静电场中的导体和电介质习题课一 基本要求
1 掌握导体静电平衡条件及性质，并会用于分析实际问题
2 正确计算有电介质和导体存在时的电场，理解有介质时的高斯定理
4 掌握电容器的各类问题计算
3 了解电介质极化机理，理解之间的关系
DEP,,,
5 理解静电场能量的计算二 基本内容
1 导体静电平衡条件
（ 3）导体是等势体
（ 4）导体电荷分布在外表面，孤立导体的电荷面密度沿表面分布与各处曲率成正比
（ 1）导体内部电场强度为零
)0( 0 EEE
neE

0?

（ 2）导体表面电场强度垂直导体表面电荷面密度）该点附近处导体表面的(
2 电容和电容器
（ 2）计算方法及几种典型电容器的电容
（ 1）定义
U
QC?
平板电容器
d
sC
d
sC r 00
同心球形电容器
AB
BAr
RR
RR
C
04
同轴圆柱形电容器
A
B
r
R
R
l
C
ln
2 0
（ 3）电容器串，并联及其特性
3静电场中的电介质
（ 1）电介质的极化现象 ),(


P
P
（ 2）电介质中的电场强度 )(
0 EEE

（ 3）基本规律
EExP
QQ
P
r
rr

00
00
)1(
)
1
1(,)
1
1(




4 静电场的能量


i
r
QsdD
EDEPD
0
00 //



（ 1）
EDEww d vW
2
1
2
1,2

（ 2）电容器能量
2
2
2
1
2
1
2
1
CUQU
C
Q
W
（ 3）功能转换
U d qW
三 讨论
1 图示一均匀带电 半径的导体球，在导体内部一点,球表面附近一点 的电场强度为多少？若移来一导体,则此时 的电场强度又为多大？
q?
R
A B
BA,
Q?
由静电平衡知
2
00
4
0
R
Q
E
E
B
A


B
Q?
Ao
引入带电体由静电平衡
0
0

B
A
E
E
2 在一半径为 的导体球外，有一电量为 的点电荷,与球心距离为,
求导体球的电势为多少？（应用导体静电平衡条件和性质进行分析）
R
q? q )( Rrr?且
q
B
Q?
Ao
讨论今计算球心 处的电势（即为导体球电势）o
由静电感应知，导体球总带电代数和为零电荷分布在导体球表面导体为一等势体
0iq
r
q
R
q
R
q
r
q
VV
0
00
0
0
4
44
4




球
o
R
q?
r
q?
q?
四 计算求 （ 1）外球的电荷及电势
（ 2）把外球接地，计算外球电荷及电势
1 半径为,同心导体球壳，
内球壳均匀带电为,1R 2R q?
（ 3）把上述外球接地线打开，再把内球接地，求内球的电荷解,（ 1）外球壳带电（静电感应现象）
内表面,外表面 q?q?
外球壳电势由三个 球表面电荷产生叠加结果为
20
2 4 R
q
V

q?
q?
q?
o 1R
2R求得）
（也可由

R
ldEV

2
（ 2）外球壳接地即外球壳与地球等电势
（正常取地球电势为零）且球壳外表面不带电（ 为什么？）球壳内表面电荷没有变化为 （ 为什么？）
02?V
q?
q?
q?
o
（ 3）拆掉外球接地线，然后将内球接地则 内球电势为零
01?V
所以可计算内球壳电势设内球带电为,由于静电感应外球内表面带电为,
而外球原已带电为,则外球外表面带电为
q
q
q?
qq
q
q
o
qq
0
4
44
20
2010
1

R
qq
R
q
R
q
V


q
R
R
q
2
1
讨论：
（ 1）可计算外球壳电势为
20
2 4 R
qq
V



（ 2）导体接地与地球同电势（零电势）
导体表面电荷未必一定消失
2.半径为,带电 的球壳，外有一同心介质球壳，内外半径为,相对电容率为,试求：（ 1）介质内外的电场强度；（ 2）介质球内外表面的极化电荷值为多少？
R Q
1R 2R
r?
)(
4
212
00
RrR
r
QD
E
rr


介质中的解：（ 1）应用介质中的高斯定理作图示高斯球面（介质内）
1R
2R
R
r r?2
2
4
4
r
Q
D
QDr
QsdD
i



QRQ
r
)11(4 211

极化电荷值：
同理可得
)(
4 120
RrR
r
QE

)(
4 220
Rr
r
QE

(2)由 E
r 0)1(
电介质内表面
2
10
0
101
4
)1(
)1(
R
Q
E
r
r
r





12 QQ
电介质外表极化电荷值：
则 由高斯定理可求得空气和电介质中的电场强度分别为
3 面积为 的平板电容器，
两极板距离为,在电容器中插入了相对电容率为,
厚为 的电介质，求电容器的电容
s
d
r?
d?解：按计算电容的一般方法，先设电容器带电为,Q
d d?
r?
s
Q
E
s
Q
E
r 00
0,
两极板间电势差由电容定义
)(
)(
0
0
r
AB
d
dd
s
Q
dEddEU



)1(
0
rr
r
AB dd
s
U
Q
C




注：若将电容器看成是空气和电介质两个电容器的串联所以
d
sC
dd
sC r

0201,
解：当电荷均匀分布在球体内时，球内外均存在电场，其电场强度为
)1(
0
21
21
rr
r
dd
s
CC
CC
C




4 计算电量为,半径为 的均匀分布带电球体的静电场能量 Q
R
)0(
4 301
Rr
R
Qr
E

（结果相同！）
)(
4 202
Rr
r
Q
E
所以电场能量




R
R
R
R
dVEdVE
dVwdVwW
2
20
2
10
0
2
0
1
2
1
2
1

如何取 dV
R
Q
R
Q
R
Q
drr
r
Q
drr
R
Qr
W
R
R
0
2
0
2
0
2
22
2
0
0
22
3
0
0
0
20
3
840
4)
4
(
2
1
4)
4
(
2
1





5 一平板电容器接在电源上，
此时两板间的电场强度为,
电容为,两极板间电势差电容器能量 今在不断开电源的情况下插入一电介质，其相对电容率为,试比较电容,电势差 和电容器能量
E
0C 0U
0W
r?
C V W
d d?
r?
s
V
解,
)(
2
1
//
2
1
)3(
)2(
)(
1
)1(
0
22
000
0
0
0
0
0
WWCUWUCW
UU
CC
dd
s
C
d
s
C
rr
r


）（

讨论,插入电介质后，介质中的电场强度?
r
EE
0?
是当极板电量 不变时才适用于比较，而本题条件下（接电源） 不能保持不变！
（仅电势差不变！）
Q
Q
r
EE
0?


QC
CUQ
,
空气中的电场强度增大！