复变函数与积分变换主讲：周晖杰宁波大学科技学院数学组 二零零七年六月大学数学多媒体课件
2009-7-30 2
参考用书
,复变函数与积分变换》,华中科技大学数学系,高等教育出版社,2003.6
,复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》,华中科大,高等教育出版社
,复变函数》,西安交通大学高等数学教研室,高等教育出版社,1996.5
2009-7-30 3
目 录
第二章 解析函数
第三章 复变函数的积分
第四章 解析函数的级数表示
第五章 留数及其应用
第六章 傅立叶变换
第七章 拉普拉斯变换
第一章 复数与复变函数
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第四章 解析函数的级数表示
本章的主要内容是：复数项级数和复变函数项级数的一些基本概念和性质；重点介绍复变函数项级数中的幂级数和由正,负整次幂项所组成的洛朗级数,
关于复数项级数和复变函数项级数的某些概念和定理都是实数范围内的相应的内容在复数范围内的直接推广,因此,在学习中结合高等数学中无穷级数部分的复习,并在对此中进行学习,
2009-7-30 5
第四章 解析函数的级数表示
4.1 复数项级数
4.2 复变函数项级数
4.3 泰勒级数
4.4 洛朗级数
本章小结
思考题
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第一节 复数项级数
一、复数列极限定义：
0 0 0{ } { } ( 1,2,)n n nz x iy n z x iy设 为一复数列，又 为一确定复数，
00 ( ) 0 nN n N z z如果对任意给定,相应地能找到一个正数,当 时，有 成立，
0 {} nz z n则称 为复数列 当 时的极限，记作：
0lim,nn zz { },nzz或称复数列 收敛于定理 1,0
00
0
l im
{ } l im,l im nnnn
n n
n
xx
z z z z yy
复数列 收敛于,即 的充要条件是
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证明,必要性
0lim nn zz已知,
000,,( ) ( ),nnN N n N x i y x i y当 时，有
0 0 0 0( ) ( )n n n nx x z z x x i y y
0lim,nn xx 0lim,nn yy同理可得：
充分性
00l i m,l i mnnnnx x y y已知,
000,,,( )22nnN N n N x x y y
当 时，都有,
0 0 0 0 0( ) ( ) ( ),n n n n nz z x x i y y x x y y
0lim,nn zz
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例 1,下列复数列是否收敛？如果收敛，求出其极限.
1(1 ) (1 ),i n
nzen
(2 ) co s,nz n in? 13(3 ) ( ),
6
nn iz
解,1
(1 ) (1 ) i nnzen
1(1 ) ( c o s s i n )in n n
11( 1 ) c o s,( 1 ) s i n,
nnxy n n n n
li m 1,li m 0,nnnnxy
1(1 ) i n
nzen
收敛，
lim 1,nn z且有
(2) c osnz n in? 1 ()
2
nnn e e coshnn?
21( ) ( 1 )22n n n nn e e n e e
21l i m l i m ( 1 ),2 nnn
nnz n e e
{ },nz所以复数列 发散
2009-7-30 9
13( 3 ) ( ) ( c o s s i n )
6
n n i n nn iz r e r n i n
1 3 1 0 1
66
ir而,lim 0,nn r
l i m c o s 0,l i m s i n 0nnnnr n r n
lim 0,nn z
l i m 0 l i m ( c o s s i n ) 0 l i m 0,)n n nn n nz z i z( 若,,即,反之也成立
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定义：
1
1 { } { }n n n n
n
z x iy z?
（）设复数列,称 为无穷级数；
12( 2 ) nnS z z z 为复数项级数的部分和；
1
{} nn
n
Sz?
(3) 若部分和数列 收敛，则称级数 收敛，
l i m nn SS且 称为级数的和，
1
{ },nn
n
Sz?
如果数列 不收敛，则称级数 发散
例 1,2| | 1 1 nz z z z当 时，判断级数 是否收敛？
解,112 11()
1 1 1
nn
n
n
zzS z z z z
z z z
部分和
11||
l i m l i m 0,1 | 1 |
nn
nn
zz
zz
1lim 0,
1
n
n
z
z
111l im l im ( ),
1 1 1
n
nnn
zS
z z z
1.z?
二、复数项级数的概念
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定理 2：
11nnnn
xy
实数项级数 和 都收敛.
1 nn
z?
复数项级数 收敛的充分必要条件是证明：
12nnS z z z 1 2 1 2( ) ( )nnx x x i y y y
,nni
11
n n n n
nn
xy
和 分别为实数项级数 和 的部分和，
1 { } { } { }n n nS由定理 可知数列 有极限的充要条件是,有极限存在，
11
.nn
nn
xy
即 和 都收敛
1
2 n
n
x?
说明：定理 将复数项级数的审敛问题转化为实数项级数的审敛问题，
11
l im 0,l im 0n n n nnn
nn
x y x y
由实数级数 和 收敛必要条件,即可得下面定理3,
定理 3：
l i m 0,nn z复数项级数收敛的必要条件是
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定理 3：
11nnnn
zz
如果级数 收敛，则级数 也收敛,
1
()n
n
z?
此时称 为绝对收敛，非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛
11
.nn
nn
zz
且不等式 成立证明,22
11n n nnn
z x y
因为 收敛，
2 2 2 2,n n n n n nx x y y x y而，
11 nnnn
xy
由实数项正项级数的比较准则，可知级数 和 都收敛，
11
nn
nn
xy
从而级数 和 也都收敛，
1
2,n
n
z?
由定理 可知复级数 也是收敛
11nnnn
zz
又对于级数 和 的部分和成立的不等式：
11
nn
kk
zz
11
li m li m,nnkknn
kk
zz
11
.kk
kk
zz
即：
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说明：
1 1 1
( 1 ),n n n
n n n
z x y
绝对收敛 与 均绝对收敛
1
( 2 ) n
n
z?
因为 各项为非负实数，所以它的敛散性可用正项级数判定法来判定.
1 1 1
( 3 ) n n n
n n n
z z z
若 收敛，而 不一定收敛，即 是条件收敛.
例 2,下列级数是否收敛？是否绝对收敛？
1
1(1) (1 ),
n
i
nn
1
(8 )(2),
!
n
n
i
n
1 ( 1) 1(3 ) [ ].2n nn in
解：
11
(1 ) (1 )
nn
i
n n n
的实部 发散，
1
1 (1 ),
n
i
nn
发散
(8 ) 8( 2 ) | |,
!!
nn
n
iz
nn
由正项级数比较判别法：
18 ! 8l i m l i m 0 1
( 1 ) ! 8 1
n
nnn
n
nn
,1
( 8 ),
!
n
n
i
n
为绝对收敛
11
( 1 ) 1( 3 )
2
n
nnnn
因为 和 都收敛，
1
( 1 ) 1[]
2
n
nn in
收敛，
11
( 1 ) ( 1 ) 1[ ],
2
nn
nnn inn
但 为条件收敛，所以 为条件收敛
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第二节 复变函数项级数
一、复变函数项级数定义：
12( ),( ),( ),nD f z f z f z设给定在区域 上有定义的一列函数列,
称表达式：
12
1
( ) ( ) ( ) ( )nn
n
f z f z f z f z?
D为区域 内的复变函数项级数.
12( ) ( ) ( ) ( )nnn S z f z f z f z该级数的前 项之和：
称为级数的部分和．
0 0 0l i m ( ) ( )nnz D S z S z对任一,若,0
1
()n
n
f z z?
则称级数 在 处是收敛的，
0 0 01( ) ( ) ( ),nnS z f z S z
就是它的和,即
11
( ) ( ) ( )nn
nn
f z D f z D S z
若级数 在 内处处收敛，则 的和是 内的一个函数,
1
( ) ( ),n
n
f z S z?
即：,（和函数）
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二、幂级数
1．幂级数概念定义：形如 2
0 1 0 2 0 00 ( ) ( ) ( ) ( )nnnnn C z a C C z z C z z C z z
00( ),nz z C z?的级数，称为 的幂级数( 其中 为复常数),
0
n
nn
n
C z z C?
形如,的级数，称为 的幂级数，其中 为复常数.
0
0
.nn
n
C z z z t?
以后主要讨论形如 的级数，而另一种令 即可
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定理 1：（阿贝尔定理）
00
1
( 1 ) ( 0 )nn
n
C z z z z?
如果幂级数 在 收敛，则
0
1
n
n
n
z z z C z?
则对满足 的一切,幂级数 必绝对收敛；
1 1 1
1
( 0 )nn
n
C z z z z z z z?
在 发散，则对满足 的一切,幂级数必发散.
( 2 )如果幂级数
0 ()z 收敛点
0z
x
y
o
绝对收敛
1z
1(z 发散点)
发散区域阿贝尔定理告诉我们,
0 0zz(1) 若幂级数在 处收敛，
00 | |z则在以 为中心,为半径的圆周
.z的任何点 幂级数绝对收敛
1( 2 ) zz?若幂级数在 处发散，
10 | |z则在以 为中心,为半径的圆周
z外的任何点 幂级数都发散.
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证明：
0
0
n
n
n
Cz?
幂级数 收敛,0lim 0,nnn Cz
00,| |nnM C z M使得,
0
0
,1zz z q qz由于,使得,
0
0
,n n nnn zC z C z M qz
0
1n
n
Mq?
由于级数 是公比小于 的等比级数，故收敛.
0
n
n
n
Cz?
收敛，
0
n
n
n
Cz?
级数 绝对收敛.
充分性 用反证可以证明．（略）
必要性
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2．收敛圆与收敛半径发散区域定义,0R?若存在实数,
0
,nn
n
z R C z
当 时，幂级数 发散
0
n
n
n
z R C z?
当 时，幂级数 绝对收敛；
R则称以 为半径的圆周为
0
n
n
n
C z R?
幂级数 的收敛圆,称为收敛半径
x
y
o
R
绝对收敛注意：
0
n
n
n
z R C z?
在圆周 上，幂级数 可能收敛也可能发散，
不能作一般结论，要对具体幂级数进行具体分析.
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例 1．
0
.n
n
z?
求幂级数 的收敛范围及和函数解,幂级数的部分和
21 11,( 1 )
1
n
n
n
zS z z z z
z
(1 ) 1 l i m 0nnzz当 时，,1lim,1nn S z
0
11.
1
n
n
z z S z?
即当 时，幂级数 收敛，其和函数为
( 2 ) 1 l i m 0nnzz当 时，,故级数发散,
由以上讨论可知：
0
1:.
1
n
n
zz
z
绝对收敛，复数幂级数发散，
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3．收敛半径的求法定理 2：（比值法）
0
n
n
n
Cz?
设幂级数 系数有,1lim 0nn
n
C
C?
0
1,n
n
n
C z R
则幂级数 的收敛半径为证明,11
1l i m l i m
n
n n
nnn
nn
Cz C zz
CCz?
由于,
0
1,n
n
n
z C z
级数 收敛，
0
1,n
n
n
C z z
故级数 在圆域 内收敛
00 0
1 n
nnz z C z?
假设在圆 外有一点,使得 收敛，
1 1 0z z z?在圆外再取一点,使,1
0
n
nn Cz
由阿贝尔定理,必定收敛
1
1
11
1 l i m 1nn
nn
n
Czzz
Cz
然而，,所以,10
n
nn Cz
这与级数 收敛矛盾，
0
1n
n
n
C z z
所以假设不成立，因而 在圆域 外发散.
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定理 3：（根值法）
0
nn
n
Cz?
设幂级数 系数有 lim 0,n nn C
0
1,n
nn C z R?
则幂级数 的收敛半径为
例 1,求下列幂级数的收敛半径
31( 1 ),(
n
n
z
n
并讨论在收敛圆周上的情形)，
1
( 1 )( 2),( 0,2 )n
n
z zz
n
讨论 时情形
0
(3 ) (c os ),n
n
in z?
1 2 10 ( 2 1 )( 4) ( ),2nnnn niz
解：
31(1 ) l i m l i m ( ) 1,
1
n
nnn
C n
Cn
1R?所以收敛半径为,
31 1 1,
n
n
z zz
n
故幂级数 在圆周 内收敛，在 外发散
33
11
11,n
nn
zz
nn
在圆周 上，幂级数 收敛
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1( 2 ) l i m l i m 1,
1
n
nnn
C n
Cn
1R?所以收敛半径为,
1 1 0zz在收敛圆周 上，当 时，
1
( 1 ),n
n n
幂级数 收敛
1
12,
n
z n?
当 时，级数 发散
.因此在收敛圆周上既有幂级数的收敛点又有发散点
13 c o s c o s h ( ),
2
nn
nC i n n e e
（）
1 ( 1 ) 2 1
1
2l i m l i m l i m 1
n n n
n
n n nn n n
n
C e e e e e
C e e e
,
1,
e故幂级数的收敛半径为
1
2 2 1
( 2 1 )( 4 ) 0,( ),
2
n
nn n
nC C i?
所以不能直接用公式．
用比较审敛法,
1 2 1( 2 1 )( ) ( ) 2nnn
n
nf z i z由于,
21
21
211
() ( 2 1 ) 2 1l i m l i m
( ) ( 2 1 ) 2 2
nn
n
nnnn
n
zfz n z
f z n z
则，
22zz即当 时，幂级数绝对收敛，当 时，幂级数发散.
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4．幂级数的运算和性质
（ 1）幂级数的代数运算
12
00
( ) ( ),nnnn
nn
f z a z g z b z R R
设幂级数,的收敛半径分别为,
12m in(,)R R R?令,zR?则当 时，有:
0 0 0
( ) ( ) ( )n n nn n n n
n n n
f z g z a z b z a b z
00
( ) ( ) ( ) ( )nnnn
nn
f z g z a x b x
2021120011000 )()( xbababaxbababa
nnnn xbababa )( 0110
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12,RR说明：有时两个幂级数经过运算后所得幂级数的收敛半径大于 与 中较小的一个
00
1 ( 0 1 )
1nn nnnz z aa
如：幂级数 与,1收敛半径均为，
0 0 0
1
11
nn n n
nnn n n
az z z
aa
但是 的收敛半径怎样？
1
1
1
111l im l im 1
( 1 )
1
n
nn
n n
nn
n
a
aaR
a a a a
a
这里,
0
11
n
n
nn
a z
a
表明幂级数 的收敛半径大于,
0 0 0
1
11
nn n n
nnn n n
az z z
aa
但要注意的是：使等式 成立
1.z?的收敛圆域仍为,不能扩大
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（ 2）复合运算
0
() nn
n
z r f z a z?
如果当 时，,
( ) ( )z R g z g z r又设在 内函数 解析，且满足,
0
[ ( ) ] [ ( ) ],nn
n
z R f g z a g z?
则当 时，有这个运算具有广泛的应用，常用来将函数展为幂级数． 例 2．
0
1 () n
n
n
C z a a bzb?
把函数 表示成形如 的幂级数，其中 与 是解,1 1 1 1
( ) ( ) 1 zaz b z a b a b a
ba
1zaba当 时，
0
1
1
n
n
za
za ba
ba
1
0
1 ( ),
()
n
nn
za
z b b a
1 11l i m l i m,n
nnn
C
C b a b a
,R b a收敛半径：
不相等的复常数.
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（ 3）幂级数和函数的性质定理 4：
0
( ) ( )nn
n
C z a f z R?
设幂级数 的收敛半径为,则和函数具有下列性质：
1
( 1 ) ( ) ( ) nn
n
f z C z a z a R?
和函数 在收敛圆 内解析，且可逐项求导：
1
1
( ) ( ) nn
n
f z nC z a
1
( ) ( ) nn
n
f z C z a z a R?
(2) 和函数 在收敛圆 内是可积函数，且可逐项积分：
0
( ) ( ),nnCC
n
f z d z C z a d z C z a R?
1
0
( ) ( ),1z nna
n
Cf d z a
n
或逐项求导、逐项积分
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例 3,试求给定幂级数在收敛圆内的和函数
1
1
(1 ) ( 1 ),nn
n
nz
1
1
1( 2) ( 1 ),nn
n
zn
解,1,R?(1) 求得收敛半径为
11
1
()1 ( 1 ) nn
n
Szz nz
z
时，令,则
11
00 1
() ( 1 )zz nn
n
Sz dz nz dz
z
1
1
1 ),1nn
n
zz
z
2( ) ( ),1 (1 )
zzS z z
zz
1
1
1( 2) 1 ( ) ( 1 ) nn
n
R S z zn
求得收敛半径为,令,则
1
1
11 ( ) ( 1 )
1
nn
n
z S z z z
当 时，,
0
1( ) l n ( 1 ),(,
1
zS z d z z
z
主值）
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第三节 泰勒级数前面已讨论了已知幂级数，如何求收敛圆、和函数，并且知道和函数在它的收敛圆内是一个解析函数，下面研究与此相反的问题：即 任何一个解析函数是否能用幂级数来表示？
1 ( )f z D设：（）函数 在区域 内解析；
00(2 ) D z D R k z z R在 内任一点 为圆心,为半径的圆周（取正向）：
1 ( )( ) ( * )
2 ( )k
fz k f z d
iz
对任何,有柯西积分公式
0
0
1zzz k k z由于 内,上，所以有,则
00 0 0
0
1 1 1 1
( ) ( ) 1 zzz z z z z
z
0
000
1 () n
n
zz
zz
0
10
0
()
()
n
nn
zz
z?
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将其代入（* ）式中，得：
0 1
0 0
()1( ) ( )
2 ( )
n
nk n
zzf z f d
iz
1
01
0 0
1 ( )[ ] ( )
2 ( )
N n
nkn
fd zz
iz
01
0
1 ( )[ ( ) ]
2 ( )
n
nk nN
f z z d
iz
由高阶导数公式得：
()1
0 0
0
()( ) ( ) ( ) ( * * )
!
nN n
N
n
fzf z z z R z
n
01
0
1 ( )( ) [ ( ) ]
2 ( )
n
N nk
nN
fR z z z d
iz
其中,
li m ( ) 0,NN Rz下面证明
00
0
1zzzz qzr令，
()f z k D k k?而函数 在 内解析，从而在 上连续，于是在 上有界，
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0 ( )M k f M即存在一个,在 上,()NRz由 表达式得：
01
0
1 ( )( ) ( )
2 ( )
n
N nk
nN
fR z z z d s
z
0
00
()1 []
2
n
k nN
f zz ds
zz
1
2 nk nN
M q ds
r?
1 221 Nn
nN
M M qqr
rq
1l i m l i m 0
11
N qN
Nx
Mq M q
qq
因为,l i m ( ) 0,NNk R z所以在 内
()
0
0
0
()( ) ( ),
!
n
n
n
fzk f z z z
n
从而在 内有：
0()f z z称为函数 在 的泰勒展开式，
0( ),f z z右端的级数称为函数 在 的泰勒级数
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定理 5：
00()f z D z D R z D设函数 在区域 内解析,为 内一点,为 到的边界上各点的最短距离,0 ()z z R f z则当 时，函数 可展为幂级数：
0
0
( ) ( ),nn
n
f z C z z?
() 01 ( ) 0,1,2,.! nnC f z nn其中,
D
0z
00
0
,( ) ( ) nn
n
z z R f z C z z?
内
()f z D在区域 内解析
R
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说明,(1 ) ( )fz若函数 有有限个奇点，
0 ()R z f z?的 就等于从 到 的最近一个奇点
( 2 )由上面定理及幂级数性质可以得到一个重要性质，即函数在一点解析的充分必要条件是它在这一点的邻域内可以展开为幂级数.
(3) 利用泰勒级数可把函数展开成幂级数，但这种展开式是否唯一呢？
0()f z z假设函数 在 用另外的方法展开成幂级数为：
20 1 0 2 0 0( ) ( ) ( ) ( ),nnf z a a z z a z z a z z
()0 0 0 1 01( ),( ),,( ),! nnf z a f z a a f zn
由此可见解析函数展开成幂级数的结果就是泰勒级数，即 展开式是唯一 的．
0()f z z那么 在 的泰勒展开式成立
0,Rz之间的距离，即
0z
R
2009-7-30 33
一、利用直接法将函数展开成幂级数
() 01 ( ),0,1,2,3,.! nnC f z nn直接通过计算系数：,把函数展开成幂级数
例 1,0( 1 ) 2 si n 0,ze z z?将函数,；（ ） ；在 处展开为泰勒级数解,( ) ( )
0( 1 ) ( ),( ) | 1,0,1,2,z n z z n ze e e n因为
() (0 ) 1
!!
n
n
fC
nn
ze因此函数 的泰勒展开式为：
0
,!nz
n
ze
n
||z
2 s i n z（ ）将函数 展开为泰勒级数为：
213511si n ( 1 )
3! 5 ! ( 2 1 ) !
nn zz z z z
n
s i n | |,zz因为函数 在整个复平面内处处解析，所以收敛圆为
2009-7-30 34
二、利用间接展开法将函数展开成幂级数借助于已知函数的展开式，利用幂级数的运算性质和分析性质，
以唯一性为理论依据得到函数的泰勒展开式．
0
1(1 ),1
1
n
n
zzz?
0
( 2),!nz
n
zez
n
21
0
( 3 ) s i n ( 1 ),( 2 1 ) !nn
n
zzz
n
2
0
( 4) c os ( 1 ),( 2 ) !nn
n
zzz
n
2009-7-30 35
例 2．
2
1,
(1 ) zz?把函数 展开成 的幂级数解：
2
1 1
( 1 ) zz由于函数 在 内处处解析,1,zz?所以在 内可展开成 的幂级数
0
1,1
1
n
n
zzz?
又因为上式两边逐项求导得,12
1
1,
(1 )
n
n
nzz
1.z?
例 3,l n ( 1 ) 0zz求对数函数的主值 在 处的泰勒展开式.
解,l n (1 ) 1zz因为函数 在 内处处解析,1,zz?所以在 内可展开成 的幂级数
1[ ln (1 ) ]
1z z又因为,0 ( 1)nnn z
10z z C?所以在 内任一条从 到 的积分路线,
上式两端逐项积分得,1
0
( 1 )l n (1 ),1,
1
n
n
n
z z zn
2009-7-30 36
例 4,c o s s i n,zze z e z z将函数 及 展开成 的幂级数解,4( 1 ) ( 2 )( c o s sin ) iz z iz i z e ze z i z e e e e因为,
4
4
2
( 2 )1 2 (1 )
!
n i
nni
n
ezez
n
4( 1 ) ( 2 )( c os sin ) iz z iz i z e ze z i z e e e e
同理,
4
4
2
( 2 )1 2 ( 2 )
!
n i
nni
n
ezez
n
(1) (2)
2
得,coszez
2
( 2 ) c o s 4
1 2 c o s,4!
n
n
n
n
zz n
z
(1) (2)
2
得,sinzez
2
( 2 ) s in 4
1 2 s in,4!
n
n
n
n
zz n
z
例,
2009-7-30 37
三、将函数展成的幂级数
例 5,1( ) 1
2f z zz求函数 在 的邻域内的泰勒展开式.
解,1
( ) 22f z zz因为函数 只有奇点,
| 2 ( 1 ) | 3R其收敛半径,
| 1 | 3 1,zz所以函数在圆域 内可以展开为 的幂级数
1 1 1 1
12 1 3 3 1
3
zzz
231 1 1 1 1
[ 1 ]3 3 3 3 3
nz z z z
10
1 ( 1 ),
3
n
nn z
| 1| 3.z
2009-7-30 38
例 6．
2
1( ),
( 1 )f z z iz求函数 展开为 的幂级数解,( ) 1 | 1 | 2f z z R i函数 只有一个起点,其收敛半径为,
| | 2,z i z i所以函数在 内可以展开为 的幂级数
2
11()
(1 ) 1fz zz
11 ( )i z i
11
1 1
1
zii
i
21 [ 1 ( ) ( ) ]
1 1 1 1
nz i z i z i
i i i i
11 1 2[ ( ) ( ) ]1 1 1 1 1 1 nz i n z ii i i i i i
1
2
1 [ 1 2 ( ) ( ) ],
( 1 ) 1 1
nz i z in
i i i
| | 2.zi
2009-7-30 39
例 7,11( ),zf z e z将函数 展开为 的幂级数解,11( ) 1 | 1 0 | 1zf z e z R因为函数 有一个奇点,所以收敛半径,
| | 1,zz?所以函数在圆域 内可以展开为 的幂级数
1
1
2
1( ),
(1 )
zf z e
z
2(1 ) ( ) ( ) 0z f z f z即：,
将上式逐项求导得,2(1 ) ( ) ( 2 3 ) ( ) 0z f z z f z
3( 1 ) ( ) ( 4 5 ) ( ) 2 ( ) 0,z f z z f z f z
(0 )fe?由于,2(1 ) ( ) ( ) 0z f z f z由 得：(0),fe
(0 ) 3,(0 ) 1 3,f e f e同理可得：
1
231 3 1 3( ) [ 1 ],
2 ! 3 !zf z e e z z z
| | 1.z?
000 ( ),nnn C z z z z R
（1 ）幂级数 在收敛圆 内的和函数是解析函数
0 0 00( 2) ( ) ( ),nnnz z R f z z C z z
在圆域 内的解析函数 必能在 展为幂级数
2009-7-30 40
第四节 洛朗级数
()f z D泰勒级数是解析函数 在区域 内任一解析点的展开式，但在实际问题中常需将级数在奇点附近展开； 即在环形区域内将函数展开成幂级数，
此时要引入一个新的级数，即洛朗级数.
考察幂级数：
1
0 0 1 0( ) ( ) ( )
nn
nn
n
C z z C z z C z z
0 1 0 0( ) ( ) nnC C z z C z z
00
10
( ) ( )nnnn
nn
C z z C z z
1（）
正幂项部分负幂项部分
2009-7-30 41
0
0
( ) 2nn
n
C z z?
正幂项部分,（ ）
2R是一般的幂级数，设收敛半径为,
02z z R则当 时级数收敛，
0
1
( ) 3nn
n
C z z
负幂项部分,（ ）
0
1,
()t zz令 011( ) ( 4)nnnnnnC z z C t
则
( 4 ) R是一般的幂级数，设收敛半径为，
.t R t R则当 时，级数收敛，当 时，级数发散
0
1
()t zz又因为,0
1zz
R故当 时，级数收敛，
1
1 R
R?令 时，
02z z R 时级数发散
01z z R则当 时，级数收敛.
1R
2R
0z奇点
2009-7-30 42
0()
n
n
n
C z z?
对级数 收敛作如下规定：
0 0 0
01
( ) ( ) ( ),n n nn n n
n n n
C z z C z z C z z
当且仅当 与 都收敛时，级数 才收敛因此,12(1 ) RR? 时，级数发散；
1 2 1 0 2(2 ),R R R z z R时，级数的收敛范围是圆环域 级数在圆环域外发散；
1 0 0 2,R z z z z R在圆环域边界 和 上可能有些点级数收敛，有些点发散问题提出：在圆环域内解析函数是否一定能展开成级数？
1( ) 0 1
( 1 )f z z zzz引例：函数 在 及 处都不解析，但是在圆环域
0 1 0 1 1,zz及圆环域 内是处处解析的
(1 ) 0 1z当 时，有 21 1 1( ) 11 nf z z z zz z z
( ) 0 1,f z z由此可见函数 在圆环域 内可以展开为级数
2009-7-30 43
(2 ) 0 1 1z当 时，有
11( ) [ ]
1 1 (1 )fz zz
21 [ 1 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ]1 nz z zz
211 1 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ]1 nz z zz
()fz从上面讨论可以看出函数 可以展开为幂级数，只是幂级数含有负幂的项，据此可想：
1 0 2 0( ) ( )
n
n
n
R z z R f z C z z?
在环域 内处处解析函数 可展为 的级数，
事实也是这样，于是有下列定理：
2009-7-30 44
一、直接展开法定理 6（洛朗定理）
1 0 2()f z R z z R设函数 在圆环域 内处处解析，
1 0 2()f z R z z R则函数 一定能在环形域 中展开为 0( ) ( ) nn
n
f z C z z?
1
0
1 ( ) ( 0,1,2,)
2 ( )n nC
fC d n
iz
其中
0,Cz这里 为圆环域内绕 的任何一条正向简单闭曲线证明,z设 为圆环域内任一点，
0z在圆环域内作以 为中心的正向圆周
12kk与,2 1 1 2k R k r z k k的半径 大于 的半径,且使 在 与 之间，
于是由多连通的柯西积分公式，有：
21
1 ( ) 1 ( )()
22kk
fff z d d
i z i z
证明：
2009-7-30 45
2
1 ( )( 1 )
2 k
f d
iz
对于上式右端的第一个积分式：,
22k z k?积分变量 取在 上，点 在 内部,0
0
1zzz所以,
2()fk?又由于 在 上连续,()M f M因此存在一个常数,使,
与泰勒公式的展开证明一样，可得：
2 00
1 ( ) ( ),
2
n
nk
n
f d C z z
iz
2 10
1 ( ) 0,1,2,
2 ( )n nk
fC d n
iz
其中,
2
1 ( )
2 k
f d
iz
注：此时 不能应用高阶导数公式,2( ),f z k因为函数 在 内不是处处解析
1
1 ( )( 2 )
2 k
f d
iz
对于上式右端的第二个积分式：,
11k z k?由于 取在 上，点 在 外部,0
0
1zzz所以,因此有：
2009-7-30 46
00 0 0
0
1 1 1 1
() 1 zz z z z z z
zz
1
0
1 0
()
()
n
n
n
z
zz
01
1 0
1 ( ),
()
n
nn zzz?
1
1 ( )
2 k
f d
iz
所以 1
1
01
1 0
1 ( )[ ] ( ) ( )
2 ( )
N n
Nnk
n
f d z z R z
iz
1
1
0
0
( ) ( )1( ) [ ],
2 ( )
n
N nk
nN
zfR z d
i z z
其中
1 l i m ( ) 0,NNk R z下面证明在 外部有
0
00
01z rqqz z z z令 与积分变量无关，且,
1zk又因为点 在 外部,1()fk?及 在 上连续，
110 ( )M f M因此存在,使,
2009-7-30 47
于是有：
1
0
00
()1( ) [ ]
2
n
n k
nN
f zR z d
i z z z
111 2
21
Nn
nN
M M qqr
rq
lim 0NN q因为,lim ( ) 0,NN Rz所以
1
1 ( )
2 k
f d
iz
从而有,1 00111 0
1 ( )[ ] ( ) ( )
2 ( )
nn
nnk
nn
f d z z C z z
iz
综上所述，有：
00
00
( ) ( ) ( )nnnn
nn
f z C z z C z z
0( ),nn
n
C z z?
2 10
1 ( ),0,1,2,
2 ( )n nk
fC d n
iz
其中,
1 10
1 ( ),1,2,.
2 ( )n nk
fC d n
iz
2009-7-30 48
nnCC?将 与 合在一起得,0zC如果圆环域内取绕 的任何一条正向简单闭曲线,
那么根据闭路变形原理，可用一个式子表示为：
1
0
1 ( ),( 0,1,2,),
2 ( )n nC
fC d n
iz
0 1 0 2( ) ( ) ( )
n
n
n
f z C z z f z R z z R?
称 为函数 在圆环域 内的洛朗展开式，
0 1 0 2( ) ( ),
n
n
n
C z z f z R z z R?
而称 为函数 在圆环域 内的洛朗级数说明,00zz(1) 在许多应用中，往往需要把在某点 不解析，但在
()fz去心邻域内解析的函数 展开成幂级数,那么就利用洛朗级数展开，即
00
01
( ) ( ) ( )nnnn
nn
f z C z z C z z
为 级 数 解 析 部 分 主 要 部 分
( 2 ) 幂级数在收敛圆环域内所具有的所有性质，
洛朗级数在收敛圆环域内同样具有.
2009-7-30 49
例 1,0
2( ) 0 0,
zef z z z
z把函数 在以 为中心的圆环域 内展开成洛朗级数解：
nC计算系数,
3
1,
2n nC
eCd
i
C其中 为圆环域内任何一条正向简单闭曲线，
3( 1 ) 3 0 ( ) 0 0,zn nn f z e z z C当 时，函数 在 内解析，所以
( 2 ) 2n当 时，由高阶导数公式，
( 2 )
03
1 1 1( ) |
2 ( 2) ! ( 2) !
n
n nC
eC d e
i n n
于是函数的洛朗展开式为：
2
222
1 1 1 1 1
( 2) ! 2 ! 3! 4 !
zn
n
ez zz
z n z z
---------直接展开法
2009-7-30 50
在圆环域内的解析函数展开为含有正、负幂项的级数是唯一的,
( ),fz这个级数就是函数 的洛朗级数证明：
1 0 2()f z R z z R设函数 在圆环域 内展开的级数是 0( ) ( )
nn
n
f z a z z?
C其中 为圆环域内任何一条正向简单闭曲线，
C? 为 上任何一点，则
0( ) ( )
n
nnf a z
10( ) )pz C p以 去乘上式两边，并沿曲线 积分，得：( 为整数
10
10
() ( ) 2
()
npnp
pCC n
f a z d i a
z
0,,
0,,
,,p
np
np
a n p
函数解析因为 由高阶导数公式由柯西积分公式
1
0
1 ( ),( 0,1,2,),
2 ( )p pC
fa d p
iz
从而，
2009-7-30 51
二、间接展开法根据由正、负整次幂项组成的级数的唯一性，可通过代数运算、变量代换、函数求导、积分等方法将函数展开，这种方法称为 间接展开法,
2
ze
z如,2 3 42
1 1 1 1 1( 1 )
2 ! 3 ! 4 ! ! nz z z z zzn,
22
2
1 1 1 1 1 1,
2 ! 3 ! 4 ! ! nz z zz z n
例 2,13( ) 0,zf z z e z把函数 在区域 内展开洛朗级数解,13( ) 0zf z z e z因为函数 在区域 内处处解析，而且
2111,
2 ! !
zne z z z
n
13 3 21 1 1 1 1( 1 ( ) ( ) ),
2 ! !
nzz e z
z z n z
32 1 1 1,2 ! 3 ! 4 !z z z z
2009-7-30 52
例 3,1()
( 1 ) ( 2 )fz zz函数 在下列圆环域内处处解析，试把函数
( ),fz 在这些区域内展开成幂级数
(1)0 1,z (2 )1 2,z (3)2,z
解,11(1 ) ( ),
12fz zz
0 1 1 12zzz在 内，有 及,
21 1,
1
nz z z
z
231 1 1 1 ( 1 ( ) ( ) ( ) ),
2 2 2 2 2 2 21
2
nz z z z
zz
2 2 31( ) ( 1 ) ( 1 ( ) ( ) ( ) )2 2 2 2 2nn z z z zf z z z z
21 3 7,2 4 8zz
( ) 0,z f z z?不含 的负幂项，因此函数 在 处解析
2009-7-30 53
1( 2) 1 2 1 1
2
zz
z在区域 内，有 及,
2
1 1 1 1 1 1 1( 1 ),
11 1 nz z z z z z
z
231 1 1 1 ( 1 ( ) ( ) ( ) ),
2 2 2 2 2 2 21
2
nz z z z
zz
2
1 1 1 1( ) ( 1 )
nfz z z z z
231 ( 1 ( ) ( ) ( ) ),2 2 2 2 2 nz z z z
2
1 2 3
1 1 1 1,
2 2 2nn
zz
z z z
21( 3 ) 2 1,1z
zz在区域 内，有,
22
1 1 1 1 1 1 1 2 4( ) ( 1 ) ( 1 )
21 1fz z z z z z z z z
z
234
1 3 7,
z z z
2009-7-30 54
例 4,( ) 0 1,
1
zef z z
z将函数 在环形域 上展开为洛朗级数解,1 1 111
1 1 1
z zze e e e
z z z
1
ze
z
2( 1 ) ( 1 )[ 1 ( 1 ) ]
1 2 ! !
ne z zz
zn
11 ( 1 ) ( 1 )[ 1 ],
1 2 ! !
nzze
zn
例 5．
2
1()
1f z z iz试求函数 在 处的洛朗级数.
2
1()
1f z z iz函数 在复平面上有两个奇点,
解：
()fz因此复平面被分成两个不相交的函数 的解析区域：
(1)0 2,zi (2 )2,zi
2009-7-30 55
2
1 1 1 1()
1 ( ) ( )fz z z i z i z i z i
(1 ) 0 2zi在区域 内，
2
1 1 1 1 1 1
12 1 ( )
2
ziz z i z i z i i
i
1 1
100
11 ( ) ( ),
2 2 2
nnn
nnn
z i i zi
z i i i
( 2 ) 2 zi在 内，
2
1 1 1 1 1 1
21 1 ( )iz z i z i z i z i
zi
2200
1 2 ( 2 )( ),
( ) ( )
nn
nnn
ii
z i z i z i
2009-7-30 2
参考用书
,复变函数与积分变换》,华中科技大学数学系,高等教育出版社,2003.6
,复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》,华中科大,高等教育出版社
,复变函数》,西安交通大学高等数学教研室,高等教育出版社,1996.5
2009-7-30 3
目 录
第二章 解析函数
第三章 复变函数的积分
第四章 解析函数的级数表示
第五章 留数及其应用
第六章 傅立叶变换
第七章 拉普拉斯变换
第一章 复数与复变函数
2009-7-30 4
第四章 解析函数的级数表示
本章的主要内容是：复数项级数和复变函数项级数的一些基本概念和性质；重点介绍复变函数项级数中的幂级数和由正,负整次幂项所组成的洛朗级数,
关于复数项级数和复变函数项级数的某些概念和定理都是实数范围内的相应的内容在复数范围内的直接推广,因此,在学习中结合高等数学中无穷级数部分的复习,并在对此中进行学习,
2009-7-30 5
第四章 解析函数的级数表示
4.1 复数项级数
4.2 复变函数项级数
4.3 泰勒级数
4.4 洛朗级数
本章小结
思考题
2009-7-30 6
第一节 复数项级数
一、复数列极限定义：
0 0 0{ } { } ( 1,2,)n n nz x iy n z x iy设 为一复数列，又 为一确定复数，
00 ( ) 0 nN n N z z如果对任意给定,相应地能找到一个正数,当 时，有 成立，
0 {} nz z n则称 为复数列 当 时的极限，记作：
0lim,nn zz { },nzz或称复数列 收敛于定理 1,0
00
0
l im
{ } l im,l im nnnn
n n
n
xx
z z z z yy
复数列 收敛于,即 的充要条件是
2009-7-30 7
证明,必要性
0lim nn zz已知,
000,,( ) ( ),nnN N n N x i y x i y当 时，有
0 0 0 0( ) ( )n n n nx x z z x x i y y
0lim,nn xx 0lim,nn yy同理可得：
充分性
00l i m,l i mnnnnx x y y已知,
000,,,( )22nnN N n N x x y y
当 时，都有,
0 0 0 0 0( ) ( ) ( ),n n n n nz z x x i y y x x y y
0lim,nn zz
2009-7-30 8
例 1,下列复数列是否收敛？如果收敛，求出其极限.
1(1 ) (1 ),i n
nzen
(2 ) co s,nz n in? 13(3 ) ( ),
6
nn iz
解,1
(1 ) (1 ) i nnzen
1(1 ) ( c o s s i n )in n n
11( 1 ) c o s,( 1 ) s i n,
nnxy n n n n
li m 1,li m 0,nnnnxy
1(1 ) i n
nzen
收敛，
lim 1,nn z且有
(2) c osnz n in? 1 ()
2
nnn e e coshnn?
21( ) ( 1 )22n n n nn e e n e e
21l i m l i m ( 1 ),2 nnn
nnz n e e
{ },nz所以复数列 发散
2009-7-30 9
13( 3 ) ( ) ( c o s s i n )
6
n n i n nn iz r e r n i n
1 3 1 0 1
66
ir而,lim 0,nn r
l i m c o s 0,l i m s i n 0nnnnr n r n
lim 0,nn z
l i m 0 l i m ( c o s s i n ) 0 l i m 0,)n n nn n nz z i z( 若,,即,反之也成立
2009-7-30 10
定义：
1
1 { } { }n n n n
n
z x iy z?
（）设复数列,称 为无穷级数；
12( 2 ) nnS z z z 为复数项级数的部分和；
1
{} nn
n
Sz?
(3) 若部分和数列 收敛，则称级数 收敛，
l i m nn SS且 称为级数的和，
1
{ },nn
n
Sz?
如果数列 不收敛，则称级数 发散
例 1,2| | 1 1 nz z z z当 时，判断级数 是否收敛？
解,112 11()
1 1 1
nn
n
n
zzS z z z z
z z z
部分和
11||
l i m l i m 0,1 | 1 |
nn
nn
zz
zz
1lim 0,
1
n
n
z
z
111l im l im ( ),
1 1 1
n
nnn
zS
z z z
1.z?
二、复数项级数的概念
2009-7-30 11
定理 2：
11nnnn
xy
实数项级数 和 都收敛.
1 nn
z?
复数项级数 收敛的充分必要条件是证明：
12nnS z z z 1 2 1 2( ) ( )nnx x x i y y y
,nni
11
n n n n
nn
xy
和 分别为实数项级数 和 的部分和，
1 { } { } { }n n nS由定理 可知数列 有极限的充要条件是,有极限存在，
11
.nn
nn
xy
即 和 都收敛
1
2 n
n
x?
说明：定理 将复数项级数的审敛问题转化为实数项级数的审敛问题，
11
l im 0,l im 0n n n nnn
nn
x y x y
由实数级数 和 收敛必要条件,即可得下面定理3,
定理 3：
l i m 0,nn z复数项级数收敛的必要条件是
2009-7-30 12
定理 3：
11nnnn
zz
如果级数 收敛，则级数 也收敛,
1
()n
n
z?
此时称 为绝对收敛，非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛
11
.nn
nn
zz
且不等式 成立证明,22
11n n nnn
z x y
因为 收敛，
2 2 2 2,n n n n n nx x y y x y而，
11 nnnn
xy
由实数项正项级数的比较准则，可知级数 和 都收敛，
11
nn
nn
xy
从而级数 和 也都收敛，
1
2,n
n
z?
由定理 可知复级数 也是收敛
11nnnn
zz
又对于级数 和 的部分和成立的不等式：
11
nn
kk
zz
11
li m li m,nnkknn
kk
zz
11
.kk
kk
zz
即：
2009-7-30 13
说明：
1 1 1
( 1 ),n n n
n n n
z x y
绝对收敛 与 均绝对收敛
1
( 2 ) n
n
z?
因为 各项为非负实数，所以它的敛散性可用正项级数判定法来判定.
1 1 1
( 3 ) n n n
n n n
z z z
若 收敛，而 不一定收敛，即 是条件收敛.
例 2,下列级数是否收敛？是否绝对收敛？
1
1(1) (1 ),
n
i
nn
1
(8 )(2),
!
n
n
i
n
1 ( 1) 1(3 ) [ ].2n nn in
解：
11
(1 ) (1 )
nn
i
n n n
的实部 发散，
1
1 (1 ),
n
i
nn
发散
(8 ) 8( 2 ) | |,
!!
nn
n
iz
nn
由正项级数比较判别法：
18 ! 8l i m l i m 0 1
( 1 ) ! 8 1
n
nnn
n
nn
,1
( 8 ),
!
n
n
i
n
为绝对收敛
11
( 1 ) 1( 3 )
2
n
nnnn
因为 和 都收敛，
1
( 1 ) 1[]
2
n
nn in
收敛，
11
( 1 ) ( 1 ) 1[ ],
2
nn
nnn inn
但 为条件收敛，所以 为条件收敛
2009-7-30 14
第二节 复变函数项级数
一、复变函数项级数定义：
12( ),( ),( ),nD f z f z f z设给定在区域 上有定义的一列函数列,
称表达式：
12
1
( ) ( ) ( ) ( )nn
n
f z f z f z f z?
D为区域 内的复变函数项级数.
12( ) ( ) ( ) ( )nnn S z f z f z f z该级数的前 项之和：
称为级数的部分和．
0 0 0l i m ( ) ( )nnz D S z S z对任一,若,0
1
()n
n
f z z?
则称级数 在 处是收敛的，
0 0 01( ) ( ) ( ),nnS z f z S z
就是它的和,即
11
( ) ( ) ( )nn
nn
f z D f z D S z
若级数 在 内处处收敛，则 的和是 内的一个函数,
1
( ) ( ),n
n
f z S z?
即：,（和函数）
2009-7-30 15
二、幂级数
1．幂级数概念定义：形如 2
0 1 0 2 0 00 ( ) ( ) ( ) ( )nnnnn C z a C C z z C z z C z z
00( ),nz z C z?的级数，称为 的幂级数( 其中 为复常数),
0
n
nn
n
C z z C?
形如,的级数，称为 的幂级数，其中 为复常数.
0
0
.nn
n
C z z z t?
以后主要讨论形如 的级数，而另一种令 即可
2009-7-30 16
定理 1：（阿贝尔定理）
00
1
( 1 ) ( 0 )nn
n
C z z z z?
如果幂级数 在 收敛，则
0
1
n
n
n
z z z C z?
则对满足 的一切,幂级数 必绝对收敛；
1 1 1
1
( 0 )nn
n
C z z z z z z z?
在 发散，则对满足 的一切,幂级数必发散.
( 2 )如果幂级数
0 ()z 收敛点
0z
x
y
o
绝对收敛
1z
1(z 发散点)
发散区域阿贝尔定理告诉我们,
0 0zz(1) 若幂级数在 处收敛，
00 | |z则在以 为中心,为半径的圆周
.z的任何点 幂级数绝对收敛
1( 2 ) zz?若幂级数在 处发散，
10 | |z则在以 为中心,为半径的圆周
z外的任何点 幂级数都发散.
2009-7-30 17
证明：
0
0
n
n
n
Cz?
幂级数 收敛,0lim 0,nnn Cz
00,| |nnM C z M使得,
0
0
,1zz z q qz由于,使得,
0
0
,n n nnn zC z C z M qz
0
1n
n
Mq?
由于级数 是公比小于 的等比级数，故收敛.
0
n
n
n
Cz?
收敛，
0
n
n
n
Cz?
级数 绝对收敛.
充分性 用反证可以证明．（略）
必要性
2009-7-30 18
2．收敛圆与收敛半径发散区域定义,0R?若存在实数,
0
,nn
n
z R C z
当 时，幂级数 发散
0
n
n
n
z R C z?
当 时，幂级数 绝对收敛；
R则称以 为半径的圆周为
0
n
n
n
C z R?
幂级数 的收敛圆,称为收敛半径
x
y
o
R
绝对收敛注意：
0
n
n
n
z R C z?
在圆周 上，幂级数 可能收敛也可能发散，
不能作一般结论，要对具体幂级数进行具体分析.
2009-7-30 19
例 1．
0
.n
n
z?
求幂级数 的收敛范围及和函数解,幂级数的部分和
21 11,( 1 )
1
n
n
n
zS z z z z
z
(1 ) 1 l i m 0nnzz当 时，,1lim,1nn S z
0
11.
1
n
n
z z S z?
即当 时，幂级数 收敛，其和函数为
( 2 ) 1 l i m 0nnzz当 时，,故级数发散,
由以上讨论可知：
0
1:.
1
n
n
zz
z
绝对收敛，复数幂级数发散，
2009-7-30 20
3．收敛半径的求法定理 2：（比值法）
0
n
n
n
Cz?
设幂级数 系数有,1lim 0nn
n
C
C?
0
1,n
n
n
C z R
则幂级数 的收敛半径为证明,11
1l i m l i m
n
n n
nnn
nn
Cz C zz
CCz?
由于,
0
1,n
n
n
z C z
级数 收敛，
0
1,n
n
n
C z z
故级数 在圆域 内收敛
00 0
1 n
nnz z C z?
假设在圆 外有一点,使得 收敛，
1 1 0z z z?在圆外再取一点,使,1
0
n
nn Cz
由阿贝尔定理,必定收敛
1
1
11
1 l i m 1nn
nn
n
Czzz
Cz
然而，,所以,10
n
nn Cz
这与级数 收敛矛盾，
0
1n
n
n
C z z
所以假设不成立，因而 在圆域 外发散.
2009-7-30 21
定理 3：（根值法）
0
nn
n
Cz?
设幂级数 系数有 lim 0,n nn C
0
1,n
nn C z R?
则幂级数 的收敛半径为
例 1,求下列幂级数的收敛半径
31( 1 ),(
n
n
z
n
并讨论在收敛圆周上的情形)，
1
( 1 )( 2),( 0,2 )n
n
z zz
n
讨论 时情形
0
(3 ) (c os ),n
n
in z?
1 2 10 ( 2 1 )( 4) ( ),2nnnn niz
解：
31(1 ) l i m l i m ( ) 1,
1
n
nnn
C n
Cn
1R?所以收敛半径为,
31 1 1,
n
n
z zz
n
故幂级数 在圆周 内收敛，在 外发散
33
11
11,n
nn
zz
nn
在圆周 上，幂级数 收敛
2009-7-30 22
1( 2 ) l i m l i m 1,
1
n
nnn
C n
Cn
1R?所以收敛半径为,
1 1 0zz在收敛圆周 上，当 时，
1
( 1 ),n
n n
幂级数 收敛
1
12,
n
z n?
当 时，级数 发散
.因此在收敛圆周上既有幂级数的收敛点又有发散点
13 c o s c o s h ( ),
2
nn
nC i n n e e
（）
1 ( 1 ) 2 1
1
2l i m l i m l i m 1
n n n
n
n n nn n n
n
C e e e e e
C e e e
,
1,
e故幂级数的收敛半径为
1
2 2 1
( 2 1 )( 4 ) 0,( ),
2
n
nn n
nC C i?
所以不能直接用公式．
用比较审敛法,
1 2 1( 2 1 )( ) ( ) 2nnn
n
nf z i z由于,
21
21
211
() ( 2 1 ) 2 1l i m l i m
( ) ( 2 1 ) 2 2
nn
n
nnnn
n
zfz n z
f z n z
则，
22zz即当 时，幂级数绝对收敛，当 时，幂级数发散.
2009-7-30 23
4．幂级数的运算和性质
（ 1）幂级数的代数运算
12
00
( ) ( ),nnnn
nn
f z a z g z b z R R
设幂级数,的收敛半径分别为,
12m in(,)R R R?令,zR?则当 时，有:
0 0 0
( ) ( ) ( )n n nn n n n
n n n
f z g z a z b z a b z
00
( ) ( ) ( ) ( )nnnn
nn
f z g z a x b x
2021120011000 )()( xbababaxbababa
nnnn xbababa )( 0110
2009-7-30 24
12,RR说明：有时两个幂级数经过运算后所得幂级数的收敛半径大于 与 中较小的一个
00
1 ( 0 1 )
1nn nnnz z aa
如：幂级数 与,1收敛半径均为，
0 0 0
1
11
nn n n
nnn n n
az z z
aa
但是 的收敛半径怎样？
1
1
1
111l im l im 1
( 1 )
1
n
nn
n n
nn
n
a
aaR
a a a a
a
这里,
0
11
n
n
nn
a z
a
表明幂级数 的收敛半径大于,
0 0 0
1
11
nn n n
nnn n n
az z z
aa
但要注意的是：使等式 成立
1.z?的收敛圆域仍为,不能扩大
2009-7-30 25
（ 2）复合运算
0
() nn
n
z r f z a z?
如果当 时，,
( ) ( )z R g z g z r又设在 内函数 解析，且满足,
0
[ ( ) ] [ ( ) ],nn
n
z R f g z a g z?
则当 时，有这个运算具有广泛的应用，常用来将函数展为幂级数． 例 2．
0
1 () n
n
n
C z a a bzb?
把函数 表示成形如 的幂级数，其中 与 是解,1 1 1 1
( ) ( ) 1 zaz b z a b a b a
ba
1zaba当 时，
0
1
1
n
n
za
za ba
ba
1
0
1 ( ),
()
n
nn
za
z b b a
1 11l i m l i m,n
nnn
C
C b a b a
,R b a收敛半径：
不相等的复常数.
2009-7-30 26
（ 3）幂级数和函数的性质定理 4：
0
( ) ( )nn
n
C z a f z R?
设幂级数 的收敛半径为,则和函数具有下列性质：
1
( 1 ) ( ) ( ) nn
n
f z C z a z a R?
和函数 在收敛圆 内解析，且可逐项求导：
1
1
( ) ( ) nn
n
f z nC z a
1
( ) ( ) nn
n
f z C z a z a R?
(2) 和函数 在收敛圆 内是可积函数，且可逐项积分：
0
( ) ( ),nnCC
n
f z d z C z a d z C z a R?
1
0
( ) ( ),1z nna
n
Cf d z a
n
或逐项求导、逐项积分
2009-7-30 27
例 3,试求给定幂级数在收敛圆内的和函数
1
1
(1 ) ( 1 ),nn
n
nz
1
1
1( 2) ( 1 ),nn
n
zn
解,1,R?(1) 求得收敛半径为
11
1
()1 ( 1 ) nn
n
Szz nz
z
时，令,则
11
00 1
() ( 1 )zz nn
n
Sz dz nz dz
z
1
1
1 ),1nn
n
zz
z
2( ) ( ),1 (1 )
zzS z z
zz
1
1
1( 2) 1 ( ) ( 1 ) nn
n
R S z zn
求得收敛半径为,令,则
1
1
11 ( ) ( 1 )
1
nn
n
z S z z z
当 时，,
0
1( ) l n ( 1 ),(,
1
zS z d z z
z
主值）
2009-7-30 28
第三节 泰勒级数前面已讨论了已知幂级数，如何求收敛圆、和函数，并且知道和函数在它的收敛圆内是一个解析函数，下面研究与此相反的问题：即 任何一个解析函数是否能用幂级数来表示？
1 ( )f z D设：（）函数 在区域 内解析；
00(2 ) D z D R k z z R在 内任一点 为圆心,为半径的圆周（取正向）：
1 ( )( ) ( * )
2 ( )k
fz k f z d
iz
对任何,有柯西积分公式
0
0
1zzz k k z由于 内,上，所以有,则
00 0 0
0
1 1 1 1
( ) ( ) 1 zzz z z z z
z
0
000
1 () n
n
zz
zz
0
10
0
()
()
n
nn
zz
z?
2009-7-30 29
将其代入（* ）式中，得：
0 1
0 0
()1( ) ( )
2 ( )
n
nk n
zzf z f d
iz
1
01
0 0
1 ( )[ ] ( )
2 ( )
N n
nkn
fd zz
iz
01
0
1 ( )[ ( ) ]
2 ( )
n
nk nN
f z z d
iz
由高阶导数公式得：
()1
0 0
0
()( ) ( ) ( ) ( * * )
!
nN n
N
n
fzf z z z R z
n
01
0
1 ( )( ) [ ( ) ]
2 ( )
n
N nk
nN
fR z z z d
iz
其中,
li m ( ) 0,NN Rz下面证明
00
0
1zzzz qzr令，
()f z k D k k?而函数 在 内解析，从而在 上连续，于是在 上有界，
2009-7-30 30
0 ( )M k f M即存在一个,在 上,()NRz由 表达式得：
01
0
1 ( )( ) ( )
2 ( )
n
N nk
nN
fR z z z d s
z
0
00
()1 []
2
n
k nN
f zz ds
zz
1
2 nk nN
M q ds
r?
1 221 Nn
nN
M M qqr
rq
1l i m l i m 0
11
N qN
Nx
Mq M q
因为,l i m ( ) 0,NNk R z所以在 内
()
0
0
0
()( ) ( ),
!
n
n
n
fzk f z z z
n
从而在 内有：
0()f z z称为函数 在 的泰勒展开式，
0( ),f z z右端的级数称为函数 在 的泰勒级数
2009-7-30 31
定理 5：
00()f z D z D R z D设函数 在区域 内解析,为 内一点,为 到的边界上各点的最短距离,0 ()z z R f z则当 时，函数 可展为幂级数：
0
0
( ) ( ),nn
n
f z C z z?
() 01 ( ) 0,1,2,.! nnC f z nn其中,
D
0z
00
0
,( ) ( ) nn
n
z z R f z C z z?
内
()f z D在区域 内解析
R
2009-7-30 32
说明,(1 ) ( )fz若函数 有有限个奇点，
0 ()R z f z?的 就等于从 到 的最近一个奇点
( 2 )由上面定理及幂级数性质可以得到一个重要性质，即函数在一点解析的充分必要条件是它在这一点的邻域内可以展开为幂级数.
(3) 利用泰勒级数可把函数展开成幂级数，但这种展开式是否唯一呢？
0()f z z假设函数 在 用另外的方法展开成幂级数为：
20 1 0 2 0 0( ) ( ) ( ) ( ),nnf z a a z z a z z a z z
()0 0 0 1 01( ),( ),,( ),! nnf z a f z a a f zn
由此可见解析函数展开成幂级数的结果就是泰勒级数，即 展开式是唯一 的．
0()f z z那么 在 的泰勒展开式成立
0,Rz之间的距离，即
0z
R
2009-7-30 33
一、利用直接法将函数展开成幂级数
() 01 ( ),0,1,2,3,.! nnC f z nn直接通过计算系数：,把函数展开成幂级数
例 1,0( 1 ) 2 si n 0,ze z z?将函数,；（ ） ；在 处展开为泰勒级数解,( ) ( )
0( 1 ) ( ),( ) | 1,0,1,2,z n z z n ze e e n因为
() (0 ) 1
!!
n
n
fC
nn
ze因此函数 的泰勒展开式为：
0
,!nz
n
ze
n
||z
2 s i n z（ ）将函数 展开为泰勒级数为：
213511si n ( 1 )
3! 5 ! ( 2 1 ) !
nn zz z z z
n
s i n | |,zz因为函数 在整个复平面内处处解析，所以收敛圆为
2009-7-30 34
二、利用间接展开法将函数展开成幂级数借助于已知函数的展开式，利用幂级数的运算性质和分析性质，
以唯一性为理论依据得到函数的泰勒展开式．
0
1(1 ),1
1
n
n
zzz?
0
( 2),!nz
n
zez
n
21
0
( 3 ) s i n ( 1 ),( 2 1 ) !nn
n
zzz
n
2
0
( 4) c os ( 1 ),( 2 ) !nn
n
zzz
n
2009-7-30 35
例 2．
2
1,
(1 ) zz?把函数 展开成 的幂级数解：
2
1 1
( 1 ) zz由于函数 在 内处处解析,1,zz?所以在 内可展开成 的幂级数
0
1,1
1
n
n
zzz?
又因为上式两边逐项求导得,12
1
1,
(1 )
n
n
nzz
1.z?
例 3,l n ( 1 ) 0zz求对数函数的主值 在 处的泰勒展开式.
解,l n (1 ) 1zz因为函数 在 内处处解析,1,zz?所以在 内可展开成 的幂级数
1[ ln (1 ) ]
1z z又因为,0 ( 1)nnn z
10z z C?所以在 内任一条从 到 的积分路线,
上式两端逐项积分得,1
0
( 1 )l n (1 ),1,
1
n
n
n
z z zn
2009-7-30 36
例 4,c o s s i n,zze z e z z将函数 及 展开成 的幂级数解,4( 1 ) ( 2 )( c o s sin ) iz z iz i z e ze z i z e e e e因为,
4
4
2
( 2 )1 2 (1 )
!
n i
nni
n
ezez
n
4( 1 ) ( 2 )( c os sin ) iz z iz i z e ze z i z e e e e
同理,
4
4
2
( 2 )1 2 ( 2 )
!
n i
nni
n
ezez
n
(1) (2)
2
得,coszez
2
( 2 ) c o s 4
1 2 c o s,4!
n
n
n
n
zz n
z
(1) (2)
2
得,sinzez
2
( 2 ) s in 4
1 2 s in,4!
n
n
n
n
zz n
z
例,
2009-7-30 37
三、将函数展成的幂级数
例 5,1( ) 1
2f z zz求函数 在 的邻域内的泰勒展开式.
解,1
( ) 22f z zz因为函数 只有奇点,
| 2 ( 1 ) | 3R其收敛半径,
| 1 | 3 1,zz所以函数在圆域 内可以展开为 的幂级数
1 1 1 1
12 1 3 3 1
3
zzz
231 1 1 1 1
[ 1 ]3 3 3 3 3
nz z z z
10
1 ( 1 ),
3
n
nn z
| 1| 3.z
2009-7-30 38
例 6．
2
1( ),
( 1 )f z z iz求函数 展开为 的幂级数解,( ) 1 | 1 | 2f z z R i函数 只有一个起点,其收敛半径为,
| | 2,z i z i所以函数在 内可以展开为 的幂级数
2
11()
(1 ) 1fz zz
11 ( )i z i
11
1 1
1
zii
i
21 [ 1 ( ) ( ) ]
1 1 1 1
nz i z i z i
i i i i
11 1 2[ ( ) ( ) ]1 1 1 1 1 1 nz i n z ii i i i i i
1
2
1 [ 1 2 ( ) ( ) ],
( 1 ) 1 1
nz i z in
i i i
| | 2.zi
2009-7-30 39
例 7,11( ),zf z e z将函数 展开为 的幂级数解,11( ) 1 | 1 0 | 1zf z e z R因为函数 有一个奇点,所以收敛半径,
| | 1,zz?所以函数在圆域 内可以展开为 的幂级数
1
1
2
1( ),
(1 )
zf z e
z
2(1 ) ( ) ( ) 0z f z f z即：,
将上式逐项求导得,2(1 ) ( ) ( 2 3 ) ( ) 0z f z z f z
3( 1 ) ( ) ( 4 5 ) ( ) 2 ( ) 0,z f z z f z f z
(0 )fe?由于,2(1 ) ( ) ( ) 0z f z f z由 得：(0),fe
(0 ) 3,(0 ) 1 3,f e f e同理可得：
1
231 3 1 3( ) [ 1 ],
2 ! 3 !zf z e e z z z
| | 1.z?
000 ( ),nnn C z z z z R
（1 ）幂级数 在收敛圆 内的和函数是解析函数
0 0 00( 2) ( ) ( ),nnnz z R f z z C z z
在圆域 内的解析函数 必能在 展为幂级数
2009-7-30 40
第四节 洛朗级数
()f z D泰勒级数是解析函数 在区域 内任一解析点的展开式，但在实际问题中常需将级数在奇点附近展开； 即在环形区域内将函数展开成幂级数，
此时要引入一个新的级数，即洛朗级数.
考察幂级数：
1
0 0 1 0( ) ( ) ( )
nn
nn
n
C z z C z z C z z
0 1 0 0( ) ( ) nnC C z z C z z
00
10
( ) ( )nnnn
nn
C z z C z z
1（）
正幂项部分负幂项部分
2009-7-30 41
0
0
( ) 2nn
n
C z z?
正幂项部分,（ ）
2R是一般的幂级数，设收敛半径为,
02z z R则当 时级数收敛，
0
1
( ) 3nn
n
C z z
负幂项部分,（ ）
0
1,
()t zz令 011( ) ( 4)nnnnnnC z z C t
则
( 4 ) R是一般的幂级数，设收敛半径为，
.t R t R则当 时，级数收敛，当 时，级数发散
0
1
()t zz又因为,0
1zz
R故当 时，级数收敛，
1
1 R
R?令 时，
02z z R 时级数发散
01z z R则当 时，级数收敛.
1R
2R
0z奇点
2009-7-30 42
0()
n
n
n
C z z?
对级数 收敛作如下规定：
0 0 0
01
( ) ( ) ( ),n n nn n n
n n n
C z z C z z C z z
当且仅当 与 都收敛时，级数 才收敛因此,12(1 ) RR? 时，级数发散；
1 2 1 0 2(2 ),R R R z z R时，级数的收敛范围是圆环域 级数在圆环域外发散；
1 0 0 2,R z z z z R在圆环域边界 和 上可能有些点级数收敛，有些点发散问题提出：在圆环域内解析函数是否一定能展开成级数？
1( ) 0 1
( 1 )f z z zzz引例：函数 在 及 处都不解析，但是在圆环域
0 1 0 1 1,zz及圆环域 内是处处解析的
(1 ) 0 1z当 时，有 21 1 1( ) 11 nf z z z zz z z
( ) 0 1,f z z由此可见函数 在圆环域 内可以展开为级数
2009-7-30 43
(2 ) 0 1 1z当 时，有
11( ) [ ]
1 1 (1 )fz zz
21 [ 1 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ]1 nz z zz
211 1 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ]1 nz z zz
()fz从上面讨论可以看出函数 可以展开为幂级数，只是幂级数含有负幂的项，据此可想：
1 0 2 0( ) ( )
n
n
n
R z z R f z C z z?
在环域 内处处解析函数 可展为 的级数，
事实也是这样，于是有下列定理：
2009-7-30 44
一、直接展开法定理 6（洛朗定理）
1 0 2()f z R z z R设函数 在圆环域 内处处解析，
1 0 2()f z R z z R则函数 一定能在环形域 中展开为 0( ) ( ) nn
n
f z C z z?
1
0
1 ( ) ( 0,1,2,)
2 ( )n nC
fC d n
iz
其中
0,Cz这里 为圆环域内绕 的任何一条正向简单闭曲线证明,z设 为圆环域内任一点，
0z在圆环域内作以 为中心的正向圆周
12kk与,2 1 1 2k R k r z k k的半径 大于 的半径,且使 在 与 之间，
于是由多连通的柯西积分公式，有：
21
1 ( ) 1 ( )()
22kk
fff z d d
i z i z
证明：
2009-7-30 45
2
1 ( )( 1 )
2 k
f d
iz
对于上式右端的第一个积分式：,
22k z k?积分变量 取在 上，点 在 内部,0
0
1zzz所以,
2()fk?又由于 在 上连续,()M f M因此存在一个常数,使,
与泰勒公式的展开证明一样，可得：
2 00
1 ( ) ( ),
2
n
nk
n
f d C z z
iz
2 10
1 ( ) 0,1,2,
2 ( )n nk
fC d n
iz
其中,
2
1 ( )
2 k
f d
iz
注：此时 不能应用高阶导数公式,2( ),f z k因为函数 在 内不是处处解析
1
1 ( )( 2 )
2 k
f d
iz
对于上式右端的第二个积分式：,
11k z k?由于 取在 上，点 在 外部,0
0
1zzz所以,因此有：
2009-7-30 46
00 0 0
0
1 1 1 1
() 1 zz z z z z z
zz
1
0
1 0
()
()
n
n
n
z
zz
01
1 0
1 ( ),
()
n
nn zzz?
1
1 ( )
2 k
f d
iz
所以 1
1
01
1 0
1 ( )[ ] ( ) ( )
2 ( )
N n
Nnk
n
f d z z R z
iz
1
1
0
0
( ) ( )1( ) [ ],
2 ( )
n
N nk
nN
zfR z d
i z z
其中
1 l i m ( ) 0,NNk R z下面证明在 外部有
0
00
01z rqqz z z z令 与积分变量无关，且,
1zk又因为点 在 外部,1()fk?及 在 上连续，
110 ( )M f M因此存在,使,
2009-7-30 47
于是有：
1
0
00
()1( ) [ ]
2
n
n k
nN
f zR z d
i z z z
111 2
21
Nn
nN
M M qqr
rq
lim 0NN q因为,lim ( ) 0,NN Rz所以
1
1 ( )
2 k
f d
iz
从而有,1 00111 0
1 ( )[ ] ( ) ( )
2 ( )
nn
nnk
nn
f d z z C z z
iz
综上所述，有：
00
00
( ) ( ) ( )nnnn
nn
f z C z z C z z
0( ),nn
n
C z z?
2 10
1 ( ),0,1,2,
2 ( )n nk
fC d n
iz
其中,
1 10
1 ( ),1,2,.
2 ( )n nk
fC d n
iz
2009-7-30 48
nnCC?将 与 合在一起得,0zC如果圆环域内取绕 的任何一条正向简单闭曲线,
那么根据闭路变形原理，可用一个式子表示为：
1
0
1 ( ),( 0,1,2,),
2 ( )n nC
fC d n
iz
0 1 0 2( ) ( ) ( )
n
n
n
f z C z z f z R z z R?
称 为函数 在圆环域 内的洛朗展开式，
0 1 0 2( ) ( ),
n
n
n
C z z f z R z z R?
而称 为函数 在圆环域 内的洛朗级数说明,00zz(1) 在许多应用中，往往需要把在某点 不解析，但在
()fz去心邻域内解析的函数 展开成幂级数,那么就利用洛朗级数展开，即
00
01
( ) ( ) ( )nnnn
nn
f z C z z C z z
为 级 数 解 析 部 分 主 要 部 分
( 2 ) 幂级数在收敛圆环域内所具有的所有性质，
洛朗级数在收敛圆环域内同样具有.
2009-7-30 49
例 1,0
2( ) 0 0,
zef z z z
z把函数 在以 为中心的圆环域 内展开成洛朗级数解：
nC计算系数,
3
1,
2n nC
eCd
i
C其中 为圆环域内任何一条正向简单闭曲线，
3( 1 ) 3 0 ( ) 0 0,zn nn f z e z z C当 时，函数 在 内解析，所以
( 2 ) 2n当 时，由高阶导数公式，
( 2 )
03
1 1 1( ) |
2 ( 2) ! ( 2) !
n
n nC
eC d e
i n n
于是函数的洛朗展开式为：
2
222
1 1 1 1 1
( 2) ! 2 ! 3! 4 !
zn
n
ez zz
z n z z
---------直接展开法
2009-7-30 50
在圆环域内的解析函数展开为含有正、负幂项的级数是唯一的,
( ),fz这个级数就是函数 的洛朗级数证明：
1 0 2()f z R z z R设函数 在圆环域 内展开的级数是 0( ) ( )
nn
n
f z a z z?
C其中 为圆环域内任何一条正向简单闭曲线，
C? 为 上任何一点，则
0( ) ( )
n
nnf a z
10( ) )pz C p以 去乘上式两边，并沿曲线 积分，得：( 为整数
10
10
() ( ) 2
()
npnp
pCC n
f a z d i a
z
0,,
0,,
,,p
np
np
a n p
函数解析因为 由高阶导数公式由柯西积分公式
1
0
1 ( ),( 0,1,2,),
2 ( )p pC
fa d p
iz
从而，
2009-7-30 51
二、间接展开法根据由正、负整次幂项组成的级数的唯一性，可通过代数运算、变量代换、函数求导、积分等方法将函数展开，这种方法称为 间接展开法,
2
ze
z如,2 3 42
1 1 1 1 1( 1 )
2 ! 3 ! 4 ! ! nz z z z zzn,
22
2
1 1 1 1 1 1,
2 ! 3 ! 4 ! ! nz z zz z n
例 2,13( ) 0,zf z z e z把函数 在区域 内展开洛朗级数解,13( ) 0zf z z e z因为函数 在区域 内处处解析，而且
2111,
2 ! !
zne z z z
n
13 3 21 1 1 1 1( 1 ( ) ( ) ),
2 ! !
nzz e z
z z n z
32 1 1 1,2 ! 3 ! 4 !z z z z
2009-7-30 52
例 3,1()
( 1 ) ( 2 )fz zz函数 在下列圆环域内处处解析，试把函数
( ),fz 在这些区域内展开成幂级数
(1)0 1,z (2 )1 2,z (3)2,z
解,11(1 ) ( ),
12fz zz
0 1 1 12zzz在 内，有 及,
21 1,
1
nz z z
z
231 1 1 1 ( 1 ( ) ( ) ( ) ),
2 2 2 2 2 2 21
2
nz z z z
zz
2 2 31( ) ( 1 ) ( 1 ( ) ( ) ( ) )2 2 2 2 2nn z z z zf z z z z
21 3 7,2 4 8zz
( ) 0,z f z z?不含 的负幂项，因此函数 在 处解析
2009-7-30 53
1( 2) 1 2 1 1
2
zz
z在区域 内，有 及,
2
1 1 1 1 1 1 1( 1 ),
11 1 nz z z z z z
z
231 1 1 1 ( 1 ( ) ( ) ( ) ),
2 2 2 2 2 2 21
2
nz z z z
zz
2
1 1 1 1( ) ( 1 )
nfz z z z z
231 ( 1 ( ) ( ) ( ) ),2 2 2 2 2 nz z z z
2
1 2 3
1 1 1 1,
2 2 2nn
zz
z z z
21( 3 ) 2 1,1z
zz在区域 内，有,
22
1 1 1 1 1 1 1 2 4( ) ( 1 ) ( 1 )
21 1fz z z z z z z z z
z
234
1 3 7,
z z z
2009-7-30 54
例 4,( ) 0 1,
1
zef z z
z将函数 在环形域 上展开为洛朗级数解,1 1 111
1 1 1
z zze e e e
z z z
1
ze
z
2( 1 ) ( 1 )[ 1 ( 1 ) ]
1 2 ! !
ne z zz
zn
11 ( 1 ) ( 1 )[ 1 ],
1 2 ! !
nzze
zn
例 5．
2
1()
1f z z iz试求函数 在 处的洛朗级数.
2
1()
1f z z iz函数 在复平面上有两个奇点,
解：
()fz因此复平面被分成两个不相交的函数 的解析区域：
(1)0 2,zi (2 )2,zi
2009-7-30 55
2
1 1 1 1()
1 ( ) ( )fz z z i z i z i z i
(1 ) 0 2zi在区域 内，
2
1 1 1 1 1 1
12 1 ( )
2
ziz z i z i z i i
i
1 1
100
11 ( ) ( ),
2 2 2
nnn
nnn
z i i zi
z i i i
( 2 ) 2 zi在 内，
2
1 1 1 1 1 1
21 1 ( )iz z i z i z i z i
zi
2200
1 2 ( 2 )( ),
( ) ( )
nn
nnn
ii
z i z i z i
