刚 体 的 转 动第 四 章一、刚体的定轴转动
1、刚体的转动刚体的转动,刚体中所有的点都绕同一直线（转轴）作圆周运动刚体的定轴转动,轴为固定的转动刚体的一般运动,平动和转动的合成运动刚体的平动：
z
o r
P
x
2、描述刚体定轴转动的物理量 角坐标 θ,角位移 d?
角速度 ω=d?/dt
角加速度? =d?/dt
说明：角速度、角位移、角加速度都是矢量（如角速度矢量的方向，由右手法则确定为沿转轴方向），但在刚体定轴转动时，
角速度等矢量方向与轴平行，则它们可以用代数量来表示
3、匀变速转动公式质点匀变速直线运动 刚体绕定轴匀变速转动
atvv 0 t 0
2
00
2
1 attvxx 200
2
1 tt
0202 2 xxavv0202 2
4、角量与线量关系
rv?
ra?
2?ra
n?
二、刚体的转动定律 转动惯量
1、力矩复习：力对转轴的力矩刚体转动：
s inFrFdM
r
F
d
回顾：
截取参考平面：平面上有力,其对轴的力矩
F?
BA
s inABBA
方向：右手法则所以 FrM
方向：右手法则确定
s inFrFdM
o
z
F
P
d
r
讨论：
（ 1） 是力矩定义式（对点、对轴），在定轴转动中，力矩可以表示代数量是
FrM
s inFrM?
（ 2）力矩大小由 大小和 两个因素确定，当力平行于转轴和力的作用线通过转轴时，力对轴的力矩为零。
F? d
（ 3）定轴转动中，式中是指在参考平面内的作用力，
如果外力不在转动平面上，
则上式 理解为外力在该平面上的分力。
F?
F?
（ 4）几个外力同时作用在刚体上，则它们对转轴的合外力矩等于这几个外力矩的代数和。
（ 5）一对内力对轴的力矩和等于零，
则质点系对任一轴的内力矩之和必为零。
2、刚体定轴转动定律质点：
aF amF
刚体：
)M(FM
设刚体绕定轴 Oz转动任取一质元,其绕轴作半径为 r的圆周运动 i
m?
受力分析,?
iF
内力
iF
外力由牛顿第二定律
amFF iii
ir乘以 2iiiitiit rmrFrF
iitiitit rmamFF切向
z
iF
iF?
o
ir? im?
对刚体
)( 2iiiitiit rmrFrF
)rm(M ii 2
JM
其中 —转动惯量?
2ii rmJ?
刚体定轴转动，刚体的角加速度与它所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比
0 iit rF MrF iit
（为什么？）
3、转动惯量 J,描述刚体在转动中的惯性大小的物理量转动惯量的大小,刚体内每个质点的质量与该质点到转轴距离平方之积的总和。
n
i
ii rmJ
1
2或
dmrJ 2
4、转动惯量的计算 （一般的需用实验方法求出）
dmrJ 2
其中
dvdm
dsdm
dldm
（质量体分布）
（质量面分布）
（质量线分布） z
o r
dV
dm
dVdm
例题 1、质量为,长为的均匀细棒，计算
m l
cJ（ 1）通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量
（ 2）通过棒一端并与棒垂直的轴的转动惯量
22
2
22
12
1
mlddmrJ
l
l
lc
（ 2）取图示坐标系
2
0
2
3
1 mldJ l
解：刚体质量的线分布
l
m
（ 1）取图示坐标系 ox：取一质元
dxdx
l
mdm
z
o
x dm
dx
x
z
o
x dm
dx
x
222
212
1
3
1 )l(mmlmlJ
2mdJJ
c
① 转动惯量大小与转轴的位置有关可见：
刚体对某轴的转动惯量 等于刚体通过质心与该轴平行的转动惯量 与刚体质量和两轴间距离平方乘积之和。
J
cJ
z zd
c o
② 平行轴定理解：取一质元 dm
则
222 mRdmRdmrJ
mm
例题 2、质量为 m的匀质细圆环，半径为 R，求通过中心 o并与环面垂直的轴的转动惯量。
o
z
解：刚体质量面分布，设
2R
m
计算思路,将一复杂形体的刚体，分作为若干简单形体的组合，根据转动惯量的可加性，先算出简单形体转动惯量，然后再求和获得刚体的转动惯量例题 3、质量为 m，半径为 R
的均匀薄圆盘，求通过中心
o并与圆盘面垂直的轴的转动惯量
o
z
由圆环的转动惯量得,元,圆环的所以圆盘：
2
0
2
2
1 mRdmrdJJ R
m
o
z
r
dr
将圆盘分成一系列半径,
宽度为,质量为的细圆环,元,组成
r
dr dm
r d rdm
dmrdJ
2
2
例题 4、质量为 m，半径为 R
的均匀球体，求通过球心的轴的转动惯量解：刚体质量体分布
3
3
4
R
m
由例 3得到启示将球体分成一系列半径不同的质量为 dm的,元,薄圆盘组成
dx x
r
R
x
o
R
R
dxxR 222
2
22
0 2
1 r)dxr(dJJ R
由薄圆盘的转动惯量式
2
2
1 mRJ?
2
5
2 mR?
2
2
1 rdmdJ
dx x
r
R
x
o
（ 3）一般情况由实验求得。
转动惯量计算小结
（ 1）转动惯量的大小与刚体总质量、质量分布和转轴有关。
（ 2）多种计算方法，要掌握每一种方法的思路和要点。
5、刚体定轴定律的应用举例基本方法和步骤求解联立方程分析力，确定外力矩 列出转动定律和牛顿定律方程列出线量和角量之间的关系式
)(?JM?
例题 1、图示物体质量 mA,mB
圆柱形滑轮质量 mc,半径 R，
若不计桌面和轮轴摩擦力，
求：⑴两物体的加速度和绳的张力；
⑵物体 B从静止落下距离 y时，其速率为多少？ 解：分析力和力矩
⑴ 列出方程刚体
JRFRF 'TT 12
2
2
1 mRJ?
Am
Bm
R,mc1
cP
2TF
cF
1TF?
NF
1TF
AP
Am
BP
2TF?
Bm
物体 A
amF AT?1
物体 B amFgm
B
'
TB 2
联系式
'
TT FF 11?
Ra?
'
TT FF 22?
联立求解得
g
mmm
m
a
CBA
B
2
1
cP
2TF
cF
1TF?
NF
1TF
AP
Am
BP
2TF?
Bm
g
mmm
mm
F
CBA
BA
T
2
11
g
mmm
m)mm(
F
CBA
BCA
T
2
1
2
1
2
⑵
CBA
B
mmm
gym
ayv
2
1
2
2
cP
2TF
cF
1TF?
NF
1TF
AP
Am
BP
2TF?
Bm
例题 2、质量为 m，长为 l的匀质细杆，可绕其一端的水平固定轴转动，将杆从水平位置静止释放，求杆下落到竖直位置时的角速度。
设杆在某一位置时，
c o slmgM
2
m,l
o
gm?
解,分析：杆在运动过程中受到变力矩作用！则其角加速度为变值，由 求 要用积分
d
dJc o slmg
2
0
2
02
dJdc o s
l
mg
222
3
1
2
1
2
1
2
)ml(Jlmg
l
g3
由转动定律，
d
d
dt
dJJc o slmg
2
m,l
o
gm?
三、角动量 角动量守恒定律
（一）质点角动量质点,讨论力对时间的累积作用引出冲量和动量讨论力矩对时间的累积作用，将引出冲量矩和角动量刚体：
设质点 m，具有速度，动量为 vmpv?
1、质点的角动量质点对某一点的角动量
L?
vmv
m?o
r?
大小,?s inr m vL?
夹角）与 Pr(
方向：右手法则（矢积法则）
其对空间某一点 o的角动量定义,vrmPrL
L?
vmv
m?o
r?
讨论：
)PL,rL（
(1) 垂直 和 组成的平面。L? r? P?
L?(2) 与参考点 有关，需指明对那一点的角动量。
o
L?
r?
P?
⑶ 作为一个特例（常见）：
若质点在平面上作圆周运动，质点对圆心 o的角动量
vmrL
大小：
2mrr m vL
方向：垂直圆平面
L? 又称为质点对过 o点垂直于运动平面的轴的角动量
r?
v?
o
m
L?
2、质点的角动量定理牛顿第二定律
dt
)vm(dF
r?两边叉乘
)vm(
dt
drFr
)vm(
dt
drvm
dt
rd)vm(
dt
drvmr
dt
d
因代入上式
)vmr(
dt
dFr
即
dt
Ld
M
作用于质点的合力对 参考点 o的力矩，等于质点对该点 o的角动量随时间的变化率 或写成
LddtM
12
2
1
LLdtM
t
t
作用于同一参考点 o所受的冲量矩
（角冲量）等于质点角动量（动量矩）
的增量 —质点的角动量定理
3、质点的角动量守恒定律质点所受的对参考点 o的合力矩为零时，
质点对该参考点的角动量为一恒矢量实例：天体中行星绕太阳运动；演示实例恒矢量 vmrL
0?M?若,则已知地球半径 R=6378km，卫星距地面最近距离 l1=439km，
最远距离 l2=2384km，
若卫星在近地点 A1的速度 v1=810km·s-1，求卫星在远地点 A2的速度。
4、应用举例例题 1、我国第一颗人造地球卫星沿椭圆轨道运动，地球的中心 o为该椭圆的一个焦点。
2v?
1v?
2A
1Ao
恒矢量所以?L?
))(lR(mvL 为什么？222A2
解：卫星运动过程，
0?M? （为什么？）
A1 ))(lR(mvL 为什么？
111
21 LL? 得
1
2
1
12 6 30
skm
lR
lRvv
2v?
1v?
2A
1Ao
解：受力分析 如图作用小球力矩方向 垂直图面向里
B
A
o?
例题 2、半径为 的光滑圆环置于竖直平面内，质量 的小球由 点静止下滑，求小球到 时对环心 的角动量和角速度（不计摩擦）。
R
m
A
B o
o A
NF?
v? P
B
dt
dLc o sm g R
dtd2mRL?及?d
L
mRdt 2?式（ 2）代入式（ 1）得, dc o sRmL d L 32?
0320 dc o sRmL d LL
2123 2 )s ing(mRL 212 )s in
R
g(
讨论：该题用其它方法（功能原理）
更为简单方便。
设小球角动量为,方向垂直图面向里，则
L?
（二）刚体的角动量
1、刚体定轴转动的角动量刚体定轴转动对转轴的角动量就是刚体上各质点对定轴的角动量之和。
22
iiiii rmrmLL
即
JL? )vmp(
任一质点都绕轴作圆周运动，所以
2、刚体定轴转动的角动量定理
)rm(
dt
dMMM
iiiii?
2
外内对定轴转动的刚体
外内 则 ii MM,M 0
)rm(
dt
dMM
iii
2
外设作用于刚体中某质点的力矩,中含有外力矩 和内力矩,则i
M iM
im
内iM
外iM
im
ir
若物体内各质点相对转轴位置发生变化
1122
2
1
JJM d tt
t
12
2
1
vmvmdtF
t
t
作用于物体上的冲量矩（角动量）等于其角动量（动量矩）的增量。
dt
dL)J(
dt
dM
12
2
1
2
1
LLdLM d t L
L
t
t
或
3、刚体定轴转动的角动量守恒定律如果物体受到合外力矩等于零，物体角动量保持不变。
若,则 恒量0?MJ
讨论：
（ 1）守恒定律中涉及的外力矩、转动惯量和角动量都是对同一转轴而言的。
（ 2）定律推广到非刚体花样滑冰、跳水运动、
体操运动、猫从高处掉下来、地球自转周期的变化
（ 3）几个角动量守恒的实例例题 1、杂技演员 M,N的质量均为 m。均匀细跷板长 l，
质量为 m′,支撑于中点 o,若 M
从高 h自由下落与板作完全非弹性碰撞，求 N可弹的高度。
解：取演员 M,N和跷板为系统，以通过
o点轴为转轴，演员 M与跷板碰撞的过程，
系统角动量守恒 （为什么？）
4、应用
M
N
h
2
l
c
碰撞前
21
lmvL
M?
ghv M 2?
碰撞后
222
lmulmuJL
式中 为碰撞后演员和跷板 c的角速度,u
为碰撞后演员 M,N 的线速度，
2
lu?由角动量守恒
2
2
1
2
mlJlmv M 2
12
1 mlJ?
l)mm(
ghm
' 6
26
解得所以演员达到高度
h
mm
m
g
u
h ''
22
6
3
2
解：取人和转台为系统，
则人走动时，系统角动量守恒 （为什么？）
例题 2、静止水平转台边缘上一质量为 的人，当人沿边缘以速率 行走时，问转台得角速度为多大？设转台绕通过转台中心的铅直轴转动，转动惯量为,半径为
m
v
0J R
设平台角速度 为，人相对转轴角速度为 。
00 人JJ
其中
2mRJ?
人
R
v
020
R
vmRJ
（负号意义）
2
0 mRJ
m R v
四：刚体绕定轴转动的功能关系
1、力矩的功讨论：
（ 1）力矩的功（力的功）
设刚体定轴转动中，刚体在切向力的作用下，绕轴转过 t
F?
d
rdFdsFrdFdW tt
即?MddW?
所以 2
1
MddWW
tF?
d
rd?o
r?
z
（ 2）外力 作用下
（
），与上结果相同。
F?
nntt eFeFF
（ 3） 指合外力矩M
2、刚体定轴转动的动能
222
2
1
2
1
iiiik rmvmE
2
2
1?JE
k )mvE( k
2
2
1?
3、刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理：
合外力矩对绕定轴转动的刚体做的功等于该刚体转动动能的增量。
因
dJd
dt
dJMddW
2
1
2
2 2
1
2
12
1
2
1
JJdJMdW
2
1
2
2 2
1
2
1 mvmvW
4、刚体的势能
5、功能原理和守恒定律的应用对于刚体和质点组成的系统中，原理同样适用。
动能：质点和刚体转动动能势能：质点和刚体的势能
cp m g hE?
—刚体质心位置
ch
解：分析受力：图示例题 1、图示滑轮 上绕有轻绳，一端挂质量为 的物体。求当物体由静止下落高度 时的速度大小。
R,m?
m
h
外力矩对滑轮作功，由刚体动能定理得
2
0
2
2
1
2
1 JJRdF
T
外力对物体作功，由质点动能定理得
R,m?
m
m
h
nF
P? TF
TF?
mg 202 2
1
2
1 mvmvRdFm g h
T
)(dl
机械能守恒！ （为什么？）
解得：
gh
R
J
m
m
v 2
2
两式相加
22
2
1
2
1
mvJm g h?
2
0
2
0 2
1
2
1
mvJ?
解：取弹簧、物体和滑轮为系统，则作用于系统的外力和非保守内力做功为零 （为什么？）
系统机械能守恒（取势能零点）
例题 2、定滑轮半径 转动惯量,弹簧劲度系数,开始时处于自然长度，物体静止。然后释放物体，求物体下落 时的速度大小。
r
J k
m
h r,J
k
m
m
h
222
2
1
2
1
2
1
khJmvm g hrv?
动力学方法分析受力，图示,1TF
2TF?P
1TF?
NF
gm?
2TF
m
2
2
2
2
1
2
1
vm
r
J
khm g h?
2
22
r
Jm
khm g h
v
m maFmg
T 2
(1)
弹簧：
kxF T?1
(2)
滑轮：
JrFrF TT 12
(3)
r,Jk
m
m
h
比较两种方法由式 (1)(2)(3)(4)解得（需积分）
2
22
r
Jm
khm g h
v
有 (4)?ra?
例题 3、棒长,质量,可绕点 自由转动，一质量 速度为 子弹水平射入距离 点为 处，使棒最大偏转为,求子弹的速度大小。
l m? o
m v?
o a?
m?
v?
m
a
o
解：取子弹、棒作为系统，
在子弹射入棒的过程中系统的角动量守恒 （为什么？）
有
22
3
1
malmm v a
22
3
1
malm
m?
v?
m
a
o
子弹射入后，棒与子弹一起运动到最大偏角,这过程 系统的机械能守恒 。
22 3232
6
1
malmmalm
g
ma
v
有
22
3
1
2
1
malm
c o s1
2
'c o s1 lgmm g a
1、经典力学适用于低速运动问题
2、能量连续性与能量量子化经典力学：能量连续性量子理论：能量是不连续的，能量量子化
3、确定性与随机性经典力学的成就和局限性五：
（ 1）经典力学：牛顿定律的确定性确定的初值确定的方程 确定的解
（ 2）自然界的运动是确定性和随机性并存
（ 3）决定论系统中出现的内在随机行为 —
混沌现象 。
“给与宇宙的初始条件，我们就能确定它的过去、现在和未来！,
拉普拉斯：
1、刚体的转动刚体的转动,刚体中所有的点都绕同一直线（转轴）作圆周运动刚体的定轴转动,轴为固定的转动刚体的一般运动,平动和转动的合成运动刚体的平动：
z
o r
P
x
2、描述刚体定轴转动的物理量 角坐标 θ,角位移 d?
角速度 ω=d?/dt
角加速度? =d?/dt
说明：角速度、角位移、角加速度都是矢量（如角速度矢量的方向，由右手法则确定为沿转轴方向），但在刚体定轴转动时，
角速度等矢量方向与轴平行，则它们可以用代数量来表示
3、匀变速转动公式质点匀变速直线运动 刚体绕定轴匀变速转动
atvv 0 t 0
2
00
2
1 attvxx 200
2
1 tt
0202 2 xxavv0202 2
4、角量与线量关系
rv?
ra?
2?ra
n?
二、刚体的转动定律 转动惯量
1、力矩复习：力对转轴的力矩刚体转动：
s inFrFdM
r
F
d
回顾：
截取参考平面：平面上有力,其对轴的力矩
F?
BA
s inABBA
方向：右手法则所以 FrM
方向：右手法则确定
s inFrFdM
o
z
F
P
d
r
讨论：
（ 1） 是力矩定义式（对点、对轴），在定轴转动中，力矩可以表示代数量是
FrM
s inFrM?
（ 2）力矩大小由 大小和 两个因素确定，当力平行于转轴和力的作用线通过转轴时，力对轴的力矩为零。
F? d
（ 3）定轴转动中，式中是指在参考平面内的作用力，
如果外力不在转动平面上，
则上式 理解为外力在该平面上的分力。
F?
F?
（ 4）几个外力同时作用在刚体上，则它们对转轴的合外力矩等于这几个外力矩的代数和。
（ 5）一对内力对轴的力矩和等于零，
则质点系对任一轴的内力矩之和必为零。
2、刚体定轴转动定律质点：
aF amF
刚体：
)M(FM
设刚体绕定轴 Oz转动任取一质元,其绕轴作半径为 r的圆周运动 i
m?
受力分析,?
iF
内力
iF
外力由牛顿第二定律
amFF iii
ir乘以 2iiiitiit rmrFrF
iitiitit rmamFF切向
z
iF
iF?
o
ir? im?
对刚体
)( 2iiiitiit rmrFrF
)rm(M ii 2
JM
其中 —转动惯量?
2ii rmJ?
刚体定轴转动，刚体的角加速度与它所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比
0 iit rF MrF iit
（为什么？）
3、转动惯量 J,描述刚体在转动中的惯性大小的物理量转动惯量的大小,刚体内每个质点的质量与该质点到转轴距离平方之积的总和。
n
i
ii rmJ
1
2或
dmrJ 2
4、转动惯量的计算 （一般的需用实验方法求出）
dmrJ 2
其中
dvdm
dsdm
dldm
（质量体分布）
（质量面分布）
（质量线分布） z
o r
dV
dm
dVdm
例题 1、质量为,长为的均匀细棒，计算
m l
cJ（ 1）通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量
（ 2）通过棒一端并与棒垂直的轴的转动惯量
22
2
22
12
1
mlddmrJ
l
l
lc
（ 2）取图示坐标系
2
0
2
3
1 mldJ l
解：刚体质量的线分布
l
m
（ 1）取图示坐标系 ox：取一质元
dxdx
l
mdm
z
o
x dm
dx
x
z
o
x dm
dx
x
222
212
1
3
1 )l(mmlmlJ
2mdJJ
c
① 转动惯量大小与转轴的位置有关可见：
刚体对某轴的转动惯量 等于刚体通过质心与该轴平行的转动惯量 与刚体质量和两轴间距离平方乘积之和。
J
cJ
z zd
c o
② 平行轴定理解：取一质元 dm
则
222 mRdmRdmrJ
mm
例题 2、质量为 m的匀质细圆环，半径为 R，求通过中心 o并与环面垂直的轴的转动惯量。
o
z
解：刚体质量面分布，设
2R
m
计算思路,将一复杂形体的刚体，分作为若干简单形体的组合，根据转动惯量的可加性，先算出简单形体转动惯量，然后再求和获得刚体的转动惯量例题 3、质量为 m，半径为 R
的均匀薄圆盘，求通过中心
o并与圆盘面垂直的轴的转动惯量
o
z
由圆环的转动惯量得,元,圆环的所以圆盘：
2
0
2
2
1 mRdmrdJJ R
m
o
z
r
dr
将圆盘分成一系列半径,
宽度为,质量为的细圆环,元,组成
r
dr dm
r d rdm
dmrdJ
2
2
例题 4、质量为 m，半径为 R
的均匀球体，求通过球心的轴的转动惯量解：刚体质量体分布
3
3
4
R
m
由例 3得到启示将球体分成一系列半径不同的质量为 dm的,元,薄圆盘组成
dx x
r
R
x
o
R
R
dxxR 222
2
22
0 2
1 r)dxr(dJJ R
由薄圆盘的转动惯量式
2
2
1 mRJ?
2
5
2 mR?
2
2
1 rdmdJ
dx x
r
R
x
o
（ 3）一般情况由实验求得。
转动惯量计算小结
（ 1）转动惯量的大小与刚体总质量、质量分布和转轴有关。
（ 2）多种计算方法，要掌握每一种方法的思路和要点。
5、刚体定轴定律的应用举例基本方法和步骤求解联立方程分析力，确定外力矩 列出转动定律和牛顿定律方程列出线量和角量之间的关系式
)(?JM?
例题 1、图示物体质量 mA,mB
圆柱形滑轮质量 mc,半径 R，
若不计桌面和轮轴摩擦力，
求：⑴两物体的加速度和绳的张力；
⑵物体 B从静止落下距离 y时，其速率为多少？ 解：分析力和力矩
⑴ 列出方程刚体
JRFRF 'TT 12
2
2
1 mRJ?
Am
Bm
R,mc1
cP
2TF
cF
1TF?
NF
1TF
AP
Am
BP
2TF?
Bm
物体 A
amF AT?1
物体 B amFgm
B
'
TB 2
联系式
'
TT FF 11?
Ra?
'
TT FF 22?
联立求解得
g
mmm
m
a
CBA
B
2
1
cP
2TF
cF
1TF?
NF
1TF
AP
Am
BP
2TF?
Bm
g
mmm
mm
F
CBA
BA
T
2
11
g
mmm
m)mm(
F
CBA
BCA
T
2
1
2
1
2
⑵
CBA
B
mmm
gym
ayv
2
1
2
2
cP
2TF
cF
1TF?
NF
1TF
AP
Am
BP
2TF?
Bm
例题 2、质量为 m，长为 l的匀质细杆，可绕其一端的水平固定轴转动，将杆从水平位置静止释放，求杆下落到竖直位置时的角速度。
设杆在某一位置时，
c o slmgM
2
m,l
o
gm?
解,分析：杆在运动过程中受到变力矩作用！则其角加速度为变值，由 求 要用积分
d
dJc o slmg
2
0
2
02
dJdc o s
l
mg
222
3
1
2
1
2
1
2
)ml(Jlmg
l
g3
由转动定律，
d
d
dt
dJJc o slmg
2
m,l
o
gm?
三、角动量 角动量守恒定律
（一）质点角动量质点,讨论力对时间的累积作用引出冲量和动量讨论力矩对时间的累积作用，将引出冲量矩和角动量刚体：
设质点 m，具有速度，动量为 vmpv?
1、质点的角动量质点对某一点的角动量
L?
vmv
m?o
r?
大小,?s inr m vL?
夹角）与 Pr(
方向：右手法则（矢积法则）
其对空间某一点 o的角动量定义,vrmPrL
L?
vmv
m?o
r?
讨论：
)PL,rL（
(1) 垂直 和 组成的平面。L? r? P?
L?(2) 与参考点 有关，需指明对那一点的角动量。
o
L?
r?
P?
⑶ 作为一个特例（常见）：
若质点在平面上作圆周运动，质点对圆心 o的角动量
vmrL
大小：
2mrr m vL
方向：垂直圆平面
L? 又称为质点对过 o点垂直于运动平面的轴的角动量
r?
v?
o
m
L?
2、质点的角动量定理牛顿第二定律
dt
)vm(dF
r?两边叉乘
)vm(
dt
drFr
)vm(
dt
drvm
dt
rd)vm(
dt
drvmr
dt
d
因代入上式
)vmr(
dt
dFr
即
dt
Ld
M
作用于质点的合力对 参考点 o的力矩，等于质点对该点 o的角动量随时间的变化率 或写成
LddtM
12
2
1
LLdtM
t
t
作用于同一参考点 o所受的冲量矩
（角冲量）等于质点角动量（动量矩）
的增量 —质点的角动量定理
3、质点的角动量守恒定律质点所受的对参考点 o的合力矩为零时，
质点对该参考点的角动量为一恒矢量实例：天体中行星绕太阳运动；演示实例恒矢量 vmrL
0?M?若,则已知地球半径 R=6378km，卫星距地面最近距离 l1=439km，
最远距离 l2=2384km，
若卫星在近地点 A1的速度 v1=810km·s-1，求卫星在远地点 A2的速度。
4、应用举例例题 1、我国第一颗人造地球卫星沿椭圆轨道运动，地球的中心 o为该椭圆的一个焦点。
2v?
1v?
2A
1Ao
恒矢量所以?L?
))(lR(mvL 为什么？222A2
解：卫星运动过程，
0?M? （为什么？）
A1 ))(lR(mvL 为什么？
111
21 LL? 得
1
2
1
12 6 30
skm
lR
lRvv
2v?
1v?
2A
1Ao
解：受力分析 如图作用小球力矩方向 垂直图面向里
B
A
o?
例题 2、半径为 的光滑圆环置于竖直平面内，质量 的小球由 点静止下滑，求小球到 时对环心 的角动量和角速度（不计摩擦）。
R
m
A
B o
o A
NF?
v? P
B
dt
dLc o sm g R
dtd2mRL?及?d
L
mRdt 2?式（ 2）代入式（ 1）得, dc o sRmL d L 32?
0320 dc o sRmL d LL
2123 2 )s ing(mRL 212 )s in
R
g(
讨论：该题用其它方法（功能原理）
更为简单方便。
设小球角动量为,方向垂直图面向里，则
L?
（二）刚体的角动量
1、刚体定轴转动的角动量刚体定轴转动对转轴的角动量就是刚体上各质点对定轴的角动量之和。
22
iiiii rmrmLL
即
JL? )vmp(
任一质点都绕轴作圆周运动，所以
2、刚体定轴转动的角动量定理
)rm(
dt
dMMM
iiiii?
2
外内对定轴转动的刚体
外内 则 ii MM,M 0
)rm(
dt
dMM
iii
2
外设作用于刚体中某质点的力矩,中含有外力矩 和内力矩,则i
M iM
im
内iM
外iM
im
ir
若物体内各质点相对转轴位置发生变化
1122
2
1
JJM d tt
t
12
2
1
vmvmdtF
t
t
作用于物体上的冲量矩（角动量）等于其角动量（动量矩）的增量。
dt
dL)J(
dt
dM
12
2
1
2
1
LLdLM d t L
L
t
t
或
3、刚体定轴转动的角动量守恒定律如果物体受到合外力矩等于零，物体角动量保持不变。
若,则 恒量0?MJ
讨论：
（ 1）守恒定律中涉及的外力矩、转动惯量和角动量都是对同一转轴而言的。
（ 2）定律推广到非刚体花样滑冰、跳水运动、
体操运动、猫从高处掉下来、地球自转周期的变化
（ 3）几个角动量守恒的实例例题 1、杂技演员 M,N的质量均为 m。均匀细跷板长 l，
质量为 m′,支撑于中点 o,若 M
从高 h自由下落与板作完全非弹性碰撞，求 N可弹的高度。
解：取演员 M,N和跷板为系统，以通过
o点轴为转轴，演员 M与跷板碰撞的过程，
系统角动量守恒 （为什么？）
4、应用
M
N
h
2
l
c
碰撞前
21
lmvL
M?
ghv M 2?
碰撞后
222
lmulmuJL
式中 为碰撞后演员和跷板 c的角速度,u
为碰撞后演员 M,N 的线速度，
2
lu?由角动量守恒
2
2
1
2
mlJlmv M 2
12
1 mlJ?
l)mm(
ghm
' 6
26
解得所以演员达到高度
h
mm
m
g
u
h ''
22
6
3
2
解：取人和转台为系统，
则人走动时，系统角动量守恒 （为什么？）
例题 2、静止水平转台边缘上一质量为 的人，当人沿边缘以速率 行走时，问转台得角速度为多大？设转台绕通过转台中心的铅直轴转动，转动惯量为,半径为
m
v
0J R
设平台角速度 为，人相对转轴角速度为 。
00 人JJ
其中
2mRJ?
人
R
v
020
R
vmRJ
（负号意义）
2
0 mRJ
m R v
四：刚体绕定轴转动的功能关系
1、力矩的功讨论：
（ 1）力矩的功（力的功）
设刚体定轴转动中，刚体在切向力的作用下，绕轴转过 t
F?
d
rdFdsFrdFdW tt
即?MddW?
所以 2
1
MddWW
tF?
d
rd?o
r?
z
（ 2）外力 作用下
（
），与上结果相同。
F?
nntt eFeFF
（ 3） 指合外力矩M
2、刚体定轴转动的动能
222
2
1
2
1
iiiik rmvmE
2
2
1?JE
k )mvE( k
2
2
1?
3、刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理：
合外力矩对绕定轴转动的刚体做的功等于该刚体转动动能的增量。
因
dJd
dt
dJMddW
2
1
2
2 2
1
2
12
1
2
1
JJdJMdW
2
1
2
2 2
1
2
1 mvmvW
4、刚体的势能
5、功能原理和守恒定律的应用对于刚体和质点组成的系统中，原理同样适用。
动能：质点和刚体转动动能势能：质点和刚体的势能
cp m g hE?
—刚体质心位置
ch
解：分析受力：图示例题 1、图示滑轮 上绕有轻绳，一端挂质量为 的物体。求当物体由静止下落高度 时的速度大小。
R,m?
m
h
外力矩对滑轮作功，由刚体动能定理得
2
0
2
2
1
2
1 JJRdF
T
外力对物体作功，由质点动能定理得
R,m?
m
m
h
nF
P? TF
TF?
mg 202 2
1
2
1 mvmvRdFm g h
T
)(dl
机械能守恒！ （为什么？）
解得：
gh
R
J
m
m
v 2
2
两式相加
22
2
1
2
1
mvJm g h?
2
0
2
0 2
1
2
1
mvJ?
解：取弹簧、物体和滑轮为系统，则作用于系统的外力和非保守内力做功为零 （为什么？）
系统机械能守恒（取势能零点）
例题 2、定滑轮半径 转动惯量,弹簧劲度系数,开始时处于自然长度，物体静止。然后释放物体，求物体下落 时的速度大小。
r
J k
m
h r,J
k
m
m
h
222
2
1
2
1
2
1
khJmvm g hrv?
动力学方法分析受力，图示,1TF
2TF?P
1TF?
NF
gm?
2TF
m
2
2
2
2
1
2
1
vm
r
J
khm g h?
2
22
r
Jm
khm g h
v
m maFmg
T 2
(1)
弹簧：
kxF T?1
(2)
滑轮：
JrFrF TT 12
(3)
r,Jk
m
m
h
比较两种方法由式 (1)(2)(3)(4)解得（需积分）
2
22
r
Jm
khm g h
v
有 (4)?ra?
例题 3、棒长,质量,可绕点 自由转动，一质量 速度为 子弹水平射入距离 点为 处，使棒最大偏转为,求子弹的速度大小。
l m? o
m v?
o a?
m?
v?
m
a
o
解：取子弹、棒作为系统，
在子弹射入棒的过程中系统的角动量守恒 （为什么？）
有
22
3
1
malmm v a
22
3
1
malm
m?
v?
m
a
o
子弹射入后，棒与子弹一起运动到最大偏角,这过程 系统的机械能守恒 。
22 3232
6
1
malmmalm
g
ma
v
有
22
3
1
2
1
malm
c o s1
2
'c o s1 lgmm g a
1、经典力学适用于低速运动问题
2、能量连续性与能量量子化经典力学：能量连续性量子理论：能量是不连续的，能量量子化
3、确定性与随机性经典力学的成就和局限性五：
（ 1）经典力学：牛顿定律的确定性确定的初值确定的方程 确定的解
（ 2）自然界的运动是确定性和随机性并存
（ 3）决定论系统中出现的内在随机行为 —
混沌现象 。
“给与宇宙的初始条件，我们就能确定它的过去、现在和未来！,
拉普拉斯：
