第十章稳恒磁场基本内容：讨论恒定电流激发的磁场的规律和性质一基本磁现象
１．安培关于物质磁场本质的假设一切磁场现象起源于电荷的运动：
任何物质中的分子，都存在有回路电流 —— 分子电流，分子电流相当于一个基本磁场
２．磁场运动电荷（电流）激发磁场，其周围存在着磁场，磁场对运动电荷、载流导体和永久磁铁等有磁场力的作用
３．磁感应强度,描述磁场性质的重要物理量与电学类似，通过运动电荷在磁场中所受的作用力来定量描述磁场在磁场中某点Ｐ处，放入一速度运动的正电荷,其受磁场力
0q
v?
F?
（１）大小与 和 有关，但
0q v
vF
（２） 在某一特定方向（或反平行）
时，电荷不受力（此方向为磁场方向） v
（３）当 与上述磁场方向垂直时，受力最大 v
mF
点有确定值）对 p
vq
FB m
0
(? 应反映磁场性质方向：矢量关系式,
或稳定时，该点处小磁针Ｎ极指向
BvqF 0
vq
FB m
0
定义,大小二．毕奥 — 萨伐尔定律
（计算恒定电流所激发的磁场的分布）
１．毕奥 — 萨伐尔定律任意载流为Ｉ的导体，所激发的磁场。
大小方向
2
0 s in
4 r
I d l
dB
rlId
取电流元 （方向：电流的方向），
其在Ｐ点的磁场强度 为
lId?
Bd?
lId?
I re
p
r?
式中,
真空中磁导率是 与矢量 的夹角
270 104 AN
lId
r?
也可写成或
2
0
4 r
elId
Bd r
3
0
4 r
rlId
Bd
因此，由磁场叠加原理可得到载流导线在Ｐ点的磁感应强度
204 r elIdBdB r
２．定律应用举例解：建立图示坐标系，取电流元 zId?
方向：图示
（负 ox方向）
2
0 s i n
4 r
I d z
dB
例题一：载流长直导线的磁场。一通有电流Ｉ的长直导线，求导线外任一点Ｐ的磁感应强度,已知Ｐ与导线垂直距离为B
0r
zId?
z
x
y
2?
1?
Bd?
p?
o
z
0r
r
所有电流元在Ｐ点的 方向相同，则
dB
20
s i n
4 r
I d z
dBB
因夹角）与为（
，
rI d z
c t grz
0
c s c
s in
c s c
0
0
2
0
r
r
r
drdz
zId?
z
x
y
2?
1?
Bd?
p?
o
z
0r
r
所以
)c os( c os
4
s i n
4
s i n
4
21
0
0
0
0
22
0
2
00
2
1
r
I
d
r
I
c s er
dc s eIr
B
分别是直电流始点与终点处电流流向与 的夹角21
,
r?
Idz
z
x
y
2?
1?
dB
p
o
z
若直导线视为“无限长”，则
21 0,
0
0
2 r
I
B
若 （半“无限长”直流导线）
21
2
，
0
0
4 r
I
B
Idz
z
x
y
2?
1?
dB
p
o
z
解：取 oxyz坐标系，
在圆上取电流元
lId?
例题二．圆形载流导线的磁场。一半径为Ｒ载流为
Ｉ的圆形电流，求其轴线上任一点Ｐ的磁感应强度，已知Ｐ点离圆心距离为ｘ
图示 与 夹角
2
0
4 r
elId
B r
lId? 2
r?
y
lId?
I
x
z
o
re
r
xdB
p
dB Bd?
x
大小方向：图示
2
0
2 r
I dl
r
dB
rBd
将 分解为：Bd?
s in
c o s
dBdB
dBdB x
从对称性分析知,的总和等于零?Bd
y
lId?
I
x
z
o
re
r
xdB
p
dB Bd?
x
方向：沿ｘ正向（或右手法则定出）
2322
2
0
2
0
2
0
2
0
)(2
c os
4
c os
4
c os
xR
IR
dl
r
I
r
I dl
dBdBB
R
x
y
lId?
I
x
z
o
re?
r
xdB
p
dB Bd?
x
讨论：
（１）当ｘ＝０（圆电流中心处）
R
I
B
2
0
（２） Rx
3
0
3
2
0
22 x
IS
x
IR
B
引入 （磁矩），在 称为磁偶极子 RxneIsm
nex
m
x
mB
3
0
3
0
22?
或写成 （电偶极子 ）
3
0 2
4 x
mB
3
0
2
4
1
x
pE
例题三．载流直螺线管的磁场。长为,半径为Ｒ
的载流Ｉ的密绕螺线管，
螺线管匝数为 求管内轴线上的任一点处的
l
)( lNnN?
B?
解：把长直螺线管看作有许多圆形电流组成。
I I
1?
2?
xx dxo
1x 2x
图示坐标系中，取一宽度为 dx，电流圆电流，其在Ｐ点的磁场
IdxlNdI )(?
由 比较得
2322
2
0
)(2 xR
IR
B
2322
2
0
)(2 xR
dIR
dB
方向沿着轴向
1?
2?
xx dxo
1x 2x
由于圆形电流对Ｐ点的磁感应强度方向都沿 ox
轴，所以螺线管在Ｐ点
]
)()(
[
2
)(2)(2
212
1
2
1
212
2
2
20
2322
2
0
2322
2
0
xR
x
xR
xnI
xR
dxn I R
xR
dIR
dBB
或写成方向：右手定则 )c o s( c o s2 120 nIB
1? 2?
xx dxo
1x 2x
两种特殊情况
（２）半“无限长”螺线管轴线端点处无限长直螺线管
nIB 0
0
2 21
,
nIB 0
2
1
021
,
Rl
( 1 )
则
lId?
r?
p
I
I
I
dl
q v?
S
vnqdV
dlvns q
dlsjlId
由前一章讨论可知例题四．运动电荷的磁场。
电流激发的磁场可以视为所有运动电荷所激发的磁场叠加,取载流导线上电流元,其截面积为,单位体积内作定向运动的电荷数为,定向运动速度为每个电荷带电为 。
lId?
v?
q
S
n
代入
33
0
4 r
rvn d Vq
r
rlIdBd
在电流元中有电荷数为,则一个运动电荷 在 处的磁感应强度
ndVdN?
)( vq?,r?
3
0
4 r
rvq
dN
Bd
B
B? B?
r? r?
v? v?
q q?
p p
或写成
2
0
4 r
evqB r
方向：右螺旋法则设带电圆盘半径为Ｒ，
电荷面密度为 以 绕过盘心垂直盘面的轴转动，
求圆心处的磁感应强度
o
r
R
dr
圆中心处的磁场可视为许多半径不等的圆电流磁场的叠加。
解：方法一 圆盘转动运动电荷 电流 磁感应强度
设半径为ｒ的圆形电流，圆形电流为 dI，则在中心的
r
dIdB
2
0
方向：垂直盘面向外又因
r drdrr
dqdI
2
2
2
各圆电流在 o点的磁场方向相同
o
r
R
dr
则
2
2
2
0
0
0
0
R
dr
dI
r
dBB
R
o
r
R
dr
方法二．运动电荷的计算
r d rdq 2rv?
2
0
4 r
evqB r
dr
r
rr dr
dB
0
2
0
2
1
2
4
2
0
0
RdBB R
o
r
R
dr
小结：用毕奥 — 萨伐尔定律和磁场叠加原理计算 B?
（１）选取电流元 或选取典型载流导线元，写成其
lId?
Bd?
（３）对某些载流导体的组合体，直接应用叠加原理计算
lId? lId
I
pr
I I
（２）建立坐标系，对 求矢量和或分量求和，注意磁场的分布。
Bd?
解：将薄板视为有许多无限长载流直导线组成。
例题四．宽度为ｂ的金属薄板，其电流为Ｉ，求在薄板平面上，距板的一边为ｒ的Ｐ点的磁感应强度
dx
r
p
I
b
ox
x
取图示坐 ox轴，
取离 o距离 x，标宽为 dx的长直载流导线其电 流为
dx
b
IdI?
方向：垂直薄板平面向里由典型载流直导线磁场公式得
x
dI
dB
2
0?
r
br
b
I
dx
b
I
x
x
dI
dBB
br
r
br
r
ln
2
2
2
0
0
0
dx
r
p
I
b
ox
x
例题五．图示几种载流导体，电流为Ｉ，求ｏ点的磁感应强度
I I
R
o
,方向：
R
I
R
I
B
422
1
0 000
a
a
Q
p
aI
Q
p
B
B 方向？
三．磁通量 磁场的高斯定理
１．磁感应线：形象描述磁场的假想曲线磁感应线上每一点切线方向与该点磁感应强度方向一致特点：闭合曲线，互不相交规定 通过某点垂直磁场方向，单位面积上磁感线数等于该点 的大小B?
２．磁通量：通过磁场中某给定面积的磁感线总数
ss
B dssdB
sdBB ds
dsBd
c os
c os
式中 是面积元的法线单位矢量与 的夹角
ne
B?
s
B?ne?
ds
3．磁场的高斯定理 — 描述磁场性质的的基本定理即通过磁场中任一闭合曲面的磁通量恒等于零由于磁感线是无头无尾的闭合曲线，所以
0 sdB
四．安培环路定理通常取电流流向与积分回路呈右螺旋关系，电流取正值。反之，取负值
１．安培环路定理：磁感应强度沿任一闭合路径的线积分，等于该闭合路径包围的所有电流的代数和乘以,即
0?
n
i
iIldB
1
0?
1I
3I
2I
4I
L
２．从三个特例来描述定理
（１）一无限长载流Ｉ的直导线，在垂直导线平面上作一以ｏ为圆心以ｒ为半径的圆作为闭合路径，计算
II
dl
r
I
B dlldB
LL
00
0
2
B?
o
I
r
dl
L
I
d
I
rd
r
I
B r dB d lldB
L
0
0
0
2
2
c o s
（２）若在平面上任意取以闭合路径作为积分环路，
计算
B?
o
I
r
ld?
d
L
1L
（３）在平面上取任意闭合路径，不包围电流Ｉ，
图示，将闭合回路分为和 两部分，所以
2L
21 LLL
ldBldBldB
b
a
1L
2L
由于 上线元 与该处 夹角小于,而 上线元 与该处 夹角大于,仿此计算
1L
B?
ld?
2
1L
ld? B?
2
22
00
11
IdIldB
LL
22
00
21
I
d
I
ldB
LL
0
L
ldB
b
a
1L
2L
小结：定理中 是指闭合环路所包围的电流代数和，不穿过环路的电流对 的环路无贡献。
iI
B?
可进一步证明：在恒稳磁场中，有
n
i
i
L
IldB
1
0?
b
a
1L
2L
解：分析磁场根据对称性可知，管内磁场均匀，管内平行于轴线上的任意一直线上各点的磁感应强度相等，
且方向平行于轴线。如图在管内外作一闭合回路
MNOP
例题一．载流长直螺线管的磁场，已知
)( RL
）、（、
l
NnI
N
OP
M
由安培环路定律可得
nIMNMNBldB )()( 0
nIB 0例题二．设电流均匀流过无限大导电平面，
其电流密度为 ｊ,（在平面内，通过电流垂直方向单位长度上的电流强度），求空间任意点的磁感应强度
B?
j
p?
p
B?
解：磁场分析平板外任一点Ｐ的磁场方向平行于平面平面两侧与平面距离相等的两点
（Ｐ与 ）磁场大小相等方向反平行。p?
作闭合回路
abcd（,平行于平面，,
垂直于平面）
ab cd
bc
da
j
a
l
b
c
d
1l
由安培定律得可见：无限大载流平面外的磁场是一均匀磁场
jB 0
2
1
ljBlcdBabB
ldBldBldBldB
ldB
dacdbcab
0
2
j
a
l
b
c
d
1l
方向：图示五．带电粒子在磁场中的运动
１．洛仑兹力 — 磁场对运动电荷的作用力
BvqF m
方向：右手法则（注意电荷的正负）B?
mF
B?
v?
)( q?
mF
B?
v?
)( q?
以上三种情况带电粒子的运动轨迹如何？
（３） 与 的夹角为电荷ｑ，质量为ｍ的带电粒子，以初速与 之间夹角为 进入磁场
0v
B?
0v? B?
２．带电粒子在均匀磁场中运动电荷ｑ，质量为ｍ带电粒子，以初速 进入磁场
0v
Bv0
( 1 )
Bv //0
( 2 )
带电粒子作匀速圆周运动
R
v
mBqv
2
0
0?
qB
mv
R 0?
回旋周期无关）与 v
qB
m
v
R
T
(
22
0
q?
Bv01）（
B?
R
0v
带电粒子作直线运动 Bv
//2
0）（
带电粒子以螺旋线运动，其中螺旋线半径
qB
mv
R ）周期 qB
mT?2(?
螺距
qB
mv
d //
2?
（３） 与 的夹角为
0v
B
d
R
0v
//v
v
B?
v?
上述结果在磁焦距现象中应用其中
c os
s in
0//
0
vv
vv
d
R
0v
//v
v
B?
v?
３．霍耳效应
（１）现象,载流Ｉ的导体或半导体在均匀磁场中，磁场与电流方向垂直，则导体（或半导体）的横向两侧出现电势差（电场）
的现象称为霍耳效应
B?
（２）洛仑兹力解释霍耳效应以金属导体为例：载流子为正电荷
ｑ，其密度为ｎ，其漂流速度,受洛仑兹力 dv
BqvF dm?
当动平衡时
BvE
BqvqE
dH
dH
两侧面间建立横向电场
（图示） HE
B?
I
q
dv
eF
mF
I
d
B?
b
即两侧面间电势差
（霍耳电压）
BbvU dH?又有关系式
bdqnvsqnvI dd
nqd
IB
U H
写成
d
IB
RU HH?
其中霍耳系数 为
HR
nq
R H
1
讨论：
（１）霍耳系数测定，可以判断导电材料性质
（２）测定霍耳电压，可以判断载流子的性质
（３）用霍耳效应测定,电流等B?
六．载流导线在磁场中受的力
１．安培定律讨论载流Ｉ的导线，在磁场 中受力B?
BveF dm其大小
s inBevF dm?
电流元中有电子数为 nsdl
为电子数密度）n(
取一电流元,先讨论在电流之中每一运动电子 以定向运动则
lId?
)(e
dv
I
I
lId?
a
b
B?
lId?
I
s
B?
dl
dv?
所有电子受力
dl
s i n
s i n
I d lB
Bn s d le vdF d
写成矢量式
BlIdFd
（安培定律）
所以载流导线受力
ab
ab
BlId
FdF
lId?
I
s
B?
dl
dv?
2 安培定律应用举例解：取图示 oxy坐标系，在半圆中取一电流元,方向图示lId? Id lBdF?
c o sdFdF x?
将 分解为
Fd?
s indFdF y?
例题１：均匀磁场 中，
半圆形导线通有电流Ｉ，
其半径为Ｒ，磁场与导线平面垂直，求半圆形导线的磁场力
B?
d
dF
lId?
xo
y
由于半圆对称于 y轴，所以
0 xx dFF而
)2(2s i n
s i ns i n
0
RIBB I RRdBI
I B d ldFFF
y
d
dF
lId?
xo
y
推断：一个任意弯曲的平面载流导线在均匀磁场中
（ 垂直于该平面）所受到的磁力，等效于弯曲导线起点到终点的矢量在磁场中所受的力。
B?
解：取图示坐标系，
因为水平导线处于不均匀磁场中，今取一电流元,该处磁场大小 lId
x
IB
2
1?
方向：
例题 2：载流 的长直导线一 侧，有另一导线水平放置，长为Ｌ，通有电流,
两者在同一平面，如图示，求水平导线受磁力大小和方向。
1I
2I
lId? 2I
x
o
1I
a
dxx
Fd?
电流元受力
BldIFd 2
方向图示则
a
aLII
dx
x
II
dl BIdFF
aL
a
ln
2
2
210
210
2
方向图示
lId? 2I
x
o
1I
a
dxx
Fd?
解：取电流元,该处磁场 dlI 2
例题 3图示一无限长载流的直导线与半径为Ｒ的圆形电流 处于同一平面，
已知直线与圆心相距为ｄ，求作用在圆电流上的磁力。
1I
2I
c o s2
10
Rd
IB
1I
d y
o
x
R
ldI?2
d
dF
xdF
ydF
2I
其磁力
c os2
c os2
210
210
2
Rd
RdII
Rd
dlII
dl BIdF
取 dF在 ox,oy方向分量，由对称性知
0 yy dFF
1I
d y
o x
R
ldI?2
d
dF
xdF
ydF
2I
)1(
c os
c os
2
22
210
2
0
210
Rd
d
II
Rd
d
R
II
dFFF
xx
由于ｄ＞Ｒ，
则Ｆ方向沿 ox轴负向！ 1I
d y
o x
R
ldI?2
d
dF
xdF
ydF
2I
解：电流 在导线处的磁场 1I 2I
r
IB
2
10
1?
方向图示例题 4：计算两平行长直导线间相互作用力，设两导线相距为ｒ，分别载流和,如图，求导线单位长度所受的磁力
1I
2I
22 ldI
11 ldI
1I 2
I
1Fd
2Fd
2B 1B
r
所以作用在电流元 的安培力 22 ldI
2
21
2212
2
dl
r
II
dlIBdF
则载流 导线上单位长度所作用的磁力 2I
r
II
dl
dF
2
210
2
2?
方向图示同样可得载流,导线上单位长度所作用的磁力 1I
r
II
dl
dF
2
210
1
1?
方向图示
22 ldI?11 ldI?
1I 2I
1Fd? 2Fd?
2B 1B
r
（ 1）不难判断，当两电流同方向时，磁力互相吸引，
当两电流反方向时，磁力互相排斥。
讨论：
（ 2）电流单位安培的定义：在真空中，
相距１ m的两条平行长直导线通以相同的电流，如果每米长度导线上所受的磁场力为,那么导线中的电流为１安培。
17100.2 mN
七,磁场对载流线圈的作用在均匀磁场 中，
有一矩形载流线圈，边长分别为 和,电流为,线圈平面法线方向 与 夹角为 先分别计算矩形线圈中各导线受力
B?
1l 2l
I
B?ne
1．均匀磁场对载流线圈的磁力矩
B?
2l
1l
I
o
p
M
N
ne
导线 PM和 NO受磁力
413 s in FB I LF其大小相等，方向相反，
作用在同一直线上导线 MN和 OP
221 FB I LF方向图示其大小相等，方向相反，但不在一直线上
B?
4F
I
o
p
M
N
ne
1F
3F
2F
2F
1F
x
y?
p
M
I
B?
所以线圈受磁力矩
s in
s in
21
11
lB I l
lFM
写成矢量式即?s inB IsM?
线圈磁距）,(neIsmBmM
Ｎ匝线圈
BmNM
讨论几种特殊情况
（ 1）当 时，
稳定平衡位置（如图）
0
B?
I
BmM EPM
E?
0?M
（ 2） 时，,
2
m a xMM?
线圈位置图示
BmM
B?
EPM
E?I
（ 3） 时，,不稳定平衡位置（图示）
0?M
B?
I
BmM EPM
E?
(与电偶极子在电场中情况比较 )
解：取图示坐标系 oxy
对 oy轴而言，
作用于电流元上磁力矩 大小 lId
Md?
例题：半径为Ｒ，通以电流Ｉ的半圆形闭合线圈，
可绕直径为轴旋转，置于均匀磁场 中图示，求线圈受的磁力矩
B?
c o sd F RdM?
BlIdFd B
Fd?
d
x
y
o
ne
I
lId?
其中
c o s
)
2
s in (
I d lB
I d lBdF
方向：
轴正方向方向：沿 oy
B
R
II B R
dI B R
I dl B RdMM
)
2
(
2
c os
c os
2
2
2
2
2
2
2
)( FrM B
Fd?
d
x
y
o
ne
I
lId?
可见：采用
Be
B
R
IM
BeISBmM
n
n
方向：
)
2
(
2
结果相同！
B?
Fd?
d
x
y
o
ne
I
lId?
１．安培关于物质磁场本质的假设一切磁场现象起源于电荷的运动：
任何物质中的分子，都存在有回路电流 —— 分子电流，分子电流相当于一个基本磁场
２．磁场运动电荷（电流）激发磁场，其周围存在着磁场，磁场对运动电荷、载流导体和永久磁铁等有磁场力的作用
３．磁感应强度,描述磁场性质的重要物理量与电学类似，通过运动电荷在磁场中所受的作用力来定量描述磁场在磁场中某点Ｐ处，放入一速度运动的正电荷,其受磁场力
0q
v?
F?
（１）大小与 和 有关，但
0q v
vF
（２） 在某一特定方向（或反平行）
时，电荷不受力（此方向为磁场方向） v
（３）当 与上述磁场方向垂直时，受力最大 v
mF
点有确定值）对 p
vq
FB m
0
(? 应反映磁场性质方向：矢量关系式,
或稳定时，该点处小磁针Ｎ极指向
BvqF 0
vq
FB m
0
定义,大小二．毕奥 — 萨伐尔定律
（计算恒定电流所激发的磁场的分布）
１．毕奥 — 萨伐尔定律任意载流为Ｉ的导体，所激发的磁场。
大小方向
2
0 s in
4 r
I d l
dB
rlId
取电流元 （方向：电流的方向），
其在Ｐ点的磁场强度 为
lId?
Bd?
lId?
I re
p
r?
式中,
真空中磁导率是 与矢量 的夹角
270 104 AN
lId
r?
也可写成或
2
0
4 r
elId
Bd r
3
0
4 r
rlId
Bd
因此，由磁场叠加原理可得到载流导线在Ｐ点的磁感应强度
204 r elIdBdB r
２．定律应用举例解：建立图示坐标系，取电流元 zId?
方向：图示
（负 ox方向）
2
0 s i n
4 r
I d z
dB
例题一：载流长直导线的磁场。一通有电流Ｉ的长直导线，求导线外任一点Ｐ的磁感应强度,已知Ｐ与导线垂直距离为B
0r
zId?
z
x
y
2?
1?
Bd?
p?
o
z
0r
r
所有电流元在Ｐ点的 方向相同，则
dB
20
s i n
4 r
I d z
dBB
因夹角）与为（
，
rI d z
c t grz
0
c s c
s in
c s c
0
0
2
0
r
r
r
drdz
zId?
z
x
y
2?
1?
Bd?
p?
o
z
0r
r
所以
)c os( c os
4
s i n
4
s i n
4
21
0
0
0
0
22
0
2
00
2
1
r
I
d
r
I
c s er
dc s eIr
B
分别是直电流始点与终点处电流流向与 的夹角21
,
r?
Idz
z
x
y
2?
1?
dB
p
o
z
若直导线视为“无限长”，则
21 0,
0
0
2 r
I
B
若 （半“无限长”直流导线）
21
2
，
0
0
4 r
I
B
Idz
z
x
y
2?
1?
dB
p
o
z
解：取 oxyz坐标系，
在圆上取电流元
lId?
例题二．圆形载流导线的磁场。一半径为Ｒ载流为
Ｉ的圆形电流，求其轴线上任一点Ｐ的磁感应强度，已知Ｐ点离圆心距离为ｘ
图示 与 夹角
2
0
4 r
elId
B r
lId? 2
r?
y
lId?
I
x
z
o
re
r
xdB
p
dB Bd?
x
大小方向：图示
2
0
2 r
I dl
r
dB
rBd
将 分解为：Bd?
s in
c o s
dBdB
dBdB x
从对称性分析知,的总和等于零?Bd
y
lId?
I
x
z
o
re
r
xdB
p
dB Bd?
x
方向：沿ｘ正向（或右手法则定出）
2322
2
0
2
0
2
0
2
0
)(2
c os
4
c os
4
c os
xR
IR
dl
r
I
r
I dl
dBdBB
R
x
y
lId?
I
x
z
o
re?
r
xdB
p
dB Bd?
x
讨论：
（１）当ｘ＝０（圆电流中心处）
R
I
B
2
0
（２） Rx
3
0
3
2
0
22 x
IS
x
IR
B
引入 （磁矩），在 称为磁偶极子 RxneIsm
nex
m
x
mB
3
0
3
0
22?
或写成 （电偶极子 ）
3
0 2
4 x
mB
3
0
2
4
1
x
pE
例题三．载流直螺线管的磁场。长为,半径为Ｒ
的载流Ｉ的密绕螺线管，
螺线管匝数为 求管内轴线上的任一点处的
l
)( lNnN?
B?
解：把长直螺线管看作有许多圆形电流组成。
I I
1?
2?
xx dxo
1x 2x
图示坐标系中，取一宽度为 dx，电流圆电流，其在Ｐ点的磁场
IdxlNdI )(?
由 比较得
2322
2
0
)(2 xR
IR
B
2322
2
0
)(2 xR
dIR
dB
方向沿着轴向
1?
2?
xx dxo
1x 2x
由于圆形电流对Ｐ点的磁感应强度方向都沿 ox
轴，所以螺线管在Ｐ点
]
)()(
[
2
)(2)(2
212
1
2
1
212
2
2
20
2322
2
0
2322
2
0
xR
x
xR
xnI
xR
dxn I R
xR
dIR
dBB
或写成方向：右手定则 )c o s( c o s2 120 nIB
1? 2?
xx dxo
1x 2x
两种特殊情况
（２）半“无限长”螺线管轴线端点处无限长直螺线管
nIB 0
0
2 21
,
nIB 0
2
1
021
,
Rl
( 1 )
则
lId?
r?
p
I
I
I
dl
q v?
S
vnqdV
dlvns q
dlsjlId
由前一章讨论可知例题四．运动电荷的磁场。
电流激发的磁场可以视为所有运动电荷所激发的磁场叠加,取载流导线上电流元,其截面积为,单位体积内作定向运动的电荷数为,定向运动速度为每个电荷带电为 。
lId?
v?
q
S
n
代入
33
0
4 r
rvn d Vq
r
rlIdBd
在电流元中有电荷数为,则一个运动电荷 在 处的磁感应强度
ndVdN?
)( vq?,r?
3
0
4 r
rvq
dN
Bd
B
B? B?
r? r?
v? v?
q q?
p p
或写成
2
0
4 r
evqB r
方向：右螺旋法则设带电圆盘半径为Ｒ，
电荷面密度为 以 绕过盘心垂直盘面的轴转动，
求圆心处的磁感应强度
o
r
R
dr
圆中心处的磁场可视为许多半径不等的圆电流磁场的叠加。
解：方法一 圆盘转动运动电荷 电流 磁感应强度
设半径为ｒ的圆形电流，圆形电流为 dI，则在中心的
r
dIdB
2
0
方向：垂直盘面向外又因
r drdrr
dqdI
2
2
2
各圆电流在 o点的磁场方向相同
o
r
R
dr
则
2
2
2
0
0
0
0
R
dr
dI
r
dBB
R
o
r
R
dr
方法二．运动电荷的计算
r d rdq 2rv?
2
0
4 r
evqB r
dr
r
rr dr
dB
0
2
0
2
1
2
4
2
0
0
RdBB R
o
r
R
dr
小结：用毕奥 — 萨伐尔定律和磁场叠加原理计算 B?
（１）选取电流元 或选取典型载流导线元，写成其
lId?
Bd?
（３）对某些载流导体的组合体，直接应用叠加原理计算
lId? lId
I
pr
I I
（２）建立坐标系，对 求矢量和或分量求和，注意磁场的分布。
Bd?
解：将薄板视为有许多无限长载流直导线组成。
例题四．宽度为ｂ的金属薄板，其电流为Ｉ，求在薄板平面上，距板的一边为ｒ的Ｐ点的磁感应强度
dx
r
p
I
b
ox
x
取图示坐 ox轴，
取离 o距离 x，标宽为 dx的长直载流导线其电 流为
dx
b
IdI?
方向：垂直薄板平面向里由典型载流直导线磁场公式得
x
dI
dB
2
0?
r
br
b
I
dx
b
I
x
x
dI
dBB
br
r
br
r
ln
2
2
2
0
0
0
dx
r
p
I
b
ox
x
例题五．图示几种载流导体，电流为Ｉ，求ｏ点的磁感应强度
I I
R
o
,方向：
R
I
R
I
B
422
1
0 000
a
a
Q
p
aI
Q
p
B
B 方向？
三．磁通量 磁场的高斯定理
１．磁感应线：形象描述磁场的假想曲线磁感应线上每一点切线方向与该点磁感应强度方向一致特点：闭合曲线，互不相交规定 通过某点垂直磁场方向，单位面积上磁感线数等于该点 的大小B?
２．磁通量：通过磁场中某给定面积的磁感线总数
ss
B dssdB
sdBB ds
dsBd
c os
c os
式中 是面积元的法线单位矢量与 的夹角
ne
B?
s
B?ne?
ds
3．磁场的高斯定理 — 描述磁场性质的的基本定理即通过磁场中任一闭合曲面的磁通量恒等于零由于磁感线是无头无尾的闭合曲线，所以
0 sdB
四．安培环路定理通常取电流流向与积分回路呈右螺旋关系，电流取正值。反之，取负值
１．安培环路定理：磁感应强度沿任一闭合路径的线积分，等于该闭合路径包围的所有电流的代数和乘以,即
0?
n
i
iIldB
1
0?
1I
3I
2I
4I
L
２．从三个特例来描述定理
（１）一无限长载流Ｉ的直导线，在垂直导线平面上作一以ｏ为圆心以ｒ为半径的圆作为闭合路径，计算
II
dl
r
I
B dlldB
LL
00
0
2
B?
o
I
r
dl
L
I
d
I
rd
r
I
B r dB d lldB
L
0
0
0
2
2
c o s
（２）若在平面上任意取以闭合路径作为积分环路，
计算
B?
o
I
r
ld?
d
L
1L
（３）在平面上取任意闭合路径，不包围电流Ｉ，
图示，将闭合回路分为和 两部分，所以
2L
21 LLL
ldBldBldB
b
a
1L
2L
由于 上线元 与该处 夹角小于,而 上线元 与该处 夹角大于,仿此计算
1L
B?
ld?
2
1L
ld? B?
2
22
00
11
IdIldB
LL
22
00
21
I
d
I
ldB
LL
0
L
ldB
b
a
1L
2L
小结：定理中 是指闭合环路所包围的电流代数和，不穿过环路的电流对 的环路无贡献。
iI
B?
可进一步证明：在恒稳磁场中，有
n
i
i
L
IldB
1
0?
b
a
1L
2L
解：分析磁场根据对称性可知，管内磁场均匀，管内平行于轴线上的任意一直线上各点的磁感应强度相等，
且方向平行于轴线。如图在管内外作一闭合回路
MNOP
例题一．载流长直螺线管的磁场，已知
)( RL
）、（、
l
NnI
N
OP
M
由安培环路定律可得
nIMNMNBldB )()( 0
nIB 0例题二．设电流均匀流过无限大导电平面，
其电流密度为 ｊ,（在平面内，通过电流垂直方向单位长度上的电流强度），求空间任意点的磁感应强度
B?
j
p?
p
B?
解：磁场分析平板外任一点Ｐ的磁场方向平行于平面平面两侧与平面距离相等的两点
（Ｐ与 ）磁场大小相等方向反平行。p?
作闭合回路
abcd（,平行于平面，,
垂直于平面）
ab cd
bc
da
j
a
l
b
c
d
1l
由安培定律得可见：无限大载流平面外的磁场是一均匀磁场
jB 0
2
1
ljBlcdBabB
ldBldBldBldB
ldB
dacdbcab
0
2
j
a
l
b
c
d
1l
方向：图示五．带电粒子在磁场中的运动
１．洛仑兹力 — 磁场对运动电荷的作用力
BvqF m
方向：右手法则（注意电荷的正负）B?
mF
B?
v?
)( q?
mF
B?
v?
)( q?
以上三种情况带电粒子的运动轨迹如何？
（３） 与 的夹角为电荷ｑ，质量为ｍ的带电粒子，以初速与 之间夹角为 进入磁场
0v
B?
0v? B?
２．带电粒子在均匀磁场中运动电荷ｑ，质量为ｍ带电粒子，以初速 进入磁场
0v
Bv0
( 1 )
Bv //0
( 2 )
带电粒子作匀速圆周运动
R
v
mBqv
2
0
0?
qB
mv
R 0?
回旋周期无关）与 v
qB
m
v
R
T
(
22
0
q?
Bv01）（
B?
R
0v
带电粒子作直线运动 Bv
//2
0）（
带电粒子以螺旋线运动，其中螺旋线半径
qB
mv
R ）周期 qB
mT?2(?
螺距
qB
mv
d //
2?
（３） 与 的夹角为
0v
B
d
R
0v
//v
v
B?
v?
上述结果在磁焦距现象中应用其中
c os
s in
0//
0
vv
vv
d
R
0v
//v
v
B?
v?
３．霍耳效应
（１）现象,载流Ｉ的导体或半导体在均匀磁场中，磁场与电流方向垂直，则导体（或半导体）的横向两侧出现电势差（电场）
的现象称为霍耳效应
B?
（２）洛仑兹力解释霍耳效应以金属导体为例：载流子为正电荷
ｑ，其密度为ｎ，其漂流速度,受洛仑兹力 dv
BqvF dm?
当动平衡时
BvE
BqvqE
dH
dH
两侧面间建立横向电场
（图示） HE
B?
I
q
dv
eF
mF
I
d
B?
b
即两侧面间电势差
（霍耳电压）
BbvU dH?又有关系式
bdqnvsqnvI dd
nqd
IB
U H
写成
d
IB
RU HH?
其中霍耳系数 为
HR
nq
R H
1
讨论：
（１）霍耳系数测定，可以判断导电材料性质
（２）测定霍耳电压，可以判断载流子的性质
（３）用霍耳效应测定,电流等B?
六．载流导线在磁场中受的力
１．安培定律讨论载流Ｉ的导线，在磁场 中受力B?
BveF dm其大小
s inBevF dm?
电流元中有电子数为 nsdl
为电子数密度）n(
取一电流元,先讨论在电流之中每一运动电子 以定向运动则
lId?
)(e
dv
I
I
lId?
a
b
B?
lId?
I
s
B?
dl
dv?
所有电子受力
dl
s i n
s i n
I d lB
Bn s d le vdF d
写成矢量式
BlIdFd
（安培定律）
所以载流导线受力
ab
ab
BlId
FdF
lId?
I
s
B?
dl
dv?
2 安培定律应用举例解：取图示 oxy坐标系，在半圆中取一电流元,方向图示lId? Id lBdF?
c o sdFdF x?
将 分解为
Fd?
s indFdF y?
例题１：均匀磁场 中，
半圆形导线通有电流Ｉ，
其半径为Ｒ，磁场与导线平面垂直，求半圆形导线的磁场力
B?
d
dF
lId?
xo
y
由于半圆对称于 y轴，所以
0 xx dFF而
)2(2s i n
s i ns i n
0
RIBB I RRdBI
I B d ldFFF
y
d
dF
lId?
xo
y
推断：一个任意弯曲的平面载流导线在均匀磁场中
（ 垂直于该平面）所受到的磁力，等效于弯曲导线起点到终点的矢量在磁场中所受的力。
B?
解：取图示坐标系，
因为水平导线处于不均匀磁场中，今取一电流元,该处磁场大小 lId
x
IB
2
1?
方向：
例题 2：载流 的长直导线一 侧，有另一导线水平放置，长为Ｌ，通有电流,
两者在同一平面，如图示，求水平导线受磁力大小和方向。
1I
2I
lId? 2I
x
o
1I
a
dxx
Fd?
电流元受力
BldIFd 2
方向图示则
a
aLII
dx
x
II
dl BIdFF
aL
a
ln
2
2
210
210
2
方向图示
lId? 2I
x
o
1I
a
dxx
Fd?
解：取电流元,该处磁场 dlI 2
例题 3图示一无限长载流的直导线与半径为Ｒ的圆形电流 处于同一平面，
已知直线与圆心相距为ｄ，求作用在圆电流上的磁力。
1I
2I
c o s2
10
Rd
IB
1I
d y
o
x
R
ldI?2
d
dF
xdF
ydF
2I
其磁力
c os2
c os2
210
210
2
Rd
RdII
Rd
dlII
dl BIdF
取 dF在 ox,oy方向分量，由对称性知
0 yy dFF
1I
d y
o x
R
ldI?2
d
dF
xdF
ydF
2I
)1(
c os
c os
2
22
210
2
0
210
Rd
d
II
Rd
d
R
II
dFFF
xx
由于ｄ＞Ｒ，
则Ｆ方向沿 ox轴负向！ 1I
d y
o x
R
ldI?2
d
dF
xdF
ydF
2I
解：电流 在导线处的磁场 1I 2I
r
IB
2
10
1?
方向图示例题 4：计算两平行长直导线间相互作用力，设两导线相距为ｒ，分别载流和,如图，求导线单位长度所受的磁力
1I
2I
22 ldI
11 ldI
1I 2
I
1Fd
2Fd
2B 1B
r
所以作用在电流元 的安培力 22 ldI
2
21
2212
2
dl
r
II
dlIBdF
则载流 导线上单位长度所作用的磁力 2I
r
II
dl
dF
2
210
2
2?
方向图示同样可得载流,导线上单位长度所作用的磁力 1I
r
II
dl
dF
2
210
1
1?
方向图示
22 ldI?11 ldI?
1I 2I
1Fd? 2Fd?
2B 1B
r
（ 1）不难判断，当两电流同方向时，磁力互相吸引，
当两电流反方向时，磁力互相排斥。
讨论：
（ 2）电流单位安培的定义：在真空中，
相距１ m的两条平行长直导线通以相同的电流，如果每米长度导线上所受的磁场力为,那么导线中的电流为１安培。
17100.2 mN
七,磁场对载流线圈的作用在均匀磁场 中，
有一矩形载流线圈，边长分别为 和,电流为,线圈平面法线方向 与 夹角为 先分别计算矩形线圈中各导线受力
B?
1l 2l
I
B?ne
1．均匀磁场对载流线圈的磁力矩
B?
2l
1l
I
o
p
M
N
ne
导线 PM和 NO受磁力
413 s in FB I LF其大小相等，方向相反，
作用在同一直线上导线 MN和 OP
221 FB I LF方向图示其大小相等，方向相反，但不在一直线上
B?
4F
I
o
p
M
N
ne
1F
3F
2F
2F
1F
x
y?
p
M
I
B?
所以线圈受磁力矩
s in
s in
21
11
lB I l
lFM
写成矢量式即?s inB IsM?
线圈磁距）,(neIsmBmM
Ｎ匝线圈
BmNM
讨论几种特殊情况
（ 1）当 时，
稳定平衡位置（如图）
0
B?
I
BmM EPM
E?
0?M
（ 2） 时，,
2
m a xMM?
线圈位置图示
BmM
B?
EPM
E?I
（ 3） 时，,不稳定平衡位置（图示）
0?M
B?
I
BmM EPM
E?
(与电偶极子在电场中情况比较 )
解：取图示坐标系 oxy
对 oy轴而言，
作用于电流元上磁力矩 大小 lId
Md?
例题：半径为Ｒ，通以电流Ｉ的半圆形闭合线圈，
可绕直径为轴旋转，置于均匀磁场 中图示，求线圈受的磁力矩
B?
c o sd F RdM?
BlIdFd B
Fd?
d
x
y
o
ne
I
lId?
其中
c o s
)
2
s in (
I d lB
I d lBdF
方向：
轴正方向方向：沿 oy
B
R
II B R
dI B R
I dl B RdMM
)
2
(
2
c os
c os
2
2
2
2
2
2
2
)( FrM B
Fd?
d
x
y
o
ne
I
lId?
可见：采用
Be
B
R
IM
BeISBmM
n
n
方向：
)
2
(
2
结果相同！
B?
Fd?
d
x
y
o
ne
I
lId?
