有
)( 00?E?
PEE,),(
PEEP
QQ
E
EEEE
r
rr
r
,)1(
)
1
1(),
1
1(
,
00
00
0
0
（ 1）适用于各向同性的均匀电介质静电场中的电介质四 有电介质存在时的高斯定理
1 问题的提出以平板电容器中充有电介质为例讨论
（ 3）注意各关系式应用条件
（ 2） 之间相互依赖和制约，同学们可选择不同方法计算
EP,,
取图示闭合的正柱面为高斯面 S，两端面平行于平板有电介质存在时的高斯定理
0
0
E?P?
s
寻找一种简化的计算方法！
式中 和 分别为高斯面所包围的自由电荷和极化电荷，前面讨论已知道，电介质中电场强度 与 有关，因此直接计算很困难的。
0Q
'Q
'QE?
有电介质存在时的高斯定理
)'(
1
0
0
QQsdE
0
0
E?P?
s
0)
1
1(' QQ
r?
令电位移矢量）(0 ED r
0QsdD
有电介质存在时的高斯定理
2 有电介质存在时，高斯定理的另一种形式
r
Q
sdE
0
0
00 QsdEr
r
Q
QQ
0
0 '代入原式
)'(1 0
0
QQsdE
在静电场中，通过任意闭合曲面的电位移通量等于该闭合曲面所包围的自由电荷的代数和。
一般情况的
iQsdD 0
注：（ 1）电位移矢量的一般表达式
ED r 0?
又
EEEP rr 000)1(
EPD 0
有电介质存在时的高斯定理
（ 2） 只是个辅助量，没有直接的物理意义，它是为求电介质中电场强度而引入的
D?
（ 3）通过定理 求得,
再由 或 求得电介质中的电场 。
iQsdD 0
D?
EPD 0 ED r 0?
E?
3 定理应用例题 1,导体球带电,半径为,球外被同心均匀电介质球壳包围。介质球壳外半径为,相对电容率为,介质球外为真空，求介质球内外的电场强度
q
1R
2R r
1R
2R
or
q
解：由对称性知，电场中各点的 矢量方向均沿径向，
的大小具有球对称性
D? D?
（ 1）在介质球壳内作一半径为的高斯球面，则
)( 21 RrRr
2
2
4
4
r
q
D
qDr
qsdD
有电介质存在时的高斯定理
ED r 0?
rr
rr
E
r
q
r
qD
E
0
2
0
2
00
1
4
4
（ 2）在介质球壳外作一半径为 的高斯球面
r
2
0
2
4
,
4 r
q
E
r
q
D
qsdD
有电介质存在时的高斯定理例题 2 平行板电容器面积,
充满两层厚度为 和 的电介质，它们相对电容率分别为 和,求：（ 1）电容器的电容，
（ 2）当电容器极板上自由电荷面密度为 时，两介质分界面上极化电荷面密度为多少？
1d
S
2d
1r? 2
r?
0
0
0
S
1r?
2r?
1d
2d
有电介质存在时的高斯定理解：（ 1）设电介质中电场强度分别为 和方向垂直于板面，取上下底面积均为 的正柱面为高斯面，上底面在导体板内，下底面在 的电介质内则
1E
2E
1S
1r?
isdD 0
0
101
D
SSD
0
0
0
1
11
rr
D
E
仿此可得
0
0
2
2
r
E?
有电介质存在时的高斯定理
0S
1r?
2r?
1d
2d
两极板间电势差
)(
21
21
0
0
2211
rr
dd
dEdEldEU
由电容定义
12
00
21
21
dd
s
U
s
U
Q
C
rr
rr
有电介质存在时的高斯定理设想 和 是由介质 1
和介质 2分别构成的两个电容器的电容，则电容 显然满足
1
0
1
1
d
s
C r
2
0
2
1
d
s
C r
21
111
CCC
C
0S
1r?
2r?
1d
2d
（ 2）应用已知公式
2
2
1
1
0
2
0
1
)1(
)1(
r
r
r
r
例题 3 半径分别为 和 的圆柱形电容器中充以相对电容率为 的电介质。设电容器单位长度上带电为,求（ 1）电介质中的电场强度，电位移和极化强度；（ 2）电介质内 外表面的极化电荷面密度；（ 3）圆柱形电容器的电容。
1R 2R
r?
有电介质存在时的高斯定理解：（ 1）电场分析,
作一与圆柱同轴的圆柱形高斯面，半径为,长为,则
)( 21 RrR
r l
l
r 2R
1R
有电介质存在时的高斯定理 r
EExP
r
r
r
2
)1()1(
00
r
D
lr lD
QsdD
n
i
i
s
2
2
1
)( 0
rE
EE?
r
DE
rr
00 2
（ 2）电介质表面的极化电荷密度为
2
202
1
101
2
)1()1(
2
)1()1(
R
E
R
E
r
rr
r
rr
所以有电介质存在时的高斯定理
Er
r
r
00 )1(
)1(
20
22
10
11
2
2
R
ERr
R
ERr
r
r
处处
(3)电容 C
)(
ln
2
ln
2
2
0
1
2
0
1
2
0
0
2
1
2
1
cC
R
R
l
U
Q
C
R
R
dr
r
rdEU
r
r
r
R
R
r
R
R
有电介质存在时的高斯定理五静电场的能量
1 带电系统的静电能是由外界提供的能量转化而获得的，
具体的说，带电系统的静电能等于将各电荷元从无限远移来过程中外力作的功。
以平板电容器 C为例，计算电容器两极板
A和 B分别带有电量 和,两极板间电势差为 时，所具有的静电能。
Q? Q?
U
静电场的能量外力作功，使原来无电场的电容器两极间建立了电场强度的静电场！
当电容器极板带电,
两板电势差为 时，把电荷元 从 板移到 板，
外力克服电场力作功为
q?
U
dq? B A
dqCqU d qdW
若使电容器两板带电 和,外力总功即为电容器静电能。
Q? Q?
C
Qdq
C
qdWW Q
e
2
0 2
1
即
2
2
2
1
2
1
2
1 CUUQ
C
QW
e
静电场的能量
q q?dq
U
E?
2 静电场的能量电容器静电能储存在哪里？
电容器带电极板上？！
以平板电容器为例讨论
VEsdE
Ed
d
s
CUW e
22
22
2
1
)(
2
1
)(
2
1
2
1
上式表明，静电能 是分布在电容器的电场 的整个空间,所以静电能就是电场能，静电能储存在电场中。
eW
E? V
静电场的能量
“近代理论认为电场具有能量,
3 静电场能量的普遍表达式平行电容器中电场是均匀的，
单位体积的电场能量是
2
2
2
1
2
1
2
1 DDEE
V
Ww e
e
可以证明，上式虽然从特例导出，但这是一个普遍适用公式，对任意电场都是正确的，因此，计算任一带电系统整个电场的能量为
dVEdVwW ee 221?
其积分普及电场所占有的整个空间的体积静电场的能量例题 1 带电为,半径为的导体球的静电场能（设球外为真空）
Q R
解：方法一：计算电场能量该带电系统的电场分布在 以外的整个空间，且电场强度分布为
R
)(
4
)0(0
2
0
Rr
r
Q
E
RrE
2
02
1 rwdVwW
eee 其中静电场的能量取 drrdV 24
R
Q
r
drQ
drr
r
Q
W
R
R
e
0
2
2
0
2
22
2
0
0
88
4)
4
(
2
1
方法二：根据电场能等于将各电荷元 从无限远移入过程中，外力克服电场力作功 dq
R
Q
dq
R
q
dWW
dqUdW
Q
e
0
2
0
0
84
静电场的能量方法三：由电容器的静电能计算孤立带电球体的电容为
R
Q
C
Q
RC
e
0
22
0
82
1
4
例题 2 球形电容器的内外半径 和,中间充满相对电容率为 的电介质，问此电容器的电场能量为多少？
1R 2R
r?
解：由高斯定理求得
)(
4 2120
RrR
r
q
E
r
静电场的能量同理，可用其他方法计算得到同一结果。
同上相仿计算
)
11
(
8
4)
4
(
2
1
2
1
21
2
22
2
2
RR
Q
drr
r
Q
dVEW
e
静电场的能量例题 3 圆柱形电容器外半径为,中间为空气，空气的击穿场强,
求在空气不被击穿情况下，内半径 取多大值，可使电容器储存能量最多？
mR 22 10
16100.3 mVE b
1R
解：设电容器单位长度带电量,得电容器内的电场强度大小为?
r
E
02
可见 处的电场强度值最大，欲使带电最多又不被击穿，则有 1
Rr?
静电场的能量
b
b
ER
R
E
10m a x
10
m a x
2
2
由电容器能量 得单位长度圆柱形电容器电场能量 UW e?2
1?
1
2
0
2
1
2
0
0
ln
4
ln
2
2
2
1
2
1
R
R
W
R
R
r
dr
rdEU
e
R
R
R
R
静电场的能量将 代入
max?
的函数式）即 )((
ln
1
1
22
1
2
0
RW
R
R
REW
e
be
欲使储能最大，取 0
1
dR
dW e
m
e
R
R
R
R
R
R
RE b
3
2
1
1
2
1
2
1
2
0
1007.6
0)1ln2(
0)1ln2(
静电场的能量六 静电的应用摘录电视片静电的应用静电除尘静电应用（备用）
1.真空中静电场与有导体，电介质存在时的静电场比较
2.静电场中导体与电介质的研究
（ 1）导体和电介质在静电场中引起物理现象
（ 2）这些现象对原电场的影响
（ 3）有导体和电介质存在时，静电场的计算一,静电场中的导体
1,现象在外电场作用下，导体中电荷重新分布的现象 ----静电感应现象静电场中的导体导体静电平衡状态：导体内没有电荷作定向运动
(2)导体表面处电场强度方向与导体表面垂直
（ 3） 导体是一等势体
(1)导体内部任一点的电场强度为零，即
)(0 0 EEEE 内内 其中
0E
0E?
0?内E?
0E
E?
导体导体静电平衡条件静电场中的导体
2、导体静电平衡时的性质
（ 1）电荷分布在导体的表面
（ 2）孤立导体的面电荷分布与表面曲率成正比
（ 3）导体表面外侧的电场强度
neE
0?
为该处表面的电荷面密度?
静电场中的导体说明：
在导体表面上取一圆形面积元,以 为底面作图示扁形的圆柱形高斯面，
由高斯定理得
s?s?
0
0
s
sE
q
sdE
i
0?E
s?E
en
静电场中的导体式中 是与该点相对应处的电荷面密度?
0?
pE
0?
pEp p?
静电场中的导体即 得导体表面电荷面密度与其邻近处的关系
neE
0?
写成矢量式为方向垂直于该表面
0?
E
3 静电屏蔽
（ 1）空腔导体屏蔽外电场：
空腔导体内部物体不受外电场的影响
（ 2）接地的导体空腔使外部空间不受腔内电场的影响静电场中的导体
0E
4 两个实例静电场中的导体
（ 1）尖端放电与避雷针
（ 2）屏蔽室
5 有导体存在时电场的计算提示：
（ 1）静电场中引入导体后，由于电荷和电场分布的相互影响，问题更为复杂；
（ 2）理解导体静电平衡条件和性质，并能正确应用是关键；
（ 3）再联系前一章的静电场普遍规律，
去解决具体问题。
静电场中的导体例题 1 半径为 的导体球均匀带电,另外一同心导体球壳均匀带电其半径分别为 和 求电场强度和电势的分布
1R
2R 3R
q?
Q?
3R
2R
1R
q?
q?
Qq?
1 2 3
4
解：导体上电荷分布是,球壳内表面带电,外表面带电 。
q?
Qq?
静电场中的导体根据静电平衡条件和静电场的基本规律得电场分布
)(
4
)(0
)(
4
)0(0
342
40
4
3323
222
20
2
111
Rr
r
E
RrRE
RrR
r
q
E
RrE
静电场中的导体
3R
2R
1R
q?
q?
Qq?
1 2
3 4
球体的电势方法一：
302010
2
40
2
20
43
21
444
44 3
2
1
3
3
2
2
1
1
1
1
1
R
R
q
R
q
dr
r
dr
r
q
rdErdE
rdErdE
ldEU
R
R
R
R
r
R
R
R
R
Rr
r
静电场中的导体
3R
2R
1R
q?
q?
Qq?
1 2 3
4
方法二,根据电势叠加原理，球体电势是由三个带电球壳在 处的电势的叠加
1r
302010
1
444
321
R
R
q
R
q
UUUU
RRR
仿以上两种方法，同学们可自行计算得如下结果
302020 444
2 R
R
q
r
q
U r
静电场中的导体
3R
2R
1R
q?
q?
Qq?
1 2 3
4
304
3 R
U r
404
4 r
U r
静电场中的导体二 导体的电容
1 孤立导体的电容 C
导体的电容导体带电量 Q与导体电势 V 之比
V
Q
C?
（ 1） 电容的单位,法拉,微法拉皮法
)(F )( F?
)( pF
pFFF 126 10101
（ 2）电容是表达导体电学性质的物理量，
与导体是否带电无关
2 电容器,由两个带有等值异号电荷的导体所组成的系统电容器的电容
U
Q
VV
Q
C?
12两导体中任一导体带电 与两导体间电势差 之比
Q
UVV 21
2V 1V
Q? Q?
A
B
导体的电容
3 几种常见电容器的计算基本计算方法假设电容器带电 电容器中电场的分布 电容器两极板间电势差 由定 计算
U UQC?
Q
（ 1） 平板电容器,两板面积为 的金属平行板，相距为,中间为真空
BA,s
d
导体的电容设 带电为 （表面电荷密度为 ），则两板间的电场 BA,
Q?
0?
E
Q Q?
d
s
d
s
U
Q
C 0
0
由定义式：
（ 2）圆柱形电容器,长为,半径为 和的同轴 导体圆柱面构成，且
l AR
BR BRl
设内外圆柱面带电为,则单位长度带电为 Q?
l
Q
电容器两极板间电势差
0?
d
EdldEU
AB
导体的电容
lAB
AR
BR
所以电容器内电场大小为
)(
2 0 BA
RrR
r
E
圆柱间电势差
A
B
R
R
R
R
ldEU
B
A
ln
2
0
A
B
R
R
l
V
Q
C
ln
2 0
导体的电容讨论：
AB RRd
即,当两圆柱面之间的间隙远小于圆柱体半径 时，圆柱形电容器可当作平板电容器
)( ARd
d
s
d
lR
R
R
l
C
R
d
R
dR
R
R
A
A
B
AA
A
A
B
000
2
ln
2
lnln
当 时dR
A
导体的电容
lAB
AR
BR
)(
4 2120
RrR
r
Q
E
两球间电势差
)
11
(
4
4
210
2
2
0
1
2
1
RR
Q
dr
r
Q
rdEU
R
R
R
R
（ 3） 球形电容：半径为和 的同心金属球壳组成。
假设内球带 外球带,
则电容器内电场大小
1R
2R
Q? Q?
导体的电容
o
1R
2R
)(4
12
21
0 RR
RR
U
Q
C
(4)两根半径 的平行长直导线组成的电容器,两导线中心之间距离为
R
d
设 单位长度带电单位长度带电 图示坐标得导线间电场大小
A
B
)
11
(
2 0 xdx
E
导体的电容
x
xd?
R2
x
d
则两导线间电势差
R
d
R
Rd
dx
xdx
rdEU
Rd
R
Rd
R
lnln
)
11
(
2
00
0
单位长度上的电容
R
dU
C
ln
0
导体的电容
4 电容器主要性能实用中有各类电容器,
但就其性能而言,主要指两个方面,即电容器的电容量 C和电容器的耐压值 (击穿电压,击穿场强 ).
导体的电容
5 电容器的连接
(1)并联各电容器上分配的电量与其电容成正比
nn CCCqqq,::::,2121
各电容器两极板间的电势差相等
nUUUU21
电容器组的带电量为各电容器带电量之和
nqqqQ21
电容器组的电容
nCCCC21
特点
1C
2C
3C
Q? Q?
C
导体的电容
(2)串联特点各电容器所带电量相等
nqqqQ21电容器组的总电势差为各电容器电势差之和
nUUUU21各电容器上分配的电势差与其电容量成反比
n
n CCCUUU
1::1:1:::
21
21
电容器组总电容的倒数等于各个电容的倒数之和
nCCCC
1111
21
1C 2C nC
Q? Q?
C
U
导体的电容例题,两个电容器 和 分别标明把它们串联起来的等值电容为多大?如果两端加上 电势差,电容器组是否会被击穿?
1C 2C
VPFVPF 900,300500,200 和
V1000
(2)电容串联时,分配在各电容器上电势差与其电容值成反比解,(1)串联后等值电容为
21
111
CCC
PF
CC
CCC 1 2 0
3 0 02 0 0
3 0 02 0 0
21
21?
导体的电容
VUVU
VUU
400,600
1000
21
21
得又?
静电场中的电介质
1
2
2
1
C
C
U
U?
可见,大于电容器 的耐压值，故击穿。这时 电压全部加在 上，故也随之被击穿 !
1U 1
C
V1000 2C
2C
1C
三 静电场中的电介质
(限于讨论各向同性的均匀介质 )
1 电介质的微观结构和分类
(1)电介质内正负电荷处于束缚状态,在外电场作用下,束缚电荷只作微观的相对位移 (2)分子正负电荷中心讨论电介质分子中电荷在外电场作用下受力时，可以将电介质分子中所有正电荷集中在一个点上，将所有负电荷集中在一个点计算代表电介质分子中所有正,负电荷的两个点电荷称为分子正负电荷中心,因此一个分子在外电场中可等效为一个电偶极子,
静电场中的电介质
(3)电介质分类有极分子 ∶ 分子正负电荷中心不重合，分子电矩不为零。
_2o
H?H
OH 2有极分子无极分子 ∶ 分子正负电荷中心重合，分子电矩为零。
2 电介质的极化静电场中的电介质
)( 4CH甲烷分子无极分子
H
H
H
H
有极分子的极化无极分子的极化小结,
(1)电介质极化现象 ∶ 在外电场作用下，介质表面产生极化 (束缚 )电荷的现象。
(2)不论是有极分子还是无极分子的极化，微观机理虽然不相同，但在宏观上表现相同。
(3)电介质内的电场强度。
EEE 0
静电场中的电介质实验证明电介质内电场 仅为真空电场的 倍，
即
E?
r?
1
r
E
E
0?
为大于 1的纯数，称为电介质的相对电容率同时引入 称为电介质电容率
r?
0 r?
3 电介质极化的描述
(1)电极化强度矢量 描写电介质极化程度的物理量
p?
静电场中的电介质在极化电介质内，取一小体积元 内的分子电矩矢量和 不为零,则
VV,
iP?
V
P
P i
(2) 极化电荷面密度 与 的关系 P?
以充满电介质的平板电容器为例极化介质表面出现极化电荷,在电介质中取一长为,底面积为 的柱体)(q l s? l p
s?
静电场中的电介质柱体内所有分子电矩的矢量和的大小为即：在平板电容器中,
均匀电介质其电极化强度的大小等于极化产生的极化电荷面密度,
sl
ls
V
P
P
lsP
i
i
)(
静电场中的电介质
l p
s?
(3)电介质的电场强度 与电极化强度 的关系
E?
P?
电极化强度最终决定于 (合 )
电场
)( 0 EEEE
可以证明对各向同性电介质有
EP 0
介质的电极化率，对均匀电介质 是一个恒量。
静电场中的电介质注：反映电介质极化的物理量,和 是彼此相互制约的循环关系。
)(,qP E?
在外电场 的作用下，电介质极化，要计算电介质中的（合）电场,就要知道附加电场,而与 有关，而 又决定于（合）电场,
于是出现了,,这几个物理量的循环制约关系。
)( 00 qE?
E?
)(qE P
E?
E?
P?
)(qE
P?
)(qE
静电场中的电介质例题：平板电容器中充满相对电容率 的电介质，
若电容器极板的自由电荷面密度为,
求：（ 1）自由电荷的电场强度，（ 2）
电介质中的电场强度，（ 3）极化电荷的电场强度,（ 4）极化电荷电荷密度
4?r?
)101.9( 2600 mc
E
0
0
0E
E?
E
静电场中的电介质解,（ 1）自由电荷产生的电场强度大小为
16
0
0
0 1002.1
mVE
（ 2）电介质中的电场强度大小由前面讨论知
16
0
0
1025.0
mV
E
E
rr
)
(
00
0
00
E
EEEEEE
可求得若知得或由
静电场中的电介质
（ 3）极化电荷的电场强度
16
0
0
1077.0
mV
EEE
EEE
（ 4）如何找出 与 的关系呢？
0
rr
EEE
0
0
0
0
0
'?
静电场中的电介质
（或先求出 再有 为什么？）
0?
E
26
0
1082.6
)1(
mC
r
r
又因为
')1(
)1(
0
0
EP
P
r
r
r
比较 得
EP 0
1 r
静电场中的电介质小结：由上例导出的和 各物理量的关系式有
)( 00?E?
PEE,),(
PEEP
E
EEEE
r
rr
r
,)1(
)
1
1(),
1
1(
,
00
00
0
0
（ 1）适用于各向同性的均匀电介质静电场中的电介质四 有电介质存在时的高斯定理
1 问题的提出以平板电容器中充有电介质为例讨论
（ 3）注意各关系式应用条件
（ 2） 之间相互依赖和制约，同学们可选择不同方法计算
EP,,
取图示闭合的正柱面为高斯面 S，两端面平行于平板有电介质存在时的高斯定理
0
0
E?P?
s
寻找一种简化的计算方法！
式中 和 分别为高斯面所包围的自由电荷和极化电荷，前面讨论已知道，电介质中电场强度 与 有关，因此直接计算很困难的。
0Q
'Q
'QE?
有电介质存在时的高斯定理
)'(
1
0
0
QQsdE
0
0
E?P?
s
0)
1
1(' QQ
r?
令电位移矢量）(0 ED r
0QsdD
有电介质存在时的高斯定理
2 有电介质存在时，高斯定理的另一种形式
r
Q
sdE
0
0
00 QsdEr
r
Q
0
0 '代入原式
)'(1 0
0
QQsdE
在静电场中，通过任意闭合曲面的电位移通量等于该闭合曲面所包围的自由电荷的代数和。
一般情况的
iQsdD 0
注：（ 1）电位移矢量的一般表达式
ED r 0?
又
EEEP rr 000)1(
EPD 0
有电介质存在时的高斯定理
（ 2） 只是个辅助量，没有直接的物理意义，它是为求电介质中电场强度而引入的
D?
（ 3）通过定理 求得,
再由 或 求得电介质中的电场 。
iQsdD 0
D?
EPD 0 ED r 0?
E?
3 定理应用例题 1,导体球带电,半径为,球外被同心均匀电介质球壳包围。介质球壳外半径为,相对电容率为,介质球外为真空，求介质球内外的电场强度
q
1R
2R r
1R
2R
or
q
解：由对称性知，电场中各点的 矢量方向均沿径向，
的大小具有球对称性
D? D?
（ 1）在介质球壳内作一半径为的高斯球面，则
)( 21 RrRr
2
2
4
4
r
q
D
qDr
qsdD
有电介质存在时的高斯定理
ED r 0?
rr
rr
E
r
q
r
qD
E
0
2
0
2
00
1
4
4
（ 2）在介质球壳外作一半径为 的高斯球面
r
2
0
2
4
,
4 r
q
E
r
q
D
qsdD
有电介质存在时的高斯定理例题 2 平行板电容器面积,
充满两层厚度为 和 的电介质，它们相对电容率分别为 和,求：（ 1）电容器的电容，
（ 2）当电容器极板上自由电荷面密度为 时，两介质分界面上极化电荷面密度为多少？
1d
S
2d
1r? 2
r?
0
0
0
S
1r?
2r?
1d
2d
有电介质存在时的高斯定理解：（ 1）设电介质中电场强度分别为 和方向垂直于板面，取上下底面积均为 的正柱面为高斯面，上底面在导体板内，下底面在 的电介质内则
1E
2E
1S
1r?
isdD 0
0
101
D
SSD
0
0
0
1
11
rr
D
E
仿此可得
0
0
2
2
r
E?
有电介质存在时的高斯定理
0S
1r?
2r?
1d
2d
两极板间电势差
)(
21
21
0
0
2211
rr
dd
dEdEldEU
由电容定义
12
00
21
21
dd
s
U
s
U
Q
C
rr
rr
有电介质存在时的高斯定理设想 和 是由介质 1
和介质 2分别构成的两个电容器的电容，则电容 显然满足
1
0
1
1
d
s
C r
2
0
2
1
d
s
C r
21
111
CCC
C
0S
1r?
2r?
1d
2d
（ 2）应用已知公式
2
2
1
1
0
2
0
1
)1(
)1(
r
r
r
r
例题 3 半径分别为 和 的圆柱形电容器中充以相对电容率为 的电介质。设电容器单位长度上带电为,求（ 1）电介质中的电场强度，电位移和极化强度；（ 2）电介质内 外表面的极化电荷面密度；（ 3）圆柱形电容器的电容。
1R 2R
r?
有电介质存在时的高斯定理解：（ 1）电场分析,
作一与圆柱同轴的圆柱形高斯面，半径为,长为,则
)( 21 RrR
r l
l
r 2R
1R
有电介质存在时的高斯定理 r
EExP
r
r
r
2
)1()1(
00
r
D
lr lD
QsdD
n
i
i
s
2
2
1
)( 0
rE
EE?
r
DE
rr
00 2
（ 2）电介质表面的极化电荷密度为
2
202
1
101
2
)1()1(
2
)1()1(
R
E
R
E
r
rr
r
rr
所以有电介质存在时的高斯定理
Er
r
r
00 )1(
)1(
20
22
10
11
2
2
R
ERr
R
ERr
r
r
处处
(3)电容 C
)(
ln
2
ln
2
2
0
1
2
0
1
2
0
0
2
1
2
1
cC
R
R
l
U
Q
C
R
R
dr
r
rdEU
r
r
r
R
R
r
R
R
有电介质存在时的高斯定理五静电场的能量
1 带电系统的静电能是由外界提供的能量转化而获得的，
具体的说，带电系统的静电能等于将各电荷元从无限远移来过程中外力作的功。
以平板电容器 C为例，计算电容器两极板
A和 B分别带有电量 和,两极板间电势差为 时，所具有的静电能。
Q? Q?
U
静电场的能量外力作功，使原来无电场的电容器两极间建立了电场强度的静电场！
当电容器极板带电,
两板电势差为 时，把电荷元 从 板移到 板，
外力克服电场力作功为
q?
U
dq? B A
dqCqU d qdW
若使电容器两板带电 和,外力总功即为电容器静电能。
Q? Q?
C
Qdq
C
qdWW Q
e
2
0 2
1
即
2
2
2
1
2
1
2
1 CUUQ
C
QW
e
静电场的能量
q q?dq
U
E?
2 静电场的能量电容器静电能储存在哪里？
电容器带电极板上？！
以平板电容器为例讨论
VEsdE
Ed
d
s
CUW e
22
22
2
1
)(
2
1
)(
2
1
2
1
上式表明，静电能 是分布在电容器的电场 的整个空间,所以静电能就是电场能，静电能储存在电场中。
eW
E? V
静电场的能量
“近代理论认为电场具有能量,
3 静电场能量的普遍表达式平行电容器中电场是均匀的，
单位体积的电场能量是
2
2
2
1
2
1
2
1 DDEE
V
Ww e
e
可以证明，上式虽然从特例导出，但这是一个普遍适用公式，对任意电场都是正确的，因此，计算任一带电系统整个电场的能量为
dVEdVwW ee 221?
其积分普及电场所占有的整个空间的体积静电场的能量例题 1 带电为,半径为的导体球的静电场能（设球外为真空）
Q R
解：方法一：计算电场能量该带电系统的电场分布在 以外的整个空间，且电场强度分布为
R
)(
4
)0(0
2
0
Rr
r
Q
E
RrE
2
02
1 rwdVwW
eee 其中静电场的能量取 drrdV 24
R
Q
r
drQ
drr
r
Q
W
R
R
e
0
2
2
0
2
22
2
0
0
88
4)
4
(
2
1
方法二：根据电场能等于将各电荷元 从无限远移入过程中，外力克服电场力作功 dq
R
Q
dq
R
q
dWW
dqUdW
Q
e
0
2
0
0
84
静电场的能量方法三：由电容器的静电能计算孤立带电球体的电容为
R
Q
C
Q
RC
e
0
22
0
82
1
4
例题 2 球形电容器的内外半径 和,中间充满相对电容率为 的电介质，问此电容器的电场能量为多少？
1R 2R
r?
解：由高斯定理求得
)(
4 2120
RrR
r
q
E
r
静电场的能量同理，可用其他方法计算得到同一结果。
同上相仿计算
)
11
(
8
4)
4
(
2
1
2
1
21
2
22
2
2
RR
Q
drr
r
Q
dVEW
e
静电场的能量例题 3 圆柱形电容器外半径为,中间为空气，空气的击穿场强,
求在空气不被击穿情况下，内半径 取多大值，可使电容器储存能量最多？
mR 22 10
16100.3 mVE b
1R
解：设电容器单位长度带电量,得电容器内的电场强度大小为?
r
E
02
可见 处的电场强度值最大，欲使带电最多又不被击穿，则有 1
Rr?
静电场的能量
b
b
ER
R
E
10m a x
10
m a x
2
2
由电容器能量 得单位长度圆柱形电容器电场能量 UW e?2
1?
1
2
0
2
1
2
0
0
ln
4
ln
2
2
2
1
2
1
R
R
W
R
R
r
dr
rdEU
e
R
R
R
R
静电场的能量将 代入
max?
的函数式）即 )((
ln
1
1
22
1
2
0
RW
R
R
REW
e
be
欲使储能最大，取 0
1
dR
dW e
m
e
R
R
R
R
R
R
RE b
3
2
1
1
2
1
2
1
2
0
1007.6
0)1ln2(
0)1ln2(
静电场的能量六 静电的应用摘录电视片静电的应用静电除尘静电应用（备用）
