第五章 静电场基本内容
2.电场强度的计算
1.定义 （矢量：大小和方向）
q
FE
一,电场强度 和电场强度的计算E?
（ 1）点电荷的电场强度出发求
rer
QE
2
04
1
点电荷系的电场强度
n
i
i
i
i e
r
QE
1
2
04
1
或带电体的电场强度
rerdqE?
2
04
电荷体密度）—（
电荷面密度）—（
电荷线密度）—（
dvdq
dsdq
dldq
“电荷元” 电场的叠加dq
dq
p
r
re
（ 2）从“基本形状元”的叠加 计算
x
y
z
o
x
y
z
o
E?
（ 3）补偿（叠加）法 计算
x
y
z
o p
p
E?
（ 4）高斯定理 求 特殊带电体 的电场强度
0?
i
l
Q
sdE?
注：只有当电荷的分布，以及电场的分布具有某种对称性时，才有可能应用定理求出电场强度方法：分析电场 选适当形状高斯面计算 和 由定理解出。
sdE iQ
几种典型带电体电场强度：
g ra d VE（ 5）
rerE
02
无限长带电直线
neE
02?
无限大平板球壳内外电场
re
r
q
E
RrE
2
04
)(0
二,电势
（ 2）试验电荷沿任意闭合路径一周，电场力做功为零，则特点：与路径无关，只与试验电荷和路径始末位置有关
（ 1）电场力做功 A
BAB
ldEqW0
0 ldE
(环路定理 )
（ 3）电势定义
（ 4）电势差零电势选择；电势值的相对性；电势叠加原理
零电势pp ldEV
)( BAABBABA VVqWldEVV ；
4,电势的计算
（ 1）点电荷的电势
r
QldEV
rr
04
（ 4）“基本形状元”的电势叠加
（ 2）点电荷系的电势?
n
i
i
r
qV
1 04
（ 3）带电体电势
Q r
dqV
04
（ 5）定义式 零电势
aa ldEV
)(4 220 Rx
qV
带电细园环
q
R p
x
几种典型带电体的电势均匀带电球壳
q
R
)(
4
)(
4
0
0
Rr
r
q
V
Rr
R
q
V
讨论
1,关于高斯定理 的讨论
0?
iQSdE
（ 1）若,则高斯面上各点的一定处处为零 ;
0 SdE E?
2Q
s
1q例
（不一定！）
（ 2）如果高斯面上 处处为零，能否认为高斯面内一定无电荷 。
E?
（ 3）如果高斯面上 处处不为零，能否说明高斯面内一定有电荷
E?
（不一定！电荷在高斯面外！）
（不一定 ）0
iQ
（ 4）高斯定理只是适用于具有对称性的静电场
（对静电场都适用！但是 ）
（ 5）只有高斯面内的电荷对高斯面的通量有贡献。高斯面外的电荷和对高斯面通量无贡献
（对！）
2,电场强度与电势的关系的讨论
（ 1）电场强度弱的地方，电势一定低 ;
（ 2）电势不变的空间，电场强度一定为零 ;
微分关系
z
VE
y
VE
x
VEg r a d VE
zyx?
,,,?
积分关系?
零a ldEV
错对
（ 3）电场强度不变的空间，电势也一定不变错
（ 6）带正电的带电体的电势一定为正值
（ 5）已知某一点,就可以确定该点的 E?V
（ 4）已知某一点,就可以确定该点的E? V
错错错计算
1,把一个均匀带有电荷 +Q的球形肥皂泡由半径 吹胀到,则半径为 R( )的球面上任一点的场强大小 E由 变为 ;电势 U由 变为 (选无穷远处为电势零点 ).
1r 2r 21 rRr
)4/()4/(:
0)4/(:
200
2
0
rQRQU
RQE
2,长为 的均匀带电细棒，电荷线密度,一
“无限长”带电直线，其电荷线密度为,今将 与无限长带电直线置于同一平面内（图示）,求细棒受力大小。
l 1?
2? l
1?
l
x
d
dq
o
2?
x
解：取图示 坐标轴，在棒上取一电荷元,则该处的电场强度为
ox
dxdq 1
x
E x
0
2
2
电荷元受力大小
dx
x
EdqdF
0
21
2
l
ld
x
dxdFF ld
d
ln
22 0
21
0
21
3,电荷以相同的面密度 分布在半径为 r1和
r2 (r2>r1)的两个同心球面上,设无穷远处电势为零,球心处的电势为 U0.求,(1)电荷面密度 ;
(2) 若要使球心处的电势也为零,外球面上应放掉多少电荷?
4.两个同心的均匀带电球面,半径分别为
cm,cm已知内球面的电势为 V，外球面的电势 V,求：
(1) 内、外球面上所带电量；
(2) 电势为零的等势面位置,
0.51?R
0.202?R 601?U
302U
C107.6
109
)30(60
10)520(
1020105
)(π4
10
92
22
210
12
21
1
UU
RR
RR
q?
912 103.12 qq
1020
103.1
107.6
9
10
2
2
1
R
q
qr
5,细导线均匀带电 （正电荷）弯曲成一残缺的圆形，半径,两端缺口,求圆心处电场强度大小和方向,
cq 91012.3
mR 5.0?
md 2100.2
R
o
+补偿法
R
o
R
o
（ 1）圆在 产生的o 0?E
（ 2）一小段 在 点的电场强度可近似为点电荷 的电场
od
q? )100.2( 2 md
方向：指向缺口！
2
2
0
72.0
4
1
)(
mV
R
q
E
d
l
q
q
mdRl 12.32导线长
6,如图所示,半径为 R的均匀带电球面,带有电荷 q.沿某一半径方向上有一均匀带电细线,
电荷线密度为,长度为,细线左端离球心距离为,设球和线上的电荷分布不受相互作用影响,试求细线所受球面电荷的电场力和细线在该电场中的电势能 (设无穷远处的电势为零 ).
l
0r
l0r
q
R
O
x
0r
q
O
xdx
dxdq'
线元 在带电球面的电场中所受电场力为,
dx
2
0
2
0
4
4
'
x
dxq
x
dqq
dF
整个细线所受电场力为,
)(44 00020
0
0 lrr
lq
x
dxqF lr
r?
方向,沿 正方向,x
线元 在带电球面的电场中的电势能为,dx
x
dxqdW
04
整个细线在电场中具有的电势能为,
0
0
00
ln
44
0
0 r
lrq
x
dxq
W
lr
r
2.电场强度的计算
1.定义 （矢量：大小和方向）
q
FE
一,电场强度 和电场强度的计算E?
（ 1）点电荷的电场强度出发求
rer
QE
2
04
1
点电荷系的电场强度
n
i
i
i
i e
r
QE
1
2
04
1
或带电体的电场强度
rerdqE?
2
04
电荷体密度）—（
电荷面密度）—（
电荷线密度）—（
dvdq
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dldq
“电荷元” 电场的叠加dq
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（ 2）从“基本形状元”的叠加 计算
x
y
z
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x
y
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E?
（ 3）补偿（叠加）法 计算
x
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E?
（ 4）高斯定理 求 特殊带电体 的电场强度
0?
i
l
Q
sdE?
注：只有当电荷的分布，以及电场的分布具有某种对称性时，才有可能应用定理求出电场强度方法：分析电场 选适当形状高斯面计算 和 由定理解出。
sdE iQ
几种典型带电体电场强度：
g ra d VE（ 5）
rerE
02
无限长带电直线
neE
02?
无限大平板球壳内外电场
re
r
q
E
RrE
2
04
)(0
二,电势
（ 2）试验电荷沿任意闭合路径一周，电场力做功为零，则特点：与路径无关，只与试验电荷和路径始末位置有关
（ 1）电场力做功 A
BAB
ldEqW0
0 ldE
(环路定理 )
（ 3）电势定义
（ 4）电势差零电势选择；电势值的相对性；电势叠加原理
零电势pp ldEV
)( BAABBABA VVqWldEVV ；
4,电势的计算
（ 1）点电荷的电势
r
QldEV
rr
04
（ 4）“基本形状元”的电势叠加
（ 2）点电荷系的电势?
n
i
i
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qV
1 04
（ 3）带电体电势
Q r
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04
（ 5）定义式 零电势
aa ldEV
)(4 220 Rx
qV
带电细园环
q
R p
x
几种典型带电体的电势均匀带电球壳
q
R
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4
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R
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讨论
1,关于高斯定理 的讨论
0?
iQSdE
（ 1）若,则高斯面上各点的一定处处为零 ;
0 SdE E?
2Q
s
1q例
（不一定！）
（ 2）如果高斯面上 处处为零，能否认为高斯面内一定无电荷 。
E?
（ 3）如果高斯面上 处处不为零，能否说明高斯面内一定有电荷
E?
（不一定！电荷在高斯面外！）
（不一定 ）0
iQ
（ 4）高斯定理只是适用于具有对称性的静电场
（对静电场都适用！但是 ）
（ 5）只有高斯面内的电荷对高斯面的通量有贡献。高斯面外的电荷和对高斯面通量无贡献
（对！）
2,电场强度与电势的关系的讨论
（ 1）电场强度弱的地方，电势一定低 ;
（ 2）电势不变的空间，电场强度一定为零 ;
微分关系
z
VE
y
VE
x
VEg r a d VE
zyx?
,,,?
积分关系?
零a ldEV
错对
（ 3）电场强度不变的空间，电势也一定不变错
（ 6）带正电的带电体的电势一定为正值
（ 5）已知某一点,就可以确定该点的 E?V
（ 4）已知某一点,就可以确定该点的E? V
错错错计算
1,把一个均匀带有电荷 +Q的球形肥皂泡由半径 吹胀到,则半径为 R( )的球面上任一点的场强大小 E由 变为 ;电势 U由 变为 (选无穷远处为电势零点 ).
1r 2r 21 rRr
)4/()4/(:
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200
2
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rQRQU
RQE
2,长为 的均匀带电细棒，电荷线密度,一
“无限长”带电直线，其电荷线密度为,今将 与无限长带电直线置于同一平面内（图示）,求细棒受力大小。
l 1?
2? l
1?
l
x
d
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o
2?
x
解：取图示 坐标轴，在棒上取一电荷元,则该处的电场强度为
ox
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电荷元受力大小
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0
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2
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21
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3,电荷以相同的面密度 分布在半径为 r1和
r2 (r2>r1)的两个同心球面上,设无穷远处电势为零,球心处的电势为 U0.求,(1)电荷面密度 ;
(2) 若要使球心处的电势也为零,外球面上应放掉多少电荷?
4.两个同心的均匀带电球面,半径分别为
cm,cm已知内球面的电势为 V，外球面的电势 V,求：
(1) 内、外球面上所带电量；
(2) 电势为零的等势面位置,
0.51?R
0.202?R 601?U
302U
C107.6
109
)30(60
10)520(
1020105
)(π4
10
92
22
210
12
21
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RR
RR
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1020
103.1
107.6
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R
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qr
5,细导线均匀带电 （正电荷）弯曲成一残缺的圆形，半径,两端缺口,求圆心处电场强度大小和方向,
cq 91012.3
mR 5.0?
md 2100.2
R
o
+补偿法
R
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R
o
（ 1）圆在 产生的o 0?E
（ 2）一小段 在 点的电场强度可近似为点电荷 的电场
od
q? )100.2( 2 md
方向：指向缺口！
2
2
0
72.0
4
1
)(
mV
R
q
E
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l
q
q
mdRl 12.32导线长
6,如图所示,半径为 R的均匀带电球面,带有电荷 q.沿某一半径方向上有一均匀带电细线,
电荷线密度为,长度为,细线左端离球心距离为,设球和线上的电荷分布不受相互作用影响,试求细线所受球面电荷的电场力和细线在该电场中的电势能 (设无穷远处的电势为零 ).
l
0r
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q
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x
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线元 在带电球面的电场中所受电场力为,
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2
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整个细线所受电场力为,
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方向,沿 正方向,x
线元 在带电球面的电场中的电势能为,dx
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