复变函数与积分变换主讲：周晖杰宁波大学科技学院数学组 二零零七年六月大学数学多媒体课件
2009-7-30 2
参考用书
,复变函数与积分变换》,华中科技大学数学系,高等教育出版社,2003.6
,复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》,华中科大,高等教育出版社
,复变函数》,西安交通大学高等数学教研室,高等教育出版社,1996.5
2009-7-30 3
目 录
第二章 解析函数
第三章 复变函数的积分
第四章 解析函数的级数表示
第五章 留数及其应用
第六章 傅立叶变换
第七章 拉普拉斯变换
第一章 复数与复变函数
2009-7-30 4
第七章 拉普拉斯 变换
2009-7-30 5
第七章 拉普拉斯 变换
7.1 拉普拉斯变换的概念
7.2 拉氏变换的性质
7.3 拉普拉斯逆变换
7.4 拉氏变换的应用及综合举例
本章小结
思考题
2009-7-30 6
第一节 拉普拉斯变换的概念
1．拉普拉斯变换的定义
01 ( ) 0 ( )
stf t t f t e d t s定义,设函数 当 时有定义，而积分,（ 为一个复参量）
s在 某一域内收敛，
0( ) ( ) ( )
stF s f t e d t f t则称 为函数 的拉普拉斯变换式，
( ) [ ( ) ],F s L f t?记为：
( ) ( )F s f t称为函数 的拉氏变换,( ) ( )f t F s称为函数 的拉氏逆变换，
1( ) [ ( ) ],f t L F t记为：
( ) ( 0 ) ( ) ( ) ( 0 )tf t t f t u t e函数,的拉氏变换就是,的傅氏变换.
2009-7-30 7
例 1,1,00,0( ) sgn 0,| | 0
1,0
1,0
t
t
u t t t
t
t
求单位阶跃函数,符号函数,
( ) 1ft? 的拉氏变换.
解：
0(1 ) [ ( ) ]
stL u t e d t Re( ) 0s?
0
11,ste
ss
1[ ( ) ],R e ( ) 0L u t s
s即,；
000
11( 2 ) [ s g n ] ( s g n ),s t s t s tL t t e d t e d t e
ss
Re( ) 0s?
1[ s g n ],R e ( ) 0L t s
s即,；
00
11( 3 ) [1 ],s t s tL e d t e
ss
Re( ) 0s?
1[1 ],R e ( ) 0,Ls
s即：
1/s的拉氏逆变换为哪个？？？
2009-7-30 8
例 2,( ),ktf t e k?求指数函数 的拉氏变换（ 为实数）
解,()
00[ ( ) ]
k t s t s k tL f t e e d t e d t
( ) 0R s k() 011,ske
s k s k
1[ ],( R e ( ) ),ktL e s k
sk即：
1[ ],( R e ( ) ),ktL e s ksk 1[ ],( Re ( ) 0 ),jtL e s
sj
由上式可得：
( ) ( ) 0 0,f t f t t一般规定：在拉氏变换中 均理解为：,
1 1( ) 1,[ ] 1,f t L
s
的象原函数可写为 即：
1( ) s i n ( ) ( ) s i n ( ) R e ( ) 0f t t f t u t t F s s
s即写下 时，理解为,象函数,
2009-7-30 9
2．拉氏变换的存在定理定理 1:(拉氏变换的存在定理 ) ()ft若函数 满足下列条件：
( 1 ) 0t?在 的任一有限区间上分段连续；
( 2 ) ( )t f t当 时,的增长速度不超过某一指数函数，
0 0 ( ) 0,ctM c f t M e t即存在常数 及,使得,成立
0( ) ( ) ( ) Re ( )
stf t F s f t e d t s c则函数 的拉氏变换 在半平面 上一定存在，且为解析函数．
说明：
（ 1） 这个定理的条件是充分的,物理学和工程技术中常见的函数大都能满足这个条件,
（ 2）一个函数的增大是指数级的和函数绝对可积的条件相比要弱的多．
2009-7-30 10
例 3,( ) s i nf t k t k?求正弦函数,为实数的拉氏变换.
解,0s i n,1,0,tk t e M c因为所以满足拉氏变换存在定理中的条件，
0[ si n ] si n
stL k t k te dt
02 2 2 2[ si n c o s ]
stekk t k k t
s k s k
22[ c o s ],
sL k t
sk
同理可以得到：
2009-7-30 11
例 4,( ),( 0 )mf t t m求幂函数 的拉氏变换.
解：
0[]
m s t mL t e t dt 10( ),tmm e t dt
0
( ) ( )mst
m
st d ste
ss
1 0
1 mt
m t e d ts
1
( 1 ),( 1,R e ( ) 0 ),
m
m ms
s?
3,? 函数介绍
1
0 ( 0 ) ( ),
tme t d t m m形如,的函数称为珈玛函数，记为 即
1
0( ),
tmm e t d t
函数性质,( 1 ) ( ),m m m ( 1 ) !m m m特别当 为正整数时，
21 22
00
1( ) 2,(,2 )
2
tue t d t e d u t u d t u d u 2.
2
2009-7-30 12
4．查表求拉氏变换（拉氏变换附表）
例 5,s i n 2 s i n 3tt求函数 的拉氏变换.
解,[sin 2 sin 3 ]L t t 附表第 20式,2,3ab
2 2 2 2 2 2
12 12,
( 5 ) ( 1 ) ( 25 ) ( 1 )
ss
s s s s
例 6,( c os si n )
2
bte
bt bt
求函数 的拉氏变换.
解,这个函数拉氏变换公式不能直接找到，
2( c o s s i n ) [ c o s c o s ( ) ] ( 2 s i n ( ) )
2 2 42 2 2
b t b t b te e eb t b t b t b t b t
附表第 17式：,
4a b b
2 2 2 2
( ) s in ( ) c o s 244
[ ( c o s s in ) ],( ) ( ) 2 ( 2 2 )2
bt s b bes
L b t b t s b b s b s b
2009-7-30 13
第二节 拉氏变换的性质
1．线性性质
1 1 2 2,[ ( ) ] ( ) [ ( ) ] ( )L f t F L f t F设 为常数，且有,,则有：
1 2 1 2[ ( ) ( ) ] ( ) ( ),L f t f t F F1 1 2 1 2[ ( ) ( ) ] ( ) ( ),L F F f t f t
例 1,c o s t?求函数 的拉氏变换.
解,1
c o s ( )2 j t j tt e e由于,1[ ],jtLe sj
1[ c o s ] ( [ ] [ ] ),
2 j t j tL t L e L e
22
1 1 1[ ],
2
s
s j s j s
一、线性与相似性质
2009-7-30 14
例 2,151( ) [ ( ) ],
( 1 ) ( 2 )
sF s L F s
ss
已知,求解,5 1 1 1
( ) 2 3,( 1 ) ( 2) 1 2sFs s s s s1[]atLe sa
1 1 111[ ( ) ] 2 [ ] 3 [ ]
12L F s L Lss
22 3,ttee
2．相似性质
[ ( ) ] ( ) 0L f t F a设,则对任一实数 有,1[ ( ) ] [ ],sL f a t F
aa?
证明：
0[ ( ) ] ( )
stL f a t f a t e d t
()
0
11( ) [ ],sx a t xa sf x e d x F
a a a
2009-7-30 15
二、微分性质
1．导数的象函数
[ ( ) ] ( )L f t F s?设,则有 [ ( ) ] ( ) (0 ),L f t s F s f
( ) 1 2 ( 1 )[ ( ) ] ( ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ),n n n n nL f t s F s s f s f f
推广：
( 1 )( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) 0nf f f特别地，当 时，有
2 ( )[ ( ) ] ( ),[ ( ) ] ( ),,[ ( ) ] ( ),nnL f t s F s L f t s F s L f t s F s
此性质使我们有可能将函数的微分方程转化为的代数方程，因此它对分析线性系统有重要的作用．
2009-7-30 16
例 3．
解：
2( ) ( ) 0 ( 0 ) 0,( 0 ),y t y t y y求解微分方程,
对方程两边取拉氏变换，并利用线性性质及微分性质，有
22( ) ( 0 ) ( 0 ) ( ) 0,s Y s sy y Y s
代入初值即得：
( ) [ ( )],Y s L y t?其中
22( ),Ys s
有前面结果，可以得到：
11
22( ) [ ( ) ] [ ] s i n,y t L Y L ts
2009-7-30 17
2．象函数的导数
[ ( ) ] ( )L f t F s?设,则
( ) [ ( )]F s L tf t 1
1( ) [ ( ) ],f t L F s
t或
( ) ( 1 ) [ ( ) ],n n nF s L t f t一般地有
例 4,( ) s i nf t t k t?求函数 的拉氏变换.
解：
22[ s in ],
kL k t
sk
2 2 2 2 2
2[ sin ] [ ],
()
d k k sL t k t
d s s k s k
22
2 2 2 2 2[ c os ] [ ],()
d k s kL t k t
ds s k s k
同理
例 5,22( ) c o sf t t t?求函数 的拉氏变换.
2 2 21[ c o s ] [ (1 c o s 2 ) ]2L t t L t t
2 6 2
2 2 3 2 3
1 1 2( 24 32)[]
2 4 ( 4)
d s s s
ds s s s s
2009-7-30 18
三、积分性质
1．积分的象函数
[ ( ) ] ( )L f t F s?设,则
0
1[ ( ) ] ( ),tL f t d t F s
s
推广：
0 0 0
1[ ( ) ] ( ),t t t
nL d t d t f t d t F ss
２．象函数的积分
[ ( ) ] ( )L f t F s?设,则 ()[ ] ( ),
s
ftL F s d s
t
1( ) [ ( ) ],
sf t tL F s ds
或推广,()
[ ] ( ),n s s s sftL d s d s d s F s d st
2009-7-30 19
例 6,s() htft
t?求函数 的拉氏变换.
解,1[ ] [ ] [ ]
22
tt tteeL sh t L L e e
2
1 1 1 1( ),
2 1 1 1s s s
2
s 1 1 1 1 1[ ] l n l n,
1 2 1 2 1ss
ht s sL ds
t s s s
由以上公式可以得到一个有用公式：
0
( ) ( )[ ] ( ) 0
s
f t f td t L F s d s s
tt
若 存在，按,取下限 有：
00
() ( ),ft d t F s d s
t
同理
0 ( ) ( 0 ),f t d t F
0 ( ) '( 0 )tf t d t F
在使用上面公式时应先考虑一下广义积分的存在性．
2009-7-30 20
例 7．
解：
0
s i n,t dt
t
计算积分
20 0 0
s i n 1[ s i n ]
1
t d t L t d s d s
ts
0a rc ta n,2s
例 8,3
00
1 c o sc o s 2,tt te t d t e d t
t
计算积分 及解：
2(1 ) [ c o s 2 ],4
sLt
s
3
3 20
3
3c os 2 [ c os 2 ],
4 13
t
s
s
se t dt L t
s
2
1 c o s 1( 2 ) [ ] [ 1 c o s ] ( )
1ss
tsL L t d s d s
t s s
221 1 1
l n l n,2 1 2
s
ss
0
1 c o s 11 l n 2,
2t
ts e d t
t
令,得：
2009-7-30 21
2009-7-30 2
参考用书
,复变函数与积分变换》,华中科技大学数学系,高等教育出版社,2003.6
,复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》,华中科大,高等教育出版社
,复变函数》,西安交通大学高等数学教研室,高等教育出版社,1996.5
2009-7-30 3
目 录
第二章 解析函数
第三章 复变函数的积分
第四章 解析函数的级数表示
第五章 留数及其应用
第六章 傅立叶变换
第七章 拉普拉斯变换
第一章 复数与复变函数
2009-7-30 4
第七章 拉普拉斯 变换
2009-7-30 5
第七章 拉普拉斯 变换
7.1 拉普拉斯变换的概念
7.2 拉氏变换的性质
7.3 拉普拉斯逆变换
7.4 拉氏变换的应用及综合举例
本章小结
思考题
2009-7-30 6
第一节 拉普拉斯变换的概念
1．拉普拉斯变换的定义
01 ( ) 0 ( )
stf t t f t e d t s定义,设函数 当 时有定义，而积分,（ 为一个复参量）
s在 某一域内收敛，
0( ) ( ) ( )
stF s f t e d t f t则称 为函数 的拉普拉斯变换式，
( ) [ ( ) ],F s L f t?记为：
( ) ( )F s f t称为函数 的拉氏变换,( ) ( )f t F s称为函数 的拉氏逆变换，
1( ) [ ( ) ],f t L F t记为：
( ) ( 0 ) ( ) ( ) ( 0 )tf t t f t u t e函数,的拉氏变换就是,的傅氏变换.
2009-7-30 7
例 1,1,00,0( ) sgn 0,| | 0
1,0
1,0
t
t
u t t t
t
t
求单位阶跃函数,符号函数,
( ) 1ft? 的拉氏变换.
解：
0(1 ) [ ( ) ]
stL u t e d t Re( ) 0s?
0
11,ste
ss
1[ ( ) ],R e ( ) 0L u t s
s即,；
000
11( 2 ) [ s g n ] ( s g n ),s t s t s tL t t e d t e d t e
ss
Re( ) 0s?
1[ s g n ],R e ( ) 0L t s
s即,；
00
11( 3 ) [1 ],s t s tL e d t e
ss
Re( ) 0s?
1[1 ],R e ( ) 0,Ls
s即：
1/s的拉氏逆变换为哪个？？？
2009-7-30 8
例 2,( ),ktf t e k?求指数函数 的拉氏变换（ 为实数）
解,()
00[ ( ) ]
k t s t s k tL f t e e d t e d t
( ) 0R s k() 011,ske
s k s k
1[ ],( R e ( ) ),ktL e s k
sk即：
1[ ],( R e ( ) ),ktL e s ksk 1[ ],( Re ( ) 0 ),jtL e s
sj
由上式可得：
( ) ( ) 0 0,f t f t t一般规定：在拉氏变换中 均理解为：,
1 1( ) 1,[ ] 1,f t L
s
的象原函数可写为 即：
1( ) s i n ( ) ( ) s i n ( ) R e ( ) 0f t t f t u t t F s s
s即写下 时，理解为,象函数,
2009-7-30 9
2．拉氏变换的存在定理定理 1:(拉氏变换的存在定理 ) ()ft若函数 满足下列条件：
( 1 ) 0t?在 的任一有限区间上分段连续；
( 2 ) ( )t f t当 时,的增长速度不超过某一指数函数，
0 0 ( ) 0,ctM c f t M e t即存在常数 及,使得,成立
0( ) ( ) ( ) Re ( )
stf t F s f t e d t s c则函数 的拉氏变换 在半平面 上一定存在，且为解析函数．
说明：
（ 1） 这个定理的条件是充分的,物理学和工程技术中常见的函数大都能满足这个条件,
（ 2）一个函数的增大是指数级的和函数绝对可积的条件相比要弱的多．
2009-7-30 10
例 3,( ) s i nf t k t k?求正弦函数,为实数的拉氏变换.
解,0s i n,1,0,tk t e M c因为所以满足拉氏变换存在定理中的条件，
0[ si n ] si n
stL k t k te dt
02 2 2 2[ si n c o s ]
stekk t k k t
s k s k
22[ c o s ],
sL k t
sk
同理可以得到：
2009-7-30 11
例 4,( ),( 0 )mf t t m求幂函数 的拉氏变换.
解：
0[]
m s t mL t e t dt 10( ),tmm e t dt
0
( ) ( )mst
m
st d ste
ss
1 0
1 mt
m t e d ts
1
( 1 ),( 1,R e ( ) 0 ),
m
m ms
s?
3,? 函数介绍
1
0 ( 0 ) ( ),
tme t d t m m形如,的函数称为珈玛函数，记为 即
1
0( ),
tmm e t d t
函数性质,( 1 ) ( ),m m m ( 1 ) !m m m特别当 为正整数时，
21 22
00
1( ) 2,(,2 )
2
tue t d t e d u t u d t u d u 2.
2
2009-7-30 12
4．查表求拉氏变换（拉氏变换附表）
例 5,s i n 2 s i n 3tt求函数 的拉氏变换.
解,[sin 2 sin 3 ]L t t 附表第 20式,2,3ab
2 2 2 2 2 2
12 12,
( 5 ) ( 1 ) ( 25 ) ( 1 )
ss
s s s s
例 6,( c os si n )
2
bte
bt bt
求函数 的拉氏变换.
解,这个函数拉氏变换公式不能直接找到，
2( c o s s i n ) [ c o s c o s ( ) ] ( 2 s i n ( ) )
2 2 42 2 2
b t b t b te e eb t b t b t b t b t
附表第 17式：,
4a b b
2 2 2 2
( ) s in ( ) c o s 244
[ ( c o s s in ) ],( ) ( ) 2 ( 2 2 )2
bt s b bes
L b t b t s b b s b s b
2009-7-30 13
第二节 拉氏变换的性质
1．线性性质
1 1 2 2,[ ( ) ] ( ) [ ( ) ] ( )L f t F L f t F设 为常数，且有,,则有：
1 2 1 2[ ( ) ( ) ] ( ) ( ),L f t f t F F1 1 2 1 2[ ( ) ( ) ] ( ) ( ),L F F f t f t
例 1,c o s t?求函数 的拉氏变换.
解,1
c o s ( )2 j t j tt e e由于,1[ ],jtLe sj
1[ c o s ] ( [ ] [ ] ),
2 j t j tL t L e L e
22
1 1 1[ ],
2
s
s j s j s
一、线性与相似性质
2009-7-30 14
例 2,151( ) [ ( ) ],
( 1 ) ( 2 )
sF s L F s
ss
已知,求解,5 1 1 1
( ) 2 3,( 1 ) ( 2) 1 2sFs s s s s1[]atLe sa
1 1 111[ ( ) ] 2 [ ] 3 [ ]
12L F s L Lss
22 3,ttee
2．相似性质
[ ( ) ] ( ) 0L f t F a设,则对任一实数 有,1[ ( ) ] [ ],sL f a t F
aa?
证明：
0[ ( ) ] ( )
stL f a t f a t e d t
()
0
11( ) [ ],sx a t xa sf x e d x F
a a a
2009-7-30 15
二、微分性质
1．导数的象函数
[ ( ) ] ( )L f t F s?设,则有 [ ( ) ] ( ) (0 ),L f t s F s f
( ) 1 2 ( 1 )[ ( ) ] ( ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ),n n n n nL f t s F s s f s f f
推广：
( 1 )( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) 0nf f f特别地，当 时，有
2 ( )[ ( ) ] ( ),[ ( ) ] ( ),,[ ( ) ] ( ),nnL f t s F s L f t s F s L f t s F s
此性质使我们有可能将函数的微分方程转化为的代数方程，因此它对分析线性系统有重要的作用．
2009-7-30 16
例 3．
解：
2( ) ( ) 0 ( 0 ) 0,( 0 ),y t y t y y求解微分方程,
对方程两边取拉氏变换，并利用线性性质及微分性质，有
22( ) ( 0 ) ( 0 ) ( ) 0,s Y s sy y Y s
代入初值即得：
( ) [ ( )],Y s L y t?其中
22( ),Ys s
有前面结果，可以得到：
11
22( ) [ ( ) ] [ ] s i n,y t L Y L ts
2009-7-30 17
2．象函数的导数
[ ( ) ] ( )L f t F s?设,则
( ) [ ( )]F s L tf t 1
1( ) [ ( ) ],f t L F s
t或
( ) ( 1 ) [ ( ) ],n n nF s L t f t一般地有
例 4,( ) s i nf t t k t?求函数 的拉氏变换.
解：
22[ s in ],
kL k t
sk
2 2 2 2 2
2[ sin ] [ ],
()
d k k sL t k t
d s s k s k
22
2 2 2 2 2[ c os ] [ ],()
d k s kL t k t
ds s k s k
同理
例 5,22( ) c o sf t t t?求函数 的拉氏变换.
2 2 21[ c o s ] [ (1 c o s 2 ) ]2L t t L t t
2 6 2
2 2 3 2 3
1 1 2( 24 32)[]
2 4 ( 4)
d s s s
ds s s s s
2009-7-30 18
三、积分性质
1．积分的象函数
[ ( ) ] ( )L f t F s?设,则
0
1[ ( ) ] ( ),tL f t d t F s
s
推广：
0 0 0
1[ ( ) ] ( ),t t t
nL d t d t f t d t F ss
２．象函数的积分
[ ( ) ] ( )L f t F s?设,则 ()[ ] ( ),
s
ftL F s d s
t
1( ) [ ( ) ],
sf t tL F s ds
或推广,()
[ ] ( ),n s s s sftL d s d s d s F s d st
2009-7-30 19
例 6,s() htft
t?求函数 的拉氏变换.
解,1[ ] [ ] [ ]
22
tt tteeL sh t L L e e
2
1 1 1 1( ),
2 1 1 1s s s
2
s 1 1 1 1 1[ ] l n l n,
1 2 1 2 1ss
ht s sL ds
t s s s
由以上公式可以得到一个有用公式：
0
( ) ( )[ ] ( ) 0
s
f t f td t L F s d s s
tt
若 存在，按,取下限 有：
00
() ( ),ft d t F s d s
t
同理
0 ( ) ( 0 ),f t d t F
0 ( ) '( 0 )tf t d t F
在使用上面公式时应先考虑一下广义积分的存在性．
2009-7-30 20
例 7．
解：
0
s i n,t dt
t
计算积分
20 0 0
s i n 1[ s i n ]
1
t d t L t d s d s
ts
0a rc ta n,2s
例 8,3
00
1 c o sc o s 2,tt te t d t e d t
t
计算积分 及解：
2(1 ) [ c o s 2 ],4
sLt
s
3
3 20
3
3c os 2 [ c os 2 ],
4 13
t
s
s
se t dt L t
s
2
1 c o s 1( 2 ) [ ] [ 1 c o s ] ( )
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2009-7-30 21
