复变函数与积分变换主讲：周晖杰宁波大学科技学院数学组 二零零七年六月大学数学多媒体课件
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参考用书
,复变函数与积分变换》,华中科技大学数学系,高等教育出版社,2003.6
,复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》,华中科大,高等教育出版社
,复变函数》,西安交通大学高等数学教研室,高等教育出版社,1996.5
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目 录
第二章 解析函数
第三章 复变函数的积分
第四章 解析函数的级数表示
第五章 留数及其应用
第六章 傅立叶变换
第七章 拉普拉斯变换
第一章 复数与复变函数
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第一章 复数与复变函数
内容提要：复变函数就是自变量为复数的函数，
本章先学习复数的概念、性质与运算，然后再引入平面上的点集、复变函数极限、连续．本章中的许多概念在形式上与微积分学中一些基本概念有相似之处，可以把它们看作微积分学中相应的概念及定理在复数域中的推广．
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第一章 复数与复变函数
1.1 复数
1.2 复数的三角表示
1.3 平面点集的一般概念
1.4 无穷大与复球面
1.5 复变函数
本章小结
思考题
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第一节 复数
一、复数的基本概念
( R e ),R ex z a l z x?称 为 的实部 记
( I m a g i n a r y),I my z z y?称 为 的实部 记
2,zi例如,R e 2,I m 1zz则
0 0,,x y z i y当 且 时 则 称为纯虚数；
0,y z x特别地，当 时 则 为实数；
1 x y x i y?定义,设 与 都是实数，称 为复数，
z x iy记为：
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1 1 1 2 2 2z x iy z x iy定义2,设两复数 与,
1 2 1 2 1 2z z x x y y则，
1 2 1 2R e R e,I m I mz z z z即
二、复数的代数运算
1 1 1 2 2 2z x iy z x iy设复数 与,则
1.复数的和、差、积、商
1 2 1 2 1 2( ) (z z x x i y y +)
和与差：
积,1 2 1 2 1 2 1 2 2 1( ) ( )z z x x y y i x y x y
商：
1 1 2 1 2 2 1 1 2
22 2 2 2
2 2 2 2 2
( ) ( ),0z x x y y x y x yizz x y x y
复数的运算满足交换律、结合律、分配律．
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2．共扼复数及性质
z x i y x i y z z定义3,设复数,则称复数 为 的,记做 共 轭复数重要性质：
11
1 2 1 2 1 2 1 2
2 2
( 1 ),,zzz z z z z z z z
z z
(2 ) zz?
222( 3 ) ( R e ) ( I m )z z z z z
( 4 ) 2 R ez z z,2 I mz z i z
复数的共扼性质 在实际计算和证明中有广泛应用
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例 1．计算复数 32
23
i
i
解：
1 1 2 1 2 2 1 1 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2
( ) ( )z x x y y x y x yiz x y x y 2 2 2 23 2 ( 2 ) 3 2 ( 2 ) 3 32 3 2 3ii
法一（商的公式）
法二（共轭性质）
_ _ _ _ _ _
1 1 2 1 2
___ 2
22
22
||
z z z z z
zzzz
22
( 3 2 ) ( 2 3 ) ( 6 6 ) ( 4 9 )
( 2 3 ) ( 2 3 ) 2 3
i i i i
ii
应用共扼性质来计算显得简单，在后面计算中要灵活运用共轭
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例 2,22 ) ( ) 0,,.x y i x y x y设（ 求实数解：
2
20,
0
xy
xy
由题意得
12,
14
xx
yy
解得,或
例 3,13,R e ( ),I m ( ),
1
iz z z z z
ii设复数 求 与解,13
1
iz
ii因为 3 (1 ) 3 1( ) (1 ) (1 ) 2 2i i i ii i i i
223 1 3 1 5R e,I m,( ) ( )
2 2 2 2 2z z z z所以
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例 4．
1 1 1 2 2 2,z x iy z x iy设 为两个任意复数，
证明：
1 2 1 2 1 22 R ez z z z z z证明：
1 2 1 2 1 1 2 3 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )z z z z x i y x i y x i y x i y
1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2( ) ( ) ( ) ( )x x y y i x y x y x x y y i x y x y
21 2 1 2 12 ( ) 2 R ex x y y z z
1 2 1 2 1 2 1 2z z z z z z z z
1 2 1 22 R e ( ) 2 R e ( )z z z z
证法二：
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第二节 复数的表示法
一、复平面定义,( ) ( )xy由实轴 轴,虚轴 轴 按直角坐标系构成的平面，
称为复平面（或z平面）
o 实轴虚轴复平面
(,)M x y z x i y在复平面内任一点 与复数 是一一对应
x iy?
y
x
复数的模：
22z x y r
z
复数的幅角,Argz
主幅角,(,]argz
a r g 2 ( 0,1,2,)A r g z z k k
即：一复数的辐角 Argz是多值的
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二、复数的表示法
1．复数的向量表示法
O M z x iy
因此 22,z r x y ta n ( ) yA rg z x?
显然有不等式：,,,;x z y z z x y z x y2 2z z z z
z
o 实轴虚轴复平面
x iy?
x
y M
2 1 1 2z z z z? 表示 与 的距离
1z
2z
复数、复平面上点、向量之间一一对应
1 2 1 2 1 2 1 2,z z z z z z z z
共轭复数之间的几何关系：
z x i y z x i y x与,关于 轴对称
1z
x
y
o
,a r g a r gz z z z且有：
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2．复数的三角表示法利用直角坐标与极坐标的关系,c o s,s inx r y r
复数的三角表示式,( c o s s i n ) ( c o s s i n )z x iy r i z i
( c os si n ) [ c os( ) si n( ) ]z r i r i
3．复数的指数表示法利用欧拉公式,c o s s iniei
复数的指数表示式：,iiz z e re iz z e
注意：复数的三角表示式不是唯一的，因为辐角有无穷多种选择，如果有两个三角表示式相等：
1 1 1 2 2 2( c o s s in ) ( c o s s in ),r i r i则可以推出：
12,rr? 12 2,k k其中 为整数
22
c o s,s in
,a r c ta n
( c o s sin )x r y r y
r x y x
z x iy z r i
c o s s in
iei iz r e
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例 1,1 2 2zi将 化为三角表示式和指数表示式.
解：
4,zr因为辐角 在第三象限，则
2 3 5a r c t a n a r c t a n
3 6 612
23ta n,(,),
212
y
x
21ta n ta n ( ),( 0,),
212
于是 554 [ c o s ( ) s i n ( ) ]
66zi
564 ie
主幅角值的确定：
a r g t a n,0,0
,0,arg
2
0
a r c t a n,0,0
,0,0
y
xy
x
xyz
z
y
xy
x
xy
当当 0
>
当
<
当
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练习 32zi将 化为三角表示式和指数表示式.
| 3 2 | 1 3,ri 22a r c t a n a r c t a n33
221 3 [ c o s ( a r c t a n ) s i n ( a r c t a n ) ]
33zi
2( ta n )34 arc ie
模 主辐角解：
例 2,32xy将直线方程 化为复数表示式.
解,2,z z x由于 2z z iy
1 ( ),
2x z z可得,1 ()2y z zi
32xy代入 得,13( ) ( ) 222z z z zi
( ) 3 ( ) 4i z z z z i化简得：
(3 ) ( 3 ) 4i z i z i即,为 复数形式的直线方程复数形式的直线方程为 ( ) 0fz?
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例 3,1 1 1 2 2 2z x iy z x iy通过两点 与 的直线用复数的参数方程来表示解,1 1 2 2(,) (,)x y x y通过两点 与 的直线方程为 11
2 1 2 1
y y x x
y y x x
参数方程为 1 2 1
1 2 1
() ()
()
x x t x x t
y y t y y
由参数式得复数形式参数方程为 1 2 1( ),z z t z z ()t
(),
()
x x t tD
y y t
若平面上曲线的参数方程为：
则定义 ( ) ( ),z x t i y t t D 为复数形式的参数方程.
定义：复数形式的参数方程
1 1 1 2 2 2z x iy z x iy所以连接 与 的直线段的参数方程为:
1 2 1( ),0 1z z t z z t
1 2 1 2 1()z z z z z z t记住：过 与 两点的直线段的参数方程为:
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o x
y
例 4．求下列方程所表示的曲线
(1) 2,zi (2 ) 2 2,z i z (3 ) Im( ) 4,iz
解,1 2 2z i i（） 表示与点 距离为 的点的轨迹,2i?即圆心为,半径为 的圆
i?
i
2,zi
2z x i y z i化为直角坐标方程：将 代入 中，得：
( ) 2x iy i,22( 1 ) 2xy即：,
22( 1 ) 4,xy化简得：
(2 ) 2 2 2 2z i z i到 与 距离相等点的轨迹
22i?即表示曲线是连接点 和 的直段的垂直平分线，
yx化为直角坐标方程为：
(3 ) Im( ) 4,iz z x iy设,(1 )i z x y i那么
14y代入得：,3y即：
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三、复数的三角表示及指数表示作乘除法
11 1 1 1 1( c o s s i n ) | |,iz z z e设有两复数 22 2 2 2 2( c o s s i n ) | | iz z z e
12zz那么
1 2 1 2 1 2[ ( c o s ( ) ( s i n s i n ) ]z z i12()12 iz z e
1 2 1 2,z z z z 1 2 1 2A rg z z A rg z A rg z即,模 辐角定理 1：两个复数乘积的模等于它们模的乘积，幅角等于它们的幅角之和．说明：
1 2 1 2( 1 ) A r g z z A r g z A r g z多值函数相等的理解：由于幅角是多值的,（ ） 理解为：
12( 2 ) zz?当用向量表示复数时，表示乘积 的向量是
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2[ ( c o s c o s s i n s i n ) ( c o s s i n s i n c o s ) ]z z i
对于左端的任一个值，右端有一值与它对应，反之也一样；
例如：
1 2 1 2k k k Z k k k若,,,则 成立
1 2 1 2k k k Z k k k若,,,则2 不成立
1 2 2,z A r g z z从表示 的向量旋转一个角度 并伸长( 缩短) 到 陪得到.
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例如：
21,iz i e若 22,iz z e ()212 iz z iz z e
则
1 2 2 2z z z
只由 通过逆时针旋转,没伸缩.
01 8 0,zz?再如,相当于 通过逆时针旋转 而得
121 ()1 1 1 2 1 2( 3 ),nniii n n n nz r e z r e z z z r r r e若,可得定理 2：两复数的商的模等于它们模的商，幅角等于被除数与除数的幅角之差．
证明：
111 iz z e设，
222,iz z e 1( 0)z?
1
21
2
()2 1 2
1 2 1
||
||
i
i
i
z z e z e
z z e z
则
22
11
,zzzz? 2
21
1
zAr g Ar g z Ar g z
z
即,模 辐角
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例 5．用三角表示式和指数表示式计算下列复数
(1 ) (1 3 ) ( 3 ),ii 2(2),
12
i
i
解：
31 3 2 ( c o s sin ) 233 ii i e
(1) 因为
5
6553 2 [ c o s( ) si n ( ) ] 266 ii i e
2( 1 3 ) ( 3 ) 4 [ c o s( ) si n ( ) ] 4 422 ii i i e i
所以
1a r g ta n
211( 2 ) 2 5 ( c o s a r g ta n si n a r g ta n ) 522 ii i e
a r g ta n( 2 )1 2 5 ( c os a r g ta n( 2) sin a r g ta n( 2) ) 5 ii i e
2 1 1[ c o s ( a r g t a n a r g t a n 2 ) s i n ( a r g t a n a r g t a n 2 ) ]
1 2 2 2
i i
i
所以
1(a rg ta n a rg ta n 2 )2 ie
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例
6．
12 1 2,z z i已知等边三角形的两个顶点为 与,求它的另一个顶点解：
1z 2z
3z
3z
33 1 2 1() iz z z z e
如右图所示，由题意得：
( c o s ( ) s i n ( ) ) ( 2 1 )33ii
31
1 3 1 3 3 3 1 3( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2 2z z i i解得：
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四、复数的乘方与开方、棣摩弗公式
1．乘方公式
,iz re设复数 nz则乘方 ( c os sin )n in nr e r n i n
1z?当 时，有 ( c o s s in ) c o s s inni n i n
这公式称 棣摩弗公式,2．开方公式
( c o s sin ),iz re r i设复数 则
1 1 222[ c o s sin ],ki
n n n nkkw z r i r enn
1,2,,1kn
0,1,2,3,1k n n(1) 当 时，得 个相异的根,
,1,k n n当 时，这些根又重复出现.
n zn(2) 在几何上,的 个值是以原点为中心，
1
nr n n为半径的圆的内接正 边形的 个顶点
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例 7,计算下列各题：
3(1) (1 3 ),i? 4(2) 1,i?
3(1) (1 3 )i?解：
( 2 ) 1 2 ( c o s s i n )44ii
1
4 41 [ 2 ( c os sin ) ]44ii所以
8
2244
2 ( c o s s in ),44
kk
i
0,1,2,3k?
即,8
0 2 ( c o s s in ),1 6 1 6wi
8
1
992 ( c o s s i n ),
1 6 1 6wi
83 1 7 1 72 ( c o s s i n ),1 6 1 6wi 8
4
2 5 2 52 ( c o s s i n ),
1 6 1 6wi
3[ 2 ( c o s s in ) ]33i 8 ( c o s s in ) 8i
8 2这四个根是内接于中心在原点，半径为 的圆的正方形的顶点，
1 0 2 0 3 0 4 0,,,w iw w w w iw w iw且
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例
8．
3 1 0,z求方程 的根解,331 0 1,zz方程,即 其解为
13 31 [ c o s 0 sin 0 ]zi
22c o s s in
33
kki 023,0,1,2k iek
00 1,ze 2 31 2 2 1 3c o s( ) sin( ),3 3 2 2iz e i i
4
32 4 4 1 3c os si n,3 3 2 2iz e i i
作业 习题一1.1 (3) (4)
1.3
1.4
1.6 (2) (4)
1.8 (2) (3)
1.9 (1)（ 2） (3)（ 4）
1.10 (1)（ 2） (3)（ 4）
1.12 (1)（ 5）
1.13 (1)
P28
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第三节 平面点集的一般概念
研究复变函数问题,和实函数一样,每个复变量都有自己的变化范围,复变量的变化范围同于二元函数的变化范围称为区域,
一,开集与闭集
0 0z平面上以 为中心,为半径的
0 0z称为 的 的邻域,
0,zz圆的内部点的集合
000 z z z 所确定的点集称为的去心邻域.
1.邻域：
2,内点：
0G z G该邻域内的所有点都属于,则称 为 的内点.
00G z G z设 是平面点集,为 中任一点，如果存在 的一个邻域，
3,开集,GG如果 中的每一个点都是内点，称 为开集.
4,余集,CG G G平面上不属于 的点的全体称为 的余集，记做,
开集的余集称为闭集.
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5．边界：
.GG的边界点全体称为 的边界
0 Cz G G如果点 的任意邻域内既有 的点又有 的点，
0,zG则称 是 的边界点
6．孤立点：
0,zG则称 是 的一个孤立点
0 0 0,,z G z z G? 若在 的某一邻域内 外不含 的点
7．有界集与无界集：
GG称 为有界集，否则称 为无界集.
0zG?如果存在一个以点 为中心的圆盘包含,
例如：
G有界开集边界 孤立点
0z内点
0z?的 邻域
{,| | }G z z R 是开集；
{ | | }G z z R,是闭集，
{ | | }CG z z R因为它的余集,是开集；
| |,z R G? 是 的边界
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二,区域
1,连通,设 G中任何两点都可以用完全属于 G的折线连接起来,则称 G是连通的,
2,区域,连通的开集称为区域,记为 D．
3,闭区域,区域 D与它的边界一起构成闭区域,,D记为
4,有界,无界区域,（ 如上定义 ）
5,圆环域：
1 1 2,r z z r满足不等式 的所有点构成的区域例如 有界域：
0,z z R 1 1 2r z z r
无界域：
0,z z R Im 0z?
角形域,0 arg z
带形域,Ima z b
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例 1,试说出下列各式所表示的点集是怎样的图形，并指出哪些是区域：
(1) 0,zz (2) | 2 | 1,zi (3) 0 arg,3z
解,(1 ) 2 0,z z x 0.x?即是 表示右半平面，这是一个区域
( 2 ) | 2 ) | | ( 2 ) | 1z i z i
2 1,i这表示以 为中心，以为半径的圆周连同其外部区域，这是一个闭区域
( 3 ) 0 a r g a r g 0 a r g,33z z z表示介于两射线 及 之间的一个角形区域
三,平面曲线
1．平面曲线的复数式
( ),( )x t y t若 是两个连续实函数，
(),( ),
()
x x t a t b
y y t
则 表示一个平面曲线的参数方程，称为连续曲线
( ) ( ) ( )z t x t iy t令,平面曲线的 复数形式参数方程
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例 2,( ) c o s s i n (0 2 )z z t t i t t方程 表示怎么样的曲线？
cos,
sin
xt
yt
02t 圆周参数方程解：
例
3．
( 1 ) 0 1z i t t方程,表示怎样的曲线？
0 2 1tz当 时，
(0 1)xt tyt解,直线的参数方程 yx?或
12( 1 ) 0 1 0 1z i t t z z i,表示过点,的直线段
2．光滑曲线
( ),( )x t y t设函数 满足,1 ( ),( ) [,]x t y t a b（） 在区间 内连续
22( 2 ) [,] [ ( ) ] [ ( ) ] 0t a b x t y t当 时，
( ) ( )z x t iy t则称曲线 为 光滑曲线由若干段光滑曲线所组成的曲线称为 分段光滑曲线,
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例
4．
23,( 1 1 )z t it t 表示怎样的曲线？
解,22,,x t y t它相当于 yx可得：
容易验证,0 (0 ) (0 ) 0,t x y当 时，有 0t?曲线在 处不光滑，
因此该曲线是分段光滑曲线．
3．简单闭曲线
( ),( ) ( ),z a z b z z t?分别称 为曲线 的起点与终点
( ) ( )z z t a t b若曲线,满足下列条件：
(1) ( ) ( );z a z b? 1 2 1 2( ) ( )t t z t z t(2) 当 时，有 ；
则称这条曲线为 简单闭曲线,
简单闭曲线 非简单闭曲线
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4．单连通区域与多连通区域设 D为一平面区域，若在 D中任作一条简单闭曲线，而曲线内部总属于 D，
则 称 D为 单连通区域,否则是多连通区域．
单连通区域的特征：属于 D的任何一条简单闭曲线,在 D内可经过连续变形而缩成一点,
单连通区域 多连通区域洞
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第四节 无穷大与复球面
一,无穷远点为了讨论问题方便，我们不但要讨论有限复数，还要讨论一个特殊的复数
1
0
记做,-------无穷大,它是由下式定义的：
0,a它与有限数 的四则运算如下：;aa加法：
减法：,aa
乘法,aa
除法,0,a
a
0(1 ),,0,,
0 a
仍然无意义；
,(2) 对于复数 来说，其模规定为+ 而实部、虚部和辐角均没有意义，
||z z z因此对于复数,都有,则称 为有限复数；
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( 3 )?在复平面上我们可以设想复平面上有一个理想点与对应，
这个点称为 无穷远点,复平面加上无穷远点称为 扩充复平面,
扩充复平面上的每一条直线都通过无穷远点,
（ 4） 无穷远点的邻域,
| | ( 0 ),z M M包含无穷远点自身在内且满足 的所有点的集合复球面定义,球面上的每一点都有唯一的复数与之对应，这样的球面称为复球面；
| | ( 0 ),z M M不包含无穷远点自身且满足 的所有点的集合
二,复球面 N
S
复球面复平面
N除北极 外复数 复平面上的点 球面上的点
N无穷远点 点
（ 5） 无穷远点的去心邻域,
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第五节 复变函数
一,复变函数的概念说明：
zG?对于集合中的每一个复数,就有一个或几个复数
w u iv 与之对应,那么称复变数 w是复变数 z的函数,即 复变函数,
()w f z?记做
1,定义：设 G是一个复数的集合,如果有一个确定的法则存在,按照这一法则,
( 1 ) ( )z w f z若 的一个值对应着 的一个值，称 为单值函数，
()fz若对应着两个或两个以上个值，称 为多值函数；
*G z w G而对应于 中所有 的一切 值组成的集合,称为函数值的集合.
2 ( )G f z（ ）这里 称为 的定义集合（定义域），
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2,复变函数与二元函数的关系
( ) (,),(,)w f z u u x y v v x y相当于 为两个两元实函数
( ) (,) (,)w f z u x y iv x y
因此可以利用两个二元实变函数来讨论 ( ).w f z?复变函数
例
1．
2,wz?求复变函数 对应的两个二元函数解：,z x iy设 2 2 2 2( ) ( ) 2w z x iy x y i x y
故对应的二元函数为,22,2,u x y v x y
例
2．
将下列两个二元实变函数表示为复变函数,,zz即用 表示：
22
2 2 2 2( 1 ) (,) (,) ( 0 )
xyu x y v x y x y
x y x y，
(2 ) 3,w x iy
22
1(1 ),x i y zw u i v
x y zzz
11( 2 ) 3 3 ( ) ( ) 2
22w x i y z z i z z z zi
解：
2009-7-30 37
3,映射的概念在,高等数学,中,常把函数用几何图形来表示,这样,可以直观地帮助我们理解和研究函数的性质,对于复变函数,由于它反映了两对变量和之间的对应关系,因而无法用同一个平面的几何图形表示出来,必须把它看成两个复平面上的点集之间的对应关 系,
( ),(,) (,)w f z x y u v复变函数 是点 点,用两个复平面来表示.
( ),y f x x y实函数 是,可用直角坐标系来表示；
1 1 1z x iy
2 2 2z x iy
z平面 w平面
1 1 1w u iv
2 2 2w u iv
()w f z?
2009-7-30 38
例
3．
.wz?研究函数 构成的映射
00
wzz a ib w a b i
z平面
w平面
z w w z?若把 平面和 平面重叠在一起，则 是关于实轴的一个对称映射.
2009-7-30 39
例
4．
221 4w z x y wz函数 将 平面上曲线 映成 平面上怎样的曲线？
1w
z? 22
x iy
xy
2 2 2 2,
xyuv
x y x y
22 4xy由 得：
,44xyuv
解,w 平面上怎样的曲线 1,w z uv 满足怎样的关系？
22 1,
4x y u v消去 得,22 14uv
22 4xy
2009-7-30 40
2,wz?研究函数 构成的映射? 例
5．( 1 ) 0 a r gz z w将 平面上角形域 映射到 成怎样域？
(2 ) 1z z w?将 平面上给出圆周 映射到 平面成怎样曲线？
111,,1,
22z x x y y w(3) 将 平面中直线 映射到 平面怎样曲线？
2 12( 4),w z w u C v C z将 平面上的直线 映射成 平面的怎样的曲线？
解,（ 1）由乘法的模与幅角定理可知,其象是 2倍角域,20 a rg 2z即：
2( 2) 1 1zz曲线
2 2 2( 3 ) ( ) 2w x iy x y i x y因为
22(,),(,) 2u x y x y v x y x y所以
1zx?平面上直线 代入上式，
21,2u y v y得：,
21
4
vyu消去 得：
22( 4),2u x y v x y
22 12,2x y C x y C,z是 平面上的双曲线
2009-7-30 41
反函数 （ 逆映射 ）
( ),w f z z G?设函数 定义集合为 平面上的集合 wG?函数值集合为 平面上的集合,
G w G?那么 中每一点 将对应 中的点,( ),G z w按函数定义，在 上确定一个函数
1( ) ( ),w f z w f z称为 的反函数或逆映射，记
二,复变函数的极限和连续
1,复变函数的极限定义 1．
00( ) 0w f z z z z设函数 在 的去心邻域 内有定义，
A如果有一个确定的复数 存在,0对于任意给定的,
( ) (0 )总存在一个正数,00 z z z使得对满足 的一切，
()f z A都有,0()A f z z z那么称 为函数 当 趋向 时的极限，
0 0
l i m ( ) ( ) (zz f z A f z A z z记做 或 当 时),
2009-7-30 42
定理 1．设函数
0 0 0 0 0( ) (,) (,),,,f z u x y iv x y A u iv z x iy
0 0,0 0,000
l i m ( ) l i m (,),l i m (,)z z x x y y x x y yf z A u x y u v x y v则证明,必要性
0lim ( )zz f z A
220 0 00,0 ( ) ( )z z x x y y当 时，有
220 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( )f z A u u i v v u u v v,
0 0 0( ) ( )u u i v v u u而,0 0 0( ) ( )u u i v v v v
220 0 0 00,0 ( ) ( ),x x y y u u v v当 时，有 及
00 0,
lim (,),x x y y v x y v
00 0,
li m (,)x x y y u x y u即：,
充分性
0,0 0,000
l i m (,),l i m (,)x x y y x x y yu x y u v x y v已知,
220 0 0 00,0 ( ) ( ),22x x y y u u v v当 时，有
0 0 0 0( ) ( ) ( ),f z A u u i v v u u v v而
00 ( ) 22z z f z A
所以当 时，有,
0
lim ( ),zz f z A即：
2009-7-30 43
( ) (,) (,)f z u x y i v x y这个定理是将求复变函数 的极限问题转化为
(,),(,),u u x y v v x y求两个二元实函数 的极限问题
说明：关于含 的极限可以作如下定义：
0
1l i m ( ) l i m ( )
tzf a f z at( a 为有限复数)
00
1l i m 0 l i m ( )
()z z z z fzfz
0
1l im 0 l im ( )
1()tz fzf
t
定理 2．如果
0
lim ( ),zz f z A
0
lim ( ),zz g z B 则 0(1 ) li m [ ( ) ( ) ],zz f z g z A B
0
( 2 ) li m ( ) ( ),zz f z g z A B
0
()( 3 ) lim,( 0 ),
()zz
f z A B
g z B
2009-7-30 44
例
1,0
Re() zf z z z
z证明函数,当 时，极限不存在.
证明,z x iy设，
22
Re() zxfz
z xy则
2 2 20 0 0
1l i m ( ) l i m (,) l i m
( ) 1z y k x y k x
xf z u x y
x k x k
0 0,z y k x让 沿着直线 趋向 则
0
l i m ( )zzk f z?该极限随 的不同而不同，故极限 不存在.
( c o s s in )z r i设,c o s( ) c o srfz
r
则，另证：
a r g 0 ( )z z f z当 沿不同射线 趋向于 时,趋向于不同的值.
a r g 0 ( ) 1z z f z比如：当 沿实轴 趋向于零时，函数 ；
a r g ( ) 0,2z z f z当 沿虚轴 趋向零时，函数
2009-7-30 45
2,复变函数的连续性
0 00l i m ( ) ( ) ( )zz f z f z f z z如果,则称函数 在点 处是连续的,
()f z D如果 在区域 内处处连续，
( ),f z D则称 在 上的连续函数定理 3．函数
0 0 0( ) (,) (,)f z u x y i x y z x iy在点 处连续的充分必要条件是
00(,),(,) (,),u x y v x y x y二元函数 在 处连续
例
2．
2 2 2 2( ) l n ( ) ( ),f z x y i x y讨论函数 的连续性
2 2 2 2l n ( ),,u x y v x y二元函数解,(0,0 ),在除了 外处处连续
( ) (0,0 )fz故函数 在复平面上除 外处处连续.
说明,复变函数的极限与连续性的定义与实函数的极限与连续性的定义形式上完全相同，因此高等数学中的有关定理依然成立，因此又有 有界闭区域上连续函数的性质,
2009-7-30 46
定理 4,(1)连续函数的和,差,积,商 （ 分母不为 0） 是连续函数；
(2)连续函数的复合函数是连续函数．
( ) ;D f z(3) 有界闭区域 上的连续函数 是有界的
( ) | ( ) |D f z D f z(4) 有界闭区域 上的连续函数,在 上其模 可取得最大值和最小值.
()D f z D有界闭区域 上的连续函数 在 上是一致连续的：
0,0,,,| |,| ( ) ( ) |,z z D z z f z f z都有定义：
作业 习题一1.11 (1) (3) (5)
1.13 (2)
1.14
1.15
1.16
1.12 （ 2） (3)（ 4）
1.10 (1)（ 2） (3)（ 4）
1.12 (1)（ 5）
1.13 (1)
P28
2009-7-30 2
参考用书
,复变函数与积分变换》,华中科技大学数学系,高等教育出版社,2003.6
,复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》,华中科大,高等教育出版社
,复变函数》,西安交通大学高等数学教研室,高等教育出版社,1996.5
2009-7-30 3
目 录
第二章 解析函数
第三章 复变函数的积分
第四章 解析函数的级数表示
第五章 留数及其应用
第六章 傅立叶变换
第七章 拉普拉斯变换
第一章 复数与复变函数
2009-7-30 4
第一章 复数与复变函数
内容提要：复变函数就是自变量为复数的函数，
本章先学习复数的概念、性质与运算，然后再引入平面上的点集、复变函数极限、连续．本章中的许多概念在形式上与微积分学中一些基本概念有相似之处，可以把它们看作微积分学中相应的概念及定理在复数域中的推广．
2009-7-30 5
第一章 复数与复变函数
1.1 复数
1.2 复数的三角表示
1.3 平面点集的一般概念
1.4 无穷大与复球面
1.5 复变函数
本章小结
思考题
2009-7-30 6
第一节 复数
一、复数的基本概念
( R e ),R ex z a l z x?称 为 的实部 记
( I m a g i n a r y),I my z z y?称 为 的实部 记
2,zi例如,R e 2,I m 1zz则
0 0,,x y z i y当 且 时 则 称为纯虚数；
0,y z x特别地，当 时 则 为实数；
1 x y x i y?定义,设 与 都是实数，称 为复数，
z x iy记为：
2009-7-30 7
1 1 1 2 2 2z x iy z x iy定义2,设两复数 与,
1 2 1 2 1 2z z x x y y则，
1 2 1 2R e R e,I m I mz z z z即
二、复数的代数运算
1 1 1 2 2 2z x iy z x iy设复数 与,则
1.复数的和、差、积、商
1 2 1 2 1 2( ) (z z x x i y y +)
和与差：
积,1 2 1 2 1 2 1 2 2 1( ) ( )z z x x y y i x y x y
商：
1 1 2 1 2 2 1 1 2
22 2 2 2
2 2 2 2 2
( ) ( ),0z x x y y x y x yizz x y x y
复数的运算满足交换律、结合律、分配律．
2009-7-30 8
2．共扼复数及性质
z x i y x i y z z定义3,设复数,则称复数 为 的,记做 共 轭复数重要性质：
11
1 2 1 2 1 2 1 2
2 2
( 1 ),,zzz z z z z z z z
z z
(2 ) zz?
222( 3 ) ( R e ) ( I m )z z z z z
( 4 ) 2 R ez z z,2 I mz z i z
复数的共扼性质 在实际计算和证明中有广泛应用
2009-7-30 9
例 1．计算复数 32
23
i
i
解：
1 1 2 1 2 2 1 1 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2
( ) ( )z x x y y x y x yiz x y x y 2 2 2 23 2 ( 2 ) 3 2 ( 2 ) 3 32 3 2 3ii
法一（商的公式）
法二（共轭性质）
_ _ _ _ _ _
1 1 2 1 2
___ 2
22
22
||
z z z z z
zzzz
22
( 3 2 ) ( 2 3 ) ( 6 6 ) ( 4 9 )
( 2 3 ) ( 2 3 ) 2 3
i i i i
ii
应用共扼性质来计算显得简单，在后面计算中要灵活运用共轭
2009-7-30 10
例 2,22 ) ( ) 0,,.x y i x y x y设（ 求实数解：
2
20,
0
xy
xy
由题意得
12,
14
xx
yy
解得,或
例 3,13,R e ( ),I m ( ),
1
iz z z z z
ii设复数 求 与解,13
1
iz
ii因为 3 (1 ) 3 1( ) (1 ) (1 ) 2 2i i i ii i i i
223 1 3 1 5R e,I m,( ) ( )
2 2 2 2 2z z z z所以
2009-7-30 11
例 4．
1 1 1 2 2 2,z x iy z x iy设 为两个任意复数，
证明：
1 2 1 2 1 22 R ez z z z z z证明：
1 2 1 2 1 1 2 3 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )z z z z x i y x i y x i y x i y
1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2( ) ( ) ( ) ( )x x y y i x y x y x x y y i x y x y
21 2 1 2 12 ( ) 2 R ex x y y z z
1 2 1 2 1 2 1 2z z z z z z z z
1 2 1 22 R e ( ) 2 R e ( )z z z z
证法二：
2009-7-30 12
第二节 复数的表示法
一、复平面定义,( ) ( )xy由实轴 轴,虚轴 轴 按直角坐标系构成的平面，
称为复平面（或z平面）
o 实轴虚轴复平面
(,)M x y z x i y在复平面内任一点 与复数 是一一对应
x iy?
y
x
复数的模：
22z x y r
z
复数的幅角,Argz
主幅角,(,]argz
a r g 2 ( 0,1,2,)A r g z z k k
即：一复数的辐角 Argz是多值的
2009-7-30 13
二、复数的表示法
1．复数的向量表示法
O M z x iy
因此 22,z r x y ta n ( ) yA rg z x?
显然有不等式：,,,;x z y z z x y z x y2 2z z z z
z
o 实轴虚轴复平面
x iy?
x
y M
2 1 1 2z z z z? 表示 与 的距离
1z
2z
复数、复平面上点、向量之间一一对应
1 2 1 2 1 2 1 2,z z z z z z z z
共轭复数之间的几何关系：
z x i y z x i y x与,关于 轴对称
1z
x
y
o
,a r g a r gz z z z且有：
2009-7-30 14
2．复数的三角表示法利用直角坐标与极坐标的关系,c o s,s inx r y r
复数的三角表示式,( c o s s i n ) ( c o s s i n )z x iy r i z i
( c os si n ) [ c os( ) si n( ) ]z r i r i
3．复数的指数表示法利用欧拉公式,c o s s iniei
复数的指数表示式：,iiz z e re iz z e
注意：复数的三角表示式不是唯一的，因为辐角有无穷多种选择，如果有两个三角表示式相等：
1 1 1 2 2 2( c o s s in ) ( c o s s in ),r i r i则可以推出：
12,rr? 12 2,k k其中 为整数
22
c o s,s in
,a r c ta n
( c o s sin )x r y r y
r x y x
z x iy z r i
c o s s in
iei iz r e
2009-7-30 15
例 1,1 2 2zi将 化为三角表示式和指数表示式.
解：
4,zr因为辐角 在第三象限，则
2 3 5a r c t a n a r c t a n
3 6 612
23ta n,(,),
212
y
x
21ta n ta n ( ),( 0,),
212
于是 554 [ c o s ( ) s i n ( ) ]
66zi
564 ie
主幅角值的确定：
a r g t a n,0,0
,0,arg
2
0
a r c t a n,0,0
,0,0
y
xy
x
xyz
z
y
xy
x
xy
当当 0
>
当
<
当
2009-7-30 16
练习 32zi将 化为三角表示式和指数表示式.
| 3 2 | 1 3,ri 22a r c t a n a r c t a n33
221 3 [ c o s ( a r c t a n ) s i n ( a r c t a n ) ]
33zi
2( ta n )34 arc ie
模 主辐角解：
例 2,32xy将直线方程 化为复数表示式.
解,2,z z x由于 2z z iy
1 ( ),
2x z z可得,1 ()2y z zi
32xy代入 得,13( ) ( ) 222z z z zi
( ) 3 ( ) 4i z z z z i化简得：
(3 ) ( 3 ) 4i z i z i即,为 复数形式的直线方程复数形式的直线方程为 ( ) 0fz?
2009-7-30 17
例 3,1 1 1 2 2 2z x iy z x iy通过两点 与 的直线用复数的参数方程来表示解,1 1 2 2(,) (,)x y x y通过两点 与 的直线方程为 11
2 1 2 1
y y x x
y y x x
参数方程为 1 2 1
1 2 1
() ()
()
x x t x x t
y y t y y
由参数式得复数形式参数方程为 1 2 1( ),z z t z z ()t
(),
()
x x t tD
y y t
若平面上曲线的参数方程为：
则定义 ( ) ( ),z x t i y t t D 为复数形式的参数方程.
定义：复数形式的参数方程
1 1 1 2 2 2z x iy z x iy所以连接 与 的直线段的参数方程为:
1 2 1( ),0 1z z t z z t
1 2 1 2 1()z z z z z z t记住：过 与 两点的直线段的参数方程为:
2009-7-30 18
o x
y
例 4．求下列方程所表示的曲线
(1) 2,zi (2 ) 2 2,z i z (3 ) Im( ) 4,iz
解,1 2 2z i i（） 表示与点 距离为 的点的轨迹,2i?即圆心为,半径为 的圆
i?
i
2,zi
2z x i y z i化为直角坐标方程：将 代入 中，得：
( ) 2x iy i,22( 1 ) 2xy即：,
22( 1 ) 4,xy化简得：
(2 ) 2 2 2 2z i z i到 与 距离相等点的轨迹
22i?即表示曲线是连接点 和 的直段的垂直平分线，
yx化为直角坐标方程为：
(3 ) Im( ) 4,iz z x iy设,(1 )i z x y i那么
14y代入得：,3y即：
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三、复数的三角表示及指数表示作乘除法
11 1 1 1 1( c o s s i n ) | |,iz z z e设有两复数 22 2 2 2 2( c o s s i n ) | | iz z z e
12zz那么
1 2 1 2 1 2[ ( c o s ( ) ( s i n s i n ) ]z z i12()12 iz z e
1 2 1 2,z z z z 1 2 1 2A rg z z A rg z A rg z即,模 辐角定理 1：两个复数乘积的模等于它们模的乘积，幅角等于它们的幅角之和．说明：
1 2 1 2( 1 ) A r g z z A r g z A r g z多值函数相等的理解：由于幅角是多值的,（ ） 理解为：
12( 2 ) zz?当用向量表示复数时，表示乘积 的向量是
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2[ ( c o s c o s s i n s i n ) ( c o s s i n s i n c o s ) ]z z i
对于左端的任一个值，右端有一值与它对应，反之也一样；
例如：
1 2 1 2k k k Z k k k若,,,则 成立
1 2 1 2k k k Z k k k若,,,则2 不成立
1 2 2,z A r g z z从表示 的向量旋转一个角度 并伸长( 缩短) 到 陪得到.
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例如：
21,iz i e若 22,iz z e ()212 iz z iz z e
则
1 2 2 2z z z
只由 通过逆时针旋转,没伸缩.
01 8 0,zz?再如,相当于 通过逆时针旋转 而得
121 ()1 1 1 2 1 2( 3 ),nniii n n n nz r e z r e z z z r r r e若,可得定理 2：两复数的商的模等于它们模的商，幅角等于被除数与除数的幅角之差．
证明：
111 iz z e设，
222,iz z e 1( 0)z?
1
21
2
()2 1 2
1 2 1
||
||
i
i
i
z z e z e
z z e z
则
22
11
,zzzz? 2
21
1
zAr g Ar g z Ar g z
z
即,模 辐角
2009-7-30 21
例 5．用三角表示式和指数表示式计算下列复数
(1 ) (1 3 ) ( 3 ),ii 2(2),
12
i
i
解：
31 3 2 ( c o s sin ) 233 ii i e
(1) 因为
5
6553 2 [ c o s( ) si n ( ) ] 266 ii i e
2( 1 3 ) ( 3 ) 4 [ c o s( ) si n ( ) ] 4 422 ii i i e i
所以
1a r g ta n
211( 2 ) 2 5 ( c o s a r g ta n si n a r g ta n ) 522 ii i e
a r g ta n( 2 )1 2 5 ( c os a r g ta n( 2) sin a r g ta n( 2) ) 5 ii i e
2 1 1[ c o s ( a r g t a n a r g t a n 2 ) s i n ( a r g t a n a r g t a n 2 ) ]
1 2 2 2
i i
i
所以
1(a rg ta n a rg ta n 2 )2 ie
2009-7-30 22
例
6．
12 1 2,z z i已知等边三角形的两个顶点为 与,求它的另一个顶点解：
1z 2z
3z
3z
33 1 2 1() iz z z z e
如右图所示，由题意得：
( c o s ( ) s i n ( ) ) ( 2 1 )33ii
31
1 3 1 3 3 3 1 3( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2 2z z i i解得：
2009-7-30 23
四、复数的乘方与开方、棣摩弗公式
1．乘方公式
,iz re设复数 nz则乘方 ( c os sin )n in nr e r n i n
1z?当 时，有 ( c o s s in ) c o s s inni n i n
这公式称 棣摩弗公式,2．开方公式
( c o s sin ),iz re r i设复数 则
1 1 222[ c o s sin ],ki
n n n nkkw z r i r enn
1,2,,1kn
0,1,2,3,1k n n(1) 当 时，得 个相异的根,
,1,k n n当 时，这些根又重复出现.
n zn(2) 在几何上,的 个值是以原点为中心，
1
nr n n为半径的圆的内接正 边形的 个顶点
2009-7-30 24
例 7,计算下列各题：
3(1) (1 3 ),i? 4(2) 1,i?
3(1) (1 3 )i?解：
( 2 ) 1 2 ( c o s s i n )44ii
1
4 41 [ 2 ( c os sin ) ]44ii所以
8
2244
2 ( c o s s in ),44
kk
i
0,1,2,3k?
即,8
0 2 ( c o s s in ),1 6 1 6wi
8
1
992 ( c o s s i n ),
1 6 1 6wi
83 1 7 1 72 ( c o s s i n ),1 6 1 6wi 8
4
2 5 2 52 ( c o s s i n ),
1 6 1 6wi
3[ 2 ( c o s s in ) ]33i 8 ( c o s s in ) 8i
8 2这四个根是内接于中心在原点，半径为 的圆的正方形的顶点，
1 0 2 0 3 0 4 0,,,w iw w w w iw w iw且
2009-7-30 25
例
8．
3 1 0,z求方程 的根解,331 0 1,zz方程,即 其解为
13 31 [ c o s 0 sin 0 ]zi
22c o s s in
33
kki 023,0,1,2k iek
00 1,ze 2 31 2 2 1 3c o s( ) sin( ),3 3 2 2iz e i i
4
32 4 4 1 3c os si n,3 3 2 2iz e i i
作业 习题一1.1 (3) (4)
1.3
1.4
1.6 (2) (4)
1.8 (2) (3)
1.9 (1)（ 2） (3)（ 4）
1.10 (1)（ 2） (3)（ 4）
1.12 (1)（ 5）
1.13 (1)
P28
2009-7-30 26
第三节 平面点集的一般概念
研究复变函数问题,和实函数一样,每个复变量都有自己的变化范围,复变量的变化范围同于二元函数的变化范围称为区域,
一,开集与闭集
0 0z平面上以 为中心,为半径的
0 0z称为 的 的邻域,
0,zz圆的内部点的集合
000 z z z 所确定的点集称为的去心邻域.
1.邻域：
2,内点：
0G z G该邻域内的所有点都属于,则称 为 的内点.
00G z G z设 是平面点集,为 中任一点，如果存在 的一个邻域，
3,开集,GG如果 中的每一个点都是内点，称 为开集.
4,余集,CG G G平面上不属于 的点的全体称为 的余集，记做,
开集的余集称为闭集.
2009-7-30 27
5．边界：
.GG的边界点全体称为 的边界
0 Cz G G如果点 的任意邻域内既有 的点又有 的点，
0,zG则称 是 的边界点
6．孤立点：
0,zG则称 是 的一个孤立点
0 0 0,,z G z z G? 若在 的某一邻域内 外不含 的点
7．有界集与无界集：
GG称 为有界集，否则称 为无界集.
0zG?如果存在一个以点 为中心的圆盘包含,
例如：
G有界开集边界 孤立点
0z内点
0z?的 邻域
{,| | }G z z R 是开集；
{ | | }G z z R,是闭集，
{ | | }CG z z R因为它的余集,是开集；
| |,z R G? 是 的边界
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二,区域
1,连通,设 G中任何两点都可以用完全属于 G的折线连接起来,则称 G是连通的,
2,区域,连通的开集称为区域,记为 D．
3,闭区域,区域 D与它的边界一起构成闭区域,,D记为
4,有界,无界区域,（ 如上定义 ）
5,圆环域：
1 1 2,r z z r满足不等式 的所有点构成的区域例如 有界域：
0,z z R 1 1 2r z z r
无界域：
0,z z R Im 0z?
角形域,0 arg z
带形域,Ima z b
2009-7-30 29
例 1,试说出下列各式所表示的点集是怎样的图形，并指出哪些是区域：
(1) 0,zz (2) | 2 | 1,zi (3) 0 arg,3z
解,(1 ) 2 0,z z x 0.x?即是 表示右半平面，这是一个区域
( 2 ) | 2 ) | | ( 2 ) | 1z i z i
2 1,i这表示以 为中心，以为半径的圆周连同其外部区域，这是一个闭区域
( 3 ) 0 a r g a r g 0 a r g,33z z z表示介于两射线 及 之间的一个角形区域
三,平面曲线
1．平面曲线的复数式
( ),( )x t y t若 是两个连续实函数，
(),( ),
()
x x t a t b
y y t
则 表示一个平面曲线的参数方程，称为连续曲线
( ) ( ) ( )z t x t iy t令,平面曲线的 复数形式参数方程
2009-7-30 30
例 2,( ) c o s s i n (0 2 )z z t t i t t方程 表示怎么样的曲线？
cos,
sin
xt
yt
02t 圆周参数方程解：
例
3．
( 1 ) 0 1z i t t方程,表示怎样的曲线？
0 2 1tz当 时，
(0 1)xt tyt解,直线的参数方程 yx?或
12( 1 ) 0 1 0 1z i t t z z i,表示过点,的直线段
2．光滑曲线
( ),( )x t y t设函数 满足,1 ( ),( ) [,]x t y t a b（） 在区间 内连续
22( 2 ) [,] [ ( ) ] [ ( ) ] 0t a b x t y t当 时，
( ) ( )z x t iy t则称曲线 为 光滑曲线由若干段光滑曲线所组成的曲线称为 分段光滑曲线,
2009-7-30 31
例
4．
23,( 1 1 )z t it t 表示怎样的曲线？
解,22,,x t y t它相当于 yx可得：
容易验证,0 (0 ) (0 ) 0,t x y当 时，有 0t?曲线在 处不光滑，
因此该曲线是分段光滑曲线．
3．简单闭曲线
( ),( ) ( ),z a z b z z t?分别称 为曲线 的起点与终点
( ) ( )z z t a t b若曲线,满足下列条件：
(1) ( ) ( );z a z b? 1 2 1 2( ) ( )t t z t z t(2) 当 时，有 ；
则称这条曲线为 简单闭曲线,
简单闭曲线 非简单闭曲线
2009-7-30 32
4．单连通区域与多连通区域设 D为一平面区域，若在 D中任作一条简单闭曲线，而曲线内部总属于 D，
则 称 D为 单连通区域,否则是多连通区域．
单连通区域的特征：属于 D的任何一条简单闭曲线,在 D内可经过连续变形而缩成一点,
单连通区域 多连通区域洞
2009-7-30 33
第四节 无穷大与复球面
一,无穷远点为了讨论问题方便，我们不但要讨论有限复数，还要讨论一个特殊的复数
1
0
记做,-------无穷大,它是由下式定义的：
0,a它与有限数 的四则运算如下：;aa加法：
减法：,aa
乘法,aa
除法,0,a
a
0(1 ),,0,,
0 a
仍然无意义；
,(2) 对于复数 来说，其模规定为+ 而实部、虚部和辐角均没有意义，
||z z z因此对于复数,都有,则称 为有限复数；
2009-7-30 34
( 3 )?在复平面上我们可以设想复平面上有一个理想点与对应，
这个点称为 无穷远点,复平面加上无穷远点称为 扩充复平面,
扩充复平面上的每一条直线都通过无穷远点,
（ 4） 无穷远点的邻域,
| | ( 0 ),z M M包含无穷远点自身在内且满足 的所有点的集合复球面定义,球面上的每一点都有唯一的复数与之对应，这样的球面称为复球面；
| | ( 0 ),z M M不包含无穷远点自身且满足 的所有点的集合
二,复球面 N
S
复球面复平面
N除北极 外复数 复平面上的点 球面上的点
N无穷远点 点
（ 5） 无穷远点的去心邻域,
2009-7-30 35
第五节 复变函数
一,复变函数的概念说明：
zG?对于集合中的每一个复数,就有一个或几个复数
w u iv 与之对应,那么称复变数 w是复变数 z的函数,即 复变函数,
()w f z?记做
1,定义：设 G是一个复数的集合,如果有一个确定的法则存在,按照这一法则,
( 1 ) ( )z w f z若 的一个值对应着 的一个值，称 为单值函数，
()fz若对应着两个或两个以上个值，称 为多值函数；
*G z w G而对应于 中所有 的一切 值组成的集合,称为函数值的集合.
2 ( )G f z（ ）这里 称为 的定义集合（定义域），
2009-7-30 36
2,复变函数与二元函数的关系
( ) (,),(,)w f z u u x y v v x y相当于 为两个两元实函数
( ) (,) (,)w f z u x y iv x y
因此可以利用两个二元实变函数来讨论 ( ).w f z?复变函数
例
1．
2,wz?求复变函数 对应的两个二元函数解：,z x iy设 2 2 2 2( ) ( ) 2w z x iy x y i x y
故对应的二元函数为,22,2,u x y v x y
例
2．
将下列两个二元实变函数表示为复变函数,,zz即用 表示：
22
2 2 2 2( 1 ) (,) (,) ( 0 )
xyu x y v x y x y
x y x y，
(2 ) 3,w x iy
22
1(1 ),x i y zw u i v
x y zzz
11( 2 ) 3 3 ( ) ( ) 2
22w x i y z z i z z z zi
解：
2009-7-30 37
3,映射的概念在,高等数学,中,常把函数用几何图形来表示,这样,可以直观地帮助我们理解和研究函数的性质,对于复变函数,由于它反映了两对变量和之间的对应关系,因而无法用同一个平面的几何图形表示出来,必须把它看成两个复平面上的点集之间的对应关 系,
( ),(,) (,)w f z x y u v复变函数 是点 点,用两个复平面来表示.
( ),y f x x y实函数 是,可用直角坐标系来表示；
1 1 1z x iy
2 2 2z x iy
z平面 w平面
1 1 1w u iv
2 2 2w u iv
()w f z?
2009-7-30 38
例
3．
.wz?研究函数 构成的映射
00
wzz a ib w a b i
z平面
w平面
z w w z?若把 平面和 平面重叠在一起，则 是关于实轴的一个对称映射.
2009-7-30 39
例
4．
221 4w z x y wz函数 将 平面上曲线 映成 平面上怎样的曲线？
1w
z? 22
x iy
xy
2 2 2 2,
xyuv
x y x y
22 4xy由 得：
,44xyuv
解,w 平面上怎样的曲线 1,w z uv 满足怎样的关系？
22 1,
4x y u v消去 得,22 14uv
22 4xy
2009-7-30 40
2,wz?研究函数 构成的映射? 例
5．( 1 ) 0 a r gz z w将 平面上角形域 映射到 成怎样域？
(2 ) 1z z w?将 平面上给出圆周 映射到 平面成怎样曲线？
111,,1,
22z x x y y w(3) 将 平面中直线 映射到 平面怎样曲线？
2 12( 4),w z w u C v C z将 平面上的直线 映射成 平面的怎样的曲线？
解,（ 1）由乘法的模与幅角定理可知,其象是 2倍角域,20 a rg 2z即：
2( 2) 1 1zz曲线
2 2 2( 3 ) ( ) 2w x iy x y i x y因为
22(,),(,) 2u x y x y v x y x y所以
1zx?平面上直线 代入上式，
21,2u y v y得：,
21
4
vyu消去 得：
22( 4),2u x y v x y
22 12,2x y C x y C,z是 平面上的双曲线
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反函数 （ 逆映射 ）
( ),w f z z G?设函数 定义集合为 平面上的集合 wG?函数值集合为 平面上的集合,
G w G?那么 中每一点 将对应 中的点,( ),G z w按函数定义，在 上确定一个函数
1( ) ( ),w f z w f z称为 的反函数或逆映射，记
二,复变函数的极限和连续
1,复变函数的极限定义 1．
00( ) 0w f z z z z设函数 在 的去心邻域 内有定义，
A如果有一个确定的复数 存在,0对于任意给定的,
( ) (0 )总存在一个正数,00 z z z使得对满足 的一切，
()f z A都有,0()A f z z z那么称 为函数 当 趋向 时的极限，
0 0
l i m ( ) ( ) (zz f z A f z A z z记做 或 当 时),
2009-7-30 42
定理 1．设函数
0 0 0 0 0( ) (,) (,),,,f z u x y iv x y A u iv z x iy
0 0,0 0,000
l i m ( ) l i m (,),l i m (,)z z x x y y x x y yf z A u x y u v x y v则证明,必要性
0lim ( )zz f z A
220 0 00,0 ( ) ( )z z x x y y当 时，有
220 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( )f z A u u i v v u u v v,
0 0 0( ) ( )u u i v v u u而,0 0 0( ) ( )u u i v v v v
220 0 0 00,0 ( ) ( ),x x y y u u v v当 时，有 及
00 0,
lim (,),x x y y v x y v
00 0,
li m (,)x x y y u x y u即：,
充分性
0,0 0,000
l i m (,),l i m (,)x x y y x x y yu x y u v x y v已知,
220 0 0 00,0 ( ) ( ),22x x y y u u v v当 时，有
0 0 0 0( ) ( ) ( ),f z A u u i v v u u v v而
00 ( ) 22z z f z A
所以当 时，有,
0
lim ( ),zz f z A即：
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( ) (,) (,)f z u x y i v x y这个定理是将求复变函数 的极限问题转化为
(,),(,),u u x y v v x y求两个二元实函数 的极限问题
说明：关于含 的极限可以作如下定义：
0
1l i m ( ) l i m ( )
tzf a f z at( a 为有限复数)
00
1l i m 0 l i m ( )
()z z z z fzfz
0
1l im 0 l im ( )
1()tz fzf
t
定理 2．如果
0
lim ( ),zz f z A
0
lim ( ),zz g z B 则 0(1 ) li m [ ( ) ( ) ],zz f z g z A B
0
( 2 ) li m ( ) ( ),zz f z g z A B
0
()( 3 ) lim,( 0 ),
()zz
f z A B
g z B
2009-7-30 44
例
1,0
Re() zf z z z
z证明函数,当 时，极限不存在.
证明,z x iy设，
22
Re() zxfz
z xy则
2 2 20 0 0
1l i m ( ) l i m (,) l i m
( ) 1z y k x y k x
xf z u x y
x k x k
0 0,z y k x让 沿着直线 趋向 则
0
l i m ( )zzk f z?该极限随 的不同而不同，故极限 不存在.
( c o s s in )z r i设,c o s( ) c o srfz
r
则，另证：
a r g 0 ( )z z f z当 沿不同射线 趋向于 时,趋向于不同的值.
a r g 0 ( ) 1z z f z比如：当 沿实轴 趋向于零时，函数 ；
a r g ( ) 0,2z z f z当 沿虚轴 趋向零时，函数
2009-7-30 45
2,复变函数的连续性
0 00l i m ( ) ( ) ( )zz f z f z f z z如果,则称函数 在点 处是连续的,
()f z D如果 在区域 内处处连续，
( ),f z D则称 在 上的连续函数定理 3．函数
0 0 0( ) (,) (,)f z u x y i x y z x iy在点 处连续的充分必要条件是
00(,),(,) (,),u x y v x y x y二元函数 在 处连续
例
2．
2 2 2 2( ) l n ( ) ( ),f z x y i x y讨论函数 的连续性
2 2 2 2l n ( ),,u x y v x y二元函数解,(0,0 ),在除了 外处处连续
( ) (0,0 )fz故函数 在复平面上除 外处处连续.
说明,复变函数的极限与连续性的定义与实函数的极限与连续性的定义形式上完全相同，因此高等数学中的有关定理依然成立，因此又有 有界闭区域上连续函数的性质,
2009-7-30 46
定理 4,(1)连续函数的和,差,积,商 （ 分母不为 0） 是连续函数；
(2)连续函数的复合函数是连续函数．
( ) ;D f z(3) 有界闭区域 上的连续函数 是有界的
( ) | ( ) |D f z D f z(4) 有界闭区域 上的连续函数,在 上其模 可取得最大值和最小值.
()D f z D有界闭区域 上的连续函数 在 上是一致连续的：
0,0,,,| |,| ( ) ( ) |,z z D z z f z f z都有定义：
作业 习题一1.11 (1) (3) (5)
1.13 (2)
1.14
1.15
1.16
1.12 （ 2） (3)（ 4）
1.10 (1)（ 2） (3)（ 4）
1.12 (1)（ 5）
1.13 (1)
P28
