静电场习题课一,基本要求
1,掌握电场强度的概念和电场叠加原理，掌握已知电荷的分布，计算电场强度的方法。
2,理解静电场的两个基本定理，掌握用高斯定理计算电场强度的方法。
3,掌握电场力做功特点，掌握电势的概念和电势叠加原理，掌握已知电荷分布计算电势的方法二,基本内容
2,电场强度的计算定义 （矢量：大小和方向）
电场强度的叠加原理
21 EEE
q
F
E
1,电场强度 和电场强度叠加原理
E?
（ 1）点电荷的电场强度
rer
Q
E
2
04
1
（ 2）点电荷系的电场强度
n
i
i
i
i e
r
Q
E
1
2
04
1
（ 3）带电体的电场强度
rer
dq
E
2
04
电荷体密度）—（
电荷面密度）—（
电荷线密度）—（
dvdq
dsdq
dldq
“电荷元” 电场的叠加dq
dq
p
r
re
（ 4）“基本形状元”的叠加（矢量叠加）
x
y
z
ox
y
z
o
（ 5）补偿（叠加）法
（矢量叠加）
x
y
z
o p
p
（ 6）高斯定理求解
0?
i
l
Q
sdE
方法：分析电场 选适当形状高斯面计算 和 由定理解出
sdE iQ
注：只有当电荷的分布，以及电场的分布具有某种对称性时，才有可能应用定理求出电场强度几种典型带电体电场强度：
g r a d VE
（７）
rerE
02
无限长带电直线
neE
02?
无限大平板球壳内外电场
r
e
r
q
E
RrE
2
0
4
)(0
3,电势
（ 2）试验电荷沿任意闭合路径一周，电场力做功为零，则
（ 1）电场力做功特点：与路径无关，只与试验电荷和路径始末位置有关
A
BAB
ldEqW
0
0 ldE
(环路定理 )
（ 3）电势定义
（ 4）电势差零电势选择；电势值的相对性；电势叠加原理
零电势
pp
ldEV
)( BAAB
B
ABA
VVqWldEVV ；
4,电势的计算
（ 1）点电荷的电势
r
Q
ldEV
rr
04
（ 4）“基本形状元”的电势叠加
（ 2）点电荷系的电势
h
i
i
r
q
V
1 04（ 3）带电体电势
Q r
dq
V
04
（ 5）定义式
零电势
aa
ldEV
几种典型带电体的电势
)(4 220 Rx
q
V
带电细园环
q
R p
x
均匀带电球壳
q
R
)(
4
)(
4
0
0
Rr
r
q
V
Rr
R
q
V
三,讨论
1,关于高斯定理 的讨论
0?
iQsdE
（ 1）若,则高斯面上各点的一定处处为零
0 sdE
E? （不一定！）
2Q
s
1q例
（ 2）如果高斯面上 处处为零，能否认为高斯面内一定无电荷 。
E?
（ 4）高斯定理只是适用于具有对称性的静电场
（ 3）如果高斯面上 处处不为零，能否说明高斯面内一定有电荷
E?
（不一定！电荷在高斯面外！）
（不一定 ）0
iQ
（对静电场都适用！但是 ）
（ 5）只有高斯面内的电荷对高斯面的通量有贡献。高斯面外的电荷和对高斯面通量无贡献 （对！）
2,电场强度与电势的关系的讨论
（ 1） 电场强度弱的地方，电势一定低
（ 2） 电势不变的 空间,电场强度一定为零
（ 3） 电场强度不变的空间，电势也一定不变微分关系
z
VE
y
VE
x
VEg r a d VE
zyx?
,,,?
积分关系
零a ldEV
错对错
（ 6）带正电的带电体的电势一定为正值四,计算
（ 5）已知某一点,就可以确定该点的 E?
V
（ 4）已知某一点,就可以确定该点的
E?
V
错错错
1,有一带电球体，其电荷体密度为为常数,为球内任一点的半径，则球内任一点的电场强度为
rk
k r
0000 3
)(,
2
)(,
2
)(,
3
)(
dcrkbka
r
解：分析电场：具有球对称性。作图示高斯球面，由高斯定理得,式中
0?
iQsdE
左边 ErsdE 24
右边
k
r
r
r
kVQ i
0
2
3
000 3
4
3
41
等式
00
2
2
33
44
kEkrEr 得积分计算高斯面内的电荷
0
2
0
2
0
0
00
2
)4(
11
kr
r
k
drrdV
Q rri
r
dr
等式
00
2
2
2
24
kEkrEr
2,长为 的均匀带电细棒，
电荷线密度,一“无限长”带电直线，
其电荷线密度为,今将 与无限长带电直线置于同一平面内（图示），求细棒受力大小
l
1?
2? l
1?
l
x
d
dq
o
2?
x
解：取图示 坐标轴，在棒上取一电荷元,则该处的电场强度为
ox
dxdq 1
)(b选项电荷元受力大小
x
E x
0
2
2
dx
x
EdqdF
0
21
2
l
ld
x
dx
dFF
ld
d
ln
22 0
21
0
21
3,细导线均匀带电 （正电荷）
弯曲成一残缺的圆形，半径,
两端缺口,求圆心处电场强度大小和方向
cq 91012.3
mR 5.0?
md 2100.2
解：取EddEdq
今用补偿（叠加）法
R
o
o
R
E?
q?
（二）
R
o
（一）
补偿法
（ 1）圆在 产生的o 0?E
（ 2）一小段 在 点的电场强度可近似为点电荷 的电场
od
q? )100.2( 2 md
mdRl 12.32导线长方向：指向缺口！
2
2
0
72.0
4
1
)(
mV
R
q
E
d
l
q
q
A
Dq0qcq?
C D B
4,图示 且求将 电荷从 沿半圆 移到点电场力做功
cqcq Dc 88 100.3,100.3
mDBADAC 2100.4
cq 80 100.2
A AB B
解：电场力做功
)(0
0
BAAB
B
A
AB
VVqW
ldEqW
DB
q
CB
q
V
AD
q
AC
q
V
DC
B
DC
A
00
00
44
0
44
JW
cq
AB
5
8
0
100.9
100.2
A
Dq0qcq?
C D B
解：课堂上已用下述方法求得
5,均匀带电体半径,带电求球内外一点的电势
R q
q R
)(
4
)(
4
2
0
3
0
Rr
r
q
E
Rr
R
qr
E
，
球外
r
q
dr
r
q
ldEV
r
r
0
2
0
44
外球内
)3(
8
22
3
0
rR
R
q
ldEldEldEV
R
R
rr
内整个球的电势为今用叠加方法（基本形状元叠加）求出
pr
球外：是有许多半径不同的球壳产生的电势的叠加，设每一球壳带电为,其对球壳外 处的电势为
dq
r
dq
dV
04
r
q
r
dq
dVV
00 44
r
球内：也将球体分为许多半径不同的球壳组成，但对球内一点 而言，一部分球壳在其内，
另一部分球壳在其外 对 内的各个球壳在 点的电势
p
r
p
p
r
R
内q
,
4 0
1
r
q
V
内?
3
3
3
3
3
3
43
4
)
3
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(
R
qr
R
q
r
rq
内
3
0
2
1 4 R
qr
V
对 外的各球壳在 点的电势pr
dr
r?
p
dVV 2
rdr
r
rdr
r
dq
dV
0
0
2
0
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3
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22
3
0
22
00
2
rR
R
q
rRrdrdVV
R
r
R
r
设半径为 厚度为 的球壳在 处电势 'dr'r
r
讨论：其它球壳形带电体电势计算
)3(
8
22
3
0
21
rR
R
q
VVV
内
p
1,掌握电场强度的概念和电场叠加原理，掌握已知电荷的分布，计算电场强度的方法。
2,理解静电场的两个基本定理，掌握用高斯定理计算电场强度的方法。
3,掌握电场力做功特点，掌握电势的概念和电势叠加原理，掌握已知电荷分布计算电势的方法二,基本内容
2,电场强度的计算定义 （矢量：大小和方向）
电场强度的叠加原理
21 EEE
q
F
E
1,电场强度 和电场强度叠加原理
E?
（ 1）点电荷的电场强度
rer
Q
E
2
04
1
（ 2）点电荷系的电场强度
n
i
i
i
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1
2
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1
（ 3）带电体的电场强度
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dq
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2
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电荷体密度）—（
电荷面密度）—（
电荷线密度）—（
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“电荷元” 电场的叠加dq
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（ 4）“基本形状元”的叠加（矢量叠加）
x
y
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y
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o
（ 5）补偿（叠加）法
（矢量叠加）
x
y
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o p
p
（ 6）高斯定理求解
0?
i
l
Q
sdE
方法：分析电场 选适当形状高斯面计算 和 由定理解出
sdE iQ
注：只有当电荷的分布，以及电场的分布具有某种对称性时，才有可能应用定理求出电场强度几种典型带电体电场强度：
g r a d VE
（７）
rerE
02
无限长带电直线
neE
02?
无限大平板球壳内外电场
r
e
r
q
E
RrE
2
0
4
)(0
3,电势
（ 2）试验电荷沿任意闭合路径一周，电场力做功为零，则
（ 1）电场力做功特点：与路径无关，只与试验电荷和路径始末位置有关
A
BAB
ldEqW
0
0 ldE
(环路定理 )
（ 3）电势定义
（ 4）电势差零电势选择；电势值的相对性；电势叠加原理
零电势
pp
ldEV
)( BAAB
B
ABA
VVqWldEVV ；
4,电势的计算
（ 1）点电荷的电势
r
Q
ldEV
rr
04
（ 4）“基本形状元”的电势叠加
（ 2）点电荷系的电势
h
i
i
r
q
V
1 04（ 3）带电体电势
Q r
dq
V
04
（ 5）定义式
零电势
aa
ldEV
几种典型带电体的电势
)(4 220 Rx
q
V
带电细园环
q
R p
x
均匀带电球壳
q
R
)(
4
)(
4
0
0
Rr
r
q
V
Rr
R
q
V
三,讨论
1,关于高斯定理 的讨论
0?
iQsdE
（ 1）若,则高斯面上各点的一定处处为零
0 sdE
E? （不一定！）
2Q
s
1q例
（ 2）如果高斯面上 处处为零，能否认为高斯面内一定无电荷 。
E?
（ 4）高斯定理只是适用于具有对称性的静电场
（ 3）如果高斯面上 处处不为零，能否说明高斯面内一定有电荷
E?
（不一定！电荷在高斯面外！）
（不一定 ）0
iQ
（对静电场都适用！但是 ）
（ 5）只有高斯面内的电荷对高斯面的通量有贡献。高斯面外的电荷和对高斯面通量无贡献 （对！）
2,电场强度与电势的关系的讨论
（ 1） 电场强度弱的地方，电势一定低
（ 2） 电势不变的 空间,电场强度一定为零
（ 3） 电场强度不变的空间，电势也一定不变微分关系
z
VE
y
VE
x
VEg r a d VE
zyx?
,,,?
积分关系
零a ldEV
错对错
（ 6）带正电的带电体的电势一定为正值四,计算
（ 5）已知某一点,就可以确定该点的 E?
V
（ 4）已知某一点,就可以确定该点的
E?
V
错错错
1,有一带电球体，其电荷体密度为为常数,为球内任一点的半径，则球内任一点的电场强度为
rk
k r
0000 3
)(,
2
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2
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)(
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解：分析电场：具有球对称性。作图示高斯球面，由高斯定理得,式中
0?
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左边 ErsdE 24
右边
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00
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00
2
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24
kEkrEr
2,长为 的均匀带电细棒，
电荷线密度,一“无限长”带电直线，
其电荷线密度为,今将 与无限长带电直线置于同一平面内（图示），求细棒受力大小
l
1?
2? l
1?
l
x
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o
2?
x
解：取图示 坐标轴，在棒上取一电荷元,则该处的电场强度为
ox
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)(b选项电荷元受力大小
x
E x
0
2
2
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0
21
2
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x
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22 0
21
0
21
3,细导线均匀带电 （正电荷）
弯曲成一残缺的圆形，半径,
两端缺口,求圆心处电场强度大小和方向
cq 91012.3
mR 5.0?
md 2100.2
解：取EddEdq
今用补偿（叠加）法
R
o
o
R
E?
q?
（二）
R
o
（一）
补偿法
（ 1）圆在 产生的o 0?E
（ 2）一小段 在 点的电场强度可近似为点电荷 的电场
od
q? )100.2( 2 md
mdRl 12.32导线长方向：指向缺口！
2
2
0
72.0
4
1
)(
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R
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E
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q
A
Dq0qcq?
C D B
4,图示 且求将 电荷从 沿半圆 移到点电场力做功
cqcq Dc 88 100.3,100.3
mDBADAC 2100.4
cq 80 100.2
A AB B
解：电场力做功
)(0
0
BAAB
B
A
AB
VVqW
ldEqW
DB
q
CB
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V
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B
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A
00
00
44
0
44
JW
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AB
5
8
0
100.9
100.2
A
Dq0qcq?
C D B
解：课堂上已用下述方法求得
5,均匀带电体半径,带电求球内外一点的电势
R q
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4
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R
R
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内整个球的电势为今用叠加方法（基本形状元叠加）求出
pr
球外：是有许多半径不同的球壳产生的电势的叠加，设每一球壳带电为,其对球壳外 处的电势为
dq
r
dq
dV
04
r
q
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dq
dVV
00 44
r
球内：也将球体分为许多半径不同的球壳组成，但对球内一点 而言，一部分球壳在其内，
另一部分球壳在其外 对 内的各个球壳在 点的电势
p
r
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4 0
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2
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设半径为 厚度为 的球壳在 处电势 'dr'r
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讨论：其它球壳形带电体电势计算
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