第一章质点 运 动 学研究物体（质点）的位置随时间而变化的规律一,描述质点运动的基本物理量复习：质点模型，参考系 (运动本身的绝对性,运动描述的相对性 ),坐标系质点运动的基本 物理量
1.位置矢量（位矢，径矢）
直角坐标系中
ktzjtyitxtr )()()()(
大小 222 zyxrr
r
x
c o s
r
y
c o s
r
z
c o s
方向 r?
p
z
y
x
o
质点运动的基本 物理量运动方程 ----质点位置随时间变化的关系
)(tr?
如
jtitr
gttvy
attvxx
)2(2
2
1
2
1
2
2
0
2
00
质点运动的基本 物理量
2.位移矢量 ----质点运动时的位置的变化 r
AB rrr
直角坐标系中
kzzjy
yixxr
ABA
BAB?
)()
()(
质点运动的基本 物理量
y
xo
)(tA
Ar? )( ttB
Br?
r
s
z
BA rttrt
,,
注：
（ 1)位移 与路程 的区别
（ 时 ）
（ 2）,与 的区别
r s?
0 t dsdrr
r r r?
( 与 的区别）rd? dr
3.速度矢量 v?
平均速度
t
r
v
大小
t
rv
方向 的方向r
瞬时速度 dt rdtrv
t
lim
0
直角坐标系中
k
dt
dz
j
dt
dy
i
dt
dx
dt
rd
v
质点运动的基本 物理量
y
xo
)(tA
Ar? )( ttB
Br?
r
s
z
或,
v
v x
C O S
v
v y
C O S
v
v z
C O S
大小 222
zyx vvvv
方向：沿质点运动轨迹的切线方向
kvjvivv zyx
即
y
xo
)(tA
Ar? )( ttB
Br?
r
s
z
质点运动的基本 物理量描写质点运动状态的两个物理量位置矢量
r?
速度矢量 （或动量 ）
v? vmp注意：
(1)速度 与平均速率 的区别v? v?
(2)一般情况下
dt
dr
dt
rd
而
dt
ds
dt
rdv
dt
rdv
dt
rdv
质点运动的基本 物理量
(3)平均速率与平均速度大小的区别
4.加速度矢量 a?
平均加速度
t
v
a
大小
t
va
方向 的方向v
瞬时加速度
dt
vd
t
va
t
0
lim
直角坐标系中
k
dt
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2
2
2
2
2
2
2
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1v?
Br? 2v
质点运动的基本 物理量
1v?
2v? v2v?
即
kajaiaa zyx
质点作曲线运动时，加速度方向总是指向曲线的凹侧
ga
如图示质点作抛体运动
A点 与 成钝角
B点 与 成锐角
C点 与 成直角
v?
v?
ga v?
ga
大小方向
a
a xC O S
222
zyx aaaa
a
a xC O S
a
a xC O S
A
B
C
v?
v?
v?
g?
g?
g?
质点运动的基本 物理量例题 1.质点作曲线运动，其运动方程为求质点任意时刻的速度和加速度
)()12(
3
1
2
1 232 mjtitr
解：分析 这是一个已知运动方程求质点运动状态的典型问题，通称为运动学第一类问题，
具体的是通过求导数的方法进行计算。
由定义得
jtit
dt
rd
v
2
1
)12(
质点运动的基本 物理量再由
dt
vda
质点运动的基本 物理量或
12
tv
tv
y
x
122 tvvv yx (方向）
1?xa
jtia 2
1
)12(
2
1
)12(
ta y
12
2222
t
t
aaa yx
得
(方向）
例题 2 (加速度为恒矢量的质点运动 )
分析,这是一个已知质点运动状态，求运动方程的问题，通称为运动学第二类问题，具体是通过积分的方法进行计算一个具有恒定加速度恒矢量的质点，在平面上作曲线运动，求质点的运动方程。 设 时质点的初速度为,质点的位矢为 。
a?
0v
0r
0?t
由 得
dt
vda tv
v
dtavd
00
tavv
0
质点运动的基本 物理量又
dt
rd
v
这就是加速度为恒量的质点运动方程
ttr
r
t d tadtvrd
000
2
00 2
1
tatvrr
讨论 （ 1)抛体运动方程设一抛体以初速 沿与水平面上 轴的正方向成 角抛出，则,若设时,则
0v
ox
ga 0?t
00?r? 2
0 2
1 tgtvr质点运动的基本 物理量
（ 2)式物理意义 20 21 tgtvr
抛体从 点到 点的运动，是沿初速方向的匀速直线运动和沿竖直方向自由落体运动 （ ） 这两个运动的叠加。
)( 0tv?
2
2
1 tg?
o p
tv0?
A
P
r?
221 tg?
o
x
y
221 tg?
质点运动的基本 物理量
(3) 枪打落靶的演示猎人举枪直接瞄准树上吊着的靶子，靶子一看见枪击的火光就释放自由下落，子弹能击中靶子吗？
百发百中！
如果枪水平瞄准靶子，子弹能击中靶子吗？
讨论：
质点运动的基本 物理量水平向下如果枪斜向下瞄准靶子，子弹能击中靶子吗？
向上解：小球作抛体运动，其运动方程为例题 3 在倾角为 的斜坡上，以初速度 抛出一小球设 与斜坡夹角,如图示求小球落地处离抛物点之间的距离
030
0v
0v
060
L
L
0v?
2
0 2
1 tgtvr
（ 1）
质点运动的基本 物理量方法一,取如图坐标系 oxy,
坐标原点在抛物点处，则
x
y
o L
0v?
此式的物理意义是：
小球的运动是 x 方向的匀速直线运动和 y 方向匀变速运动的叠加
2
0 21)s in ( gttvy
tvx )c o s (0
（ 2）
（ 3）
式 (1）的分量式为,
质点运动的基本 物理量落地时有?c o sLx?
s inLy
代入式（ 2），式（ 3）得
g
v
L
22
方法二,取如图 坐标系，坐标原点在抛出点处，则式（ 1）的分量式为
yxo
2
0 s in2
1c o s tgtvx
2
0 c o s2
1s in tgtvy
x?
L
0v?
y?
o?
质点运动的基本 物理量其物理意义是什么？
落地时有 Lx
0y
g
vL 02?代入上式可得讨论：运动的叠加和矢量的分解和合成
2
0 2
1 tgtvL
g
v
L
2
02
进行运算从矢量三角形图可知，这是一正三角形。 则
L
030
060
tv0?
2
2
1 tg?
r?
质点运动的基本 物理量方法三,
2
0 2
1 tgtvr直接由矢量式其物理意义是什么？
数学与物理的关系 —— 数学是物理学的一种语言三,圆周运动
1.自然坐标系：在运动轨迹上任取一点 o,在某时刻 t，质点位于 P处,沿轨迹某一方向量得的曲线长度
)(tss?
,即为以自然坐标系表示的质点运动方程切线坐标,沿轨迹上任一点的切线方向，切向单位矢量
te
法线坐标 n?,沿轨迹上任一点的法线方向，法向单位矢量
ne
o p
t?
te?
n?
ne?
圆周运动
*注意,随质点移动
nt ee
,
2,圆周运动中的切向加速度和法向加速度圆周运动中的速度表示
tt evevv
所以圆周运动的加速度
dt
edve
dt
dv
dt
vda t
t
o
r
te?
A
v?
表示速度大小的变化引起的加速度称为切向加速度方向,方向与 同方向式中第一项写出
tt edt
dva
te
v?圆周运动第二项写作：
dt
edva t
n
即由速度方向变化引起的加速度由图知：
n
t
t
t e
dt
d
t
e
dt
ed
0
lim
ne
方向：法线方向，与 同向
na
称为法向加速度
o
r
1te
A
1v?
2v?
2te
圆周运动
)( nt edtddtde 第二项可写成
nn
t
n er
ve
dt
dv
dt
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dt
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d
1te
2t
e?
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因此，用自然坐标系表示圆周运动中的加速度
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或
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v
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dt
dv
a
2
大小：
方向：
22
nt aaa
t
n
a
a
tg
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te
ne
ta
na
圆周运动
(1)对于一般曲线运动,中的 可用曲率半径 来替代
r
v
a n
2
r
)( 2?va n?
(2)在讨论圆周运动和曲线运动时常采用自然坐标系
o
p
圆周运动求：（ 1）飞机在点 B的加速度 ;
（ 2） 飞机由点 A到 点
B所经历的路程,
A
Av
Bv
圆周运动例题,一超音速飞机在高空点 A 时的水平速率
,沿近似圆弧的曲线俯冲到 B点。
11 9 4 0 hkmv A
经历时间为,圆弧半径,设飞机从 A到 B的过程可视为匀变速圆周运动,
s3
kmr 5.3?
12 1 9 2 hkmv B
解,匀变速圆周运动,则切向加速度 为常量,
dtdva
tvv dtadvB
A 0
23.23 sm
t
vva BA
B点的法向加速度
2
2
10 6 sm
r
v
a Bn
B点总加速度?
222 109 smaaa
n?
大小,
Bv
A
Av
na
a
a?
圆周运动方向,
04.12a r c t g
na
a
设 从 A到 B径矢转过的角度为,则?
2
2
1
ttA
rs AA rv
ra
mtatvs A 1 7 2 2
2
1 2
A
Av
Bv
na
a
a?
圆周运动四,相对运动,讨论质点相对不同参考系的运动情况
1,演示,在以速度 匀速直线运动小车上,竖直上抛一小球
u?
2,运动质点相对小车和相对地面参考系的位移和速度设地面参考系为,小车参考系为s s?
相对运动地面观察者,小球作斜抛运动车上观察者,小球作上抛运动
(1) 位移的相对性小球在 系中的位移等于 系相对 系的位移与小球在 系中位移 之和
s
s? s
r
D
s? r
Drr
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或
（ 2）速度的相对性
u?
vv?
s?小球相对 系的速度等于它相对 系的速度与 系相对 系的速度之矢量和
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sssAAs vvv
或
s
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相对运动
1.位置矢量（位矢，径矢）
直角坐标系中
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大小 222 zyxrr
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质点运动的基本 物理量运动方程 ----质点位置随时间变化的关系
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质点运动的基本 物理量
2.位移矢量 ----质点运动时的位置的变化 r
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质点运动的基本 物理量
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注：
（ 1)位移 与路程 的区别
（ 时 ）
（ 2）,与 的区别
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3.速度矢量 v?
平均速度
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或,
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方向：沿质点运动轨迹的切线方向
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即
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质点运动的基本 物理量描写质点运动状态的两个物理量位置矢量
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速度矢量 （或动量 ）
v? vmp注意：
(1)速度 与平均速率 的区别v? v?
(2)一般情况下
dt
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而
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质点运动的基本 物理量
(3)平均速率与平均速度大小的区别
4.加速度矢量 a?
平均加速度
t
v
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质点作曲线运动时，加速度方向总是指向曲线的凹侧
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如图示质点作抛体运动
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B点 与 成锐角
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1
2
1 232 mjtitr
解：分析 这是一个已知运动方程求质点运动状态的典型问题，通称为运动学第一类问题，
具体的是通过求导数的方法进行计算。
由定义得
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2
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质点运动的基本 物理量再由
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(方向）
例题 2 (加速度为恒矢量的质点运动 )
分析,这是一个已知质点运动状态，求运动方程的问题，通称为运动学第二类问题，具体是通过积分的方法进行计算一个具有恒定加速度恒矢量的质点，在平面上作曲线运动，求质点的运动方程。 设 时质点的初速度为,质点的位矢为 。
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这就是加速度为恒量的质点运动方程
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1
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讨论 （ 1)抛体运动方程设一抛体以初速 沿与水平面上 轴的正方向成 角抛出，则,若设时,则
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0 2
1 tgtvr质点运动的基本 物理量
（ 2)式物理意义 20 21 tgtvr
抛体从 点到 点的运动，是沿初速方向的匀速直线运动和沿竖直方向自由落体运动 （ ） 这两个运动的叠加。
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2
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1 tg?
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221 tg?
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质点运动的基本 物理量
(3) 枪打落靶的演示猎人举枪直接瞄准树上吊着的靶子，靶子一看见枪击的火光就释放自由下落，子弹能击中靶子吗？
百发百中！
如果枪水平瞄准靶子，子弹能击中靶子吗？
讨论：
质点运动的基本 物理量水平向下如果枪斜向下瞄准靶子，子弹能击中靶子吗？
向上解：小球作抛体运动，其运动方程为例题 3 在倾角为 的斜坡上，以初速度 抛出一小球设 与斜坡夹角,如图示求小球落地处离抛物点之间的距离
030
0v
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060
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1 tgtvr
（ 1）
质点运动的基本 物理量方法一,取如图坐标系 oxy,
坐标原点在抛物点处，则
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此式的物理意义是：
小球的运动是 x 方向的匀速直线运动和 y 方向匀变速运动的叠加
2
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（ 2）
（ 3）
式 (1）的分量式为,
质点运动的基本 物理量落地时有?c o sLx?
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代入式（ 2），式（ 3）得
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方法二,取如图 坐标系，坐标原点在抛出点处，则式（ 1）的分量式为
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质点运动的基本 物理量其物理意义是什么？
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0 2
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进行运算从矢量三角形图可知，这是一正三角形。 则
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质点运动的基本 物理量方法三,
2
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1 tgtvr直接由矢量式其物理意义是什么？
数学与物理的关系 —— 数学是物理学的一种语言三,圆周运动
1.自然坐标系：在运动轨迹上任取一点 o,在某时刻 t，质点位于 P处,沿轨迹某一方向量得的曲线长度
)(tss?
,即为以自然坐标系表示的质点运动方程切线坐标,沿轨迹上任一点的切线方向，切向单位矢量
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法线坐标 n?,沿轨迹上任一点的法线方向，法向单位矢量
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圆周运动
*注意,随质点移动
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2,圆周运动中的切向加速度和法向加速度圆周运动中的速度表示
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所以圆周运动的加速度
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表示速度大小的变化引起的加速度称为切向加速度方向,方向与 同方向式中第一项写出
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即由速度方向变化引起的加速度由图知：
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圆周运动
(1)对于一般曲线运动,中的 可用曲率半径 来替代
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(2)在讨论圆周运动和曲线运动时常采用自然坐标系
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p
圆周运动求：（ 1）飞机在点 B的加速度 ;
（ 2） 飞机由点 A到 点
B所经历的路程,
A
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Bv
圆周运动例题,一超音速飞机在高空点 A 时的水平速率
,沿近似圆弧的曲线俯冲到 B点。
11 9 4 0 hkmv A
经历时间为,圆弧半径,设飞机从 A到 B的过程可视为匀变速圆周运动,
s3
kmr 5.3?
12 1 9 2 hkmv B
解,匀变速圆周运动,则切向加速度 为常量,
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tvv dtadvB
A 0
23.23 sm
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B点的法向加速度
2
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10 6 sm
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B点总加速度?
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大小,
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圆周运动方向,
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设 从 A到 B径矢转过的角度为,则?
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圆周运动四,相对运动,讨论质点相对不同参考系的运动情况
1,演示,在以速度 匀速直线运动小车上,竖直上抛一小球
u?
2,运动质点相对小车和相对地面参考系的位移和速度设地面参考系为,小车参考系为s s?
相对运动地面观察者,小球作斜抛运动车上观察者,小球作上抛运动
(1) 位移的相对性小球在 系中的位移等于 系相对 系的位移与小球在 系中位移 之和
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（ 2）速度的相对性
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s?小球相对 系的速度等于它相对 系的速度与 系相对 系的速度之矢量和
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相对运动
