刚体的转动基本内容
1、描述刚体转动的物理量
2、刚体定轴转动定律角位移?d
角速度
dt
d?
与线量的关系
rv?
ra?
2?ra
n?
角加速度
dt
d?
)
dt
vd
mamF(
dt
d
JJM
s inrFM
FrM力矩 方向：右手法则
dmrJ 2
转动惯量：
3、刚体转动的功能原理
2
1
2
2 2
1
2
1
JJdMW
)mvmvrdFW( 2122
2
1
2
1
2ii rmJ
4、刚体定轴转动角动量原理力矩的功
dMW
刚体定轴转动动能
2
2
1
J
1212 JJLLM d t )PPdtF( 12
dt
dL
M? )
dt
Pd
F(
或当 时0?M 常量JL
)P,F( 常矢量 0
(3) 为瞬时关系．
(1) 转动中 与平动中地位相同．
F m aJM?
(2),与 方向相同．JM? M?
说明
转动定律应用
JM?
基本方法和步骤求解联立方程分析力，确定外力矩 列出转动定律和牛顿定律方程列出线量和角量之间的关系式
v?
o 以子弹和沙袋为系统子弹击入沙袋细绳质量不计动量角动量机械能守恒；
守恒；
不 守恒．
讨论子弹击入杆
o
v?
以子弹和杆为系统动量角动量机械能不 守恒；
守恒；
不 守恒．
v?
o
'o
m
p?
T?
R
圆锥摆圆锥摆系统动量角动量机械能不 守恒；
守恒；
守恒．
例 1一质点 m，速度为 v，如图所示,A,B,C 分别为三个参考点,此时 m 相对三个点的距离分别为 d1,d2,d3
求 此时刻质点对三个参考点的动量矩
vmdL A 1? vmdL B 1? 0?CL
md1
d2
d3
A
B C
v?
解计算题
x
L
O
M
y
例 2已知棒长 L,质量 M,在摩擦系数为? 的桌面转动 (如图 )
解 xLMm dd? gmf dd?
根据力矩 xgxLMM dd
M gLxgxLMM L 21d0
x
dx
r'TTRM i
TT'
例如
T
R'TTRM i
T'
在定轴转动中，力矩可用代数值进行计算?
求 摩擦力对 y轴的力矩一根长为 l,质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平面内转动，初始时它在水平位置求 它由此下摆?角时的? O lm
C
x
解一, mxggmxM dd取一质元
Cmxmx dCm gxM?
重力对整个棒的合力矩等于重力全部 集中于质心所产生的力矩
dm
c o s21 m g lM?
l
g
mlm glJ
M
2
c o s33c o s
2
1
2
tωdd
d
d?
mg
θω lg00 d2c o s3d lg s in3?
例 3
解二
c o s21 m g lM?
00 dc o s2d mglMA
由动能定理
021 2J 0s in2lm g
l
g s in32?
2
3
1 mlJ?
21)s in3( /
l
g
此题也可用机械能守恒定律方便求解
O lm
C
x
mg
例 4 质量为 m和 2m,半径分别为 r和 2r的两个均匀圆盘，同轴地粘在一起，可以绕通过盘心且垂直盘面的水平光滑轴转动，对转轴的转动惯量为 J,
大小圆盘边缘都绕有绳子，绳子下端都挂一质量为 m的重物，如图所示。 试求盘的角加速度的大小．
mm
2r? r
例 5 长为,质量为 的匀质杆，一端悬挂，
可通过点 转动。今使杆水平静止落下，在铅直位置与质量为 的物体作完全非弹性碰撞后,沿摩擦因数 的水平面滑动。求 滑动的距离。
l 1m
o
2m
2m
2m
l,m1
2m
o
l,m1
2m
解：处理这类碰撞问题与过去质点运动相似但又有区别，将分阶段进行讨论由角动量守恒 （为什么？动量守恒吗？）
由机械能守恒得 21
2
1
2
J
l
gm?
l
g3
（ 1）杆自由下落到将和 碰撞2m
（ 2）杆和物体 碰撞过程2m
22 lmJJ
222121
3
13
3
1 lmlm
l
glm
21
1
3
3
mm
l
g
m
（ 3）物体 沿水平面运动直到静止
2m
由质点的动能定理得
gsmvm 222
2
1
lv
21
2
1
32
3
mm
lms
l,m1
2m
例 6 一根放在水平光滑桌面上的均质棒,可绕通过其一端的竖直固定光滑轴 o转动,棒的质量为 m=1.5kg,
长度为,对轴的转动惯量为,
初始时棒静止,今有一水平运动的子弹垂直地射入棒的另一端,并留在棒中,如图所示,子弹的质量为,速率为,试问,
(1)棒开始和子弹一起转动时角速度 有多大?
(2)若棒转动时受到大小为 的恒定阻力矩作用,棒能转过多大的角度?
ml 0.1? 3/2mlJ?
kgm 0 2 0.0'? 1400 smv
mNM r 0.4
lm,
'm
v
1
2'2'
4.15
3
1
sr a d
lmmlvlm
(1)
(2)
20
3
1
2
2'2
lmmlM r
小结：
刚体定轴转动中几个应注意的问题：
（ 1）刚体运动规律区别于质点运动规律，切莫混为一谈！
（ 2）注意,转轴,；
（ 3）系统中质点、刚体同时存在，应分别讨论。
1、描述刚体转动的物理量
2、刚体定轴转动定律角位移?d
角速度
dt
d?
与线量的关系
rv?
ra?
2?ra
n?
角加速度
dt
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vd
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FrM力矩 方向：右手法则
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转动惯量：
3、刚体转动的功能原理
2
1
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2 2
1
2
1
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)mvmvrdFW( 2122
2
1
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1
2ii rmJ
4、刚体定轴转动角动量原理力矩的功
dMW
刚体定轴转动动能
2
2
1
J
1212 JJLLM d t )PPdtF( 12
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dL
M? )
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Pd
F(
或当 时0?M 常量JL
)P,F( 常矢量 0
(3) 为瞬时关系．
(1) 转动中 与平动中地位相同．
F m aJM?
(2),与 方向相同．JM? M?
说明
转动定律应用
JM?
基本方法和步骤求解联立方程分析力，确定外力矩 列出转动定律和牛顿定律方程列出线量和角量之间的关系式
v?
o 以子弹和沙袋为系统子弹击入沙袋细绳质量不计动量角动量机械能守恒；
守恒；
不 守恒．
讨论子弹击入杆
o
v?
以子弹和杆为系统动量角动量机械能不 守恒；
守恒；
不 守恒．
v?
o
'o
m
p?
T?
R
圆锥摆圆锥摆系统动量角动量机械能不 守恒；
守恒；
守恒．
例 1一质点 m，速度为 v，如图所示,A,B,C 分别为三个参考点,此时 m 相对三个点的距离分别为 d1,d2,d3
求 此时刻质点对三个参考点的动量矩
vmdL A 1? vmdL B 1? 0?CL
md1
d2
d3
A
B C
v?
解计算题
x
L
O
M
y
例 2已知棒长 L,质量 M,在摩擦系数为? 的桌面转动 (如图 )
解 xLMm dd? gmf dd?
根据力矩 xgxLMM dd
M gLxgxLMM L 21d0
x
dx
r'TTRM i
TT'
例如
T
R'TTRM i
T'
在定轴转动中，力矩可用代数值进行计算?
求 摩擦力对 y轴的力矩一根长为 l,质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平面内转动，初始时它在水平位置求 它由此下摆?角时的? O lm
C
x
解一, mxggmxM dd取一质元
Cmxmx dCm gxM?
重力对整个棒的合力矩等于重力全部 集中于质心所产生的力矩
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l
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例 3
解二
c o s21 m g lM?
00 dc o s2d mglMA
由动能定理
021 2J 0s in2lm g
l
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2
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21)s in3( /
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此题也可用机械能守恒定律方便求解
O lm
C
x
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例 4 质量为 m和 2m,半径分别为 r和 2r的两个均匀圆盘，同轴地粘在一起，可以绕通过盘心且垂直盘面的水平光滑轴转动，对转轴的转动惯量为 J,
大小圆盘边缘都绕有绳子，绳子下端都挂一质量为 m的重物，如图所示。 试求盘的角加速度的大小．
mm
2r? r
例 5 长为,质量为 的匀质杆，一端悬挂，
可通过点 转动。今使杆水平静止落下，在铅直位置与质量为 的物体作完全非弹性碰撞后,沿摩擦因数 的水平面滑动。求 滑动的距离。
l 1m
o
2m
2m
2m
l,m1
2m
o
l,m1
2m
解：处理这类碰撞问题与过去质点运动相似但又有区别，将分阶段进行讨论由角动量守恒 （为什么？动量守恒吗？）
由机械能守恒得 21
2
1
2
J
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gm?
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g3
（ 1）杆自由下落到将和 碰撞2m
（ 2）杆和物体 碰撞过程2m
22 lmJJ
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1 lmlm
l
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21
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（ 3）物体 沿水平面运动直到静止
2m
由质点的动能定理得
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2m
例 6 一根放在水平光滑桌面上的均质棒,可绕通过其一端的竖直固定光滑轴 o转动,棒的质量为 m=1.5kg,
长度为,对轴的转动惯量为,
初始时棒静止,今有一水平运动的子弹垂直地射入棒的另一端,并留在棒中,如图所示,子弹的质量为,速率为,试问,
(1)棒开始和子弹一起转动时角速度 有多大?
(2)若棒转动时受到大小为 的恒定阻力矩作用,棒能转过多大的角度?
ml 0.1? 3/2mlJ?
kgm 0 2 0.0'? 1400 smv
mNM r 0.4
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小结：
刚体定轴转动中几个应注意的问题：
（ 1）刚体运动规律区别于质点运动规律，切莫混为一谈！
（ 2）注意,转轴,；
（ 3）系统中质点、刚体同时存在，应分别讨论。
